aula05 fge4

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Fluxo de um campo vetorial e a Lei de Gauss 
Bibliografia e figuras: Sears & Zemanski, 12a ed. cap 22
• Nesta aula vamos aprender a:
• determinar a quantidade de carga no interior de uma 
superfície fechada examinando o vetor campo elétrico
• aprender o que é fluxo de um vetor (especificamente o 
vetor campo elétrico) e como calculá-lo
• Como relacionar a carga no interior de uma superfície 
com o fluxo do campo elétrico através dela -> Lei de 
Gauss
• Aplicações da Lei de Gauss
Simetrias em física
• A grosso modo, a utilização da simetria de sistemas físicos, 
nos ajudam a transformar problemas complicados em 
problemas mais simples de resolver.
• Exemplos de sistemas físicos simétricos:
• Cilindro, esfera, fios, planos
• O campo elétrico de um fio retilínio pode ser calculado 
por sucessivas integrações (como fizemos) ou em poucas 
linhas se utilizarmos a simetria do sistema.
• A lei de Gauss nos ajuda muito nestes casos onde podemos 
utilizar as simetrias.
Carga elétrica e fluxo elétrico
• Até agora no curso, tentamos responder à seguinte pergunta:
• Qual é o campo elétrico produzido por uma uma dada 
distribuição de cargas em um ponto P qualquer?
• E se ao invés desta pergunta, nos perguntarmos o seguinte:
• Se soubéssemos como é o campo elétrico em uma dada 
região, o que poderíamos afirmar sobre a distribuição de 
cargas neste região?
Como podemos determinar a quantidade de carga elétrica que existe no 
interior da caixa na figura (a)?
Colocando uma carga de teste q0 
nas vizinhanças e mapeando o campo 
elétrico que atua sobre esta carga 
vemos que existe uma força F=q0E.
Neste caso, o mapeamento mostra que 
o campo elétrico é produzido por uma 
única carga.
Se medirmos o campo elétrico E na superfície da caixa conseguiremos 
determinar o conteúdo interno da caixa.
Carga elétrica e Fluxo elétrico
O fato de existir uma carga interna positiva ou negativa dentro de 
uma superfície fechada faz com que exista um fluxo do campo 
elétrico para fora (para dentro) desta superfície. E quando a 
carga líquida for nula dentro da superfície?
Qual a relação entre o módulo da carga elétrica e a 
intensidade do fluxo do campo elétrico através de uma 
superfície fechada?
Se o valor da carga q aumentar, o fluxo 
aumenta proporcionalmente.
Se as dimensões da superfície aumentam, o 
fluxo não se altera....
Cálculo do Fluxo Elétrico através de uma 
superfície fechada.
Seja S uma superfície fechada. O fluxo do campo elétrico 
através desta superfíce é definido matematicamente como:
~E
nˆ
da
S
� =
I
S
~E · nˆda
Caso mais simples
Quando a superfície for conhecida (simétrica o suficiente) e o 
campo elétrico bem comportado podemos simplesmente 
escrever:
� = E.A
(P1-L6) Um quadrado de aresta 10cm está centrado no eixo x em uma 
região onde existe um campo elétrico uniforme dado por E=200kN/C 
na direção positiva do eixo x.
a) Qual o fluxo elétrico deste campo através da superfície do 
quadrado se o vetor normal à superfície está também na direção 
positiva do eixo x?
b) Qual o fluxo elétrico através da mesma superfície se o vetor 
normal à ela faz um ângulo de 60o com o eixo y?
Exemplos
(P3-L6) Um campo elétrico é dado por E= 200N/C na direção x (x>0) e 
por E=-200N/C na direção x (x<0). Uma superfície imaginária 
cilíndrica com comprimento igual a 20cm e raio R=5cm, tem seu centro 
na origem e seu eixo ao longo do eixo x, com uma extremidade em x=
+10cm e a outra em x=-10cm.
a) Calcule o fluxo resultante para fora desta superfície.
b) Calcule a carga interna a esta superfície.
 
Exemplos
(P4-L6) Uma carga puntiforme q=2µC situa-se no centro de uma 
esfera imaginária de raio 0,5m. a) Determine a área da superfície da 
esfera. b) Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos 
da superfície da esfera. c) Qual o fluxo do campo elétrico devido a 
esta carga através da superfície da esfera? d) A resposta do ítem 
anterior seria diferente se a carga puntiforme fosse movimentada 
para algum outro ponto interno (diferente do centro) à superfície? e) 
Qual é o fluxo resultante através da superfície de um cubo de 1m que 
envolve a esfera?
A Lei de Gauss
A Lei de Gauss relaciona o fluxo líquido de 
um campo elétrico através de uma 
superfície fechada à carga líquida contida 
no interior desta superfície. 
!
Trata-se da primeira das equações de Maxwell, que unificam a 
eletricidade e o magnetismo. Esta equação vale somente para o vácuo 
(ou para aplicações práticas para o ar).
� =
qint
✏0I
S
~E · nˆda = qint
✏0
Algumas observações
• Note que a carga interna à superfície fechada é a soma 
algébrica de todas as cargas contidas na superfície. 
• Portanto, ela pode ser positiva, negativa ou mesmo nula.
• O sinal da carga é importante pois nos conta sobre o fluxo 
líquido através da superfície fechada. 
• Se q > 0, o fluxo líquido sai da superfície. 
• Se q < 0, o fluxo líquido entra na superfíce.
• Cargas externas à superfície, não importa o quão próximas, 
não estão incluídas na Lei de Gauss e portanto, não entram 
nos cálculos!
O que podemos dizer sobre o fluxo elétrico e 
a carga elétrica nas superfícies S1, S2, S3 e 
S4?