ÁLGEBRA PRIMEIROS PASSOS, 1919

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ALGEBRA— ^
o. DE SOUZA REIS
Prcr^ ,or auô.íííuío da ColUgio Pedro 11 . Docente
_ _ E i e o l a N o r m a lDO MESMO AUTOR
■2Í0>
OU .NtRODüCçAo .o estudo desta SC.ENC.A
para a solução de rroülemas.
'^ ""'^ Iclos e problemas
Situados e resolvidos.
Adnni moraes f i ra a esco la pr imar ia . AJrmf t t * ' - , 7~» •T'rzmezros Passos
p r o f s n i i » i m p r e s s o s , p a r a o s
pela D. G " ° da arliculatão. rUloplaeios
Manual de Geoff Collecção, carloiiad;u.
PrinirriasT^ i^ yTUni volume brochado ^ P"''"''"
Manual d<. rs ,
R u d . . n e n -
"leiilar das escolas ^ Para uso do ciiiso complf-
Insirucçáo PabUca^TlT-
I n f a n i fi ' j c - n l o i t a d o . .Afurncs, com uni p^ re^ t °® Quadros
^'^aptadapela D r Olyinpia do Coutto.-Í^ Ç5<^ cUs formas <on ' '"''''''"'^ ^^ '*P"^ >ltca- Um vol. carl.«ludo descriptivo''?--—íiitroducção
5 0 0 e ' ° B a r d e s u b s t ^ ' ^ o " '
"•mel,CO. Com "ui7„.v"r* "ralica do calculo ari-
0°»'™ '^'^ ^^^ '^' P'b^D.a. de0^'umc cartonado. '^ ""'P'etimente refiindida.
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f7li'
J,00" CaKMATDlGnAL52o
-o o.v,„o,
1919
P R E F A C I O
E' este livrinho a realização pratica daqiiillo que coiisti-
uiu o objecto de minha conferência, realizada na Bibliotheca
jl^acional, na série institiiida pelos inspectores escolares doDistricto Federal.
Esse trabalho, intitulado — Os dois ultimas anuas de
^^dhmetica na escala primaria, segunda a Carnmissãa dasQuinze —, recebeu dos competentes os mais desvanecedores®ncomios ; não, certamente, pelo que foi, mas pela intenção
|COni que q fiz. í^ eproduzindo-o como prefacio, está feita a
justificação desta obra.
'Uiais'd ^""ufessores. Minha presença, aqui, hoje, a ninguémIment ° ^ espante- Avêsso, por tempera-uu[ue° ^ E> "le exbibir perante publico maisfecuse°^° ° minhas aulas, reiteradas vezes^vos dirigir a palavra, principalmente em
aure T em que já haviam brilhado os nomes° ados de Afranio Pei.xoto, Cabrita e Francisco Vianna.
I senão^ '' urinai, porque me foi assegurado que não se tratava
aignnia ^ referir, em a linguagem mais desataviada,e n,, uoisa elementar que me tivesse sido dado conhecer,Mue vos interessasse.
"unieros^ ^ ustava, porém, de mim, a idéa de que tãoi usperar^° auditório se congregasse nesta sala, e ousei até
familiar f'vessemos mais que uma reunião quasi'ferrad'^ ' "Sunu'-me, e ahi tendes porque, ainda neste"^■0 momento, me sinto quasi inhibido de falar.
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
O assunipto que escolhi não comporta dlvagaçõeS
rhetoricas, nem surtos philosophicos ou poéticos. Serei, pois.absolutamente simples, renunciando ás pompas do estylo á
vangloria de ostentar erudição e á possibilidade de polvilíiarde leve humorismo esta palestra. Falarei para os que querem
realmente ouvir, e pela materia se interessam.
Não será, de certo, necessário dizer-vos que o Relatório
daCommissão dos Quinze, aproposito da educação primariaé o grande compêndio, a biblia da pedagogia moderna
americana. Neste livro tão pequeno, nesta brochura de duzentos paginas, cuja traducção e divulgação deveria emprehen-der a Directoria de Instrucção Publica, estão admira-
velmente condensados todos os princípios directores todas
s ã o f o r a m d e s i g n a d o s
em termos claros e positivos as solnr-r " ' ""^ f^ ridas
praticas. vos as soluções que parecem mais
propSiÍo d^ Sn^ L^ raft^ mar''*"''" ' ° 'era o Commissario ou nr' / '''Estados Unidos, vereis òue lá Educação doscensuram a difficuldade e a confusToT
faciocinios necessários ® ^ne se revestem os
P R E F A C I O
/
faciocinios necessários para sp" revestem os
1 '
'«■.«.Lnte Cltm.'."'™"'' »" quesicea
cumstancias, que o alumno, depois de um grande esforço
cerebral, do exercício não aufere proveito mental apreciave .São questões cujo enunciado parece, freqüentemente,
uma charada, e cuja soiiição se assemelha a um ispara a
jogo de palavras sem sentido connexo.
Todos os dias se nos deparam problemas des e gene
ao mesmo tempo fáceis e difficilimos. Trago-vos um
"Se á metade do numero de dias decorridos o 'juntarmos 1/3 dos que ainda restam, obterenios^o numerdias decorridos. Em que dia do anno estamos ? ,.
O problema não 6, positivamente di ici . '
porém, e pedi-lhe o raciocínio. Conto que nao o rmuito melhor do que o seguinte, que me foi a o cr •"Representeinos por o """lero de d-as deco r.d^e
juntando á metade dos dias decorridos uma ^ '
obtemos o numero dos mesmos dias decorri o ,
o q»p i™ian,os 6 a ...tra n.el.da. Mas
juntámos 1/3 dos dias que re=tam, con portanto
dias que restam representa i/j dos dias cc >
% dos que restam representam /•> A
d e c o r r i d o s . d e c o r r i d o s , a a / j .
S e j u n t a r m o s - /■ . , n u m e r o ^ i n t e i r o ,
numero dos dias que restam, decorridos. Dahi,
representado por a/.^ — /a orc; dias E- representa
% dos dias decorridos representam 365 dias, /.5 vezes menos, etc., etc." extremamente com-
Vêde que, escripto, o se, Qncrendo dar-lhe
Plexo e confuso. Será mcomprehe j^ ar g repetição deum. Io,ma om tan.o c.idad., o "l™"» "'f
palavras e a referencia de todas as escasso,
P o d a , l . d a r . v o a . a e o e a p e d o .
numerosos exemplos de char ^ aiurnnos de varias
inventadas, mas colhidas em ca
e s c o l a s .
IIv i i i A L G E B R A — P R I M E I R O S P A S S O S
E' para evitar essa acrobacia de palavras e esse
trabalho excessivo do cerebro, que, entende a pedagogia
moderna, deve-se trazer para a escola primaria o methodo i
a l g e b r i c o , '
Não ha, Snrs. Professores, como justificar aquelles que,
achando a arithmetics uma valiosa gymnastica mental, delia
abusam, convertendo-a em instrumento de supplicio. Averdade é que, se a consideramos como meio de desenvol
vimento, ou de treinamento cerebral-, esses raciocínios são
exercícios estafantes, e se a consideramos sob o ponto devista das meras applicações praticas, são meios excessi
vamente morosos e difficeis.
0 ^ m e m b r o s d a
Ss è dL ^ PP'i^ dos os bons metho-dos. distribuído ludiciosamente o tempo nos annos
ç J J Z l T ' " ' « > « » eTres annos antes, jà a Commissão dos Dez i.,. tdos estudos a respeito do ensino secundarin '"zumbidatraduzido pelo meu eminente mestre Siir" s'^
e publicado na Revista Ppflnnn ■obra de valor nãotmmuntÍISnr' ^da algebra systematica deve começar ao""" ~ r"' °
mas, em connexão com o estudo rip -A loatorze annos,devem ser familiarizados desde m os alumnose os symbolos algebricos e c ' as expressões
equações simples ' niethodos de resolver
. - - ' o" l . g o s o b r e , o o s e u
P R E F A C I O
na sua Arillimctica, curso superior ; Wentworth, o grande
pedagogo a quem se devem, entre outras obras ^
Primeiros passos na algebra ; John Walsh, nos ^
praticas de aritiinietica, e finalmente, last ni '
enierito professor Francisco Cabrita, em dois ar '
publicou em a Escola Primaria, apoiando c deSe.n\o
assumpto, de que eu anteriormente me occupara.O conhecido e conceituado mestre, a quem ^
acostumei a render as mais vivas homenagens ee de profundo respeito, o >^ atalhador franco,
^ desinteressado de todas as campanhas
textualmente, ao terminar um daquclles artigos ."E- claro que a algebra que se pretende meu. ^
professor primário como subsidio de alto %aansino de arithmctica é limitada ao " " ° ^ j^ gcimento de
equações numéricas, independentemen ^ calculo
monomios, binomios, trinomios, " niultiplicação
eorrelativo. As theorias da addição, su ra jjgvem ser® divisão de expressões algebricas P° ^ ^ urso se-
rbspensadas, ou pelo menos adiadas l
C ü u d a r i o " . ' o u n ã o , s e s e
Não tenho, pois, cm duvida se s ^ rudinien-
Pode ou não, introduzir na escola prima i gp[,,ção de certos
tarissimo da algebra, sufficieute P®^ chegar logo as
problemas. Concedo que não ger, sem difhcul-^^uações do 2" gráo, mas as do P -a
•^iide, apresentadas. a vencer, e é ®
Ha, porém, um grande antipathiarotina. Eu bem conheçoa o' g, o estu
victinia este ramo da niathem ^ algebra o discipu -^
algebra quasi sempre indispõe álgebra °\omo
N , „ b i z e , O - „ , . » b «
das escolas primarias. He verdade. H
Confissão, mas sei que fa a
" A L G E B R A - P R I M E I R O S P A S S O S
a consideral-a como uma disciplina alheia á escola pri
maria, e é tudo.
Mas eu vos asseguro que não ha propriamente — a
algebra, mas o methodo algebrico, que podeis ensinar,
porque ensinaes coisas infinitamente mais difficeis. Podeis,e deveis, porque as matérias de vossos programmas crescem
todos os dias, o alumno tem de aprender cada vez mais e
em pouco tempo, e nós não temos o direito de o privar de
dífficuirn ^ commodo de vencer numerosasddficuldades mathematicas. E' porque o ensino da algebranao está em vossas mãos, Snrs. professores das escolas
Se que'se tlT preparatoriese que se tira exame de qualquer modo, e que nas escolas
a primeira vista uma equação das mais fáceis.
Sim, podeis ensinar algebra, desde que não ultra
passeis os limites marcados pelo relatório dos O.nn ,quantos pedagogos trataram do assumpJo ^"'"'' '
Veiamos agora, bem pratieamente. como nnri •duzir vossos discipulos nos primeiros n ^
Descerei, ainda mais, á planície da r algebra,aulas de crianças. Perdoae-me essa » chaii das
com que não vos quero offender „ *^ ssiva simplicidade,
que desejo é evidenciar como sL. competência. O^ "âc ser o conhecimento 17"'^
•nteiros e quebrados, pode uma • ° operações sobre
resolução das equações ' esta africa da
P R E F A C I O * '
dispensamos de escrever. Na algebra elementarissima da
escola primaria não lidamos, habitualmente, em cada pro
blema, senão com uma lettra, por meio da qual representamos3 quantidade desconhecida, o numero que satisfaz ás con
dições do problema. Tal numero 6 representado pela letra X.
''dais raramente necessitaremos de outros sj-mbolos, e virão
° y, o 2, etc.
Para ensinar intuitivamente ao alumno o modo de lidarcom este symbolo x, façamol-o representar por x um objecto
cujo nome ignore, e em seguida contar numerosos des
ses objectos. Elle contará: uni objecto, dois objectos,
'■■cs... quinze objectos, ou coisas, ou emfim : um x, dois X,
'■"CS X... quinze x.
Pode pois o discípulo escrever
15 X,
•^0 mesmo modo que escreveria
15 lapis
ou 15 canetas.
Supponhamos agora que, contados em um log ,
1 2 X
c Cm outro logar
7 X.
Qualquer criança nos dirá quantos objectos da espe**istem ao todo, effectuando a somma
,2, + 7,= IÍ"-
ie X
x i i A L G E B R A - P R I M E I R O S P A S S O S
Qualquer criança nos dirá também quantos objectos nos
sobrarão, caso retiremos dos 12, que possuímos, 7 objectos
da mesma especie;
1 2 x - 7 x = 5 X .
Estamos assim, pouco a pouco, penetrando na algebra.Não será um passo muito grande imaginarmos que unia
pessoa possue 10 objectos da especie X, adquire mais 6, dá
3, compra mais 8, perde 5, o que assim se representa :
1 0 x - | - 6 x - 3 x + 8 x - 5 X.
Qualquer alumno. até da classe elementar, saberá oro-curar com quantos objectos fica afinal a pessoa: sommando
aquillo que possue e que adquire, sommando aquiUo de one
se desfalca, e avaliando a differença :
10 X
G x
8 X
2 4 X
3 X
5 X
8"x
P R E F A C I O
V
2 4 x - 8 x = 1 6 x .
p o r X « ^ " - ' t i d a d e r e p r e s e n t a d aPncar,imaginemoro ^gEe:'" "'^
tjbjectosdaqueUes qLrei''^^' ^todo ?" ^ representamos por x. Quantos x ha ao
é um?, coisa, não bMitará^^^ol^'^^ "^^^^^ convencido de que x
4 maçãs repetidas 16 vezes, ou 4X16 — 64 maçãs
cm 16 caixas, cada uma com 4x, sabe que ha ao todo
4 X repetidos 16 vezes, ou 4 x X 16 = 64 X.
Da divisão, é ocioso tratar, pois está implícita na
propria multiplicação. Assim como de 64 maçãs, distribuídas
por 16 caixas, cabem 4 maçãs a cada caixa, assim
6 4 X - Í - 1 6 = 4 x .
