Aula 6 TESTE PARA RAIZ UNITÁRIA

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 6 – TESTE PARA RAIZ UNITÁRIA
Prof, Ricardo Chaves Lima
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O TESTE DICKEY-FULLER
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• O modelo AR(1), do tipo, yt = a1yt-1 + εt , é considerado 
estacionário se -1 < a < 1. Da mesma forma, se a = 1, o 
processo contem uma raiz unitária (RU);
• O objetivo do teste Dickey-Fuller é testar estatisticamente a 
ocorrência de RU em uma processo estocástíco
• Subtraindo-se yt-1 dos dois lados da equação acima, pode-
se reescrever o modelo da seguinte forma:
Δyt = γyt-1 + εt
• Considerando que γ =(a1 – 1), testar a hipótese a = 1 é a 
mesma coisa que testar a hipótese γ = 0;
• Dickey and Fuller (1979) apresenta três diferentes 
equações de regressão para testar a ocorrência de raiz 
unitária: i) modelo sem intercepto e sem tendência, ii) 
modelo com intercepto e iii) modelo com intercepto e com 
tendência;
Enders, 2004
O TESTE DICKEY-FULLER
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• Modelos para o teste DF:
Δyt = γyt-1 + εt (1)
Δyt = a0 + γyt-1 + εt (2)
Δyt = a0 + γyt-1 + a2t εt (3)
• O primeiro modelo é um passeio aleatório, o segundo é um 
passeio aleatório com drift e o terceiro inclui drift e tendência 
linear;
• O parâmetro de interesse em todos os modelos é γ. Se γ = 0, a 
série yt contem raiz unitária;
• O teste consiste em estimar as equações acima por Mínimos 
Quadrados Ordinários (MQO), com o objetivo de obter 
estimativas de γ e do desvio padrão correspondente;
O TESTE DICKEY-FULLER
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• Em experimentos usando simulação de Monte Carlo, Dickey e 
Fuller encontraram que os valores críticos para testar γ = 0 
depende da forma funcional da regressão e do tamanho da 
amostra;
• Dickey e Fuller, portanto, propõem a distribuição τ para testar a 
hipótese de RU (γ = 0);
• A tabela 01, produzida por Dickey e Fuller, trás um valor crítico 
de τ para cada um dos modelos (1, 2 e 3) e tamanhos 
diferentes de amostra;
• O teste Dickey-Fuller (DF) é válido quando o erro é ruído 
branco. Caso contrário pode incluir uma memória 
autoregressiva para se obter um melhor ajuste, como mostrado 
nas equações 4, 5 e 6. É o teste Dickey-Fuller aumentado 
(ADF);
• Os valores críticos de τ não mudam com o teste ADF;
Tabela 01
Valores Críticos para Teste Dickey-Fuller
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O TESTE DICKEY-FULLER
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• Modelos para o teste ADF:
• A diferença entre os modelos 4, 5 e 6 é a ocorrência de 
intercepto e tendência determinística;
• Testar a hipótese de γ = 0 é a mesma coisa que testar a 
hipótese de a1 = 1;
• Assim, as hipótese H0 e H1 podem ser resumidas da seguinte 
forma:
O TESTE DICKEY-FULLER
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Hipóteses a1 γ
Raiz Unitária (H0) a1 = 1 γ = 0
Estacionariedade (H1) |a1| < 1 γ < 0
Rejeita H0 τcalculado < τcrítico
• O teste, portanto, é 
unicaudal do lado 
esquerdo (negativo) da 
distribuição τ;
H0H1
τcrítico
Tabela 02 – Hipóteses para o Teste τ
O TESTE DICKEY-FULLER
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• Dickey e Fuller produziram três testes adicionais baseados 
em estatística F (ϕ1, ϕ2 e ϕ3) para testar hipóteses conjunta 
sobre os coeficientes de (4), (5) e (6).
• As estatísticas ϕ1, ϕ2 e ϕ3 são construídas exatamente da 
mesma forma que a estatística F:
• Onde:
SQR = é a soma dos quadrados dos resíduos para os 
modelos restrito e irrestrito,
r = número de restrições,
T = número de observações utilizáveis,
k = número de parâmetros estimáveis no modelo irrestrito. 
