Aula 4 ARMA

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 4 – O MODELO ARMA
Prof, Ricardo Chaves Lima
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Modelos de Séries Temporais Univariados
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I. O Modelo Ruído Branco (white noise):
➢ Uma série de tempo (εt) é um processo ruído branco se cada 
valor da sequência tiver média zero, variância constante e for 
não correlacionado com os demais valores (Enders, 2004);
➢ Seja o modelo,
yt = εt
➢ Formalmente temos:
E(εt) = E(εt-1) = ... = 0
E(εt
2) = E(εt-1
2) = ... = σ2
E(εtεt-s) = E(εt-jεt-sj-) = 0 para todo j e s
Dois Caso Especiais
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II. O Modelo de Passeio Aleatório (Random Walk):
➢ O modelo de passeio aleatório é não estacionário;
➢ O modelo não tem termo constante e não se move de forma 
persistente em uma direção definida. Pelo Contrário, move-
se aleatoriamente levado pelos choques estocásticos (εt,) 
(Pankratz, 1983);
➢ É comumente usado para previsão de valores de índices e 
ações em mercados financeiros.
yt = ϕyt-1 + εt, 
para ϕ = 1
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Os Modelos Autoregressivos AR(p)
yt = ϕ1yt-1 + ϕ2yt-2 + ... + ϕpyt-p + εt
Para ϕ0 = 0 
yt - ϕ1yt-1 - ϕ2yt-2 - ... - ϕpyt-p = εt
(1 - ϕ1L - ϕ2L
2 - ... – ϕpL
p) yt = εt
Fazendo ϕ(L) = (1 - ϕ1L - ϕ2L
2 - ... – ϕpL
p) 
ϕ(L)yt = εt
yt = [1/ϕ(L)] εt
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Os Modelos de Média Móvel MA(q)
yt = εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - ... – θqεt-q
Fazendo θ(L) = (1 - θ1L - θ2L
2 - ... – θpL
p) 
yt = θ(L)εt
yt = (1 - θ1L - θ2L
2 - ... – θqL
q) εt
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Os Modelos ARMA(p,q)
yt = ϕ1yt-1 + ... + ϕpyt-p + εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q
ϕ1yt-1 - ... - ϕpyt-p - yt = εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q
ϕ(L)yt = θ(L)εt
yt = [θ(L)/ϕ(L)]εt
Note: os modelos ARMA(p,q) são estacionários e inversíveis 
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Simulação de um Modelos ARMA(p,q)
# ARMA simulation
set.seed(123)
armasim<- arima.sim(n = 100, list(ar = c(0.88, -0.49), 
ma = c(-0.23, 0.25)),sd = sqrt(2)) + 10
armasim
plot(armasim)
Modelo Simulado
yt = 10 + 0.88yt-1 – 0.49yt-2 – 0.23εt-1 + 0.25εt-2 + εt
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O Método de Box-Jenkins
Identificação
Estimação
Diagnóstico
Previsão
(p, d, q)
software
AIC, SBC, R2-ajustado, t, Q 
Previsão ex-post, escolher o 
melhor modelo 
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O Método de BJ – Identificação 
• A escolha de d: 
❖ A grau de diferenciação d, da série temporal, é o primeiro 
parâmetro a ser escolhido;
❖ Assumindo que o modelo ARMA(p,q) é estacionário, d = 0.
• A escolha de p e q
❖ Observar a FAC e a FACP
Formato da FAC/FACP Tipo de Modelo
• FAC com Queda exponencial; Modelo AR(p), usar a FACP para decidir a ordem 
do modelo;
• FAC Alternando valores 
positivos e negativos;
Modelo AR(p), usar a FACP para decidir a ordem 
do modelo;
• FAC com um ou mais picos e 
o resto zero;
MA(q), observe os picos da FAC para decidir a 
ordem;
• Queda logo após poucas 
defasagens.
ARMA(p,q)
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O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
• Os Critérios AIC e SBC
❖ Observar o ajuste do modelo pelos critérios AIC (Akaike
Information Criterion) and SBC (Schwartz Bayesian 
Criterion);
❖ O aumento de defasagens de AR e MA que não contribuam 
para uma melhor previsão, deve implicar em um crescimento 
da soma do quadrado dos erros (SQE);
AIC = T ln (soma do quadrado dos resíduos) + 2n
SBC = T ln (soma do quadrado dos resíduos) + n ln (T)
Onde, 
n = número de parâmetros estimados (p + q + possível termo constante)
T = número de observações utilizáveis
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• Os Critérios AIC e SBC (continuando)
❖ Note que modelos com melhores ajustes mostram menores 
valores de AIC e SBC, inclusive do lado positivo da reta 
numérica. Ou seja, AIC e SBC aproximam-se de menos 
infinito quanto melhor o ajuste do modelo;
❖ Considerando que ln(T) será sempre maior do que 2, o custo 
marginal de adicionar um regressor (aumentar n) é maior 
para SBC.