E assim como de 64 maçãs, distribuídas em grupos de
"^ 3Çãs, formamos 16 grupos, assim
64 X -4- 4 X = 16.
Entremos agora a considerar a sonima e ac expressões envolvidas por parenthesis, que encon
® ^ °6a hora em algebra. Apresentaremos, para es
Puatro pequenos raciocínios, segundo faz 3
rt homem tem 10 dollars, 6eP°'® • 3ars, e ainda depois mais 2 dollars, tanto lhe fa I°"ars aos 10 que possuía, e depois 2 aos 13, com
Com os 2 e juntar a somma aos 10.
' O primeiro processo será representado por ~f"
° segundo por 10+(3 +2)
eportanto 10 +(3 + 2 ) - ^
. 2) "Um homem tem 10 dollars e juntar os 3' Porém, paga immediatamente 2. Tan 2 e juntar o
10 e da somma retirar 2, como dos 3 ref.ra
sobra r.
"Portanto
,0+(3-2)-10 + 3-'-
!
x i v ALGEBRA ~ PRIMEIROS PASSOS
sHSWWít f fe rs
"Portanto
10-(3 + 2) = ,O_3__2.
4) "Urn homeni tern 10 dollars p.., o .e precisa fazer um pagamento de 3 h ' " ' ^
n o t a s d e 5 d o l l a r s o n e H - i p " ' " a
d o l l a r s . ' r e c e b e n d o d e t r o c o 2
"De quanto foi o pagamento? De 5 - 2
10-(5~2)=IO_ 5 + 2.
P R E E A C I O
que podem ser generalizados :
4 + (x+ 1 )
4 + ( a - - l )
4~(a-+ 1 )
4-(JC- 1 )
® assim por deante.
. v + ( 2 a - + í )
. v + ( 2 . v - l )
3 A — (2 X + I )
2a - - (2A - - 1 )
expres'^ 'í°'^ r^ -^ e^rcitados os discipulos com estas: saber sabemos, mas elles não precisam de' no/Tj/os''"^ binomios, dar-lhes-emos exercicios com tri-
• rine facilmente serão reduzidos ao caso anterior:
assim
5 A + (2A- + 3-2)
7 a —(10 -2 A--õ)
Mais
por deante.
nni passo para a multiplicação de um numero por
^>-(4-3), etc.
u t i i a P Y p a r a a m u l t i p l'^ pressão. Seja. por exemplo,
(5 + 3)X4 OU 4(5 + 3).
renef!p?'^ '®° repetir quatro vezes a parcella (5 + 3),
'^ol'nha^s° representaremos graphicamente por meio e^^■se claraniente que
''(5 + 3) = (4x5) + (4X3) = 20+ 12 = 32.
Seja agora
n^id,
(8 — 3)X4 ou 4(8 — 3).
,T'»I.-S8 de repelir 4 «e.e, . p.™"" '
+08, o que representaremos ainda grap 'ca
Veja'Se o texto do compêndio.
*vi ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS
Vê-se claramente que
4(8-3) = (4X8)-(4X3) = 32-12-^20.
Façamos, pois, numerosos exercícios como os seguintes:
í í í + i ; + 5 ( 2 - X )
P R E F A C I O
. s t ; - " ' " - -
0+?= I
5 X ? = 30
1 8 - í - ? = 2
? - 7 = 6 .
3 + x= 7
9 — x = 6
5 X X = 30 ou 5 X = 30
18-^^= 2 ou 18=. 2
X ^
^ - ^ 7 = 6 o u 6 .
questões, nart^ ráTetomenoTr ^ ""ia desta®Terá resolvido uma equação comVXTour'd''"T— sem o perceber, mas inn t, J°"fdain fazia prosa,
algebristas. ^ao bem quanto o maior do5
E' então chegado o momento de apresentarmos aos
ahuiinos um meio extremamente fácil para que comprehendam o que é a equação.
Eiles conhecem a balança, para que serve, e como
iioni ella se opera.
Supponhamos collocados na concha da esquerda 3uquelles objectos a que chamámos .v. Ha, pois, no
0 peso desses tres objectos é, ainda imaginado,
Sranimas. Se collocarmos na concha do lado direito pesos
"^'Valentes a 200 grammas, o travessão da balança ficara em
quilibrio, e este eqnilibrio será representado pela expressão
3 X- = 200.
Podemos agora dizer ao aliimno, sem definição '
expressão de eqnilibrio é uma equação; que Jt o primeiro o a da dirdl. o segundo
'ueinbro.
Q ^"'loquemos no prato da esquerda, alem ^ahi se encontram, um peso de 50 conio
ZV. Descerá o p;ato, 1 haverá desequ.hbrio.^ Coii ^'^gir esse desequilíbrio? Naturalmente, 25.° da direita outro peso de 50 _„jiibrio, que
equivalente, emfini. Haverá de novo equ.hbr
'""esentaremos assim ;
3x + 50 = 200-f 50.
1° discípulo acceitará que a ambos7"Ofõo podemos ajuntar a mesma quan prato
. Petircmos agora este peso de 5 ® que se corHavaíl „ov.,ne„.e a... p.'»STa logo qiie se retire, do os menideos de° discípulo acceitará que a am ..rr t^idade-
''"«Cão se pode subtrahir a mesma qua
q u e
á
x v l i i ALGEDRA - PRIMEIROS PASSOS
s5o súfficicMtes parr^ resoUic"" enunciados
comprehender, mas min i''° Paçaniol-oscompêndios comnums de algebra
conseqiiencias, que serd"anrer-°Tresullani algumasde resolver as equaScí ' " "
-eja a equação
14 X- ■ 11 = 5 .Y + 70.
( « )
Dentíodo;;!!^ ::';::^ ° -14ondo.
yO sao termos do 2" membro ""da equação (a); ' 11 a ambos os membros
O U
'^^ -^'■ + .1 =5x + 70+n
14x = 5x + 70-|_]] ( b )
: f ' ' f i ' - 1 » « 1 . » p „ .
14X-5.Y: = 70 +
( O
P R E ! A C I O
x i x
s eEstas duas transferencias, que eifectuanios, c q
basearam nos dois primeiros princinios,
'^'onsposiçíw de lermos, transposição que e coinei
sempre que tivermos .v nos dois membros da equaçao.
Eesta equação ( o ) é íacil tirar:
S I n9.v.= .Sl . ■. .v-=-- t, =4.
Seja aagora a equação
3 x — 21
-1
Aqui temos, ;rarn ser dividido por 4, "diiyy' -irepresentamos por 3 .v. Se o quocicnte da üi ' V' ^r^acção y fôr multiplicada por 4, que lei em ^
3^ -=-X4. Ora, dividir e multiplicar, ao '"y quantidade,«^mitidade por um numero não altera es
portanto
= 3 X.3 V * ^ ^ k j ^
Mas se multiplicarmos por 4 ° y'gn,'o segundo, par^r
c^tiiação, precisaremos de multiplicar 'rpie não se rompa o equilíbrio. Por n'
X4 =
o u
3 X ^
8 4
3
21 X 4
8 4
. ^ 2 8
algebra ~ PRIMEIROS PASSOS
Seja ainda a equação
' + T+-4--^
que pode ser escrlpta
• 3 4 6
3 , 4 e 0 ,
"""PP"-»:.». os dono.
™P»P os .««dsospos.a.
OU '2A--f-8Ar + 9;c^5g
2 9 A - = 5 8 5 8 _
2 9 ^ —da resolução dé^SqueÍ è\Tação"d''"''■"
uma incognita: ^ Primeiro grau com
os expellir. ° denominadores, e trate de
™™Sr£:or;:rp- p.«
Asseguro-vos ^
esiSoT^arr''''''""'' P^ Ííírianç'?"^vem não Só , '''°'ver equações p'r'
também grande „estimulo para T ^-'^orcicio
P R E F A C I O
Todas as equações devem ser obtidas no
solução de problemas, e não dadas como exercício
ramente abstractos.
Todos os problemas apresentam, geralmente oo" ^
niasia de palavras, certo numero de relações
incognita e as quantidades conhecidas. Apanhada e Pnma dessas relações, teremos uma equaçao, 9 ^
fcsolver o problema. Tornar explicita, clara, essa jniaç
nquillo a que se chama pôr o problema em ^Pnra pôr o problema em equação? Nenhuma,
pratica de alguns problemas como o seguinte; ^ ^
" U m n e g o c i a n t e c o m p r o u u m d e 2 1n tres preços diversos. Pagou 1/3 do reban 1 ^
ranços a cabeça ; á razão de 19 ® ,g74 francos,dc 15 trancos. Revendeu todo o rebanho p „,„eiros se
ganhando r/j; do preço de compra. De quan
c o m p u n h a o r e b a n h o ? " , f á c i l .
Ninguém conseguirá fazer um racioci processo
^crrente, para este problema, se os como o
Cdinario, a que denominam arithme ic ■ processoconduziríamos para o emprego da equaçao, po^ncil, que parece algebrico: • 1/ e de outro
"O negociante pagou de certa p, vossos disci-
o s ■% V a „ , o s v i r , c o m o r
Pülos, que fracção do rebanho foi a
2
5
11_
15
(Io rebanho.
1 5
1 5
1 1 _
1 5
4
15
do rebanho.
x x i i AWtBRA - ,'HIMEIRÜS passos
primeirrpart"daq||",'fg° ."^«'"Prou .v carneiros; aque diviciiii "a compra, foi
® aegmida parle foi
3 3 c a r n e i r o , ;
■ 5-'5'carneiro,,
® 3 terceira parle foi
íi-de A-, ou carneiros.
parte á ra.ão de 19 fr. cada
2l ' y 3 ' 7 X francos ;
0^'"Prou a segunda ^ '«""■=19 Io eada carneiro, pago»
'^ Xx- ou francos;
comprou a (erceir.® d razão de l«í fr■ eada carneiro, pagou
15 vi£15' ou 4.V francos.- w - . « . U
nos ser-i
«"iocianie, ■3«'. saber
psgou, ao todo o
7x-J 38. r
5 +4 Jr.
PKEI AC/<)
Diz-nos o problema que o lucro foi de '.0 do preç
compra, ou
d e
1 O
o negociaute vendeu lodo n rebanho por 1-674
portanto
' j q V 1 „ 3 8 . V I a 3 ^ 1 — 1 ( 3 7 4 .7.v+4«^ +4.V-I- 5 {7-V+ 5
O ^
Resolvida esta eciuação, guc é facilinia, acbarc
.\- = 75, numero de cabeças do rebanho
Não vos quero tatigar ainda niais, ^ jg como tudo
vendo novos problemas, Esperimcntae
isto È fácil.
• dos os aiumnos
Sô depois de regularmente dar. como
com o methodo algebrico, é que „;,,.iivel dos numeres
Wentvvorth. a noção, que è imprescmd.ve ,"egativos. . . n,odo absolutamente
Vamos proceder, para isso,
pratico e intuitivo. , g se não sabe po
Todoalumno do 5» eni uma casa com
aprender, o que é uma conta c proposito, hgucmereial. Podeis fazer vários exermc.os
créditos e debites, e calculandoSe meu credito 6. por exemplo.
XJCIV
/M5.SOS
10
0 saldo vae
0 q u e 5Ò
e n t ã o c o n -
' ° 2, 0 saldo é
10-2 = 8.
«minnlrido"'"'"" """ "Isliilo aosmenla.
:?=?='O- 9=;í
M ' » - I O = o .Sí £5pr-:;? s;:::s
'O — 12
1 0 - 1 5
'"as desde n 20, etc.
® ^ e v e r . o u l t r a i v , .
'"®" re.speitr'^ '^ "'®' cntã^ " 1"^ " Cedito, eu co i-eç"' ' " ' a a " a s n o t a s , e s c r e v i a
" a seu favor . ,
passará a escrever " 3, 2, I, „
signaln.JalhVó?""'''' «ssa a i""' "' ""^^ '^ s^ivameiije: "'sa saldo gli!!' sentido pelo
6 , 5 4 3 , « ' " P " . m a s í .
' "^■-6,-7, etc.
P R E F A C I O
O Signal menos não é, pois, mais, em algebra, "Pum signal de subtracção, mas de mudança ® s*-''^ números
com vossos discípulos, exercícios a proposi ^ „rclia a
negativos, originados das contas-correntes ; ^ ,,^ ''da
partir de um ponto, para a direita, ou para a e q
ascensão ou descida da columna de mercun
metro, além e aquém do zero, etc. „„oiias deTende, porém, sempre em vista que se tra apums rfe
contagem, como se representa nas seguintes exp
e Y — 5 — ^4 - 7 = = - 3 , ^ r : ^ " ' i 7 v = 1 2 - 3 K V4 + 2-5=1 12-14A-17.V-1-
1 4 - 5 - 9 - 1 - 1 = 1
isto é, não vos transvieis Liisinando, já, as celeb
de signaes da multiplicação e da divisão.
