Aula 08

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 8- PIRÂMIDES
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 
 1.Superfície Piramidal ou Pirâmide Ilimitada.
 2.Pirâmide –Definição.
 3.Elementos.
 4.Classificação.
 5.Pirâmide Regular.
 6.Tetraedro: Definição.Altura.Áreas.Volume.
 7.Pirâmide: Áreas e Volume.
 8.Volume de uma Pirâmide Triangular.
 9.Octaedro Regular.
10.Tronco de Pirâmide: Elementos. Propriedades. Áreas e
 Volume.
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.SUPERFÍCIE PIRAMIDAL OU PIRÂMIDE ILIMITADA
 Considere uma região poligonal plano convexa A1,A2,A3. ... , An de n lados e um ponto V fora de seu plano.
 Chama-se SUPERFÍCIE PIRAMIDAL OU PIRÂMIDE ILIMITADA à reunião das semirretas de origem em V e que passam pelos pontos da região poligonal (polígono convexo) dada.
 
 
 
 
2.PIRÂMIDE
 DEFINIÇÃO.
 Considere um polígono ABC... contido num plano . Seja V um ponto situado fora do plano .
 Denomina-se PIRÂMIDE ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em V e a outra extremidade em um ponto do polígono.
 
 
 
A
V
C
D
B
3. ELEMENTOS
 
.BASE – é a região poligonal ABCD... .
.VÉRTICE – é o ponto V fora do plano da base. 
.ARESTAS DA BASE – são os lados do polígono da base. No caso: AB,BC,CD,...
.ARESTAS LATERAIS – são as outras arestas da pirâmide excluindo-se as da 
 base. No caso: VA,VB,VC,... .
.FACES LATERAIS – são as faces da pirâmide excluindo-se as da base.As faces
 laterais de uma pirâmide são triângulos.No caso:ΔVAB,
 ΔVBC, ...
.ALTURA – é a distância entre o plano da base e o vértice V.
 	 
 
A
V
C
D
B
A
C
D
B
4. CLASSIFICAÇÃO
 Segundo o número de arestas da base (polígonos da base) uma pirâmide pode ser classificada em:
.TRIANGULAR – se a base for um triângulo.
.QUADRANGULAR – se a base for um quadrilátero.
.PENTAGONAL – se a base for um pentágono, e assim sucessivamente.
 
 
Uma pirâmide pode ser ainda classificada em RETA ou OBLÍQUA.
PIRÂMIDE RETA – é aquela cuja projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. 
PIRÂMIDE OBLÍQUA – é aquela cuja projeção ortogonal do vértice não coincide com o centro do polígono da base.
 
 
A
V
C
D
B
A
V
C
D
B
O
O
5.PIRÂMIDE REGULAR
 
 PIRÂMIDE REGULAR é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base.
 Em uma pirâmide regular:
 . As arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos
 isósceles congruentes.
 .O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base.
 . A altura de uma face lateral relativa à aresta da base é chamada 
 apótema da pirâmide.
 
A
V
C
D
B
F
E
V
O
 6.TETRAEDRO:Definição.Altura.Áreas. Volume.
 TETRAEDRO é uma pirâmide triangular que possui quatro faces, sendo três laterais e uma base.
 TETRAEDRO REGULAR é um tetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si. Nele todas as faces são triângulos equiláteros.
 
 
V
A
C
B
TETRAEDRO REGULAR : ALTURA, ÁREAS e VOLUME.
 Na figura,temos: Af – área da face
 At – área total
 h – altura
 V - volume
 
 
7. PIRÂMIDE: ÁREAS E VOLUME.
 I.ÁREAS
 . ÁREA DA BASE (Ab ou Sb) – é a área do polígono da base.
 . ÁREA LATERAL (Al ou SL) - é a soma das áreas das faces laterais.
 . ÁREA TOTAL (At ou St) – é a soma da área lateral com a área da base.
II.VOLUME
 O volume de uma pirâmide é igual a terça parte do produto da área da base pela sua altura. Então: 
 V = Sb . H
onde Sb é a área da base e h é a altura.
8.VOLUME DE UMA PIRÂMIDE TRIANGULAR
 Todo prisma triangular é a soma de três pirâmides triangulares(tetraedros) equivalentes entre si (de volumes iguais).
9. OCTAEDRO REGULAR
 OCTAEDRO é o sólido formado por duas pirâmides quadrangulares de mesma base ABCD e vértices situados em semiplanos opostos em relação ao plano da base.
 Se a base for um quadrado e as faces laterais de ambas as pirâmides forem triângulos equiláteros teremos o OCTAEDRO REGULAR.
 Note que o volume de um tetraedro é o dobro do volume de uma das pirâmides.
 
 
V’
A
V
C
D
B
10.TRONCO DE PIRÂMIDE
 Quando um plano, paralelo à base, intercepta todas as arestas de uma pirâmide, formam-se dois novos sólidos geométricos: uma nova pirâmide e um TRONCO DE PIRÂMIDE.
 I.ELEMENTOS 
 . BASE MAIOR – é a região poligonal ABCD.
 . BASE MENOR – é a região poligonal EFGH.
 . FACE LATERAL – são as faces do tronco de pirâmide , exceto as bases. 
 As faces laterais são trapézios. No caso: ABFE,BCGF,
 CDHG e ADHE.
 . ALTURA DO TRONCO – é a distância entre a base maior e a base menor.
 Na segunda figura a altura do tronco é “h”. 
 
 
F
A
E
C
D
B
G
H
V
 Um tronco de pirâmide é regular se a pirâmide original for regular, e nesse caso:
. as bases são polígonos regulares semelhantes;
. as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são trapézios isósceles 
 congruentes; e,
. a altura de uma face lateral (trapézio isósceles) é chamada de APÓTEMA DO 
 TRONCO
II.PROPRIEDADES
 Considerando em um tronco de pirâmide: 
 B - área da base maior
 b – área da base menor
 h – altura da pirâmide maior
 d – altura da pirâmide menor
 k – altura do tronco
 l’ – aresta da base menor
 l – aresta da base maior
 V1 – volume da pirâmide maior
 V2 – volume da pirâmide menor e,
 f – apótema da pirâmide , são válidas as seguintes propriedades:
i) l’/ l = d/h ii) b/B = (d/h)² iii) V2/V1 = (d/h)³
III.ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE
 
 -ÁREAS
 . ÁREA DA BASE – são as áreas das bases menor e maior do tronco de pirâmide.
 . ÁREA LATERAL – é a soma das áreas das faces laterais.
 . ÁREA TOTAL – é a soma das áreas das bases com a área lateral.
 
- VOLUME
 O volume do tronco de pirâmide pode ser obtido pela diferença entre os volumes das pirâmides maior e menor.
 Podemos também utilizar a relação:
 
 V = k/3 ( B + √B.b + b) 
onde: “k” é a altura do tronco, “B” é a área da base maior e “b” é a área da base menor. 
 
.EXERCÍCIOS
1.Calcule a área total e o volume de uma
pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 20cm e cuja aresta da base mede 24cm.
 
2.2.
2.Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base é circunscrita a um círculo de 6cm de raio e que a aresta lateral mede 12cm.
3. Um cubo tem área total de 150m². Calcule o volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a esse vértice. 
4. Considere uma pirâmide regular cuja base é um quadrado de lado 12cm e a altura é 20cm. Um plano paralelo à base secciona a pirâmide a 5cm de seu vértice. Qual o volume do tronco determinado por esse plano?
*