❖ Deve-se ter sempre em mente o critério da parcimônia. Ou 
seja, para modelos com mesmo AIC e SBC prefere-se 
sempre o menor.
O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
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O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
• O R-quadrado ajustado e as estatísticas t
❖ No modelos ARMA deve-se observar os valores do R-
quadrado ajustado e significância dos parâmetros;
• A Estatística Q (Ljung-Box-Pierce) para os erros
❖ A regra geral é que modelos com melhor ajuste e poder de 
previsão têm erros não correlacionados no tempo. Assim, a 
estatística Q é usada para examinar autocorrelação
conjunta para os termos de erro do modelo:
Para s autocorrelações, p termos autorregressivos e q termos de média 
móvel, a estatística Q tem distribuição qui-quadrado com s – p – q
graus de liberdades (ou s - p – q – 1 se o modelo tiver intercepto). A 
hipótese H0 é de resíduos não autocorrelacionados.
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O Método de BJ – Previsão
• Propriedades da previsão
❖ A maior importância dos modelos do tipo ARMA é a 
realização de previsão. Considere um processo do tipo 
AR(1): 
❖ Atualizando um período a frente, temos:
❖ Conhecendo os coeficientes ϕ0 e ϕ1 pode-se prever yt+1 
condicional à informação disponível até o período t;
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt
yt+1 =ϕ0 + ϕ1yt + εt+1
Etyt+1 =ϕ0 + ϕ1yt
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O Método de BJ – Previsão
• Propriedades da previsão
❖ Para 2 períodos à frente temos:
❖ Portanto, a previsão no tempo (t+1) é utilizada para prever 
no tempo (t+2), e assim sucessivamente. Assim, no tempo 
futuro (t+j), a previsão é:
❖ É possível, portanto, obter uma sequência completa de 
previsões (função de previsão) j passos à frente, da 
seguinte forma:
Etyt+2 = ϕ0 + ϕ1Etyt+1
Etyt+2 = ϕ0 + ϕ1(ϕ0 + ϕ1yt )
Etyt+j+1 = ϕ0 + ϕ1Etyt+j
Etyt+j+1 = ϕ0(1+ ϕ1 + ϕ1
2 + ... + ϕ1
j-1) + ϕ1
jyt
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O Método de BJ – Previsão
• Propriedades da previsão
❖ Observe que, a medida em que avançamos para o futuro a 
qualidade da previsão é reduzida por causa do aumento do 
erro de previsão;
❖ Erro de Previsão - para a previsão j passos à frente, o 
erro de previsão é:
et(j) ≡ yt+j - Etyt+j
❖ A variância do erro de previsão é:
Var[et(j)] = σp
2 = σe
2(1+ϕ1
2 + ϕ1
4 + ...+ϕ1
2(j-1) ]
onde σe
2 é a variância do erro do modelo.
(≡) Idêntico a
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O Método de BJ – Previsão
• Propriedades da previsão
❖ Assim, para previsão 1 passo à frente, a variância do erro 
de previsão é σ2, para 2 passos à frente temos σ2(1+ϕ1
2 ), 
a assim sucessivamente;
❖ O intervalo de confiança de previsão de 95% para 1
passos à frente é: 
ϕ0 + ϕ1yt ± 1,96σe
❖ Para 2 passos à frente:
ϕ0(1 + ϕ1) + ϕ1
2yt ± 1,96σe (1 + ϕ1
2)1/2
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O Método de BJ – Previsão 
• Avaliação da Previsão (Previsão ex-post)
❖ A previsão ex post é realizada em um horizonte de tempo 
passado sobre o qual tem-se conhecimento dos valores da 
série. Compara-se, então, os valores previstos contra os 
valores ocorridos com o objetivo de medir a performance 
do modelo. A medida comumente utilizada é o Erro 
Quadrado Médio da Previsão (EQM), que é calculado da 
seguinte forma:
❖ Onde k é o horizonte de previsão ex post, geralmente entre 4 e 6.