Até agora considerámos ^P®"^ incognita.
resolvem por meio de uma equaça ji^ ^^ gnitas perfei-
Alguns existem, porém, em que fastidiosa lei-
taniente independentes. Para encur a ^ ,„cnitantes.
t i i r a , , r , c f i t n r p í i i m . m a s a p e m
independentes. Para encur ^ resultantes.
tura, não vos citarei um, mas apenas as p^gga
Havendo duas incognitas taes, qu equaçOes. que
deduzir da outra, precisaremos
formem um systema.
2 x - y =
x-l-33'=lf
são duas equações que constituem equações, eu vos
P.r. ™olve, um «'aem. -=me.t.oao
tecoiuiuendo que cscoUiaes u qe uma das iucogu
existentes, e deve ser o da e " 'pela reducção ao mesmo cceff.cen
XXVi AW£aRA ~ PfíWí:,f^ aS PASSOS
per 2, e oVstemrvílá "'cnibros lia secunda equação
2 x - . y ~ ]2 -V + 6 J' = 22.
revelado pela1]nlançr'—Principio, que nos foiÇão se pode ajnntar e'se nod! ! "leinbros d.i eqiia-Do segundo membro / 3 quantidade:
Poderemos fazel-n;. vamos siibtrahifsegundo membro (22 Wi.hfr • " desde que do
oritra equivalente. ' ciamos a mesma quantidade ou
22 não (2x-j,)_ " ' ' snblrali ir de
i r
o u
o u
2.v+e>._(2.^ ._^ j^ 22
2^ + 6;.-2Ar + j,=,21
73' = 21
y
21
- 3 .
_ Achado o valnr a
.sc rc . vc . r ass im a
• •2jf = 4
x = 2.
Depois ^de^'o°bt "l®"' operação que
^^qoaçíies, com o'''"' incotT**^,
d a o u t r a n a s d u a s
'eiro membro da . primeiro
outra, o segundo
xxví i
fi mmembro de uma do segundo membro da oulri, l -de fazer desapparecer essa mcognila. ,• :,,j.cãc por meio
Nem sempre, porêmi. se consegue a sotnma.
de uma suliíracçâo, ás vezes por uie
Este systema, por exemplo.
3 x
2 V
- y
— .V
3 :miiUiplicada a «cgmida equaçao po-
3x--y^. \
6 V ^' . - .1-, incognita X po^
Abi só otiteremos a elituiuaçao teremos xCO.da somma, porque iuiuando 3 x coiu
Sommando, pois,
meio
5 ); = 25 •••)'
: 5 .
Seja aluda o systcuia
3x + 4y^ 31
o inteiroAqui, em vão procuraremos veiiba qualquer deiie multiplicada uma das «Jfjcienle. .'"^ognitas. nas duas. com o «nesnío co^"; ^ se muU p^'«as o m. m. c. dos coefíicien ^ P^ ""^ '^ nrimeiro
rnios a primeira equaçáo por - 3 tercnios o p
. *; se multiplicarmos a seguu ^ ambas.•''"'O 12.V. b4se, pois, n
5 de 2 equações.
Tendo o alumno chegado aos resolução de um
^^ reniamente fácil será o eiisuia ■
x x v i i i algebra - PRIMEIROS PASSOS
/incog^ iitts, 3incognita, cle 4 equações a
P R E I A C I O
InÇão de quasi'todos ° para a reso-' ''S íiT
simplificada a tarefa d'n'^pnc-^ achaes, assini, perfeitamente
algebrico em vossas '"troducção do methoclo
algebra não é uma des^ac a- niostrar-vos que aP^-ndem. e Z ZZ Tadmirar quando a encontrardr?"-' """"
simplicissimos, nos propran ' ' ""eduzida a elementos
P e d a g ó g i c o a u t o r i z a O m o v i m e n t o^ receber com sympafhia If ?habilitados
escravizado a prócessos anaci i-aciocinio■""teis, preiudiciaes. '"^ '^'ronicos, inúteis, e, mais que
ignoro, quern irr».« .rmS™'.:"', ' Is- algebra
ar4h "enliuma investigar*"" entrou ein"'thmetica e de algeb a ,fof/^° Phüosophica ; falei-vos de
iiSll! ®"<=°"tra referi 'iestas palavras,ien r eu " f '"'^ '^ ionarlos de nossa
de.o parecer
s Mas a algebra que eu entendo util e possível não é "
disciplina a mais, e sim um methodo melhor, maismais seguro, para se resolverem as questões o cu
a r i t l i m e t i c a . , j q
Nem sempre, está visto, nos havemos e ^
processo algebrico. Resolver por elle ^ „te
®ruhmetico, seria, sem duvida, como disse lu"m autor, «empregar uma enorme alavanca para
orna pennan. Precisa o professor de ser pon ° ^ j^qs
monioso, empregando em cada caso os meios maid iiitelligencia do discípulo.
Não ha, não pode haver, para a , idiosyn-0 mestre, quer da do alumno, falta de g
r^asia. Toleremos ainda que alguém preso ao
Para o desenho !—, embora saibamos qne. das
"rgo formidável da natureza, habitante m renioto
^^^ernas naturaes. já o nosso .jo fôrmas nasdesenhava com relativa perfeição, '"f"-imaes. Mas o
''^dras, nas conchas e nos ossos do habilidade
ensino do methodo algebrico, qne na ^^dos o
^Special, nem saber acima do conmP o d e m f a z e r , _ i „ n a p e r s p i c a o a
mais necessário P°^ "^f^„sses adeantadas,
i t a v p l n a r a r e s o l v e r , n a c o
" * = 0 1 l a z e r . . . r u n a p e r s p '
Não será mais necessário possui adeanta as.
Particular e notável para resolver, na acom
problemas arithmeticos, pois é n synibolo,
P.®»har, na mesma ordem, operando sobr descobri , d'^^<=r.mstancias referidas nos problema^ „ ealc b^tentativas laboriosas, ou por nn acas ^ dissimulada.® Achilles de cada problema, a P° ^ ajs.éiáum ap ' ^;"oumstancias referidas nos proi^'^-'-gso feliz, o c--tentativas laboriosas, ou por un acas ^ dissimulada,p® Achilles de cada problema. a P» ^ já umOnde se desmancha a niead ■ pons Pa pedagogia contemporânea, diario.
"ascem feitos, - fazem-se com
X X X ALGEBRA ~ PRIMEIROS PASSOS
i n t ro teo v. - „ . t ascns d /">eiLTe fatrl
que amanhã 011 dp • Podemos prcvôr com segurançaf" até imposto 'i^ethodo será recominendado,
decondcmnar loahff ensino. c,uo lulo«rebral por meio da maTeinLicT'"'"'
T'oda a h íç fnr ío t
ALGEBRA — PRIME!ROS PASSOS __
por meio da n.atheniatica "
sido outra coisa
"--vaelonge ,o men"as escolas, a enfadonin''^ '^ ^ °dois e Jí '^ "■'tilena do Um c uin,
época, dizia ter odiado em'^^gostiniio, na sua
'ogar ao ensino racional ° "'elliodo velho cede"
íar, todas essas utili==in, em aritlimetica elenie"-eecupon o n,eu predecessor ,"estí!í'Tenho fé absoluta " t '"^ '''""a.gica, e posso assegura'p-vU^ "^ '^' aptidão pedagO"vos dispuzerdes a seo-nir arrependereis, se
"âo são meus, nias'' da'. f ^ s^umpto. os conselhos, q"e
ensino moderno. =^ "toridades mais conspicuas do
Nao podereis alleirar „„
pois eu vos responderia nrm ? 'gnorancia da materia.
esforço individual- tiraes I"'oP'"io engenho e vossoqne transmittis, e que „ão 1 conhecimentosDe quanto já pude oh.p°^ ^ "^ inados.
. "'^al intellectual dn^'^' ^ respeito do
g de nenhum oiitm docente do Rio do«^ fficiencia pedalo ®°'^ '"'^ P^ 'Íado. Tende, pois.deposito., P'^ g^°g'ca a mesma confiança qu^
tUf Formando o livro um todo indivisivcl, sendo a
materia ensinada ffradativamcntc e m
mente, devem ser feitos TODOS os exercícios e
TODO o texto ha de ser luto e entendido.
INTRODUCÇÃO
Rara habituar o aiumno á idea de
por meio de letras os objectos ou, em gei
quantidades, e os números, acreditamos "iutroducção, regularmente amena e bem
conforme suo-scrir a pratica do proprio p
, E-,«cisTocsse,,cial,quc,.iosc cCiar uma série de definições, com que g
lugo ás primeiros paginas espantam, a
opprimem a seus indefesos leitores, nw ,
Wio, ir contornando as difficu a
cPlndo as asperezas. _ breve
_ Eis como nos parece possive , P .,tar noshistorieta, introduzir o discipu o ^
'Udimentos da generalização a gu determi-
Pi'ocedia um menino, certa vu , gontinha
'haçào paterna, ao inventai io o
I.WTRODUCÇAO
em uma grande arca, cheia de miudezas. Os
objectos que ia retirando eram os mais diversosque seja possivel imaginar: alternavam os grampos
com os livros, os cadernos de escrever com as
esouras, as borrachas de escriptorio com as raspadeiras e os canivetes, as moedas com os phos-Phoros as velas com as chaves, etc., etc.
os rltirav. H ^ proporção que
relação; ^ ^ escrevendo a sua
c h a v e " ^ o e d a , v e l a - , v e l a ,da, tesoura, //vVf
A o fi m H b o r r a c h a . . .
uliciaes dos nomes dan.mu' ^ '^^ '"^ '^esse apenas asP.assoa a escreve, conlraa'nVa"e"ação":'"'"' ^
'' '' '' '' '' ''' '' á', etc.
Nao tardou, porém qup m
difficuldade: da arca sàhi,, vi ^ PParecesse uma
lapis, que não noIPira /, pois iá estava destinai '■PP^sentado pela
íazer? Adoptou Paulo o ilapis por Ip e, semelhantet^ elk 1° °um canivete, por Ipsr uma lapiSa •""f'""" "
purnias, por pn uma pe„„a e ™® por Cd um caderno.
M.OEBRÁ — I'RIMEIKOS PASSOS
Feita a lista geral dos objectos que se^ encon
travam na arca, representados por uma inicia ou
por duas ou tres letras, achou-se Paulo deante
seguin te ;
g, P, g, m, V, V, c, g, g, 8, ''ip, b,c. c, V, f, /, /, b, ,n. c. g, g, f. ^
g, Ip. Ip, Ip, ip, I, p, cv, Ipsr, Ipsr. W' -
pn, pn, pn, pn, cd, cd.
Procedendo depois á contagem ^dos obj
enumerados ein sua relação, achou I au o .
fi-i g + , _ e= 10 grampos ou Sg\-g-\g 'r g + g-r S-- S'-r S nhosphoros ou - P
I /moedas ou
m -1- m -i- m -• m m
■ ^ ri lapis ou " Ip
etc .
, se continha poude serAssim, tudo que na arca
•■epresentado do seguinte mod
10
' ^ o > . i i i a u u u \ j o w - f e —
o 4-5/-F4' + 4Ô +S + 2p + 5». + 3 '+j^+ ,;p + PP' + ^
-4-5 lp + 2 cy + 2 'psr-r
INTRODUCÇÁO
gramnòs^ í^nH sotnmados, todos osetc etc' A Phosphoros, todas as moedas,mar ' t po rém, som-
que só se Dori"^ ^^ moedas, porque sabe
especie. som mar quantidades da mesma
o b j e c t o s , p a r a r e p r e s e n t a r o ssentaçõe's symbolkL'têm
-^ iebncas, ou
/ l C O i T Í g i r :
trio ^ biihas 12 13, onde se lê cm lodo'angulo, deve estar nesse trianííiilo .
devp^L''"'^ '^'U *eido tiianuul )ne\e ser Nesse triângulo .
Na linha 26, em vez de S c SO.
podemos representar abreviadameni'^ . ---- . -^ Ricardo por /?, a palavra goto por g \ lopis P®"" '
e assim por deante, podemos também lepresei
convencionalmente, por meio de letras do alp la^ todas as quantidades, a todos os números.
A letra x c particularmente usada P^ '^
tentar uma quantidade que não se con e
"úmero desconhecido, uma incognita.
b X h . M c i
de kiionietros1 ■ Si representarmos por x o ^ ^ ,^05 7 km., o
n^n percorremos hoje, e si amanha P® por xq-^ -
Percurso total dos dois dias será repre de annos
2. Uma pessoa tem, mutualmente, um nun^ ^g 4
íue representamos por X. Qual sera
n^nos ?/?es;;. x+4. igiõ, unia pessoa que
3- Quantos annos uontnva. ei ^ ^ _4. _
nctiialinente (1919) está com x
C A P I T U L O !
Emprego da letra X na indicação das operações
— Do mesmo modo que, em uma nota,
podemos representar abreviadamente Pedro por P,^ Ricardo por R, a palavra gafo por g \ lopis po"" >
^ ãssim por deante, podemos também lepresen
convencionalmente, por meio de letras do alpliabeto,® todas as quantidades, a todos os números.
A letra x c particularmente usada para ^
sentar uma quantidade que nãose conhece,
"nmero desconhecido, uma incognita.
