Aula sobre Ondas

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Fenômenos Ondulatórios
Ondas são fenômenos naturais que possuem a característica de transportar momento e 
energia, e não transportar matéria.
Classificação das ondas quanto à direção de propagação: 
- ondas transversais: o movimento do meio é perpendicular à direção de propagação da 
onda. Exemplo: um impulso transversal numa corda avança ao longo dela como pulso ondulatório.
- ondas longitudinais: a perturbação do meio é na mesma direção da propagação da onda. 
Exemplo: as ondas sonoras.
Classificação das ondas quanto a sua natureza:
- ondas mecânicas: são as mais familiares para nós, pois as encontramos no cotidiano. 
Necessitam de um meio onde se propagar. Exemplos: ondas na água, ondas sonoras, ondas sísmicas.
- ondas eletromagnéticas: estas não necessitam de um meio material para se propagarem, 
pois podem se propagar no vácuo. Exemplos: luz visível, ondas de rádio e televisão, raios X, micro-
ondas, ondas de radar.
- ondas materiais: estas ondas estão associadas com os constituintes da matéria, como 
elétrons, prótons e outras partículas, e mesmo átomos e moléculas.
Representação e Parâmetros das Ondas Harmônicas Simples
Uma onda harmônica simples é aquela que pode ser representada por uma única função seno 
ou cosseno, como a que apresentamos na figura abaixo.
 λ 
 A 
 A 
 λ 
 y 
 A 
 90° 180° 270° 360° θ (°)
 0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ x (λ)
 - A 
λ é a letra grega lambda, e representa o comprimento de onda, que é a distância ao longo da 
onda, em que ela não se repete; A é a amplitude da onda, e significa o maior deslocamento 
transversal da onda.
y é o deslocamento transversal (vertical) em qualquer ponto da onda. Nota que a amplitude 
A é o valor máximo de y.
O deslocamento vertical y, em termos do ângulo θ, é descrito pela função seno da forma
y  = A sen  .
Como a um comprimento de onda λ corresponde um ângulo 360° ou 2π radianos, como é 
mostrado na figura acima, o deslocamento vertical y também pode ser escrito em função da 
distância x. Assim,
  360° = 2 rad
x   .
Portanto, 
 = 360°

x = 2

x .
Então, escrevendo o deslocamento y em função de x, temos
y x  = A sen2 x
Se, com o decorrer do tempo, essa onda se propagar para a direita com velocidade v, após 
um tempo t a onda terá percorrido uma distância vt, conforme a figura abaixo.
 onda no
 y instante inicial onda no
 instante t
 
