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25/02/2017
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Prof. MSc. Wanys Rocha.
Notas de Aula 2
Disciplina:Cinemática dos Mecanismos
Carga Horária: 60 horas
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
OBJETIVOS:
 Estudar o movimento de corpos rígidos e
mecanismos no plano (translação e rotação).
 Estudar o movimento relativo (velocidade e
aceleração relativa, centro instantâneo de velocidade
nula)
 Estudar o movimento relativo de sistemas articulados
(referenciais em rotação).
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TRANSLAÇÃO:
Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua
direção inicial, durante o movimento.
TRANSLAÇÃO RETILÍNEA:
Quando as trajetórias de quaisquer dois
pontos do corpo ocorrem ao longo de
retas eqüidistantes.
TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA:
Quando as trajetórias se dão ao longo
de linhas curvas que são eqüidistantes.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
ROTAÇÃO:
Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno
de um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos,
exceto os situados no eixo de rotação, movem-
se ao longo de trajetórias circulares.
MOVIMENTO PLANO GERAL:
Ocorre quando o corpo executa uma
combinação de uma translação e de uma
rotação.
A translação ocorre num dado plano de
referência e a rotação ocorre em torno de um
eixo perpendicular a esse plano de referência.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
ELO BINÁRIO – possui dois nós
ELO TERNÁRIO – possui três nós
ELO BINÁRIO – possui quatro nós
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
JUNTA – é uma conexão entre dois ou mais elos (em seu nós) que
permite o mesmo movimento, ou movimento parcial, entre os
conectados. As juntas também são chamadas de PARES
CENEMÁTICOS.
Par inferior são juntas superfície de contato.
Par superior são juntas com ponto ou linha de
contato.
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
Os seis pares inferiores
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Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 Juntas completas – 1GDL (pares inferiores)
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Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
Nome (símbolo) GDL Conteúdo
Revolução (R) 1 R
Prismática (P) 1 P
Helicoidal (H) 1 RP
Cilíndrico (C) 2 RP
Esférico (S) 3 RRR
Plano (F) 3 RPP
Os seis pares inferiores
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 União de rotação e deslizamento (meia junta ou RP) – 2 GDL
(pares superiores)
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 A ordem da junta é igual ao número de elos ligados menos 1
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Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 Junta plana de rolamento puro (R), de deslizamento puro
(P), ou de rotação e deslizamento (RP) – 1 ou 2 GDL (pares
superiores)
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Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 Desenhando diagramas cinemáticos
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 Desenhando diagramas cinemáticos
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Rígidos e Mecanismos
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS 
CINEMÁTICAS
 Desenhando diagramas cinemáticos
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
Translação 
Curvilínea
Movimento 
Plano Geral
Translação 
Retilínea
Rotação em Torno de 
um Eixo
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
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Rígidos e Mecanismos
TRANSLAÇÃO
ABAB /rrr 
ABAB /rrr  
AB vv 
a) Deslocamento
b) Velocidade
AB aa 
c) Aceleração
OBSERVAÇÃO: todos os pontos
de um corpo rígido em movimento
de translação têm a mesma
velocidade e a mesma aceleração.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma
translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória
circular, mantendo sempre sua posição na horizontal.
Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a
mesma aceleração.
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Rígidos e Mecanismos
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Posição Angular de r
É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência
fixa até r.
Deslocamento Angular
É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um
vetor de infinitesimal d.
Velocidade Angular ()
É a taxa de variação da posição angular.
(rad/s) 
dt
d
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Rígidos e Mecanismos
Aceleração Angular ()
Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular.
dt
d
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dt
d
dt
d
 dd 
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE
tdtddtd
dt
d
c
t
occc
 

 00
 
Velocidade angular em função do tempo:
Posição angular em função do tempo:
 
 
22
)(
2
00
2
00
000
0
tttt
tdtdtddttdt
dt
d
cc
t
oc
t
occ

 


Velocidade angular em função da posição angular:
)(2
)()(
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00

 




c
ccc dddd 
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Velocidade do Ponto P
A velocidade de P tem módulo que pode ser
obtido a partir de suas coordenadas polares
   rvrvr 
Como r é constante, a componente radial vr
=0 e, portanto
  rvv 
Pelo fato de que , então 
rv  
Como mostram as figuras, a direção de v é
tangente à trajetória circular.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também
pode ser obtido pelo produto vetorial de  por r
rωr v  
O sentido de v é estabelecido pela
regra da mão direita
A ordem dos vetores no produto deve
ser mantida. A ordem trocada fornece
r=-v
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Aceleração do Ponto P
A aceleração de P pode ser expressa em termos
de suas componentes normal e tangencial
ra
dt
rd
dt
dva tt 
 )(
O vetor at representa a taxa de variação temporal da
velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P está
aumentando então at tem sentido de v. Se a
velocidade está diminuindo at tem sentido oposto de
v. Se a velocidade é constante at é zero.
O vetor an representa a taxa de variação temporal da
direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado
para o centro O.
ra
r
rva nn
2
22 )( 

