263918018 Exercicios Resolvidos PEsquisa operacional

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EAD 350
 Pesquisa Operacional
Exercícios Resolvidos
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
EXERCÍCIO 1
 Função Objetiva
 Max L = 6x1 + 4x2
 Restrições
 x1 + < 50 (1) Produto A
 x2 < 100 (2) Produto B
 10x1 + 5x2 < 900 (3) Mão de obra
 8x1 + 6x2 > 300 (4) Nat Financeira
Pede-se:
Resolver graficamente
Determinar os limites de variação dos coeficientes da função 
objetiva
Calcular o preço sombra de cada uma das restrições 
Conjunto de soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF
EXERCÍCIO 1 - SOLUÇÃO GRÁFICA
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
Max L = 6x1 + 4x2
 x1 < 50 (1) 
 x2 < 100 (2)
10x1 + 5x2 < 900 (3)
 8x1 + 6x2 > 300 (4)
225037,5F
300050E
6208050D
64010040C
4001000B
200500A
Lx2x1Pto
EXERCÍCIO 1 - SOLUÇÃO GRÁFICA
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4) 640 = 6x1 + 4x2
120 = 6x1 + 4x2
Max L = 6x1 + 4x2
 x1 < 50 (1) 
 x2 < 100 (2)
10x1 + 5x2 < 900 (3)
 8x1 + 6x2 > 300 (4)
Conjunto de soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF
225037,5F
300050E
6208050D
64010040C
4001000B
200500A
Lx2x1Pto
Ponto 
ótimo
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
Girar até ser 
paralela à reta (3)
10x1 + 5x2 = 900
Ponto D vai ser o 
novo ótimo
9x1 + 4x2 = L
10x1 + 5x2 < 900
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE 
SENSIBILIDADE 
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
10x1 + 5x2 < 900
3
5
106
8
5
10
4
2
2
1
1


p
p
pp
Coeficientes da função objetiva quando 
tornar paralela à reta 10x1 + 5x2 = 900 
(3)
Girar até ser 
paralela à reta (3)
10x1 + 5x2 = 900
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient
obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient



2
1
2
1
3
5
106
8
5
10
4
2
2
1
1


p
p
pp
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
10x1 + 5x2 = 900
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
0x1 +1x2 < 100
Girar até ser 
paralela à reta (2)
x2 = 100 
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
0x1 +1x2 < 100


2
2
1
1
1
06
0
1
0
4
p
p
pp
Coeficientes da função objetiva quando 
tornar paralela à reta x2 = 100 
Girar até ser 
paralela à reta (2)
x2 = 100 
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
produtoBrestriçãodaxdeeCoeficient
produtoBrestriçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
2
1
2
1



2
2
1
1
1
06
0
1
0
4
p
p
pp
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
x2 = 100 
EXERCÍCIO 1 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
3
5
106
8
5
10
4
2
2
1
1


p
p
pp
Sintetizando os limites da análise de sensibilidade.
A solução permanece inalterada enquanto:


2
2
1
1
1
06
0
1
0
4
p
p
pp
80 1  p
 23 p
Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado 
até 2 (8 – 6) e reduzido até 6 (6 - 0).
Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser 
aumentado até ∞ (∞ – 4) e reduzido até 1 (4 - 3).
L = 6x1 + 4x2
EXERCÍCIO 1 – PREÇO SOMBRA
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
H
Restrição 3 – Mão de obra
10x1 + 5x2 = 500
10x1 + 5x2 = 900
10x1 + 5x2 = 1000
0,6 sombra Preço 
6,06406,640'
6,640)100(4)1,40(6'
1,40
901510
100
1
21
2






LLL
L
x
xx
x
A restrição (3) pode ser deslocada 
até os pontos
B(0; 100) e H(50,100).
500 < Mão de obra < 1000
x2 < 80
10x1 + 5x2 = 901
C’
EXERCÍCIO 1 – PREÇO SOMBRA
Sensibilidade da Restrição Mão de obra
Em vez de 900 horas, se tivermos 901 horas de mão de obra, o que irá 
acontecer com o valor da função objetiva?
O novo valor será no ponto C’, que é a interseção das retas: 
901510
100
21
2