EXE.Ml^lOS
j]e kilonietrosL Si representarmos por x o ""'"^ '' _„ios 7 km., °
percorremos hoje, e si amanhã ^ por x+T"-
ercurso total dos dois dias será represe annos
2. Uma pessoa tem, actuahiiente, ^ ^ ,^,,^0 de 4
representamos por x. Qoal sera a sua
x+4. 1915, uma pe^soa que
3. Quantos annos contava, ® „ Resp- x — ^ - .
'^^ tualtnente (1919) está com x an
E M I ' R E G O d a l e t r a X
fira P -^sôa possiie .v e gasta 9,-000. Com qua"'"tica? Resp. a:_9íooo.
dam.f n 1?"'^ ° ^ ''' ile iinia pessoa, qual serát Z V + t Z Z ®
senta^r' ^ ""'rr P^soa. como repre-6 mezesi ^ 'esr^ -V"''' ^
será a idade*!u ^ ° ""mero de iiiezes de uma criança, q"®'
8 „ f dentro de anno e n,eio? Resp. X + l^ 'mais 13$ e"'lolT'^ '"-'®"''® quantia x; a seguir recebe* +135000 + 28cooo^ 9"a"to fica? Rcsp. C""'
Q * Tdepois 12?'" Coi^ r' Sasta prinmiro 18? e log"<0. S,h? """'» "« ' /- ,8.<000 - 1 aooo.gastei 2?, recebi mak 74"' q"antia a"; recebi 20100°-''8"ei? Resp.x + ^ 'J.^ ^ gastei mais 12?. Com qua"!"+ 20.000-2í000_,_ 7^000 _ jo.QOO.
^ ^ letra v n-mero abstracto, mas Z apenas um no-
D^a r^ ' Pôde '^ ""'^ "^antidade qualquer,
obiecto n°T' ^ "^rbem ^ '^"eviatura, indicar a
AdmUta^r;que se denomina ^ue hatêm os nomes de tSe possuirmosC2 /apis ; também se ^ mais Í7'
objectos denominado! P°^ m,irmo leremos^ mais ^ daquelies
eutro igual, tere-
A L G E B R A — P R I M E I R O S P A S S O S '
mos ao todo 2 objectos denominados x, ou 2 x
(lê-se dois xis).
Poderiamos, pois, escrever
1 A -j- 1 A = 2 A,
mas em vez de 1 x escreve-se simplesmente x ,
portanto
A-j-A = 2A
.V q- x 4- X = 3 X
A -L A -j- A -f A = 4 A
A -f- A A + X -r X = 5 X.
As expressões 2 x, 3 x, 4 x, 5 x são, eviden
temente, números concretos, do mesmo modo que^ 'dpts, 3 lapis, 4 lapis, 5 lapis.
A primeira deltas, 2 x, representa,
a somma de duas parcellas iguaes a x.
sommar duas parcellas iguaes c 0 mesmo
multiplicar por 2 a parcella, portanto
X 4- A = 2 X
Semeltiantemente,
X + A + X
X -j- X -j- X q- .V — - K V AA- + A + A-fx-Hx = ox = 5X^^^^
Quando encontrarmos, po's- teremos a
!^Omo 3x, 4x, 5X, 20 X. J^ '^^^ q^tiplicador, QUÇindicação de um producto. ^ nome de coefj
Seralmente é um numero, tem
(Ciente.
3 x
4 X
3 x
2 X X -
3 X X
4 X X
emprego da letra X
ocn o coefficiente é 2, em 17x c 17, eiflse escrevei r' °
botões nprf° modo que 5 botões com 25 obiecL podemos assegurar que^ ou,r„! OMCCOS
a : , O U ' ^ o b j e t o s d e n o m i n a d o s
5^ + 2"X= 7 X.
Semelhantemente
5 X - 2 x 3 x .
Mnslam dc'^dois j 5;,_2X"""'os. separados p™ ,"' "ff """>■ Esses ele-
o nome de termn " Po'o signa! -—.
r™'A"ospsesSra,:;.''o^or^ x ^""ico termo deoom S """ """"'""i ""e compõem de dois term"^'^*^ 'J^onomios; as que
rinomios; as de mais de t°^ ' ; as de tres,
Polynomios.^^ + 2 oa 5x + 2ou5xl5
14x^7 - 3 + A 2 X é"" '^"0'nios14 X + 2 X - 8 + 9 * é um trinomio
ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS
H x i m c i c i o
! • l x ~ ■ ^ ? R . ! i . r
2- 6 a!+ 3 a: —U 3- ? R. 2.t
3 - 9 a : 2 x - - ? R . 7 x
4 - 7 x 4 x — X ? R . 7 X
5- a:4-'2;c_3x. ? R. O
®- ,sx-2x+2:. = ? R.l^
8. e:ix + r.x-7a: = ? R- -4
9 . 1 2 x - r . x - 6 x - ?
10. *ix — X -6»: — • R-
11. 9itx -JX iri.f 23 X--? R-46®
5. — Os exercicios acima resolvem-se meiv
talmente. Mas algumas vezes não se pode assi
proceder. Vejamos, então, o que se faz.
Se tivermos:
2/ap/s+1 /ap/s I 3 /op/s-l^ S lapis+"^ 2 lapis,
poderemos escrever:
Ou ainda
í.iipís;2-|-l-l-3+5+'^
(2 + H..3 + 5+12)'''P«-
Assim, quando temos
7X + 2X,
podemos escrever
^ o mesmo que
(7 + 2)* :
gx + sx-sx
(8 + 3-9)*:
10
o mesmo que
o mesmo que
empreüo da letra X
90ic- 2X-I5.V-25a-
(90-2 — 15 -25) X;
9 x - x
e assim por deante.
é o que se TeiÍom^nr-!!^ 'parentheses.
P^r o X em evidencia-
Exercício
a! J ^ ^ ' •■5 + atr =l -I-1 - 8 H-11 - 7) a:, oil Vi »4 , • ^■; H - 8 - l - l - 7 + 8 ) a i , o i . 2 3 í
p'r 1-1 -2)ai, ciiOai.oiiO■ l - á ) ^ - , o u r í .
~~ Não é Hifíquando os coeílicie„,J'''"'= " uwdo cie operar
Su tivermos i , '"tuionarios.
J e r e c e b e r m o s
m e s m a .íT utesma ,ara„j„^
3
■■emos com
V w + - "2 0 1^2 0
ALOE BRA — PRIMEIROS PASSOS 1 1
da laranja. Assim, quando temos
e m a i s
d e X
1
5
do mesmo x, temos ao todo
+
1 _ 15 ,
K — i a 2 04 5
do mesmo objecto x
1 9
20
E x e r c í c i o
1 .
a .
3. 2
7 ^
4 .
5 .
X r -i x=?'
lx-7x--|-x = ?
R .
R .
R .
R .
26
. 1 4- .^)xou-|-x, ^ 2 8 9
T 1 7
o
l
"h"
4 - r
R . ( - " " 7 ' o u
7. — As expressões
3
- . - X ,
e t c .
1 XX, -fX. 2
1 2 e m p u e ü o d l e t r a X
também podem ser apresentadas sob a forma
X X
5 • 7 • 2 ■
e t c .
Portanto ;
^ 2 ~ 3 +3;c+ ^^-x
^ O mesmo que
(' + 1-^ + 3 + ^5.),
O U
331
4 2 X .
Exerci
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
6
T z
z
T ' +
?3L I S z
3 +
C I O
• - 1 2 z
7
H-í. j X
3 = ?
R .
3 1 6
R .
R . ' " " i l
_ , 3®
4 r = ;7 "
z +
R .
R . - i
20 X
9 9
101^
3 1 6
l ^ z
8 4
6 z
ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 1 3
8. - Se os termos que possuem x são nú
meros concretos c os que o uão possuem
abstractos, é claro que uão poderemosum só termo a somma de um termo que contem x
com outro que não contém. Do mesmo ^
S ovos não deixarão de ser 5 ovos ^
sonimar o numero 3 ; 5x não deixarão de ser
quando escrevermos, por exemplo,
5X + 2-
O
8
nem nie-
Aqui temos uma bota. Si fo
liarmos um numero, seja 8, para
exemplo, c o puzermos ao lado des a•^ ola, teremos, naturalmente, uma
bola e um oito ou uma bola mais
oito, mas nem a bola será mai^ o S se"or, nem haverá mais que uma ° ' j-opuzermos
alterará. Assim, pois, si a 4 x no ^ j,,(jicação
sommar 3, teremos apenas que
4 x - f 3 ;
• T de X, teremos,o si nos propuzermos subtralnr
Somente que indicar x •—
emprego da letra X
E x e r c í c i o
'■ í a: — irj-{-2,T = ?
2- 2 a: + 7 - íj = a
3- a: + 4,T:-2 = ?
c U ® _ r r + 7 = ?a- +. I3$ooo 4- 28$000 = '
R . i ) X — I ' l
R . 2 a - - f . l
R . 5 a - - 2
R . I S I X 7
R . . r 4 - J l $ 0 0 06- í -18$000 - i.2«onn á
7- í -a- -aosnm «n ' " • - t - í lOíom, -0,000 - áSOOO + 7$ooo _ 125000 a
8 .
g .
1 0 .
*<• ••C + 27SC00'_ u$000
O" » + 13Í0002 -^1^ + 0 = ? R, ^ _,_o
R . i ; ! - 7 . i '
»-2a- + fi-5r,- = ;
5 -l--,õ +^ = ? R. 9 -t- a;
empregando parentheses;
"■ *+Í'-5-.+ .e,»,
1 2 . J L ^ I2 3- 4- 4 a: = ?
^ ' ' • ( 1 - f - ' 1 , , IH !»
2 --r E l«)a- ou
R . ( - 1 1 \\ 2" - -0- + 4) X
R . ( 4 - ,
- • 2 X e . ,
14 . a -J -^a^ , ■ " - l - louè ix+ l' .) ■ "i- "> ^ .)
- I *O ÍC T) oil • - - X -f-«'>
2
15- l -h3x^ 2a.' + 8^ =>inda4 +9
R- I f S-|_ ~^ 2 ) a- ou !i j- a-.
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 15
9. — Dado para exercicio o seguinte ;
4.v-f-4.\- + 4x + 4^ = ?
qualquer alum no, pensando que 4 ovos, mais
ovos, mais 4 ovos, mais 4 ovos, dão 16 ovos,■"^sponderá logo que a parcella 4 x repetida 4 vezes
16X. Mas repetir quatro vezes a parcella 4x e
"luitiplical-a por 4. Portanto,
4 .V X 4:
1^0 mesmo modo :
: 16X.
3 a - X 5 = 1 5 X
6 x X 2 - 1 2 X
2 x X 1 5 = 3 0 X
■ ^ s s i m p o r d e a n t e . .
pois o coefficiente Que se niu p
E x e r c í c i o
1.
2 .
3 .
4 .
4 ,p X 7 = ?
-.X5 = .
2 x
r X ^ -
5. r,,fX-^ - = ?
R. aS'"
lõa;
R . - r
R . i a :
2a;R. -g-
15 X
R . - r
^ ■'O- — Se possuirmos'^umnos, tocarão
24 lapis a
2 4 _!_4 = 6 InP'^
18 E M l > R E n O D A L E T R A X
a cada um. Se tivermos 24 objectos dos que se
denominam x, a dividir em 4 grupos, ficará cada
grupo com
2 4 : - 4 = 6
Objectos denominados x, ou simplesmente 6x.
O que se divide é, pois, o coefficiente.
Bxerc i c i o
1.
2 .
3 .
4 .
5 .
deste'typ^ apresentarlambem a diviêão
X = ?
Sabemos nne n a-, •quociente reproduz o h- multiplicado pelo
d u z i r I 5 x . O r a s ó 1 ^ r e p r o -
fazer, e é 15, jogo numero capaz de o
l ó x s - a ? R . r . j :28 X .1 _ 7 R . 7 x82 » -5- í> = ? R . I i i j
1 5 r 1 p R . ' t ' '
i
-;-7 = ? • M j .R. -f .
1 5 x . •>^*=15.
ALOEfíRA - PRIMEIROS PASSOS
RXERCICIO
17
1 .
2 .
3 .
4
5 .
i r , I y ' I
e s X X ?
''' •- X — ?
s>
X - ?
I t
R .
8R. 4
R . 2 8
õR. ç,-
7
R - . i
12. — Pode ainda apresentar-se a divisão
15X-:-3X-?
ò nreciso achar umRaciocinando como acima, V existe
numero que, multiplicado por 3x,nni numero capaz de fazel-o, o e
15X-^3x = ^*. ns coeffidentes :
O que se divide são, po > j^ te modo ;
Isto também se pode ver
^ o niesmo que
o u
i 5 x
3 X
15 X-^
" 3 X í f
^ cancellado o factor x. a
^ finalmente a 5.
fracção se reduz a
15
3
1
2 .
3 .
4 .
5 .
6 . 2 5
7 .
8 .
9 .
1 0 .
- ?
• = ^
E x e r c í c i o
14 a: 2 a: = ?
ai a: 4 a: = ?
•2j_x
7 X
6 X
4 a;
+ 4 a: = ?
S T x
8 x ~ ■
■1 a; 7 a- = ?
2 a: 0 ,c = ?
« 1Õ a; == ?
R . 7
R . 6
R i ; 5
R . 8
R . 7
R .
R .
R. -Í-
■ 4
JJ7
8 "
£
7
R .
R . 1
1 5
coKlue ^ ™ OS n.
a l e f - ^ . . . ■ ^ S S c l e n i i R
delles.
