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ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS AULA 9 – INTRODUÇÃO AO MODELO VAR Prof, Ricardo Chaves Lima 1 Introdução ao Modelo VAR 2 • Considere um sistema do tipo VAR(1) com 2 equações: com e • Em forma de matriz: Ou yt = b10 − b12zt +γ11yt−1 +γ12zt−1 +εyt zt = b20 − b21yt +γ21yt−1 +γ22zt−1 +εzt εit ~ i.i.d(0,σεi2 ) 0),cov( =zy εε 1 b12 b21 1 ! " # # $ % & & yt zt ! " # # $ % & & = b10 b20 ! " # # $ % & & + γ11 γ12 γ21 γ22 ! " # # $ % & & yt−1 zt−1 ! " # # $ % & & + εyt εzt ! " # # $ % & & Bxt = Γ0 +Γ1xt−1 +εt (1) (2) 3 • Onde, • Pré-multiplicando por B-1 obtém-se o VAR na forma padrão: Onde, B = 1 b12b21 1 ! " # # $ % & & , xt = yt zt ! " # # $ % & & , Γ00 = b10 b20 " # $ $ % & ' ' , Γ11 = γ11 γ12 γ21 γ22 " # $ $ % & ' ' , εt = εyt εzt ! " # # $ % & & xt = A0 + A1xt−1 + et A0 = B−1Γ0 A1 = B−1Γ1 et = B−1εt (3) Introdução ao Modelo VAR 4 • O VAR padrão pode ser representado em forma de equações de xt e yt da seguinte forma: Onde ai0 é o i-ésimo elemento do vetor A0, aij é o elemento na linha i coluna j da matriz A1 e eit é o elemento i do vetor et. • Para distinguir entre os sistemas VAR apresentados, o primeiro será referido como formas primitiva (equações 1 e 2) e o segundo como forma padrão (equações 4 e 5); • Os erros do sistema na forma padrão podem ser apresentados em função dos erros na forma primitiva da seguinte maneira: yt = a10 + a11yt−1 + a12zt−1 + e1t zt = a20 + a20yt−1 + a22zt−1 + e2t (4) (5) Introdução ao Modelo VAR 5 • Lembrando que e sendo, Onde • Considerando processos ruído branco, pode-se concluir que e1t e e2t tem média zero, variância constante e são não autocorrelacionados; et = B−1εt B−1 = 1(1− b21b12 ) 1 −b12 −b21 1 " # $ $ % & ' ' e1t e2t ! " # # $ % & & = 1 (1− b21b12 ) 1 −b12 −b21 1 ! " # # $ % & & εyt εzt ! " # # $ % & & e1t = (εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 ) e2t = (εzt − b21εyt ) / (1− b21b12 ) (6) (7) εyt e εzt Introdução ao Modelo VAR 6 • Para encontrar as propriedades de e1t e e2t tira-se o valor esperado de (6) e (7). O valor esperado de e1t é: • E a variância a dada por: Portanto, a variância de e1t é independente do tempo. O mesmo é verdade para a variância de e2t E(e1t ) = E[(εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )]= 0 Var(e1t ) = E(e1t2 ) = E[(εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )]2 E(e1t2 ) = E(σ y2 + b122σ z2 ) / (1− b21b12 )2 • As autocorrelações entre e1t e e1t-i são dadas por: • Pelo mesmo raciocínio mostra-se as autocorrelações entre e2t e e2t-i; E(e1te1t−i ) = E[(εyt − b12εzt )(εyt−i − b12εzt−i )] / (1− b21b12 )2 = 0 para i ≠ 0 Introdução ao Modelo VAR 7 • Um ponto crítico que deve-se observar é que e1t e e2t são correlacionados. A covariância dos dois termos é dada por: • Em geral, a covariância entre e1t e e2t não será zero, de forma que os dois choques serão correlacionados. No caso geral b12 = b21 = 0 (nenhum efeito contemporâneo entre yt e zt ou entre zt e yt) os choques são não correlacionados; • A matriz de variância/covariância entre e1t e e2t é dada por: E(e1te2t ) = E[(εyt − b12εzt )(εzt − b12εyt )] / (1− b21b12 )2 E(e1te2t ) = −(b21σ y2 + b12σ z2 ) / (1− b21b12 )2 Σ = Var(e1t ) Cov(e1t,e2t ) Cov(e1t,e2t ) Var(e2t ) " # $ $ % & ' ' = σ1 2 σ12 σ 21 σ 2 2 " # $ $ % & ' ' Introdução ao Modelo VAR 8 Estabilidade e Estacionariedade • Para examinar a condição de estabilidade do modelo considere: !! = !! + !!!!!! + !! !!! = !! + !!(!! + !!!!!! + !!!!)+ !! !!! = ! + !! !! + !!!!!!! + !!!!!! + !! ,!! onde I é a matriz identidade 2x2 • Após n iterações, temos: !! = ! + !! +⋯+ !!! !! + !!!!!!! !!!! + !!!!!!!!!!!! simplificando !! = ! +! !!!!!!! !!!! ! 9 Estabilidade e Estacionariedade • Onde: ! = !, ! ! • Ou seja, são as média incondicionais de xt, yt e zt; !,!!!!!!!! = !!" 1− !!! + !!"!!" /Δ!!! = !!" 1− !!! + !!"!!" /Δ!!onde!Δ = (1− !!!)(1− !!!)!'!!!"!!"!! • A matriz de variância/covariância, portanto, pode ser demonstrada como segue: 10 Estabilidade e Estacionariedade (!! − !)!!= [ !!!!!!! !!!!]!!!! = [!! + !!!!!! + !!!!!!! +⋯+ !!!!!!!]!! • Elevando-se ao quadrado e fazendo o valor esperado, tem- se: E(xt – µ)2 = E(et2) E(!!) != [! + !!! + !!! + !!!⋯ ]Σ# • Note que: ü E(et,et-i) = 0, para i ≠ 0 (erro não autocorrelacionado); ü E(et-jet-i) = E(et2) para i = j (variância constante) ü E(et2) = Σ (matriz de variância/covariância) E(!!) = [! − !!!]!!Σ!#
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