xx
x
Resolvendo o sistema, temos x1 = 40,1 e x2 = 100. O novo valor da função 
objetiva (L’) será:
6,640)100(4)1,40(6' L
6,06406,640'  LLL
Assim, o aumento no valor da função objetiva será de:
Este valor 0,6 é denominado preço sombra da restrição mão de obra.
O preço sombra indica a variação no valor da função objetiva quando 
aumentarmos uma unidade o valor da restrição.
EXERCÍCIO 1 – PREÇO SOMBRA
Sensibilidade da Restrição Mão de obra
Note-se que a reta da restrição mão de obra pode ser deslocada entre os 
pontos B e H.
A coordenada do ponto B é x1 = 0 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrição 
mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 500.
A coordenada do ponto H é x1 = 50 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da 
restrição mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 1000.
Assim, a restrição mão de obra pode variar no intervalo:
 500 < mão de obra < 1000
Em outras palavras, seu valor pode ser:
 aumentado até 100 (1000 – 900) e
 reduzido até 400 (900-500).
EXERCÍCIO 1 – PREÇO SOMBRA
50
100
150
200
50 100 150 200
C
D(50; 80)
A
F E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
C’
Restrição 2 – Produto B
G(0; 180)
x2 = 100
x2 = 101
10x1 + 5x2 < 900
x2 = 180
x2 = 80
1 sombra Preço
1640641'
641)101(4)5,39(6'
5,39
900510
101
1
21
2






LLL
L
x
xx
x
A restrição (2) pode ser 
deslocada até os pontos
D(50; 80) e G(0,180).
80 < Prod B < 180
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória X1 40 0 6 2 6
$C$3 Variável decisória X2 100 0 4 1E+30 1
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Produção A LE 40 0 50 1E+30 10
$D$7 Produção B LE 100 1 100 80 20
$D$8 Mão de Obra LE 900 0,6 900 100 400
$D$9 Nat Financeira LE 920 0 300 620 1E+30
EXERCÍCIO 1 - SOLVER 
Análise de Sensibilidade
EXERCÍCIO 2
Max R = 5x1 + 2x2
Sujeito a
 x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
x1, x2 > 0
Pede-se:
Resolver graficamente
Determinar os limites de variação dos coeficientes da função 
objetiva
Calcular o preço sombra de cada uma das restrições 
Dado o problema:
Função Objetiva
EXERCÍCIO 2 - SOLUÇÃO GRÁFICA
1 4
A
B
C
D
E
2
3 5
1
3
4
5
2
0 = 5x1 + 2x2
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
1503E
2133D
1341C
840B
000A
Rx2x1Pto
21 = 5x1 + 2x2 F
9
G
EXERCÍCIO 2 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
1 4
A
B
C
D
E
2
3 5
1
3
4
5
2
R= 5x1 + 2x2 F
9
G 10
2
15
1
2
1
2
2
2
1
1


p
p
pp
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
Coeficientesda função objetiva
Girar até ser 
paralela à reta 
x1 + 2x2 = 9
EXERCÍCIO 2 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
1 4
A
B
C
D
E
2
3 5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2 F
9
G 0
0
15
0
1
2
2
2
1
1


p
p
pp
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
Coeficientes da função objetiva
Girar até ser 
paralela à reta 
x1 = 3
EXERCÍCIO 2 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
Sintetizando os limites da análise de sensibilidade.
A solução permanece inalterada enquanto:
 11 p
100 2  p
0
0
15
0
1
2
2
2
1
1


p
p
pp
10
2
15
1
2
1
2
2
2
1
1


p
p
pp
Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado 
até ∞ (∞ – 5) e reduzido até 4 (5 - 1).
Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser 
aumentado até 8 (10 – 2) e reduzido até 2 (2 - 0).
EXERCÍCIO 2 – PREÇO SOMBRA
1 4
A
B
C
D
E
2
3 5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2 F
9
G
Restrição (c)
12122'
22)5,3(2)3(5'
5,3;3
3
102
21
1
21





RRR
R
xx
x
xx
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
A restrição (c) pode ser 
deslocada até os pontos
E(3; 0) e G(3; 4).
3 < restrição c < 11
Preço 
Sombra
EXERCÍCIO 2 – PREÇO SOMBRA
1 4
A
B
C
D
E
2
3 5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2 F
9
G
Restrição (a)
42125'
25)5,2(2)4(5'
5,2;4
4
92
21
1
21





