Aula 10

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Aula 10 - As estruturas da História da Matemática: 
		 A evolução do conceito de Geometria Analítica
Tema da Apresentação
A evolução do conceito de Geometria Analítica– AULA 10
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A evolução do conceito de Geometria Analítica– AULA 10
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
Tema da Apresentação
A evolução do conceito de Geometria Analítica– AULA 10
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A evolução do conceito de Geometria Analítica– AULA 10
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Identificar o conceito de Geometria Analítica a partir de Descartes;
 Reconhecer a importância de Fermat;
 Verificar o Teorema de Fermat e a busca pela sua solução;
 Analisar a importância do Teorema da Incompletude de Gödel.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
RENÉ DESCARTES - FILÓSOFO E MATEMÁTICO FRANCÊS (1596 - 1650)
 Descartes foi o primeiro a utilizar sistematicamente as letras do alfabeto para representar as constantes, as variáveis e as incógnitas.
 Também estabeleceu o uso dos expoentes e o símbolo da raiz quadrada.
 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
RENÉ DESCARTES - FILÓSOFO E MATEMÁTICO FRANCÊS (1596 - 1650)
 Descartes é anunciado como o Pai da Geometria Analítica, por ter escrito sua mais famosa obra: o Discours de la méthode por bien conduire sa raison et chercher la verité dans les science (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências). 
 
Discours de la Methode 
Edição de 1637
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
PIERRE DE FERMAT (1601-1665)
 Fermat viveu na França do século XVIII e era funcionário público na cidade francesa de Toulouse, a matemática para ele era um passatempo.
 Uma das características de Fermat que ficou famosa era o seu costume de apresentar a outros matemáticos problemas desafiantes.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
PIERRE DE FERMAT (1601-1665)
 Fermat escreveu Ad locus planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos), que só foi publicado depois da sua morte. 
No seu livro encontramos as equações gerais de retas, circunferências e equações mais simples de parábolas, elipses e hipérboles.
 
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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
 Fermat estava a ler o livro Arithmetica quando chega ao problema matemático II.8. 
Este problema perguntava como dividir um número ao quadrado em dois outros números ao quadrado:
 
Até aqui, parece muito fácil, pois se substituirmos o k=5, temos u=3 e v=4, verificamos a condição. 
Basicamente o que ali está é o Teorema de Pitágoras que todos nós conhecemos.
 
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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
Fermat, porém, escreveu ao lado daquele problema, na própria página em latim o seguinte:
"É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma potência de quatro (x^4) em duas outras duas potências de quatro, ou a nível geral, qualquer potência maior que 2 em duas outras potências iguais." 
E continua:
 “Eu descobri uma maravilhosa prova disto na qual a esta margem é demasiado pequena para contê-la."
 
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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
 Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para 
 Mas milhões de números testados ainda estão muito longe de provar para a infinidade numérica.
 Faltava a demonstração geral para qualquer número. 
 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
EXPLORANDO O TEMA
Documentário BBC - Último Teorema de Fermat (Parte 1 de 4)
 http://www.youtube.com/watch?v=0Kvbo0NpfXA
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A BUSCA PELA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FERMAT
 O Último Teorema de Fermat foi considerado um enigma por que levou mais de 350 anos para ser provado. A fama deste enigma se espalhou pelo mundo todo, especialmente entre os matemáticos, levando alguns a direcionar todas suas pesquisas para resolvê-lo.
 
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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
 No dia 23 de junho de 1993, após 7 anos de muito estudo e trabalho árduo, o matemático britânico Sir Andrew Wiles entrou para a historia ao anunciar a solução do maior enigma e desafio matemático de todos os tempos e que durou mais de 350 anos.
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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
 A demonstração de Wiles tem mais de 100 páginas, dando razão a Fermat quando afirmava que "não tinha espaço suficiente naquela margem para demonstrar o teorema".
 