 x 
 
 vt
Neste caso, a a equação da onda no instante t será
y x ,t  = A sen[ 2 x−vt] .
O período T de uma onda corresponde ao tempo necessário para que a onda percorra uma 
distância igual a um comprimento de onda λ, e é dado por
T = 
v .
A frequência de uma onda senoidal é definida como
f = 1
T ,
e é igual ao número de comprimentos de onda que passam num ponto por unidade de tempo. Sua 
unidade é 1/s = s-1, chamada hertz (Hz).
Das expressões acima, tem-se expressão para a velocidade de propagação da onda
v =  f .
Costuma-se definir o número de onda k como sendo
k = 2
 ,
e a frequência angular ω da forma
 = 2
T
= 2 f .
Utilizando estas expressões acima, uma forma alternativa para se escrever a equação da onda 
que se propaga para a direita é 
y x ,t  = A sen kx− t  ,
e para uma onda que se propaga para a esquerda é
y x ,t  = A sen kx t  ,
onde pode-se notar que o sinal no argumento do seno é quem determina o sentido de propagação da 
onda.
Unidades no SI de algumas grandezas: deslocamento vertical y em metros, assim como a 
amplitude A, a posição x e o comprimento de onda λ, velocidade v em metros por segundo, 
frequência angular ω em inverso do segundo (1/s = s-1 - não usar Hz, que serve apenas à frequência 
f), número de onda k em inverso do metro (1/m = m-1), e o período T em segundos.
Exemplo: A função de onda y x ,t  = 0,03 m  sen 2,2 m−1 x−3,5 s−1t  representa uma 
onda harmônica numa corda. (a) Em que sentido esta onda avança e qual sua velocidade? (b) 
Calcular o comprimento de onda, a frequência e o período da onda. (c) Qual o deslocamento 
máximo de qualquer segmento da corda?
Solução: 
(a) o sentido é para a direita, pois há o sinal negativo no termo ωt; 
velocidade: v = λf = (2π/k)(ω/2π) = ω/k = (3,5 s-1)/(2,2 m-1) = 1,59 m/s.
(b) λ = 2π/k = 2π/(2,2 m-1) = 2,86 m; f = ω/2π = (3,5 s-1)/2π = 0,557 Hz; T = 1/f = 1,80 s.
(c) A = 0,03 m.
Energia das ondas numa corda
A energia mecânica E das ondas numa corda é a soma das suas energias cinética K e 
potencial U. 
Como a onda na corda possui velocidade de propagação v, possui associado a ela uma 
energia cinética. E como também a onda tira a corda de sua posição de equilíbrio de um valor y, 
possui então energia potencial.
A expressão para a energia média de um segmento Δx do comprimento de uma corda com 
onda é 
Eméd = U + K = ½ μ ω2 A2 Δx,
onde μ é densidade linear da corda (massa por comprimento), A é a amplitude e ω a frequência 
angular da onda.
A potência média de um segmento de um segmento de corda com onda é dada por
Pméd = ½ μ ω2 A2 v,
onde v é a velocidade da onda.
Ondas Estacionárias
Em cordas que possuem as duas extremidades fixas, formam-se ondas estacionárias.
Uma onda que se propaga numa corda é refletida ao atingir uma extremidade fixa, passando 
a viajar em sentido contrário. Esta onda que volta pela corda ao ser refletida interfere com a onda 
que viaja no sentido original, antes de ser refletida, como se mostra nas figuras abaixo.
- pulso se propagando num instante inicial. 
- pulso refletido em instante posterior.
 - três instantes para corda com dois pulsos 
 que se interferem.
 3 
 - onda 1 para a esquerda (linha 
 cheia azul) e onda 2 para a di-
 1 reita (linha pontilhada verme-
 lha) interferindo-se construti-
 2 vamente. A onda resultante é a 
 3, com o dobro da amplitude.
 1 2 - neste caso, a interferência é
 totalmente destrutiva, e a on-da resultante é nula.
 
 3 
 3 
 - neste instante, a interferência
 produz uma onda de amplitude
 1 intermediária.
 
 
 2 
O resultado da interferência entre as ondas que se propagam para uma e outra direção na 
corda são ondas chamadas estacionárias, que vibram a determinadas frequências, como na figura 
abaixo.
 nós antinós (ventres)
 
 - nove instantes de uma onda
 estacionária numa corda fixa
 em ambas extremidades.
 
 
 
 
Dizemos que uma onda estacionária (ou modo de oscilação) produz ressonância, e que a 
corda ressoa em frequências bem determinadas, chamadas de frequências de ressonância.
Nas figuras abaixo, apresentam-se as ondas estacionárias de comprimento de onda λ 
relacionadas ao comprimento L da corda.
 - modo fundamental, primeiro harmônico
 
 L = λ/2, frequência f1 (n = 1) 
 
 L 
 
 - segundo harmônico 
 L = λ frequência f2 = 2 f1 (n = 2)
 
 - terceiro harmônico
 
 L = 3λ/2 frequência f3 = 3 f1 (n = 3) 
 