O TESTE DICKEY-FULLER
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• Dickey e Fuller produziram três testes adicionais baseados 
em estatística F (ϕ1, ϕ2 e ϕ3) para testar hipóteses conjunta 
sobre os coeficientes de (4), (5) e (6). Seja, 
Modelo Hipótese Teste Estatístico Valores Críticos para 
95% e 99%
(4) γ = 0 Τ -1,95 e -2,60
(5) γ = 0
a0 = γ = 0
τμ
ϕ1
-2,89 e -3,51
4,71 e 6,70
(6) γ = 0
γ = a2 = 0
a0 = γ = a2 = 0
ττ
ϕ3
ϕ2
-3,45 e -4,04
6,49 e 8,73
4.88 e 6,50
Tabela 03 – Hipóteses para os teste τ e ϕi
∆𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝛾𝑦𝑡−1 + 𝑎2𝑡 + 𝛽𝑖
𝑃
𝑖=2
∆𝑦𝑡−𝑖+1 + 𝜀𝑡 
O Teste DICKEY-FULLER: Exemplo no R
1
0
# install package vars
# e=emplyment;prod=labor prductivity;rw=real wage; U=unempoyment
data("Canada"); Canada
summary(Canada)
plot.ts(Canada)
e = Canada[,1]; e
# UR test in variable "e"
# type= none(no intercept or trend), drift (with an intercept) 
# or trend(both an intercept and a trend is added)
URe<- ur.df(e, type = c("drift"), lags = 4, 
selectlags = c("BIC"))
summary(URe) 
O Teste DICKEY-FULLER: Exemplo no R (resultado)
1
1
############################################### 
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
############################################### 
Test regression trend
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max 
-0.80473 -0.26636 0.00519 0.24207 0.81554 
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 48.805529 17.208507 2.836 0.00587 ** 
z.lag.1 -0.052544 0.018530 -2.836 0.00588 ** 
tt 0.021093 0.006961 3.030 0.00335 ** 
z.diff.lag 0.735247 0.075628 9.722 6.38e-15 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.3881 on 75 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5764, Adjusted R-squared: 0.5594 
F-statistic: 34.01 on 3 and 75 DF, p-value: 5.5e-14
Value of test-statistic is: -2.8356 4.3332 4.6282
Critical values for test statistics: 
1pct 5pct 10pct
tau3 -4.04 -3.45 -3.15
phi2 6.50 4.88 4.16
phi3 8.73 6.49 5.47
Resultado:
• -2.8356 > -3.45 (não rejeita a hipótese H0 de R.U.);
• 4.3332 < 4.88 (não rejeita a H0 de γ = a2 = 0 );
• 4.6282 < 6.49 (não rejeita a H0 de a0 = γ = a2 = 0 ).
Conclusão: série tem R.U. sem intercepto e sem tendência.
O Teste KPSS
1
2
• Enquanto o teste ADF é um teste para Raiz Unitária (Ho é a 
hipótese de RU), o test KPSS é um teste de estacionariedade;
isto é, H0 é uma hipótese de estacionariedade;
• Ou seja, no KPSS as hipóteses são:
✓ H0: yt é estacionária em torno de uma tendência 
determinística,
✓ H1: yt é um processo não estacionário com raiz unitária
• Os valores críticos para a estatística KPSS são obtidos por 
simulação semelhante aos da distribuição “tau” do teste ADF;
• Ver:
Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P. and Shin, Y., (1992), Testing the Null 
Hypothesis of Stationarity Against the Alternative of a Unit Root: How Sure Are We 
That Economic Time Series Have a Unit Root?, Journal of Econometrics, 54, 159–
178.
O Teste KPSS - exemplo no R
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# install package vars
# e=emplyment;prod=labor prductivity;rw=real wage; U=unempoyment
data("Canada"); Canada
summary(Canada)
plot.ts(Canada)
e = Canada[,1]; e
# KPSS
kpssAC <- ur.kpss(e, type="tau")
summary(kpssAC)
####################### 
# KPSS Unit Root Test # 
####################### 
Test is of type: tau with 3 lags. 
Value of test-statistic is: 0.1684
Critical value for a significance level of: 
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.119 0.146 0.176 0.216
Conclusão:
0.1684 (calculado) > 0.146 (crítico)
- Rejeita H0 e, portanto, a série é um processo 
não estacionário com raiz unitária.