^onciue que ;a letra x, ha de aona ^ PParece no dividendo
divisão (divisor ou nr"" dos termos daem um dos termos
ociente), uiq^ apenas em utii
CAPITULO II
Pa ren theses
i4. — Para lidar com os binomios,
P°'ynomios devemos envolvel-os ou s"PP ^ g°^'vidos em parentheses. Apresentam-se entao
casos : o u• - 1 - 4 -I'' O parenthesis é precedido do tafflbem
y tcm signal claro, e entende-se entao'^■ecedido de +•cdido de +;
E' precedido do signal — - multiplicada-
Envolve uma expressão asVeiamos como se procede em caü ^u i i i c i c a C l aVejamos como se procede quando
J. J"do se tratar de binomios, e depde trinnmmQ P nolvnomios.
c a s o ,
s e
^ i r a i a r a e
de trinomios e polyno"^ '®^
j jnais.— Um5^.— Binomios precedidos
'ojT"^ ^ "^ Posstiia 4 Com quantosJ U m n i o o t n m s o l a p ^ ^
fi e
"n que possuía 4 lapis Q^m quantos
fuais 2, e em outra mais 3 lap
^ y j L l P -
p - . „ 4 o r i m i t i v o s o sE indiíferentc juntar aos P j^mente
reunir os 3, ou juntar separadam
2 e
o s
2 0
p a r e n t h e s e s ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 1
2 com OS 3 e addicionar a somma aos 4 primitivos.
U segundo processo é indicado com o auxilio do
parenthesis;
4+(2+3) = 4 + 3+2 = 9
e d e u 2 r / r e c e b e u m a i seaeuj. Com quantos ficou?E indiffprpt-i+a.^ u u u i u s J l C O l l ? ,O S 4 e d a p r i m i t i v o s
Procest étdicadoT ° °'noicado com o auxilio do parenthesis■
1 0 4 - í 4 _ q ^ ^ .
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 4 .
x + (i + x) = ?
■2 x ~ i [ ) x + õ ) = ?
4 a; + 15 .t: - -1 a;) = ?
44-(7a: — 3a:) = ?
10 + ( 7 a: — H ) = ?
I 3a: + 2) + ' = ?
I ■_> X f a 1 -i- 7 X = ?
I a' + 2 ) - X = ?
1 4 + 7 X ) - 2 X =■?
l .x + 7x)-8x = ?
R. 2X + 4
R. õ X + õ
R . Õ X
R. 4 + 4X
R. 2 + 7x
R. 3X + 9
R. 9X + 3
R . 2
R . 4 + õ x
R. O
10 + (4-3)=,O + 4_3^
'nio envolvido estabelecer que: - se um binO'
signal +, o Pr^ rcnthesis é precedido d»nenhuma alteração removido sei^
1 .
2 .
3 .
õ + (4 + 7),
12 + (7.-a) =
6 + (15 + 1),
Exercício
R.
R.
R .
Do mesmo modo
4 .
5 .
6 .
1 + (1 + a) — ?
'7 + ( 4 — 4 ) -r ?
2 + (8-7) = ?
R .
R .
R .
7 .
8 .
9 .
10.
(4 + 3)-f-2_5
(4-3)4-2 = 5
( 4 4 - 2 ) _ 3 ^ ,
( 4 - L ' ) - 2 = ,
R. O
R. 3
R. 3
R. O
11.
1 2 .
1 3 .
14.
(Í + 3)4-(7 + 5)..+ 8) + (9-4) = ? R
l9
f,[^ ~^ ) + {5 + 3) = ?
R. '
R- a
1»R .
16. — Binomios precedidos de meno .^
'^ iJni homem tem lOOfOOO e precisa pagar duas
tontas, uma de 30$00.0 e outra de 20$000. _E' indifferente que pague os 30$ e a ®eg
20$, ou que reuna as importâncias das duas'^ "^tas e as pague englobadamente. O pnme.ro
P'^ocesso é indicado por
100$000 —30Í000 - 20S000:
° segundo processo é indicado com o auxilio dos
Parentheses :
1 OOf OCO - ( 30Í000 + 201000)
'%000 — (30í;000 + 20ÍOOO) = lOOJOOO — OOjrOOO 20ÍOO
e m l o t o o o e m d u a s
S'""' •"•g"'- 3»»0. Se der em "f"'"/'™pagará demasiado, paisd le~2t000:e,ae faz calão? Toma amadas
2 2
p a r e n t h e s e s
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 3
notas de 5$, dd-a ao credor e deste recebe 2$000
de troco.
Este processo é representado por
1 Oí000 - 5Í000 + 21000
SrTffi ° «O <:''^dor a nota
ouanHn O seu proprio dinheii""'
d e s t a o u T n f ° '
Dpsh ° proprio dinheiro.
é, de fs/nnn^ o®''*"'''''' íf2$oco), a quantia que ficou foi d®
lOíOOO - (5ÍOOO — 2.«000 )
Portanto,lOíCOO _ (5J000 _ 21000) = lofooo - 5ÍOOO + 2^000
gninte niodo^^^ "^^ Poderíamos raciocinar do si'
ffectuar a subtracção aqui indicada :
10- (5_2).
2 unidades numero qus f
t e r e m o s ' ° S e s u b t r a h i r m o s '
1 0 - 5 ;mas assim teremos t.v.H
damente. Teremos snht ®'-''^ t''aliido demasi^ '
2 u n i d a d e s q u e ^ ^
paia subtrahir. Corno i"^
parar esse erro ? Se tirámos demasiado, havemosde accrescentar o que tiver sido diminuido a maior,
portanto, devemos iuntar ou sommar 2 uiiidades.
Dahi :
10_(5-2) = 10-5 + 2
Póde-se, pois, estabelecer que : si uni binonmenvolvido por parenthesis é precedido do signa ,o parenthesis pôde ser removido, J^ t,.
<iaem os signaes dos termos oodocados dentr >o rígnal +%or-e o signal - por +"
o signal é +, e portanto se troca ta
quando, no primeiro termo dentrothesis, não está escripto.
E x e r c í c i o
19 - ( 8 + 3 ) = ? R. 8
f, 11-(T_3) = ? R. 7
(10
( 9 -
^ ( 5 + 2 ) - ? R. O2 ) - ( 2 3 ) = ? R. 3
^ ( 5 - 2 ) : = ? R . 3
R . l l .T-S
a , r
18. — Multiplicação de ^ repetir 4
^^Pressão 4 (5+3) significa que se _ P
;^^esasomn.de 5 com 3. Póde-seJ.^'"'^ella por dois grupos de signaes, ume outro contendo 3 :
6 9
OOOOO OOO
24
PAREN'THESES
Para exprimir a repetição dos 5+3 signaes,
as ar nos-á repetir quatro vezes uma linha assim
constituida de 5+3 bolinhas :
opooo aooQ O O O O o o obooo o o o o o o o
ao to"Vn bolinhas, e 4 linhaspois, de 4x (5+3)° •bolinhas dever ser,
no da^ íirSt?4X34+5 bolinhas:
Portanto :
''(5 + 3)„,4x5, + ,4X3) = :O+I2^
que s'+frepet7+
■Póde-se representar h ".'''"«rença entre 8 e 3-
escreve-se uma linh ®^ Suinte modo a operação:cortadas as ultimas ® bolinhas, das quaes são
subtrahidas ; escreve' niostrar que devem serigual, e uma terceira uma segunda linhae auida uma quarta.
8§88°ll ■ ■ ■oobbbli;0000000)
ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 2õ.' , ^ , 4 . . ^
Tendo cada linha (8—3) bolinhas
fias, e sendo 4 o numero total de linhas,
lue deve haver ao todo
4 X ( 8
bolinhas não cortadas. , „ não
O numero total de bolinhas (cor
•portadas) ó (4X8), e o numero tota^ (4+3). O numero total das nao
portanto,
- 3 )
V è -
( 4 X 8 )
■se, pois, que
-(4X3)-
4 ( 8 - 3 ) :
32—12._ 32 — iz.
Pata multiplicar, pois, um binomio
'^ o^iero, devemos multiplicar ca ^ , 5 réspccU^ osi'^ io numero, e escrever os p'0 termos-'""t os mesnws signaes une m esses
exercício
1.
2 .
3 .
4 .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
r » 1 V '4(5-Ç0)^ ? R- f+._3X + l;,_.19
7(11-7) = ? R- .Qi + oXS-7 ( 1 1 - 7 ) =
li ( 4 + 8 ) =
•a (X -f 2) =
r> ( 2 ,r + 4 ) =
8 ( r > - i - 2 x ) - =
■I (4 — a:) =
•r ( 2 ;c - 8 ) =
7 t ■» — " D -
4 4
3
= 2 3
: 7 2
R .
„ 10 a; -f
R .
R. IC®
12 a:
R. i"-
2 8
p a r e n t h e s e s
20. ~ Producto precedido de mais ou de
limpos. Supponhamos a seguinte indicação :
74 + 2(5 + 3).
e^ja a indicação
25-2(4 + 3).
saremos :
-r ^x-i ) = 2., _ (íj 6),
Exercício
r
= 2.j _ 8 -- 6.
1 .
2 .
3 .
4 .
4 .
6 .
7 .
8 .
2 1 .
l'' + 5 ( 7 4- 2 I _
20 + 7(8-3)^
- 3 ( . I 4 ,3 .
110-5(9-7 =
.5-1(8-7)=,' + 3 ( K-|. 5 ) ^« + 8(7 -^3^
R . c 9
R . 5 5
R . 1 6
R . 1 3 0
R . 1
R- lÜK + lõ
R . 5 7 x _
R . 2 x
R - 1 2 3 ;
R. 15— 4 a;
2 4
■ Dividir um k *
que na multiplicação de 8 ~~ Oí^ servadoíaz o producto de 8 nor a binomio (4+5) se
8 por 5, é faci! concluir^ ° productoo binomio (32+4o) se d dividir por 8
a seguir 40, ligando-se P'''n^eiro dividir 32 e+■ « '-"ordot^e'ro
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 7
Assim,
(32 + 40)-:-8 = 32-1-8 + 40-1-8 = 4 + 5 :(04 + 4U)-:-8 =34-^° ^ «n • 4 =19-15-
(76 —60)-:-4 = 76-1-4 — 60-. 4
EXERCÍCIO
1. (83 —45) -;-9 = ?
2. (5Ga;4-21)-;-1 = ?
30 4- 42 X _ ,O - ' ü
51 — 81X
4 - - o ■
50 X — 28X „ oe - ' 7 x
4 X -1- 7 ?
® - ü x
R . 7 - 5
R. s== + a
R . 5 + ' ^
R . 9 -111=
R .
R .
7 + 4-
3- + 6X •
22.-Trinon.ios.^SaMfJ^X°,'^ lZ^; recebi 4, depois 6 e P parenthesis as
g^uaes. Posso representar den
aioedas que recebi :
í 4 + 6 + 1 1 ) ■ ,
nesta detresternios,eoUma expressão oomo ^^inomio.que se denomina em alge ^ 7_2), (i--+ *'■
+ 6 + 11), (14 - 2 + 3 ), (J + '7r4a' - S - 3 )
, Todos elles podem®ào Vários typos de trinonio ■ j^ jos. Assim,
facilmente ser convertidos e
, ^ o + X - 2 - t - X ^
4 (1 + 11 = 10 -I- 11
U_2 + 3 = l9 + a• 7 + 2 - 4 = 9 - 1
19 _ 7 - 2 - li - -
1 4 X - H - J
etc., etc.
2 8
PA R £ , W r / i £ S £ S
T i^nomios precedidos do signo^Ü1SI£- Supponhamos que se encontra a ex
p r e s s ã o
18+(4q_6_j_ii ).
tuir ° mesmo que 10, póde-se substi-a regra doíh'^ ^ vem, applicando-seaos bmomios precedidos do signal + :
P6de-seTubstiS° '«Sar de 4 + 6,' escrevendo, em continuação :
'^ + (4 + 6)4-11 = ia_j_4q_6_[_n.
agora a expressão
'^+(14-2 + 3),Sendo 14—2o mi5 + (u_2 , „ "lesmoque 12, póde-se escrever
^0 mesmo ''^ '■'^ ~ )^ + n i^õ+u-2 + 9-
obSrT^ -^ ® ^ rlnomf com qualquer™„r:r:7 aa Oo Signal +. e•/"«Mo prece<,SÓ+ elZT"*" ''""-P"'''
OS respectivos sio^ ^'ênai , trinomio,
mesmo trinomio 'oalteZ'^ ^^orevem-se com
OS termos do
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
2 9
E x e r c í c i o
1 . V 2 4 - ( a ; - f I - H ) -
2- 4 + ( 7.- 3- -i- H ) r-
S- M X + ( 2 3- + 12 — r, ) ^
4. 7x + (U —2- i - r,x) -
R . 1 0 - 1 - X
R . l O - x
U. l(!x + '<
R. 12 X + 12I X + ( 1 4 — 2 - i - r , X ) - í I V . - '
Trinomios precedidos do signol
21£^ os. — Supponhamos agora que so encon ra® Seguinte expressão ;
44- (4 - i -6 - t - l l ) •
Procedendo como acima, isto à,
76 por 10. applicando a regra relativa aos '
precedidos do signal — c tornan
substituir.
