calculo 2 av2

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O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
6ti+2j
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
I. A função f(t) é contínua para t = 0;
II. A função g(t) é descontínua para t = 0;
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
I e II
Determine a única resposta correta para:
(a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk
(b) o versor tangente T em t=0.
(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj + 2cos2tk
(b) T(0)=15j + 25k
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é:
2sent i - cost j + t2 k + C
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:
(0, -1, 1)
Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k.
x=3+t; y=-4+t; z=-1+t
Calcule o versor tangente T(0),se:
r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk.
T(0)=<35,45>
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
(1-cost,sent,0)
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por:
〈4,0,10〉
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 3y=x²
r =3 tg θ . sec θ
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
A
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
i + j + k
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
0 e 0
Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
4,47
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y.
z / (yz - 1)
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x² + y².
fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
0,25i + 7j + 1,5k
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
0
A circunferência x²+y²=9 em coordenadas polares é dada por:
r = 3
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
4,47
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
(-sen t)i + (cos t)j
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
xy cos xy + sen xy
Encontre dwdt se: w = x.y + z, x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t=0?
2
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)
-2
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2?
-1
Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz
1
Calcule a integral dupla:
∫24 ∫12 (x² + y²) dydx
70/3
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
Determine as derivadas de primeira ordem da função:
 f(x,y,z) = x²y - 3xy² + 2yz.
fx = 2xy - 3y2 , fy = x² - 6xy + 2z, fz = 2y
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
1/2(e-1)(e6-1)
Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes.
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma.
 As seguintes afirmações são verdadeiras:
1,3,4
Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 , o eixo x e as retas x = - a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a mesma.
O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 .
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1):
½ ua
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z
2(xz+yz-xy)xyz
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
8(u.v.)
27/2
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2).
√(π²+ 1)
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo.	
10 e 10
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
35/4
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y.
fx = 2x(1 + y);   fy = 2y + x2
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz.	
1
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1).	
-6
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy	
2π
Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x):
y=6x2, x>0
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
Integrando temos:
(sent)i + t4j
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}.
15n/4
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
(0,-1,2)
Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a:
2
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y )
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
Calcule a integral dupla:
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx
70/3
Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de feijão de um restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do preço y (em R$) do quilo de arroz. Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos concluir acertadamente que:
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg.
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo.
80 e 40
Calcule a integral dupla de f(x,y) = xy^2, onde R = [−1, 0] × [0, 1].	
-1/6
Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a:	
3x+1
Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz)	
38,16
Determine a área da região limitada por
64/3
Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto?	
8i ⃗+5j ⃗ e √89
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x	
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x)
Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ)
Encontre os números críticosde f(x) = x3/5(4-x).	
3/2 e 0
Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale:
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3)
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π).	
√3 
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir calculadoras é dado por C(x)=0,0001x3-0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras produzidas. Determine a função custo marginal
C´(x)=0,0003x2-0,16x+40
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x	
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x)
Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento
28/9
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.	
60PI
Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4.	
26/3
Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t³i + t²j + t³k?Lembre das leis de newton F=MA
F = 18t i + 6 j + 18t k 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
9((rcos(θ))2+16r2=400
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2	
9/2
 O valor da integral é:
 -1/12
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).	
-7/2
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2	
8π2
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são:
v = (4; 16)
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t³ i + t² j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
3t² i + 2t j
Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y - y3)j no ponto (1,1).
2	
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)	
4,47
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira. 
-6
A equação de Laplace tridimensional é :
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
Identifique as funções harmônicas
1,3,4
25, 33
	
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy.	
xy.cosxy + senxy
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.	
A área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.	
2/t + 2bcotgt + tgt
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
z=-8x+12y -14 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1)
∇f=<-e,-e,-e>
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x	
2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
y = 2x – 4
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
2j
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter:
( 2, π/6)
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
r'(t)=v(t)=12i - j
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:	
(0, -1, 1)
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y
fx=e3y e fy=3xe3y
O divergente de F(x, y) = (4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:
9x -6y
Marque apenas a alternativa correta:	
O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 .
Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ?	
(-2x, -1)
Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
11
Marque apenas a alternativa correta:	
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2).
64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1
1/6
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será:
40/7
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).	
-7/2
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pelas funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
(c)