Grau de Função Homogênea

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Grau de uma função
homogênea
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/12/2016 - Atualizado em 31/03/2017
Como saber se uma função ƒ (, y) é homogênea? E como determinar seu
grau?
Grosseiramente falando basta seguir dois passos:
Passo 1: Substituímos  e y por λ e λy respectivamente;
Passo 2: após a substituição no passo 1 manipulamos a função algebrica-
mente de forma a obtermos: ƒ (λ, λy) = λnƒ (, y).
Se obtivermos sucesso nos passos 1 e 2 então a função será homogênea de grau
n.
Exemplo 1: Verifique se as funções são homogêneas e em caso afirmativo de-
termine o grau.
a) ƒ (, y) =  · sen
‚

y
+
2
y
Œ
b) ƒ (, y) = cos
�
 + 4y

�
c) ƒ (, y) =  · n(y) + ye
d) ƒ (, y) = 2 + 2y2
e) ƒ (, y) = 3
Æ
2 + y2
Solução de A:
Passo 1: Substituindo  por λ e y por λy. Sendo assim:
ƒ (, y) =  · sen
‚

y
+
2
y
Œ
⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen
�
λ
λy
�
+
(λ)2
λy
Passo 2: Feita a substituição tentamos manipular a função a fim de
obtermos uma igualdade na forma ƒ (λ, λy) = λnƒ (, y).
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ƒ (λ, λy) = λ · sen
�
λ
λy
�
+
(λ)2
λy
⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen
�

y
�
+
λ22
λy
⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen
�

y
�
+
λ2
y
⇒ ƒ (λ, λy) = λ
‚
 · sen
�

y
�
+
2
y
Œ
⇒ ƒ (λ, λy) = λ1 · ƒ (, y).
Conclusão: A equação é homogênea e seu grau é igual a 1.
Solução de B:
Passo 1:
ƒ (, y) = cos
�
 + 4y

�
⇒ ƒ (λ, λy) = cos
�
λ + 4(λy)
λ
�
Passo 2:
ƒ (λ, λy) = cos
�
λ + 4(λy)
λ
�
⇒ ƒ (λ, λy) = cos
�
λ( + 4y)
λ
�
⇒ ƒ (λ, λy) = cos
�
 + 4y

�
⇒ ƒ (λ, λy) = λ0 · cos
�
 + 4y

�
⇒ ƒ (λ, λy) = λ0 · ƒ (, y)
Conclusão: A equação é homogênea de grau zero.
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Solução de C:
Impossível chegar a forma apresentada no passo 2. Logo não é uma
função homogênea.
Solução de D:
Passo 1:
ƒ (, y) = 2 + 2y2
⇒ ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2
Passo 2:
ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2
⇒ ƒ (λ, λy) = λ22 + 2(λ2 · y2)
⇒ ƒ (λ, λy) = λ2(2 + 2y2)
⇒ ƒ (λ, λy) = λ2ƒ (, y).
Conclusão: A equação é homogênea de grau 2.
Solução de E:
Passo 1:
ƒ (, y) = 3
Æ
2 + y2
⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æ(λ)2 + (λy)2
Passo 2:
⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æ(λ)2 + (λy)2
⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æλ2 · 2 + λ2 · y2
⇒ ƒ (λ, λy) = 3pλ2 3Æ2 + y2
⇒ ƒ (λ, λy) = λ 23 ƒ (, y).
Conclusão: A equação é homogênea de grau igual 2/3.
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