«-(4 + 15+ 11 )= 44-( 10-1- II) = ■""/i"
= 44 — ( 4-1-11 ) — 11 ='11 -
Seja ainda a expressão
25 — (14-2 + 3)-
_ 1 1 '
^0 mesmo modo,
25 - ( 14 _ o 3 = 20 - (1--1 + I'll += - 1 2 -2 5 - 3 .= 251 (11 - 2) - 3 = 25 fgfpover^ ^
Póde-se, pois, concluir 'í^ f%naes
Porenthesis que envolve imi com o gqoecercedido do signal ^ '^^ Z t^rinomio- primeiro
^^ocados os termos desse quando- ^ ortantoque se entende ser + escript^'
^crmo do trinomio,
também se passa a esc
3 0
PAR£,\T/ÍESES ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 81
E x e r c í c i o
4 - ( K + 2 + 1 ) = ?2- 8-(a;_3 + .2 = í
3. 2.Õ_(4_^^2) = ?
4 . 4 Í - ( 4 _ 5 ^ . ^ ^
R . 1 - 3 ^
R . 1 — X
R . 1 9 + a :
R . 9 3 — 9
t r i n o m i o s . - P r o -
•ecer nn^ '" ^ '^ omo acima, chegaremos a estabe-
trinomio'nTo'hamero cada um doTt'^ multiplicar pelo nu-
ctos os tn termos, conservando os produ-
Assim^ '^"^^ '^'Rnaes que os referidos termos.
3(X-2 + 4)=3^__
1 .
2 .
3 .
4 .
3X2 + 3X4 = 3x-
Exercicio
4 ( 3 a ; + 8 _ o ^ , „
' ( 2 - 4 3 ; 4 . " , : r 2 x + 2 i'H-^x^ollZl '<• 2'-28»'
' ^ = ? n . 2 0 a ; - 4 0
■6+12 .
' - • i < . 2 0 a ; — 4 0
2 G t >
4 ^ ® m e n o s s d e m a i s o u- ^ PPonhamos a seguinte i^ ^ção :
, 15+3,5 + ,_^,
" > 5 : " 5 0 a o s b i n ô m i o s , f a -
4 l
remos
Si se tratar da indicaçjp
70 — 4(3 + 8-6),
faremos:
70 _ 4 (8 + 8 - o ) = 70 ( 4 X 3 + 1X 8 - 4 X 6 ) =
= 70 - ( 1-2 -f- 32 - 24 ) = íO - 12 - 3.. + -4.
E x e r c í c i o
1. l5 + 3(r,-2a: + 8) = ?
2. '24X-7C8-2K +2) = ?
3. 7 —4(2a:-8 + 3) = ?
4. 15a + 0(4-3 +2)a; = ?
5. 42a-7C3 —2 + l)a: = ?
R .
R .
R .
R .
R .
r>4 —6z
38 a - 70
27 — 8 a;
a o i
28 a:
27.-Dividir um frínomro.- Do mesmo
modo que se divide por um monomio um
mio, assim também se divide um trinomio, etie-
etuando a divisão de cada termo-
E x e r c í c i o
1 . ( 49 —21 + 23)+- 7 = ?
2 . ( 50 K — 75 + 25 a;) -i- 5 = ?
3 . 18a; + 0 — 9a;
3
4 . 48 a + 24 a: - 60 a: _ ,
12 X
5 , 15 X — 23 + 12 _ ,
4
R. 7 - 3 + 4
R, 10a; —13 + 3a;
R, 6a: + 2-3»
R. 4 + 2-5
15
4R. 4?-.?+»
28.~Poly„omios:-Ohsemio o que se dàos binomios e os trinomios, "Se '
"smbem pelo mesmo mcthodo se pôde demons
3 2
PA R E N T H E S E S
trar, que para os polynomios vigoram as inesinas
regras, quando se trata de os sommar e subtraliir.
e os multiplicar ou dividir por um monomio.
Assim, neste exemplo :
, 12 a:R. 2 — 3 X +1> T -jy
t
T S(26 - 391 +65+10 ,3^ y
. Multiplicar e dividir por um binO'mio, u,„ trinomio, ou um polynomio-"
tncontra-se ás vezes a multiplicação ou a divisãoe uma expressão algebrica por um binomio.
um tnnom.o, ou um polynomio. O caso é. porém,
e mais communs da arithmetica
comnpnH^ ° ^ <íoestão só será desenvolvida cm™n,pe„d.„s systematicos de algebra.
CAPITULO
Equações
30. — Se eu escrever
3 + ? = l0,
logo se entende que desejo '^ "i^ ente se
^ue, sommado com 3, dá 10, e m« - 7 « V l i l l i I C l '
responde: 1.
Do mesmo modo, em
9_-? = 5,
, „ , , n i o n u m e r oeomprehende- se que pergunto q
ririe, tirado de 9, deixa o resto 5,
ponde: 4.
Igualmente,
4X. = .8 „„l,.a-Por a.»"» '"multiplicar 4 . para que ciê 28 ? Resposta. -
sig.iifica:-qual o numero qu, para que liê 28 ? Resposta ■ > divididor^ «._^ 5%iglca:-qual o numero que,Pu'' 8, dá 5 ? Resposta; 40; diminuído
, ?-~7=ll significa-.-qual o numero qu,® 7, dá 11 de resto ? Resposta : 1° •
«4
e q u a ç õ e s
se,, ^ + 5=14 significa: — qual o numero qu '^ 'esomniarmos5, dá 14? Resposta : 9;
diviri- significa: — por que numero é? V V ° quociente 3 ? Resposta : 6;Dlicarin significa:- qual o numero que, ^uiP''"dopor3.dá27? Resposta : 9.
vprm^^ ' ponto de interrogação, escresermos X, teremos
A : - 7 = 1 1
:r_j_5= 14
3 + x= 10
9~X = 5
4 * = 28
X
T = 5
"« = 3
3x = 27 .
^ ®^Pão, respectivamente :
3^ -1'deumre!! nos encontrarmos^9uação a resow essas, teremos uma
a^lor numérico d^ ' a equação, é achar oejim rápido raciocini^ "^ "'^ ® dizemos, em virtude'temos resoiviri'"° Primeiro exemplo,
Ca«„' 3 + W-"a sempre dois tnetn'
■■ 14
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 3 5
p o r e x e m p l o , x j =
segundo membro, Primeis
quantidade desconh^ • * '^^>nbro, e 14 O
úenom"^ ^ representa a'"^ -se incógnita-
P r o b l e m a s
32. — Toda equação resulta de um problema^ ;^ a traducção, em linguagem algebrica, da relação
existe entre os dados desse problema e a
"^ (^ ógniia. Resolvida, acha-se o numero que satisfaz^ Iodas as condições do enunciado.
Para - resolver um problema polo methodo
®'gebrico é preciso pôl-o cm equação, isto '
procurar as relações distinctas que existem en re a
quantidades conhecidas e as desconhecidas.
Em um problema ha quasi
quantidades desconhecidas, mas a observaça
uiiilto poucas ás verdadeiras incógm as.
J"^ ndo se diz : « /\ differença entre ^' o sua somma 46 ; quaes são os n
^^sce que ha duas incógnitas, mas n ^depende da outra; achada incó-
' ' PO'"tuuto só ha, em '^g relações. '|u. Quando se consegue reduzir , entre
'oadas em um problema a uma ^ . tem-se
'^^ untidades conhecidas e uma desço ^"'"u equação com uma ^ seguintes,
unios encarar primeiro, nos pr .^ jj^ as, repre-
Para resolver um e iudiÇ^"''®®
U^ta-se por x a quantidade ^ g necessários, aessa letra e mais os nu
EQUAÇÕES
mesmas operações indicadas no problema. Faz-secomose, conhecida essa quantidade, se quizesse
verificar a exactidão dos dados do problema.^
Muitas vezes convém representar por x n^ o
mectamente — a quantidade que se procura,uma outra, de que aqueila depende. E' o caso,
exemplo, dos problemas n.os i6, 17 e 19,
44 e 45.
Só a pratica consegue dar aos discipulu®
desejada habilidade para acharem e estabelecerei,
y quantidades dadas e incógn.ta •
será fn"-! methodico durante algum teiUP '
quandovezes se Possuir naturalmente, o que muip rob lemas V^m! " « t i
efíeitoQ «o verdadeira gymnastica meUíuncção eerai^ '^^ '^ '^ resultado garantido pamdo raciocínio.
Te n h d e P r o b l e m a ssegunda ha o qua^ í Que contêm lapis-
0^';P/sdasdC;gl'^ c/os que ha na primeir^'unia dos f\''^ "'^ idos, são 25. Quanto^
. Representemos o "^ *«5 ?primeira caixa • * oda primeira, sommtd dos que se conteetu na
equação '""'^ dos ^ serâo 4 x x, ou 4 X . Se oS
segunda, dão 25 , tefflos a
= 25.
X '
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS ' '
Mas x-(-4x è o mesmo que 5 x , portanto
5.x = 25, donde .x = õ.
Resp. Na primeira caixa estão 5 lapis ; na segunda,
^X5 ou 20.
, •2- A somma de dois números é 9\- O maior^ 12 vezes o menor. Achar esses dois números-
que '^ 'iresentemos por x o menor dos =/soninial i l 12 vezes o menor, será 12 X x ou 12 x ■ ^dois números deve ser representada por x+ -" o> temos a equação
x + 12x = 91
ou 13x = 91
x = 7 .
O signal . •. lê-se « donde »■
á 12X'^ o»Se o numero menor é 7 , o maior ser
8 4 .
Realmente:
7 + 84 = 91; 84-1 ^ ^ ^ ^
3. O maior de
'^^not. j\ somma dos o
o^is números ?
M e n o r x
M a i o r 4 X X
4 X .
oblenia, A equação do pr" ^q,
X - F 4 X -
^ E Q U A Ç Õ E S
Resolvida esta equação, acharemos
X (numero menor) =12.
Portanto o numero maior x' (lê-se xis
= 4X12 = 48.
4. Se dô quintuplo de certo numero juntar
mos o triplo do mesmo numero, teremos lóS-
Achar o numero.
O numero x; seu quintuplo 5 x; seu triplo 3 X ■
A equação é
5X + 3X= 168
e a solução
x = 2 \ .
rprJ' n A e B, de modo que Areceba 1 vezes o que lecebe B.
P^^tedeB ;c; parte de A 7x.
A equação é
* + '7X = 5600 O
e a solução
* = 7 0 0 0 ,
"i X 7$000 = 49$^ o B É 7IC00; a de A será
ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 3 9
fl. A, B, e C possuem, juntos, 96$00IXB possue o dobro deC. e A tem tanto quanto
-e C reunidos. Quanto possue cada um/
P a r t e d e C *
Parte de B 2 x
Parte de A x + 2xou3x.
Os tres reunidos
Equação :
X + 2* + ^^
^j_2x-f3*-^96000■ 6 X = 9 6 0 0 0
^^1 6000.
Resp. Parte de C=16?000^ PJJo_^i6$000 == 2 X 16Í000 = 32$000; parte de A —
= 48$000.
Vertjteaçao: ,«COO + 32ÍOOO + «'»«-=«»»°'
„;n 4-195$000. Depois7 . U m h o m e m p o s s u i ^
gastar certa quantia, pastou ?
a^adruplo do que despendera. Qaa
nrvssiiia, portanto, ao todo.Gastou X ; ficou com 4 x; P
*~t~4x. A equação é
,4^=34195000; + r. = 4.95000
.. .V == 839000 .
Resp. Gastou 839f000,
4 0
EQUAÇÕES
ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS
41
A somma de tres numeras é 120. O
gundo é 5 vezes o primeiro, e o terceiro é 9 vezes
o primeiro. Quaes são os números P
tr. segundo 5.r: terceiro 9x. Sonnna dostres 120, portanto
x + 5x + 9x= 120
o u 1 5 x = 1 2 0
• x = 8 .
e^sp. Um dos números é 8, outro 40 e outro 72 •
minUn de tres números é 360. O se-
sommn H " primei! o, e o terceiro é dos outros dois. Achar os números.
Primeiro x
Segundo \^x
Terceiro x+UxoulSx
x+14x+15X = 36000 30X = 360
J c = 1 2 .
12+168== 12; segundo i4xx==168; terceiro
Verificação: 12 4-,«o ,*^ + 168+180 = 360.
T^fCS hnformar "rn capHai'^ n r^, contribuir parã® dará o dobro do
segundo, e o terceiro o dobro dodeve fornecer cada um para se formar
de 525 dollars ?
Parle do íegiiiuio x
' d o p r i m e i r o U x
• do terceiro 2x2a: oi i 4 X
pquaç.âo a; + 2x + 4x = 525ou 7X = 5®
X ss 15
■ ■ o V 75 = 150; terceiroResp. Segundo 75; primeiro 4 X
4X75 = 300.
Verificação : 75 + 150 + 300 = 525 .
U. o perímetro do triân
gulo rectangulo A é de 240
Pollegadas, e sabe-se que emlodo triângulo rectangulo os de
l''es lados são respectivamente, ^
4, e 5 pQ^ iini mesmo numeto.
Primento de cada lado-
,n sendo X um certoEm todo triângulo rectangu ' , portanto,
""mero, um lado é 3 x , outro 4X , e
sendo o perinietro 240 pollegadas,
3;,4.4x + 5X-240,
"luação que, resolvida, dá
12X = 240
•• ^ = 20.
or, fiODOilegadas; segundo7?esp. Primeiro lado 3 X 20 pX 20 = 80 poli.; terceiro 5 x X 20 -
Verificação ; 60 + 8 +100 =
42
EQUAÇÕES
/2. O perímetro de um re-
ctangulo é de 132 metros. A base é
a s
Altura B a s e 2 x
base com^raHn*'^" <^0 rectangulo é o dobro da
iguaes Porta t bases e duas altu• ''ortanto, o perímetro é
2 (A: + 2x)
®1"açâo do probirn*"^" ® de 132 metros, portanio, teremos ama se escrevermos :
2(^ + 2X) = 132
2X3;C=.132O" 6X=132
" • * == 22
2 V ^ ' b i r a H r ,><22 = 44 metros. '^ «anguio
^< r^ificaçao:
1 3 . A
22 metros ; ba^e
- + 44) =
132.13. A exten-ín
campo de fôrma 1 cerm
o c o m p r i m e n t o d n e n v o l v e w nachar as duas dL^Te"" ° 4t Tnsoes. de sua largura.