 
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Usando formulação vetorial, a aceleração de P também pode ser
definida diferenciando o vetor velocidade:
Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a:
r-rαaaa 2ωnt 
O módulo de a é dado por: 22 nt aaa 
rrωωa
rαa
2)( 

n
t
  



 



 
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d rωrωrωva
vωrαa 
 rωωrαa 25/02/2017
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Movimento Angular:
- Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação
- Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis , ,  e t, uma
terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes
equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis:
dt
d
dt
d  dd 
- Se a aceleração do corpo for constante, então as seguintes equações podem
ser usadas:
tc 0 2
2
00
tt c )(2 0
2
0
2  c
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Movimento de P:
- Em muitos casos, a velocidade de P e os dois componentes da sua
aceleração podem ser determinados pelas equações escalares:
rv  rat  ran
2
- Se a geometria do problema for de difícil visualização, as seguintes
equações vetoriais poderão ser usadas:
rω v  rαa t rrωωa
2)( n
O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses
vetores, bem como  e , devem ser expressos em termos de seus
componentes i, j, k.
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas
2211 rrvP 
A velocidade escalar é dada por:
A aceleração tangencial do ponto P no
contato entre as engrenagens também é
a mesma para as duas engrenagens:
2211 rrat 
Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre as
engrenagens
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
Polias e Correias
Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia
maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo
(desde que a correia não escorregue). Logo:
2211
2211
rrv
rrs
 
 


2211 rrat 
A velocidade do ponto P na correia é a
mesma para cada ponto na correia.
A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma
para cada ponto na correia.
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
Enrola-se um cabo em torno de um disco
inicialmente em repouso, como indica a
figura. Aplica-se uma força ao cabo, que então
adquire uma aceleração a=(4t)m/s2, onde t é
dado em segundos. Determine como funções
do tempo:
(a) a velocidade angular do disco e
(b) a posição angular do segmento OP, em
radianos.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
SOLUÇÃO
1) Dados do Problema:
2) Pede-se:
m2,0r;t.4a;0e0 PP00 t 
??  
)s/rad( t.20
2,0
t.4
r
a
r.a 2P
P
P
PPPP
t
t

  
 t
0
t
0
2
P
t
0
2
PP
0
P
P
P )s/rad(t.10t2
20tdt20dtd
dt
d
  
 t
0
t
0
3
P
t
0
3
PP
0
P
P
P radt33,3t3
10tdt10dtd
dt
d
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
Usa-se o motor para girar uma roda
com suas pás no interior do
equipamento mostrado na foto.
Os detalhes estão na figura abaixo à
direita.
Se a polia A conectada ao motor inicia
seu movimento a partir do repouso,
com uma aceleração angular A=2
rad/s2, determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto P
da roda B, após esta ter completado
uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão
não escorregue na polia e nem na roda.
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
SOLUÇÃO
Dados do Problema:
Pede-se:
0e0;m4,0rm15,0r
rev1;s/rd2;0e0
00
C00
BBBA
A
2
AAA


?? 
rad28,62.1A 
rad36,2 
4,0
15,0.28,6
r
r.r r B
B
A
ABBBAA 
Como não há deslizamento da correia: 
2
B
B
A
ABBBAA s/rad75,0 4,0
15,0.2
r
r.r r 
CCCCC

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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
 
0C0 BBB
2
B
2
B 2 
s/m 752,0v 4,0 . 88,1vr v PPBBP 
A velocidade do ponto P é:
2
P
2
B
2
BP s/m 414,1a 4,0 . 88,1r a nn 
Sendo a aceleração angular constante, tem-se:
s/rad 88,136,2 . 75,0 . 22 BBBB C 
A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração:
2
PBBP s/m 3,0a4,0 . 75,0r a tCt 
2
P
222
P
2
PP s/m 445,1a 414,13,0aaa nt 
Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
O mecanismo para movimentação
do vidro da janela de um carro é
mostrado na figura ao lado.
Quando a manivela é acionada
gera-se o movimento da
engrenagem C, que gira a
engrenagem S, fazendo com que
a barra AB nela conectada eleve o
vidro D. Se a manivela gira a 0,5
rd/s, determine a velocidade dos
pontos A e E, nas suas trajetórias
circulares e a velocidade Vw da
janela quando ϴ igual a 30 graus.
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Cinemática de Corpos 
Rígidos e Mecanismos
SOLUÇÃO
Dados do Problema:
Pede-se:
mm200BA
;mm50r;mm20r;s/rad5,0 SC
2
C


?ve?vv wEA tt 
s/rad2,0 
50
20.5,0
r
r.r r S
S
C
CSSSCC 
Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma:
s/m04,0v 2,0 . 2,0vBA . vv AASEA 
Como os pontos A e E têm movimento de translação
circular, suas velocidades são:
s/m035,0v )cos(30 . 04,0)cos( . vv W
o
AW 