 
Pode-se concluir que a relação geral entre o comprimento de onda λ e o comprimento L da 
corda é dado por
L =
nn
2
, n = 1,2,3,...
E sendo a velocidade da onda v = λ f, as frequências de ressonância são dadas por
f n = n
v
2 L
= n f 1 , n = 1,2,3,...
Estas ondas estacionárias formam-se também em tubos, como os de instrumentos musicais 
como o órgão e a flauta. Tratam-se, neste caso, de ondas sonoras.
SOM
Quando um corpo vibra, provoca variações na densidade ou na pressão do meio ao seu 
redor. Estas variações de densidade se propagam como ondas progressivas.
O som é uma onda mecânica longitudinal que pode se propagar em sólidos, líquidos e gases.
O ouvido humano é sensível somente a sons com frequência entre 20 e 20.000 Hz. Ondas 
sonoras com frequência abaixo de 20 Hz são chamadas de infrassom e acima de 20.000 Hz, 
ultrassom.
Onda Sonora Harmônica
Se uma onda sonora é formada por uma única frequência, podemos usar as expressões acima 
apresentadas para descrevê-la. Uma variável que descreve uma onda sonora pode ser a pressão p do 
meio onde ela se propaga, assim,
p x ,t  = p0 sen  kx− t  ,
onde p0 é a amplitude da onda (valor máximo da variação de pressão). Note que o sinal negativo no 
argumento do seno indica que esta onda se propaga para a direita.
Intensidade do Som
A intensidade I de uma onda é a energia E que atravessa uma superfície S num intervalo Δt.
I = E
S t
Exemplo: Um microfone de área 3 cm2 recebe durante 5 s uma energia sonora de 1,5 x 10-9 J. 
Qual a intensidade do som?
Solução: I = ES t
= 1,5×10
−9
3×10−45s
= 10−6 W
m2
A unidade de intensidade da onda sonora é watt por metro ao quadrado.
O ouvido humano pode detectar intensidades com valores que variam muito: desde 10-12 
W/m2 até 1 W/m2. Devido a isso, costuma-se tomar a função logaritmo da intensidade, para 
diminuir este intervalo de valores. O logaritmo da intensidade sonora I chama-se nível de 
intensidade sonora β, com unidade decibel (dB).
 = 10 log II 0  ,
onde I0 é uma intensidade de referência, costumeiramente de valor 10-12 W/m2.
A menor intensidade sonora que o ouvido humano capta é de 10-12 W/m2, a qual corresponde 
a uma intensidade sonora 
 = 10 log II 0  = 10 log10
−12
10−12  = 10 log1 = 10×0 = 0 dB
Já a intensidade sonora que o ouvido humano capta no limiar doloroso é de 1W/m2, a qual 
corresponde a uma intensidade sonora 
 = 10 log II 0  = 10 log 110−12  = 10 log1012 = 10×12 = 120 dB
Como posto acima, o intervalo de frequências das ondas sonoras audíveis é de 20 Hz a 20 
kHz. Entretanto, a sensibilidade do ouvido é maior no intervalo entre 2 kHz e 5 kHz.
Se uma pessoa falasse continuamente durante 1 ano, a energia sonora produzida seria menor 
que a quantidade de calor necessária para ferver 1 copo de água (8 x 104 J).
Ultrassom – Formação de Imagens
A profundidade das estruturas internas do corpo humano pode ser obtida enviando-se um 
pulso de ultrassom através do corpo, e medindo-se o intervalo de tempo Δt entre o instante de 
emissão do pulso e o instante de recepção do seu eco. O aparelho que emite estes pulsos chama-se 
transdutor.
 parede órgão vértebra 
 abdominal interno
 transdutor 
 pulso emitido 
 
 
 ecos
 I picos de intensidade
 tempo
Efeito Doppler
Efeito Doppler é o nome que se dá ao fenômenode mudança da frequência das ondas, 
devido ao movimento da fonte de ondas, do receptor destas ondas, ou devido ao movimento de 
ambos.
Na figura abaixo, apresenta-se um esquema de como se dá a alteração da frequência de uma 
onda sonora, quando a fonte desta onda se movimenta.
 frentes 
 de ondas 
 receptor 
 
 fonte de ondas fonte de ondas
 estacionária em movimento
Observa-se que, na figura em que a fonte de ondas está em movimento, as ondas chegam em 
maior número por intervalo de tempo (maior frequência), no lado para onde se dá o movimento. Se 
houver um receptor (um ouvinte) neste lado, como na figura, ele receberá as ondas com maior 
frequência do que aquela emitida pela fonte. Se, alternativamente, o receptor estiver do lado oposto, 
com a fonte de ondas se afastando dele, a frequência aí recebida será menor do que a emitida.
O efeito Doppler é usado na medicina para a analisar partes internas do corpo humano que 
se movem, como as paredes do coração, a válvula mitral, a fisiologia fetal, o sangue.
 transdutor 
 pele 
 
 vaso sangüíneo fluxo sangüíneo
Nos exames pré-natais, a técnica Doppler é usada para detectar movimentos do coração 
fetal, gestação múltipla, localizar a placenta e monitorar a vida fetal, quando os exames radiológicos 
devem ser evitados.
Em geral, a potência utilizada na diagnose pela técnica Doppler é da ordem de 10 mW/cm2.