Quadricas

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
QUÁDRICAS
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Esfera
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Esfera
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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CONCEITO
Uma QUÁDRICA ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço 3D, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação do 2º grau a, no máximo, três variáveis:
As superfícies ELIPSÓIDE, PARABOLÓIDE e HIPERBOLÓIDE são os nossos principais objetivos neste módulo do curso.
A ESFERA, o CILINDRO e o CONE são casos particulares de SUPERFÍCIES QUÁDRICAS;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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CONCEITO
As equações que representam as quádricas PARABOLÓIDE, ELIPSÓIDE E HIPERBOLÓIDE podem ser enquadradas em duas categorias:
Quádricas CENTRADAS:
Quádricas NÃO CENTRADAS:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Esfera
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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DISCUSSÃO 
 Algumas propriedades de uma superfície podem ser determinadas por métodos análogos àqueles aplicados ao estudo e cônicas;
 Há três propriedades de fundamental interesse no estudo de quádricas, quais sejam:
 Traços sobre os planos coordenados;
 Simetria;
 Centro (translação da equação CANÔNICA).
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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DISCUSSÃO: Traços
 As curvas de intersecção de uma superfície com os planos coordenados são seus TRAÇOS;
 Determinação dos Traços: Obtém-se as equações dos traços de uma superfície IGUALANDO a ZERO, sucessivamente, x, y e z na equação da superfície. Para o exemplo abaixo:
 Traços: Circunferência “punctual”:
 Parábolas:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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DISCUSSÃO: Simetria
 A SIMETRIA pode ocorrer de três maneiras:
 Em relação aos EIXOS coordenados;
 (a equação não se altera com a troca de sinal de duas variáveis)
 Em relação aos PLANOS coordenados 
 (a equação não se altera com a troca de sinal de uma variável)
 Em relação à ORIGEM
 (a equação não se altera com a troca de sinal das tres variáveis)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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DISCUSSÃO: Simetria – Eixo 
 SIMETRIA em relação aos EIXOS coordenados;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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DISCUSSÃO: Simetria - Plano
 SIMETRIA em relação aos PLANOS coordenados;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE
A equação CANÔNICA que representa um ELIPSÓIDE é dada por:
Eixos Principais: 2a, 2b e 2c
Traços: Elipses: xOy: xOz:
Simetria: em relação aos planos e eixos coordenados e à origem;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 1.1 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 1.2 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 2.1 
Determine a equação representativa do elipsóide abaixo:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 2.2 
 Equação Canônica:
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Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 2.2 
 Rotação de z’: 0 deg 
 Rotação de y’: 45 deg
 Rotação de x’’: 90 deg
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 2.3 
 Rotação de z’: 0 deg 
 Rotação de y’: 45 deg
 Rotação de x’’: 90 deg
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSÓIDE – 2.3 
 Translação: x0= 1, y0= -1 e z0= 0
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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HIPERBOLÓIDE – 1 FOLHA
Considere a equação de uma quádrica CENTRADA. Quando dois dos sinais forem positivos e um deles for negativo, o lugar geométrico se chama HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA:
Eixos Principais: Abcissas e Ordenadas à origem: 
Traços: Elipses e Hipérboles
Simetria: em relação aos planos e eixos coordenados e à origem;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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HIPERBOLÓIDE – 1 FOLHA
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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HIPERBOLÓIDE – 1 FOLHA
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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HIPERBOLÓIDE – 2 FOLHAS
Considere a equação de uma quádrica CENTRADA. Quando apenas um dos sinais for positivo, o lugar geométrico se chama HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS:
Eixos Principais: Abcissas à origem: 
Traços: Elipses e Hipérboles
Simetria: em relação aos planos e eixos coordenados e à origem;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de uma Superfície
Superfícies Particulares
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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PARABOLÓIDE
Considere a equação de uma quádrica NÃO CENTRADA. Quando o coeficiente de y2 for POSITIVO, o lugar geométrico se chama PARABOLÓIDE ELÍPTICO
Eixos Principais: Coordenadas à origem: Nulas 
Traços: Elipse “punctual” e Parábolas
Simetria: em relação aos planos YZ e ZX e ao eixo Z
Este parabolóide se situa ao longo do eixo Oz. (termo 2cz)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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PARABOLÓIDE
Considere a equação de uma quádrica NÃO CENTRADA. Quando o coeficiente de y2 for NEGATIVO, o lugar geométrico se chama PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
Eixos Principais: Coordenadas à origem: Nulas 
Traços: Par de retas concorrentes e 2 Parábolas
Simetria: em relação aos planos YZ e ZX e ao eixo Z
Este parabolóide se situa ao longo do eixo Oz. (termo 2cz)
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
ROTEIRO
Módulo 2 – QUÁDRICAS
Conceito
Discussão da Equação de
uma Superfície
Superfícies Particulares
Elipsóide
Hiperbolóide
Parabolóide
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.1 
A equação de uma superfície quádrica centrada pode ser escrita na forma abaixo. Os pontos dados abaixo pertencem à superfície. Determinar a equação e caracterizar a superfície.
	
	i. 
	ii. 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.2 
Substituindo-se as coordenadas de A, B e C na equação da superfície, tem-se:
Para D= 0, obtém-se a solução TRIVIAL (A=0, B=0, C=0 e D=0). Adotando D=-4, obtém-se:
* 3 termos quadráticos (S. Centrada), 2 sinais negativos: Hiperbolóide 2 folhas
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.3 
Substituindo-se as coordenadas de A, B e C na equação da superfície, tem-se:
Para D= 0, obtém-se a solução TRIVIAL (A=0, B=0, C=0 e D=0). Adotando D=-4, obtém-se:
* 3 termos quadráticos (S. Centrada), 3 sinais positivos: Elipsóide
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.1 
Superfície NÃO CENTRADA: Parabolóide ou
 P(0,0,-9) pertence à superfície
Seção: Circunferência (a=b)
Resposta: C 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.1 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.2 
Curva C1: corresponde à intersecção do plano z=1/2 e a quádrica
Hipérbole: (voce saberia desenhar?)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.3 
Curva C2: corresponde à intersecção do plano y=2 e a quádrica
Parábola no plano paralelo a xOz: (voce saberia desenhar?)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.4 
Curva C3: corresponde à intersecção do plano y=0 e a quádrica
Parábola no plano xOz: (voce saberia desenhar?)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 4.1 
A equação de uma superfície quádrica centrada pode ser escrita na forma abaixo. A quádrica passa pelo ponto A(1,-1,3) e pela curva dada pela equação (i). Determinar a equação e caracterizar a superfície.
	
	i. 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 4.2 
Desta vez, ter-se-á três condições de análise para a determinação dos parâmetros A, B, C e D: 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 4.3 
Fazendo as substituições:
B = 4 ; C = 3 ; – D – 4A = 28 e, portanto, A = 1 ; D = – 32 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 4.4 
Logo:
* 3 termos quadráticos (S. Centrada), 3 sinais positivos: Elipsóide
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