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Aula 02

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 2- PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
Prof. Kléber Albanêz Rangel
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
ESTUDO DO PARALELISMO ENTRE RETAS,RETAS E PLANOS E ENTRE PLANOS
ESTUDO DO PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS, RETAS E PLANOS E ENTRE PLANOS.
RELAÇÕES ENTRE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO. 
1.PARALELISMO
 A. POSTULADO DAS PARALELAS - POSTULADO DE EUCLIDES.
 Por um ponto fora de uma reta existe uma e somente uma paralela a essa reta.
B. TRANSITIVIDADE DO PARALELISMO DE RETAS
 Se duas retas são paralelas a uma terceira então são paralelas entre si.
C. PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS 
 TEOREMA
 Uma condição necessária e suficiente para que uma reta r seja paralela a um plano  é que r não esteja contido em  e seja paralela a uma reta de .
D. RETAS REVERSAS
 Duas retas são reversas se não existe plano que contenha ambas.
E. PLANOS PARALELOS
Dois planos são paralelos entre si se sua interseção é vazia. 
F. TEOREMA
Uma condição necessária e suficiente para que um plano  seja paralelo ao plano  é que  contenha duas retas concorrentes, paralelas ao .
G. TEOREMA
Por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo ao plano dado.

2. PERPENDICULARISMO 
RETA E PLANO PERPENDICULARES
 Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum.
B. TEOREMA FUNDAMENTAL
 Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
C. TEOREMA
 Se uma reta forma ângulo reto com duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
s
t
3. RELAÇÕES: PARALELISMO E PERPENDICULARISMO
Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos entre si.
Se dois planos saõ paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
PLANOS PERPENDICULARES
 Um plano  é perpendicular a um plano  se, e somente se, α contém uma reta perpendicular a .
 A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se na existência de uma reta perpendicular a um ponto.
 
TEOREMA
 Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é que toda reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro.
r
EXERCÍCIOS:
1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes.
Uma reta e um plano secante têm um único ponto comum.
Uma reta e um plano paralelos não tem ponto comum.
Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra outra.
2. O que são retas perpendiculares? 
3. O que são retas ortogonais?

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