RRR
R
xx
x
xxx1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
A restrição (a) pode ser 
deslocada até os pontos
C(1; 4) e F(9; 0).
1 < restrição a < 9
Preço 
Sombra
EXERCÍCIO 2 - SOLVER
Análise de Sensibilidade
Uma companhia produz três tipos de fertilizantes (A, B e C), a partir da mistura 
de ingredientes a base de nitrato, fosfato e potássio e de um componente inerte, 
conforme mostra o Quadro 1, que apresenta também os preços de venda dos 
fertilizantes. Dados sobre disponibilidade e custos dos ingredientes são 
apresentados no Quadro 2. O custo de mistura, empacotamento e promoção de 
vendas é estimado em R$300,00 por tonelada para quaisquer produtos. A 
companhia possui contrato de longo prazo para fornecimento mensal de 6.500 t 
de fertilizante A. Elabore o modelo de programação linear para a programação 
da produção para o próximo mês, com o objetivo de maximizar o lucro. 
Tipo de 
Fertilizante
Nitrato
(%)
Fosfato
(%)
Potássio
(%)
Componente 
inerte (%)
Preço de mercado 
(R$/t)
A 5 10 5 80 800
B 5 10 10 75 960
C 10 10 10 70 1.100
Quadro 1 - Proporção em peso dos ingredientes 
Ingredientes Disponibilidade (t) Custo (R$/t)
Nitrato 1.200 3.000
Fosfato 2.000 1.000
Potássio 1.400 1.800
Componente inerte  200
Quadro 2 
Exercício 3
Variáveis de decisão
x1: quantidade de fertilizante A produzida por tonelada ao mês
x2: quantidade de fertilizante B produzida por tonelada ao mês
x3: quantidade de fertilizante C produzida por tonelada ao mês
Função Objetiva
Max Lucro = 0,00x1 + 80,00x2 + 80,00x3
Sujeito a
0,05x1 + 0,05x2 + 0,10x3 < 1.200 Nitrato
0,10x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 2.000 Fosfato
0,05x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 1.400 Potássio
x1 > 6.500 Produção mínima do Fertilizante A
x1, x2, x3 > 0
Exercício 3 - Solução
Observações:
Cálculo do lucro do fertilizante A: 
Lucro A = Preço A - Custo dos ingredientes A – Custo de mistura A
Lucro A = 800,00 – (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,05 x 1.800 + 0,80 x 200) 
– 300,00
Lucro A = 800,00 – 500,00 – 300,00 = 0,00
Cálculo do lucro do fertilizante B: 
Lucro B = Preço B - Custo dos ingredientes B – Custo de mistura B
Lucro B = 960,00 – (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,75 x 200) 
– 300,00
Lucro B = 960,00 – 580,00 – 300,00 = 80,00
Cálculo do lucro do fertilizante C: 
Lucro C = Preço C - Custo dos ingredientes c – Custo de mistura C
Lucro C = 1100,00 – (0,10 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,70 x 
200) – 300,00
Lucro C = 1100,00 – 720,00 – 300,00 = 80,00
Exercício 3 - Solução
Tipo Operação 1 Operação 2 Operação 3 Operação 4
COMUM 15 min 25 min 45 min 105 min
BOTA 15 min 30 min 60 min 120 min
AERÓBICA 15 min 40 min 80 min 180 min
Tempo disponível 
para operação
250
horas/semana
600
horas/semana
1.060 
horas/semana
2.400 
horas/semana
Obs.: Supor ano com 50 semanas 
Formule o modelo de programação linear para a programação da produção para o ano 
com o objetivo de maximizar o lucro. 
Exercício 4
O fabricante de tênis “Mayk” produz três modelos: COMUM, BOTA e AERÓBICA. Uma 
análise do mercado revelou a seguinte demanda anual para os três modelos:
COMUM – vendas entre 35.000 e 40.000 unidades e o preço sugerido pelo fabricante para 
a venda é de R$103,50, o que corresponde a um lucro de 20% para o vendedor sobre o 
preço de fábrica que pagou.
BOTA – vendas entre 15.000 e 20.000 unidades e o preço sugerido pelo fabricante para a 
venda é de R$146,00, o que corresponde a um lucro de 18% para o vendedor sobre o 
preço de fábrica que pagou.
AERÓBICA – vendas entre 3.000 e 5.000 unidades e o preço sugerido pelo fabricante 
para a venda é de R$180,00, o que corresponde a um lucro de 15% para o vendedor sobre 
o preço de fábrica que pagou.
Os custos totais por unidade produzida de COMUM, BOTA e AERÓBICA são 
respectivamente R$50,00, R$80,00 e R$95,00.
A produção de tênis envolve quatro operações que necessitam dos tempos em minutos 
abaixo discriminados para serem executados:
Variáveis de decisão
x1: quantidade de produção do modelo COMUM em unidades ao ano
x2: quantidade de produção do modelo BOTA em unidades ao ano
x3: quantidade de produção do modelo AERÓBICA em unidades ao ano
 