A L O E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S
4 3
bargura x comprimento 3x perímetro
2(x + 3x) = 320
ou 2 X 4 X = 320
o u 8 x = 3 2 0
X = 4C,
l^ esp. Largura 40 km. Comprimento 3X40=520 km.
Verificação : 2 ( 40 + 120 ) = 2 X 160 = 320.
14, O pe-
do qua-
yateroABCD
'J' 220 polle-cf*- O lado BC é o dobro do lado AD^ ^AB é o triplo do mesmo; o ^9"'va/d./e á somina de BCcAB. Achar
'^^ Prímento de cada lado.
Udo ad
" B C
" A B
" C D
X
2 x
3 x
2x + 3x ou 5x
BquaÇão
X
ou 11 ^
4 " ^ I ■ í v 4 - 5 x =+ "+220+
2 0 .
= 220
. l^esp. Lado AD = 20poll^ = 3X20 ou 60 polis.; CD
: BC-- .y 20ou 40 poli.:100 polis-= 5X20 0"
,100 = 220.Verlflc.ç,o: 20 + -» + ®+'^ .ompl"""'
^ 15. Os ângulos 3 x ^^^res ; quanto mede cada
4 4
E Q U A Ç Õ E S
4 5
13. Sendo sufple
7^, gnanto mede « anenlos
5 x e
/
Ângulos coniplenientares são aquelles cuja soninia é |
9 0 o , p o r t a n t o '
3 :*: + 7 .V = 90
o u 1 0 a : = 9 0
x = 9 .
T^csp. Os ângulos niedciu | ^ ^ g ^ 63» .
76. Qual o angulo que é o dobro do prop6°
(complemento ?
angulo!"'^ " ° complemento, o angulo é 2x; e conioconiplenientares sommados dão 90o ,
x + 2 x = 9 0 '
ou 3 :ic = 90
x = 3 0 .
P^- Portanto, o angulo é de 2 X 30 = 60".
p r o p r i a ^ ^ q u í n t a p l o d O
Angulo 5x
"^•"Plemento :c.
* + 5 X == 90
6 ^ - 9 0
ALGEBRA — RR/.ME/ROS P.-\SSOS
Ângulos suppiementares são aquelles que, sonuiiados,
180o. Portanto,
5a: + 7.\- = 180
o u 1 2 x = 1 8 0 . - . x = 1 5 .
1 5 X 1 ^ "Qs (jojg ângulos uiedein, pois, | ^ x 15= l®^ "
Qual o angulo que é o quádruplo de
^^(ppleniento ?
Supplemento x seu quádruplo 4 x.
X 4" 4 X = 180
o u 5 x = 1 8 0
x = 3 6 .
o angulo é, pois, 4 X 86 =
20. f/„j fazendeiro, nos
$225 por um cavallo e uma v
(cavallo quatro vezes o que dei
pagou por um e pela outra
Seja
x = preço davacca.
Portanto
4x = preÇodoca
x + 4^ -?^5X-229
ivallo-
1 ç /?esp, $45 . preço da vacc»^^ Vallo.
4 5 .
d o
X45
4 6
4 7
EQUAÇÕES
Verificação : Preço da vacca $45 .
Preço do cavallo $45X4, ou $180;Custo de ambos $45+ $180, ou $225-
21. Um fazendeiro tem tres vezes tndis
carneiros do que vaccas. Possue ao todo 1^8
cabeças de gado. Quantos, carneiros e quantas
v a c c a s ?
Numero de vaccas, x Numero de carneiros, 3X
Total x + 3 a:
Equação x + 3x=188
4:*: = 188
x = 4 7 .
Resp. 47 vaccas; 47 X 3 = 141 carneiros.
Verif.: 47+ 141 = ias.
veze^^^n!^ "^ 396 arvores ha tres
ras do nop Pecegueiros e cinco vezes mais maciei-cerejeiras. Quantos pecegueiros ha ?
Pomar x + 5x + 3x
Cerejeiras x
Macieiras 5 x
Pecegueiros 3x
Equação «.+ 5, + 3,=.39e
x~~AA ^ "^ = 396. numero das cerejeiras
Hesp. 44 X 3 — 1 qo^ ^ 32 pecegueiros.
gueiros 44 '"^cieiras 44 X 5 =220 ; pece-' • ^96 a rvo res .
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
í
l E x e r c í c i o
Resolver as seguintes equações, que poderi
resultado de problemas diversos :
b '7X = 3.5
2. 7i_a: = 72
3- 3a: + -2a; = ij0
11.25- 41 + 3;^ .=,^ .-,
* + 7 a; = 240
b ■v + 3a; = 40
3: + 5X = 120
3*-2 a: = 18
( l + S ) x = 4 r, o
12- 3:O-2„'• 'JK-2.r =1 3
3 0
2 a: .= 180
.0 =- 10
l + 3 . t _ 2 a ; = 2 0
• "ia; —2 a; —a: = 80
16. 7a:_5;c^ Cx = 4
Ip' ^ ® + 13 rc — (i X =3X + 4X = 1-2
3 7 .
x = 5
x = 12
x = 12
x = M
X -= õ
x = 30
x = 10
.V = 20
X = 6
X = ")0
X = 6
..ç = 180
x ^ 7 ■
x = 10
x = 10
1
x = -^-
116 X = 1
X " O
4 x —
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
3 0 .
3 1 .
3 2 .
3 3 .
34 . 7X
4 X + õ X = 106
7 ;c — X = 60
g .ç J-3.Í = 99
3x + Vx = 120
l lx-2x = 81
10 X
3 5 .
3 6 .
= •26
.3a; + 4x = 102 x =i U X — O a . - t - ^ —ga; + (4x-»:) = 9"
_(9a,_7x) = « ^ =
r - Í C =
2x + =r = l°
X = 82/3
12
11
9
. 1 2
9
: 9
. 3
: 5
: 4
= l
. 0
= -3'/í
= 8
6
15
6 Vi
3 '/3
■ - Ae DenominadoresEliminação ae f
33.-Apparecem'emas, equações em que desappa-
ünieros íraccionarios. b P . (^ jnadores, para
ou el iminar, esses executasse
jesolver as equações. nos problemas^^ciltnente, pelo methodo mdi
^^guintes.
4 8
EQUAÇÕES
Segunda Série de Problemas 1!
4 ,
: 2 = 6 3 ■
x_2 ~ 63 é o mesmo que x . -
c i e n t e ° P r o d u c t o d o d i v i s o r p e l o Q " ® '
facilmente os denom" Podemos fazer desapparecer
por uma simples ® Portanto a fôrma fraccionaria.
'""■""■sqwoLu.
V
2
p e l a
o u
= 63
"'"'dplicação :
= 63X2
* = 1 2 6 .
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
4 9
Qual O numero que, dividido pof
d á \ b 7
N i i n i e r o x
Equação ^..=3,6 J-.x=l6
4 4
naa equação resolve-se mentalireute, como ®Pag. 34, pois mentalmente se obtém o numero procurado,
multiplicando 16 por 4;
* = 1 6 X 4 = 6 4 .
fracção^ord-t^ ^duz uma divisão. Em uniadenominadÍr"rS;iL"""'"'''°' ° '
Se em logar do numero de laranjas que
possuo, possuísse o dobro, e as dividisse por tres
Possoas, tocariam 12 a cada uma. Quantas ha'?
Numero das laranjas -V
Dobro 2 .V
Equação "3^'= ^2
2 . x = 1 2 X 3
2 A- = 36
x = 1 8 .
e^sp. 18 laranjas.
mesma equação poderia ter sido dada
Pois q u e
eottiQ
O 2 X
X é o mesmo que 3 '
O
CO mesmo que 2
_L^ é o mesmo que
'^ ssim por dean te .
X.
5 0
e q u a ç õ e s
3- A somma de ~ e de certo numero
, 3 5e 90. Qual é esse numero ?
N u m e r o v • ^ j I I ^•"' ao numero -- a: ; ' - jo numero
o õ
Equação ^ ^ _gO
(-3- + -5 );r = 90
.("ê-+-i5)^ = 90
- f g - ^ = 9 0 o u = 9 0
i O
8^ = 90X 15
8J:= 1350
^=168 3/.!
® numero é 168
4 j ~ )
dinfieto ^ metade e mais '^ h^Quanto possuiá Tpossuía ?
g a s t o u . „ X , X10^ ou -2-+To',
o u X - ("2" +10^ '
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
Equação : x — (-- x + -j'q * ) = 24.
51
o u
1 ^ X-
2
■ X —
1 0
1 — -
1
"2
_ 1 )x
10 /
1 0 5 1 V
1o To "
" TO X
7 2 x
. X =
1
: 2 4 o u - y
2 . v = 1 2 0
.-. x = 60. Rcsp- 60 cents.
g '5- Depois de vender Vs nrlmitiva-
"mTT" ■'= "" ""'"ZS/eiro com 10Cor P^ ^^ uia, achou-se um fuz'"'''■os. Quantos possuía a princip'O
e^nd,
Possu iá X ;. , l _ v . c o m p r o u
V ^ A " ' ^
^ X X
"^ais-^ x, ficou com X- 3
'^ "^ação:^ ,, 1 ,1 1 x-70 ou X-T"^ 2y x - r 2
= 70,
XL = 70
( l-^+ 2 )
( 6 2 +')"•'">■TT—e^ 0^
5 2
EQUAÇÕES
7 1 X-g-x = 70 ou -^ = 70,
7 X == 420
. •. X = 60 Resp. 60 carneiros.
E x e r c í c i o
Resolvera equação ® -j- = 15 .
Devemos observar que a: é o mesmo que 1 x e que
" L
é o mesmo que
portanto, póde-se escrever.
1 ® + 4"" =
( l +
-|-» = lõ ou ^ = 15
3 X = 30 ,
"= = 10. '
Vérlflcação: 10 + ^
2. Resolver x ~ " r>
® = 9 .
3
o u = 9
3x = 30 ,
Verificação: la_ ^2
4 = 1 2 - 3 = 9 .
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
3- Resolver 2 x -j-
(-H ■O—'
Resolver
2 X = 2u ,
^"ificação:
iícso/ver.
5 X = 50 ,
x = 1 0 . / ? e s p .
(-r+r)- = ^®'
(4. + A-)x = 33,
®- X = 38 ,
» 3 X = U 1 .
x = 4 8 . / ? e s P -
tô , 04 -t- 1-2 = 86.
2 4
X , 3x BX_50.
T + 4 9
/I 3. - i- V(^-3-+ .4 9 /
/ 18 2T i? V( |b+86- 83/
25« = 50
3 6
2õx = Í800
. X = T 2 .
= 50
= 50
6 4
6 .
Resolver :
- = 2 0
7. -^ = 14
8. ^ = 24
9 ' v : 7 0
10. ^ a- = 36
1 1 . =
12. 2:c-|-=ao
13. 2x~JL=^iÇi
1 4 . +
15.
16.
^ , 1
*õ~ i- -J- X = 20
J- 3- ' ®
17. 4 +A.d ^ G
e q u a ç õ e s
X - - - I C O
a: = 4i>
1 8 . 1 .1. 4 X = 20;t ® -1-
,9. f + ^-as
a; = 27 3/7 20. a: —4==®
G o
x = & 0
X = 4 5
X = I G
x = 2 0
X = 2 S
' x = 4
2 1 . . 4 - 4 X = w
CO22. a;+4 + 4 =
23. a; + 4+ y- = 35
24. .+ ^_í4 = 32^ G i >
25. 3 X — -jy X = 67
X
X
X
X
X
X ==
X =
= 32
= 2i
= 96
= 20
= 36
= 30
30
27
2 6 . , r _ ; 1 x2 4 ■
3 X ^ ^ X' 8
3 0
X = 2 0 2 / 3 2 7 = 1 8 . X• 2 + r > 1 0
» = 3 0 2 8 . a ; _ 4 - = U x
a ' 5
»= = t'0 29. 4X-5Í;4-7® = 76 -V
2 ^ 8
224
= 30
= l6
= 32
'^'onsposição
ceis, que algumas extremamente ía-encontrado equacLr^ i"^ mentalmente, só temoSdeltas se acham oq t primeiro membro
dentes de x. ecnhecidos, ou indepen-
A L G E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S 56
Vamos agora occupar-nos de algumas uraauto mais complexas, em que se encontram, querno primeiro, quer no segundo membro, termos em
* e termos conhecidos.
l^ ada a equação simplicissima
x + 4=12,
'tde mentalmente se resolve, percebe-se claramente
d^e essa expressão traduz uma somma : x Q 4as parcellas; 12 é a. soinma, ou todo.
Ora, na somma
® Parcella
como
etn
em
7 - 1 - 6 = 1 3 :
7 é 13 — 6,
6 é 13 — 7:
10 4-2=12 I '2=12 — ^®'
254-9 = 34
Em geral, qualquer pa
nuíro parcella.
somma meros
^ E Q U A Ç Õ E S
Assim, na som ma
x + 4 = 12
uma das parcellas será
X = V 2 — A .
