Aula 05

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 5- POLIEDROS
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONCEITOS BÁSICOS – AULA1
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 1.Conceito
 2.Elementos
 3.Poliedros Convexos e Não Convexos
 4.Relação de Euler
 5. Poliedro Euleriano
 6. Propriedade
 7. Poliedros de Platão
 8. Propriedade
 9. Poliedros Regulares
10. Propriedade
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.CONCEITO
 
 Denomina-se POLIEDRO o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum.
 PRISMA TRIANGULAR CUBO
 
 
 
 
2. ELEMENTOS
. Os polígonos são denominados FACES do poliedro.
. Os lados dos polígonos são denominados ARESTAS.
. Os vértices dos polígonos são denominados VÉRTICES do poliedro.
 
3. POLIEDROS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS
 Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois quaisquer de seus pontos esteja contido no poliedro. Em caso contrário, é não convexo.
 Um poliedro é convexo quando qualquer plano que contenha uma de suas faces deixe as demais faces num mesmo semi-espaço. Se existir pelo menos um plano que contenha uma das faces e deixe as demais faces em dois semi-espaços opostos ele será não convexo.
 
4. RELAÇÃO DE EULER
 Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação 
 V + F = A + 2
Em que V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas do poliedro.
 
 Temos:
 V=6 , F=5 e A=9
 Então: V + F = A + 2
 6 + 5 = 9 + 2
 
 
5.POLIEDRO EULERIANO 
 São poliedros para os quais é válida a relação de Euler.
 “Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.” 
6.PROPRIEDADE
 A soma (S) dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é 
 S = (V – 2). 4r ou S = (V – 2).360°
em que V é o número de vértices e r é um ângulo reto.
 
7. POLIEDROS DE PLATÃO
 Um poliedro é chamado POLIEDRO DE PLATÃO se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições:
Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas,
Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas, e,
Vale a relação de Euler (V - A + F = 2).
8. PROPRIEDADE
 Existem cinco , e somente cinco, classes de poliedros de Platão. 
 9. POLIEDROS REGULARES
 Denominamos POLIEDROS REGULARES aos poliedros de Platão cujas faces são polígonos regulares.
10. PROPRIEDADE
 Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares.
 São eles:
 a.TETRAEDRO REGULAR - as suas faces são triângulos equiláteros.
 b. HEXAEDRO REGULAR (CUBO) – as suas faces são quadrados.
 c. OCTAEDRO REGULAR – as suas faces são triângulos equiláteros.
 d. DODECAEDRO REGULAR – as faces são pentágonos regulares.
 e. ICOSAECRO REGULAR – as suas faces são triângulos equiláteros.
 
 
 
 
 
RELAÇÕES
 Chamando de:
.m – número de arestas concorrentes em cada vértice,
. n - número de lados em cada face,
. V - número de vértices do poliedro,
. A - número de arestas do poliedro e,
. F - número de faces do poliedro, temos: 
EXERCÍCIOS
1. Sabendo que um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices,qual é o número de arestas desse poliedro?
 
 
2.Qual o número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares?
Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 6480° então qual é o número de vértices desse poliedro?
O “cubo octaedro” é um poliedro que possui 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. Determine o número de vértices desse poliedro. 
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