Função Objetiva
Max Lucro = 36,25x1 + 43,73x2 + 61,52x3
Sujeito a
x1 < 40.000 Demanda máxima COMUM
x1 > 35.000 Demanda mínima COMUM
x2 < 20.000 Demanda máxima BOTA
x2 > 15.000 Demanda mínima BOTA
x3 < 5.000 Demanda máxima AERÓBICA
x3 > 3.000 Demanda mínima AERÓBICA
0,250x1 + 0,250x2 + 0,250x3 < 12.500 Operação 1
0,417x1 + 0,500x2 + 0,667x3 < 30.000 Operação 2
0,750x1 + 1,000x2 + 1,333x3 < 53.000 Operação 3
1,750x1 + 2,000x2 + 3,000x3 < 120.000 Operação 4
Exercício 4 - Solução
Observações:
Cálculo do lucro do fabricante do tênis COMUM
Lucro tênis COMUM = Preço de venda do fabricante – Custo de fabricação
Lucro tênis COMUM = 103,50 / 1,2 – 50,00 = 86,25 – 50,00 = 36,25
 
Cálculo do lucro do fabricante do tênis BOTA
Lucro tênis BOTA = Preço de venda do fabricante – Custo de fabricação
Lucro tênis BOTA = 146,00 / 1,18 – 80,00 = 123,73 – 80,00 = 43,73
 
Cálculo do lucro do fabricante do tênis AERÓBICA
Lucro tênis AERÓBICA = Preço de venda do fabricante – Custo de fabricação
Lucro tênis AERÓBICA = 180,00 / 1,15 – 95,00 = 156,52 – 95,00 = 61,52
 
Exemplo de transformação de tempos em horas
15 min = 15 / 60 = 0,25 h
 
Cálculo do tempo disponível para operação 1 durante 50 semanas
250 h/sem x 50sem= 12.500 h
Exercício 4 - Solução
Uma fábrica é constituída por quatro centros de processamento 
S1, S2, S3 e S4 e produz três produtos finais F1, F2 e F3, cada um 
deles tendo apenas um processo de fabricação. O centro S1 
recebe a matéria-prima, podendo processar, no máximo, K1 
unidades a um custo unitário C1. Na saída do centro S1, é 
possível enviar o resultado do primeiro processamento, tanto 
para os centros S2 como S3. Os centros S2 e S3 têm custo 
unitário de processamento C2 e C3 e capacidades máximas K2 e 
K3, respectivamente. A saída do centro S2 pode constituir o 
produto final F1 ou servir de entrada para o centro S4. A saída S3 
tem que obrigatoriamente, passar por S4. O centro S4 pode 
processar qualquer uma, ou ambas as entradas, com uma 
capacidade total de K4 unidades e um custo unitário de 
processamento, para qualquerentrada, de C4. As saídas de S4 
resultarão nos produtos finais F2 e F3. Os preços unitários de 
venda são P1, P2 e P3.
Utilizando como variáveis de decisão, o quanto fabricar de cada 
produto, formule o problema de maximização do lucro como 
programação linear.
P1=8, P2=12, P3=14
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70
Exercício 5
S1
S2 S3
S4
Matéria prima
K1 = 90, C1 = 4
K3 = 30, C3 = 1K2 = 50, C2 = 2
K4 = 70, C4 = 3
F1
P1 = 8
F2
P2 = 12
F3
P3= 14
P1=8, P2=12, P3=14
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70
X1, X2 X3
X3X1 X2
X3X2
Exercício 5 - Solução
Exercício 5 - Solução
Função objetiva
Max Lucro = 8x1 + 12x2 + 14x3 – (4x1 + 2x1) - (4x2 + 2x2 + 3x2) - (4x3 + 1x3 + 3x3)
 = 2x1+ 3x2 + 6x3
Sujeito a
x1 + x2 + x3 < 90 Centro de processamento S1 
x1 + x2 < 50 Centro de processamento S2
 x3 < 30 Centro de processamento S3
 x2 + x3 < 70 Centro de processamento S4
x1, x2, x3 > 0
 
Variáveis de decisão
x1 quantidade do produto F1
x2 quantidade do produto F2
x3 quantidade do produto F3
P1=8, P2=12, P3=14 (preço)
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3 (custo)
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70 (capacidade)
Receita Custo F1 Custo F2 Custo F3
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	Exercício 1
	Exercício 1 - Solução Gráfica
	Exercício 1 - Solução Gráfica
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 1 – Preço Sombra
	Exercício 1 – Preço Sombra
	Exercício 1 – Preço Sombra
	Exercício 1 – Preço Sombra
	Exercício 1 - Solver
	Exercício 2
	Exercício 2 - Solução Gráfica
	Exercício 2 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 2 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 2 - Análise de Sensibilidade
	Exercício 2 – Preço Sombra
	Exercício 2 – Preço Sombra
	Exercício 2 - Solver
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