Mecânica Geral 2017.2 Centróides e baricentros P1

Prévia do material em texto

Mecânica Geral
2017.2 – Conteúdo da 2ª Verificação
Introdução 
• Contato
Carlos A. C. Lima
facebook.com/carlosaugusto.lima.9
(24)998134735
• Bibliografia:
[1] Beer & Johnston. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5ª Edição. Porto Alegre: AMGH, 2012.
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Introdução
• Definição: 
-Forças distribuídas
-Baricentros
-Centróides
• Finalidade do modelo
• Aplicações
G
P
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Centro de Gravidade
• Desenvolvimento
෍𝐹𝑍:
෍𝑀𝑥:
෍𝑀𝑦:
𝑃 =෍∆𝑃𝑖
𝑃 ∙ ത𝑦 = ෍𝑦𝑖 ∙ ∆𝑃𝑖
𝑃 ∙ ҧ𝑥 =෍𝑥𝑖 ∙ ∆𝑃𝑖
lim
∆𝑃→0
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑃 = න𝑑𝑃
𝑃 ∙ ത𝑦 = න𝑦𝑑𝑃
𝑃 ∙ ҧ𝑥 = න 𝑥𝑑𝑃
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Assumindo:
∆𝑃 = 𝛾𝑡∆𝐴
Área do elemento
Espessura da placa
Peso específico ( peso por unidade de volume)
𝑃 = 𝛾𝑡𝐴
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Desenvolvimento ∆𝑃 = 𝛾𝑡∆𝐴 (1)
෍𝑀𝑥: 𝑃 ∙ ത𝑦 =෍𝑦𝑖 ∙ ∆𝑃𝑖 (2)
𝛾𝑡𝐴ത𝑦 =෍𝑦𝑖 𝛾 𝑡 ∆𝐴𝑖
• Normalizando, fica:
ത𝑦𝐴 = ෍𝑦𝑖 ∆𝐴𝑖
෍𝑀𝑦:
• Analogamente:
ҧ𝑥𝐴 = ෍𝑥𝑖 ∆𝐴𝑖
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Desenvolvimento
Aplicando,
lim
∆𝑃→0
𝑓(𝑥, 𝑦)
• Definição
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Análogo para arames
• Redução de uma dimensão
∆𝑃 = 𝛾𝛼∆𝐿
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Corpos com simetria
• Definição
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Momento estático de primeira ordem
• Corpos com simetria
• Dois eixos de simetria – formas comuns
• Centróide na interseção
Centróide fora de centro Centróide no centro de simetria
𝑄𝑦 = න𝑥𝑑𝐴 = 0
𝑄𝑥 = න𝑦𝑑𝐴 = 0𝑄𝑥 = න𝑦𝑑𝐴
𝑄𝑦 = න𝑥𝑑𝐴 = 0
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Peças compostas
• Método das seções
• Divisão por figuras conhecidas
• Centróide dado pela soma dos momentos estáticos
෍𝑀𝑥:
෍𝑀𝑦:
ത𝑌෍𝑃𝑖 = ෍ ഥ𝑦𝑖 ∙ 𝑃𝑖
ത𝑋෍𝑃𝑖 = ෍ ഥ𝑥𝑖 ∙ 𝑃𝑖
𝑄𝑥 = ത𝑌෍𝐴𝑖 = ෍ ഥ𝑦𝑖 ∙ 𝐴𝑖
𝑄𝑦 = ത𝑋෍𝐴𝑖 =෍ ഥ𝑥𝑖 ∙ 𝐴𝑖
Cap.5 - Forças distribuídas:
Centróides e Baricentros
Cálculo da posição do Centróide –
Peças compostas
• Método das seções
𝑄𝑥 = 0
𝑄𝑦 = ത𝑋 𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴3 = −𝑥1 ∙ 𝐴1 +𝑥2 ∙ 𝐴2 −𝑥3 ∙ 𝐴3
Área 1 - Semicírculo
Área 2 - Retângulo
Área 3 – Furo circular
y
x
ത𝑋𝑥1 𝑥2 𝑥3
Exemplo 1:
Calcular os momentos estáticos e a posição 
do centróide da superfície abaixo.
Solução:
Solução:
Exemplo 2:
Calcular os momentos estáticos e a posição 
do centróide da superfície abaixo.
Exemplo 3:
Calcular os momentos estáticos e a posição 
do centróide da superfície abaixo.
Desafio:
Calcular a posição do centróide da superfície 
abaixo:
Exercícios:
resolvido 5.2;
problemas:5.2/5.3/5.4/5.6/5.8/5.12/5.14
FIM da primeira aula