Se agora compararmos a equação
expressão do valor de x, veremos que do pr'
membro da equação desapareceu o ternioíoi apparecer no segundo membro. Mas no pr'
membro era uma quantidade a sommar;
gundo appareceu como quantidade a subifO
Seja agora a equação
X — 4 = 1 6 .
Isto é a expressão de uma siibtracção: * ® °
mmuendo, 4 o subtrairei.do, 16 o resto, excess"OU differença.
<^ra, em
o minuendo 15
e m
1 5 - 4 = 11 -
o o mesmo que 11 - 4;
^ = 14 99 A> e o mesmo que 14 + 8.
tm geral, nmais o subtrahendT'^ '' ^ sempre igual aO
ALOEBRA — PR/ME/KÜS PASSOS
Assim, na subtracção
57
X — 4= 16,
° "I'liueiido
* vale 16 + 4 e podemos
e s c r e v e r x = l6 + 4.
esta ^ compararmos a equação dada comdo valor de x, veremos que do
4, Q 'uembro da equação desappareceu o termo
pri^ f apparecer no segundo membro. Mas nolio s "lembro era uma quantidade a subfrahir,êándo appareceu como quantidade a sommar.
Podetn^^ exemplos que acabamos de examinar,outro ® r,uc:-para passar de um pa«
a r , ' " " ' " " e s c r e -Vel-rs P^gal-o no membro onde se acha,
outro, porém com o signavos de „e„os, e menos em ves
Vei
i n'«ís
le
^ 4 t e r m o d e u m q u e s e
i-espeitado esse devemos
transpor. Dada ama% ün ^ ''^ I^sposições necessariaSs P^ gutro
^^ypiiQ '^ o^mbro os termos em'^^ dependentes.
5 8
6 9
EQUAÇÕES
E x e r c í c i o
1. Resolver a equação x + 16 = 36.
Transpondo, x =36 — 16
X = 1 9 .
2. Resolver x —82 = 70.
Transpondo, x = 70 + 82
X = 1 0 2 .3. Resolver 3x —18 = 2.x
Transpondo — 18 e 2 x , 8 .v — 2 .v = JS
x = 1 8 .4. Resolver 3 x + iio = õo + 2 j..
Transpondo 30 e 2 x , 3 x — 2 .v = 60 — 30
X = 2 0 .5- Resolver 3 x — 40 = 10 + 2 x.
Transpondo — 40 e 2 a; , 3 x — 2 X — 10 + W
X = 6 0 .
Resolver;
6. X
7 . X -
8. 2 X
9 . B x
10. 2 X
11. 2x
12 . 8x
1 3 . 3 x
14. 7 X15 . 4x
16 . 3x
5 0
20 = 70
= 50 + a:
= B0 + 2x
-20 = a:
+ 6 = 12
6®+ 40
- 1 5 = 1 5
6x + 19
— 4 = 40
+ 30 50 + 2x
a: = 20 17. 7 X - 20 = 6 X + 70
X = 90 18. 2 .x -(- 80 = 80 + X
X =" 60 19. 3 X — 10 = 10 -i- 2 X
« = 60 20. 7x — 30 = 6x — 10
X = 20 21. 2x + 6 —x = 12 —X
= 3 22. 8 X + 15 = 3 X + 56
» = 8 23. 3X_]5 + 4X = 26- -
X = 10 24. 9 X - 1 - 2x = 6 X + 20
x = 19 25. 8x — 8 = 40 + áx.— 1
== =■ 11 26. 5 X + 50 = 4 X + 53
X = 20 27. 18 X - 11 = 7 X + 70
3 X
X ==
X
X
X =
X =
x =
X =
X =
X =
X ==
X =
Al-GEDRA — PRIMEIROS PASSOS
A Ba lança
35.—As operações relativas á transposição
termos e á eliminação de denominadores serão
ainda mais facilmente compreliendidas por meio
balança.Toda equação pôde ser, com muita propne
comparada a uma balança em equilibrio.
Supponhamos col
e m u m d o s
■^"atos da balança tres®quelles objectos a
® convencionámos
o nome de x. Esses
Jbjectos pesam, ao5 kg. Se collo-
r^mos no outro pratopeso de 5 kg., a
^ alança ficará em equi-^ rio. Esse equilibrio é•^aduzido pela equação
3 -v = 5 •
S e t o m a r m o s
S^ora uin peso de 2§• e o puzermos ao
^^0 dos 3 X, que
^Uccederá ? Haverá
e^rçosamente um des-
EQUAÇÕES
equilíbrio, pendendo a balança para a esquerda,
onde estarão, não mais 3,\-, e sim 3x + ^ ,
Para que a balança volte ao equilíbrio, qu®
será preciso ? Bastará que ao lado do peso de
5 kg. coHoquemos outro de 2 kg. O equilibria
será então traduzido pela equação "
3X + 2 = 5 + 2.
O equilíbrio, pois, continiia, quando a ambosos pratos da balança se juntam pesos igua®s.
Assim, não se altera a equação quando a afflbosos seus membros se juntam quantidades iguaes.
. '^«"^Prehender também que toda quaU"made que fôr retirada de um dos pratos determinaráum desequilíbrio, pendendo a balança para o lado
opposto, e que esse desequilíbrio se corrigirá desdeo ^ retire do outro prato a mesma quantidade,
üenerahzando, portanto, póde-se estabelecer
sommnf"^ de uma fracção é
subtrahirl ^ "antidade- de andms é licitose Zn ^ '^ontidade, sem cjae a equação
-Se-Dada, pois, a equação
podemos escrever
3X + 8 = 24 + 8
3^-15 = 24-,53 * - 23 == 24 23
etc .
A L O E D R . A — P R I M E I R O S PA S S O S
Consideremos agora a equação
' 4 . V + 3 0 = 5 0 .
No primeiro membro existe o termo indepen-
I 30. Se subtrabirmos 30 a esse primeiro
. '^ '^ bro, dcsappareccrá tal termo ; mas para que
[ ossamos subtrahir 30 do primeiro membro d pre-
subtrahir o mesmo do segundo membro.
•^ ortanto :
4x4-30 - 30 = 50 — 30 ou 4x = 50 —30.
J Como se vê, o que se fez foi, realmente, a"aposição do termo 30. Dali vem :
4 x = 2 0
.v = 5.
a equação
5.v-f 12=^4 X-pis.
Subtraiamos de ambos os membros
5 x = 4 x - t - i 8 - '
"^^ ''■aianios de ambos os membros 4X,
5x-4x=-I8-'2- _
tie 3e vê, houve transpos>ça
Dahi virá ainda : ••
( a
E Q U A Ç Õ E S
A transposição dos termos, com a troca dos
respectivos signaes, pode, pois, ser explicada pCmeio da somma ou da subtracção de quantida
adequadas, a ambos os membros da equação da a.
. ? 7 — i i m d o SSupponhamos agora que em umpratos da balança está collocado um embru.
r n n f ó i - n + é u 6
ua uaiança está collocado um embrulho, Qcontém tres objectos x, ou 3x, cujo peso d ®^ kg. o equilíbrio da balança traduz-se P®
equação
3 .r = 5.
Se ao lado daquelle embrulho collocarmosutro. Igual, que contém também 3 X, com o mesni°
"obrado o peso que suppor» °
equilíbrio ® o balança soffrerá mu
dapdyZ" " ^ luilil'rio ? Nau.ralme»'=
direita Se uui'^ em o peso collocado no praibn>a!or será" se tornar Ires ver"o da diret T"" 'd-s maior se torne
OenTrãV ""de deante.""■eur pcíÔ l"'"- "''dddda que -podrarosdoia equação, p "bolero ambos os íernios "
podemos tamhpr, Que se podemos
O fi d i v i d i r .pois, a equação
3x = ..
ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS
poderemos escrever, multiplicando ambos os mem
bros por 4 :
12.v = 20 ;
por 6 :•
1 8 x = 3 0 ;
por 15;
45 .V = 75.
6 3
® ^ ssim por deante.
, 39.~k multiplicação de ambos os membros
7 equação serve para eliminar denominadores.Assim, seja a equação
3 X
1 2 .
Se multiplicarmos ambos os
®^ Pação por 7, teremos:
1° membro
membros da
yX-7.
é o mesmo que 3 x :
2 ° m e m b r o „
1 2 X 7 -
Portanto a equação:ão virá
3;C==12X7...
3X = 84
, V = 2 8 .
6 4
E Q U A Ç Õ E S A L G E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S
Seja agora a equação
2^ + A = 7
3 ^ 2
linador.
•i\
Quando houver mais de um deiiorn.-
escolhe-se um, múltiplo de todos, sendoo menor múltiplo commum. O m. m. c. dos den
minadores é, no caso actual, 6. Multipliq"e'"°
ambos os membros por 6. Virá :
1° membro
("í + -f')x6 = ->^g?í + ^^ = 4x + 3*;
2° membro
Equação :
7 X 6 .
4x-f3x = 7x6,
T X = : 4 2
■ • • X = 6 .
r eg ram. c dai ® a seguinte : Procurar
P""- cada um / dividir esse m-'multiplicar pelo ''f '^ '^"'!"'madores, e o luocieasempre que q,, ,/^ Pcctivo numerador. ObsefVv^esse S„,° <l.„„,„i„ador é co»"escnpto o denominador
1 .
Seja a equação
3 X 2 X X . .
"7 + 9~" 18
^ 171. rn. c. dos denominadores é 126:
( i26 -^ -7 )X3x dá 54x ,
( 1 2 6 - - 9 ) X 2 x d á 2 8 x ,
( 1 2 6 - f - 1 8 ) X J í d á 7 x .
^ equação pôde, pois, ser escripta :
54 X-f 28 X — 7 X = 1890 ,
7 5 x = 1 8 9 0
x = 2 5 5 ■
ResoW
E x e r c í c i o
-^-+6=^ + S-
eliminando os denominadores ( m. m. c. - 6)
Ifati'spondo
Ou
3j. + 36 = 2a' + ^l
3«-2a; = tó-33
: 1 2 .
Veri f icação ; - t"
12 + 8
. 6 + 6^ = 4 + 8
. 12 ■
freqüentemente
l«rmos'„ Os alumnos esq,"®""^ erro'°s conhecidos, e isto e causa o
de nuu l t i p " " " '
6<J
2- Resolver
E l i m i
transpondo
o u
donde
E Q U A Ç Õ E S
Eliminados os denominadores
12x^. ix-l 3x -i - 1-20;
l'-2 a: — 4 a: — 3 x = 120
õ a- = 120 ,
ALOEERA — PRIMEIROS PASSOS
X = 2 1 .
V<^riUcaçao: 24
O =
j .1.0+10;-^°' 2 i .
R e s o l v e r t -2~ +-KX— o
E'iniinando os denominadores
t^uspondó ""í^ + tai-oo^ 30;
o u ® + 4 a : = b o - ) - G O
d o n d e O x = 9 o ^
X = 10.
''""'"cr 2a:_ll^
Eliminando os denom" ^
denominadores
2 0 0 a : _ i j .t r a n s p o n d o « a = , 1 7 ^ .^ + toe a:.
O U
d o n d e
^ ® = 17400 ,
a : = 200 .
/
Resolver:
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
to.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1 9 . - i "
3 ~
20.
21.
o -i 30 -30--^
- i 3 -
H x _ :3 X ,
õ "5^ -r
— 3 - 3 X
7
X ^ I -
- . r ■3 f
1 = 4 .
Al. = 10.
X
111 = 37.
a :
1 0 0
.ILxA?- =. -1.
:3 a;■ "4
t í
<3 a; — õ
" 1 6
h x
6
=Í^ + Í2-4
r X
i r
ú
O a ;
1 0
i c ^ 2 0
1 = 3
a; = S
a: - 14
a; = 30
x = 3 0
X = 4
x = 3
X = 10
x = õ
X = 1"
a; = 30
a: = 30
a, = 120
4- + l + -r-^Ti"
Resolver ?-íí _ i = a; — 13-
3
'^'"'iiiaiido os dc-iicniinadores
2 a;-3 = 30.--an- ^ ~
effectnasseiiios agora .a transposição ^
. , „ - . 3 - S 9 . . . . y•2 a: - 8 a: =.5 ■
e s
Mas nem
n e m
E Q U A Ç Õ Í : S
■1 X — 3 X
3 — :í!i
têm significação, para nós, que por ora não podemos ""produ»'
maior subtraindo de um menor. Sempre qne a transposição vi 5 quees e resiiitado, devemos passar para o segundo membro os je
possuem x, e deixar 110 primeiro os termos conhecidos, tendo o ^ b^ros,escrever em primeiro togar, tanto 110 primeiro como no see""""os termos que têm signai + (ou sem signal, o que é a mesma
39 - 3 . li K — 3 X ,
Dizer, porém,
ê o mesmo que direr
= 3 - .
a6 = a:
transpondo
K — a s .
22. Resolver —Ba:
I B = 1 .
E'immando o denominador
= 13,
« x .
d o n d e
X = 2 .
a l g e b r a — I ' R I l E / R O S PA S S O S
23- Resolver 33 —
Eliminando o denominador
. 3 - 2 1 — 1 X ^ 7 2 ;
'mnspondo
O u B 2 4 — 7 2 4 a :
o u
doiidi
6 9
2 5 2 4 X
4 x = 2 5 2