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Aula 9 Introducao ao Modelo VAR

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
AULA 9 – INTRODUÇÃO AO MODELO VAR 
Prof, Ricardo Chaves Lima 
1 
Introdução ao Modelo VAR 
2 
•  Considere um sistema do tipo VAR(1) com 2 equações: 
com e 
 
•  Em forma de matriz: 
Ou 
yt = b10 − b12zt +γ11yt−1 +γ12zt−1 +εyt
zt = b20 − b21yt +γ21yt−1 +γ22zt−1 +εzt
εit ~ i.i.d(0,σεi2 ) 0),cov( =zy εε
1 b12
b21 1
!
"
#
#
$
%
&
&
yt
zt
!
"
#
#
$
%
&
&
=
b10
b20
!
"
#
#
$
%
&
&
+
γ11 γ12
γ21 γ22
!
"
#
#
$
%
&
&
yt−1
zt−1
!
"
#
#
$
%
&
&
+
εyt
εzt
!
"
#
#
$
%
&
&
Bxt = Γ0 +Γ1xt−1 +εt
(1) 
(2) 
3 
•  Onde, 
•  Pré-multiplicando por B-1 obtém-se o VAR na forma 
padrão: 
Onde, 
B = 1 b12b21 1
!
"
#
#
$
%
&
&
, xt =
yt
zt
!
"
#
#
$
%
&
&
, Γ00 =
b10
b20
"
#
$
$
%
&
'
'
,
Γ11 =
γ11 γ12
γ21 γ22
"
#
$
$
%
&
'
'
, εt =
εyt
εzt
!
"
#
#
$
%
&
&
xt = A0 + A1xt−1 + et
A0 = B−1Γ0
A1 = B−1Γ1
et = B−1εt
(3) 
Introdução ao Modelo VAR 
4 
•  O VAR padrão pode ser representado em forma de 
equações de xt e yt da seguinte forma: 
Onde ai0 é o i-ésimo elemento do vetor A0, aij é o elemento na linha i 
coluna j da matriz A1 e eit é o elemento i do vetor et. 
•  Para distinguir entre os sistemas VAR apresentados, o 
primeiro será referido como formas primitiva (equações 1 e 
2) e o segundo como forma padrão (equações 4 e 5); 
•  Os erros do sistema na forma padrão podem ser 
apresentados em função dos erros na forma primitiva da 
seguinte maneira: 
yt = a10 + a11yt−1 + a12zt−1 + e1t
zt = a20 + a20yt−1 + a22zt−1 + e2t
(4) 
(5) 
Introdução ao Modelo VAR 
5 
•  Lembrando que e sendo, 
Onde 
 
 
 
 
•  Considerando processos ruído branco, pode-se 
concluir que e1t e e2t tem média zero, variância constante e 
são não autocorrelacionados; 
et = B−1εt
B−1 = 1(1− b21b12 )
1 −b12
−b21 1
"
#
$
$
%
&
'
'
e1t
e2t
!
"
#
#
$
%
&
&
=
1
(1− b21b12 )
1 −b12
−b21 1
!
"
#
#
$
%
&
&
εyt
εzt
!
"
#
#
$
%
&
&
e1t = (εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )
e2t = (εzt − b21εyt ) / (1− b21b12 )
 
(6) 
(7) 
εyt e εzt
Introdução ao Modelo VAR 
6 
•  Para encontrar as propriedades de e1t e e2t tira-se o valor 
esperado de (6) e (7). O valor esperado de e1t é: 
•  E a variância a dada por: 
 Portanto, a variância de e1t é independente do tempo. O mesmo é 
 verdade para a variância de e2t 
E(e1t ) = E[(εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )]= 0
Var(e1t ) = E(e1t2 ) = E[(εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )]2
 E(e1t2 ) = E(σ y2 + b122σ z2 ) / (1− b21b12 )2
•  As autocorrelações entre e1t e e1t-i são dadas por: 
•  Pelo mesmo raciocínio mostra-se as autocorrelações entre 
 e2t e e2t-i; 
E(e1te1t−i ) = E[(εyt − b12εzt )(εyt−i − b12εzt−i )] / (1− b21b12 )2 = 0 para i ≠ 0
Introdução ao Modelo VAR 
7 
•  Um ponto crítico que deve-se observar é que e1t e e2t são 
correlacionados. A covariância dos dois termos é dada por: 
•  Em geral, a covariância entre e1t e e2t não será zero, de 
forma que os dois choques serão correlacionados. No caso 
geral b12 = b21 = 0 (nenhum efeito contemporâneo entre yt e 
zt ou entre zt e yt) os choques são não correlacionados; 
•  A matriz de variância/covariância entre e1t e e2t é dada por: 
E(e1te2t ) = E[(εyt − b12εzt )(εzt − b12εyt )] / (1− b21b12 )2
E(e1te2t ) = −(b21σ y2 + b12σ z2 ) / (1− b21b12 )2
Σ =
Var(e1t ) Cov(e1t,e2t )
Cov(e1t,e2t ) Var(e2t )
"
#
$
$
%
&
'
'
=
σ1
2 σ12
σ 21 σ 2
2
"
#
$
$
%
&
'
'
Introdução ao Modelo VAR 
8 
Estabilidade e Estacionariedade 
•  Para examinar a condição de estabilidade do modelo 
considere: !! = !! + !!!!!! + !! !!! = !! + !!(!! + !!!!!! + !!!!)+ !! !!! = ! + !! !! + !!!!!!! + !!!!!! + !! ,!!
 onde I é a matriz identidade 2x2 
•  Após n iterações, temos: !! = ! + !! +⋯+ !!! !! + !!!!!!! !!!! + !!!!!!!!!!!!
simplificando !! = ! +! !!!!!!! !!!! !
9 
Estabilidade e Estacionariedade 
•  Onde: ! = !, ! !
•  Ou seja, são as média incondicionais de xt, yt e zt; !,!!!!!!!! = !!" 1− !!! + !!"!!" /Δ!!! = !!" 1− !!! + !!"!!" /Δ!!onde!Δ = (1− !!!)(1− !!!)!'!!!"!!"!!
•  A matriz de variância/covariância, portanto, pode ser 
demonstrada como segue: 
10
 
Estabilidade e Estacionariedade (!! − !)!!= [ !!!!!!! !!!!]!!!! = [!! + !!!!!! + !!!!!!! +⋯+ !!!!!!!]!!
•  Elevando-se ao quadrado e fazendo o valor esperado, tem-
se: 
 E(xt – µ)2 = E(et2) E(!!) != [! + !!! + !!! + !!!⋯ ]Σ#
•  Note que: 
ü  E(et,et-i) = 0, para i ≠ 0 (erro não autocorrelacionado); 
ü  E(et-jet-i) = E(et2) para i = j (variância constante) 
ü  E(et2) = Σ (matriz de variância/covariância) 
E(!!) = [! − !!!]!!Σ!#

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