Avaliação 2 BAS A3 versao 2

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Centro Acadêmico CEC 
Disciplina Cálculo II 
Professor Ana Carolina Carius 
 
 
 Nome: RGU: Nota 
 Curso: Ciclo Básico Período: 
 Turma: BAS A3 Data: 
 
Orientações 
1- As questões devem ser desenvolvidas nesta prova na área quadriculada; 
2- A resposta das questões deve estar à caneta. O desenvolvimento das mesmas pode ser 
feito à lápis; 
3- Os celulares devem ser desligados e guardados. Seu uso não é permitido durante a prova. 
4- É permitido o uso de calculadora; 
5- A prova vale 10,0 pontos e a vista da mesma será no dia 4/10/2017 às 20:50 h na sala A 
207. 
 
Questão 1 (valor 2,0 pontos) 
( A ) Seja 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑥 = 𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑒 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡. Determinar 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
. 
( B ) Seja 𝑢 = 𝑒𝑦/𝑥; 𝑥 = 2𝑟 cos 𝑡; 𝑦 = 4𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑡. Determinar 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 𝑒 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
. 
 
 
Questão 2 (valor 2,0 pontos) Determinar os planos tangentes para as superfícies abaixo nos pontos 
indicados: 
( A ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 8, 𝑃(2, −2, 0). 
( B ) 𝑧 = 𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑦, 𝑃(0,
𝜋
6
, 1) 
 
 
Questão 3 (valor 2,0 ponto) Considera a função 𝜌(𝑥, 𝑦) =
𝑥−𝑦
𝑥𝑦+2
, que descreve a densidade em uma 
placa retangular xy. 
( A ) Determine a taxa de variação da densidade, no ponto P(1,-1), na direção do vetor �⃗� = 12𝑖 + 5𝑗 . 
( B ) Qual a direção na qual a taxa de variação da densidade é máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 (valor 2,0 pontos) Calcule: 
( A ) ∫∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝐴,𝑅 onde R é a região limitada pelas retas 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 =
1
2
𝑥 𝑒 𝑥 = 𝜋. 
( B ) ∫∫ ln(𝑥2 + 𝑦2 + 1)𝑑𝐴𝑅 , onde R é a região limitada pelas circunferências 𝑥
2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 +
𝑦2 = 4. 
 
 
 
Questão 5 (valor 2,0 pontos) Calcule: 
( A ) ∫ ∫ ∫ 𝑦𝑒𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
ln 𝑥
0
𝑦2
𝑦
2
1
 
( B ) ∫ ∫ ∫ cos
𝑦
𝑧
 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
𝑥𝑧
0
𝜋/2
0
𝜋/2
0