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EXPLORANDO O TEMA
Documentário BBC - Último Teorema de Fermat (Parte 4 de 4)
http://www.youtube.com/watch?v=q-7cyEO8uW0
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DAVID HILBERT E SUAS PERGUNTAS
David Hilbert (1862–1943) propôs 23 problemas, que em sua opinião ocupariam os matemáticos pelo século que se iniciara (e estava correto!).
2o Congresso Internacional de Matemática, Paris, 1900.
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O MANIFESTO DE HILBERT
Conjectura de Hilbert de 1900: todo problema bem posto seria demonstrável. Hilbert procurava um algoritmo que para qualquer sentença, dadas as hipóteses suficientes demonstrasse a sentença.
De 1900 a 1930, grande parte da comunidade matemática mundial acreditou na existência de uma matemática segura, fintaria, provadamente correta e livre de imprecisões.
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O MANIFESTO DE HILBERT
Hilbert acreditava que todos os problemas poderiam ser precisamente formulados em um sistema matemático formal, em termos de declarações que seriam falsas ou verdadeiras.
Se o objetivo de Hilbert fosse atingido, então qualquer problema bem definido (declarado
com precisão) poderia ser resolvido simplesmente pela execução de um algoritmo.
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KURT GÖDEL
 Kurt Gödel (1906—1978) foi um matemático austríaco, naturalizado americano.
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KURT GÖDEL E ALBERT EINSTEIN
Albert Einstein ao lado de  Kurt Gödel
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Em 1931, Gödel publicou seu famoso Teorema da Incompletude no “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”. 
Neste escrito ele demonstrou que nenhum sistema formal expressivo o suficiente pode ser consistente e completo.
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TEOREMAS DA INCOMPLETUDE
Kurt Gödel (1931):
	1. Se o conjunto de axiomas é consistente então
	existem teoremas que não podem ser provados
	nem refutados.
	2. Não existe procedimento construtivo que prove
	ser consistente uma teoria axiomática. 
Nenhum sistema formal expressivo o suficiente
pode ser consistente e completo.
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TEOREMAS DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL
 Em outras palavras, Teorema da Incompletude de Gödel diz:
“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por si mesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode provar.”
 
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TEOREMAS DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL
 Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no seu livro de geometria.
Mas eles são todos feitos sobre os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas que não podem ser provados.
 Esses 5 postulados estão fora do livro, fora do círculo.
 
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TEOREMAS DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL
 Você pode desenhar um círculo ao redor de um iPhone, mas a existência desse iPhone depende de uma fábrica que está fora do círculo. O iPhone não pode explicar a si mesmo.
Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são verdadeiras do que você pode provar. 
 
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PARADOXO DO MENTIROSO
 Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do Mentiroso” — que é a afirmação:
“Eu estou mentindo.”
“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eu não sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então é verdade.
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PARADOXO DO MENTIROSO
Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da história da matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em uma fórmula matemática. 
 Gödel provou que qualquer afirmação requer um observador externo.
 Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a si mesma como verdadeira.
 
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PARADOXO DO BARBEIRO
 Diz-se que lá em Sevilha, havia um barbeiro que na porta de sua casa pendurou uma tabuleta com os dizeres:  "Faço a barba de todas e somente das pessoas que não fazem a sua própria barba" 
 A pergunta: "Quem faz a barba do barbeiro?" nos leva novamente ao ciclo auto-contraditório dos paradoxos. 
 
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PARADOXO DO BARBEIRO
 Se o barbeiro faz a própria barba, como ele só faz a barba daqueles que não fazem a própria barba, então ele não faz a própria barba, mas neste caso, como ele não faz a própria barba e como ele faz a barba de todos aqueles que não fazem a própria barba, então ele faz, paradoxalmente, a própria barba.
 
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TEOREMAS DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL
 "Se o sistema matemático é consistente,  sua consistência não pode ser demonstrada  mesmo por uma metamatemática  que seja mapeada dentro do sistema". 
 
Mais precisamente, temos:  "Se a aritmética é consistente,  sua consistência não pode ser determinada  por nenhum argumento metamatemático  que possa ser representado dentro do formalismo aritmético". 
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RESUMINDO
 Identificou o conceito de Geometria Analítica a partir de Descartes;
 Reconheceu a importância de Fermat;
 Verificou o Teorema de Fermat e a busca pela sua solução;
 Analisou a importância do Teorema da Incompletude de Gödel.
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PRÓXIMO ENCONTRO: 
AULA DE REVISÃO PARA A AV2
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Prof. Vicente Eudes
eudesmat@uol.com.br
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