Geometria Analitica Aula 04

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Conversa inicial 
Na aula de hoje, estudaremos os planos e alguns formatos de equações 
de um plano. Iniciaremos com a equação geral de um plano e, em 
seguida, uma equação vetorial para planos. A sequência do estudo se 
dará pela análise das posições relativas entre retas e planos com o 
estudo de ângulos e intersecções. Por fim, estudaremos as posições 
relativas entre planos: ângulos entre planos, paralelismo e 
perpendicularismo e intersecções. 
Para mais informações sobre o conteúdo da disciplina, acesse o vídeo 
do professor no material on-line! 
Contextualizando 
Marcelo é dono de uma grande área de terras, onde existe um pequeno 
morro desocupado. Certo dia, Marcelo teve a ideia de instalar um painel 
solar sobre esse morro. Por isso, Marcelo precisará saber que ângulo o 
painel formará com o plano horizontal, como podemos ver no esquema 
a seguir. 
 
 
 
 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 4 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
 
Com o auxílio de um GPS (global positioning system, – Sistema de 
Posicionamento Global) ele obteve as coordenadas cartesianas de três 
pontos (A, B e C) localizados sobre o morro e que servirão de apoio ao 
painel solar. A partir das coordenadas de cada ponto, Marcelo poderá 
calcular o ângulo do painel em relação ao plano horizontal. 
Mas como fazer isso? É preciso, inicialmente, encontrar um vetor 
normal à superfície do plano que passa pelos pontos dados. Em 
seguida, basta encontrarmos o ângulo entre os planos. 
O desenvolvimento desse processo é que você verá nessa aula! 
 
Equação Geral de um Plano 
Equação cartesiana geral do plano 
Observe a figura a seguir em que se representou o plano α, um 
vetor , normal a α , e um ponto A ∈ α. 
 
 
Conhecidos e A, um ponto P qualquer de α é dado por: . = 0, 
já que será ortogonal ao vetor (lembre-se: o produto escalar 
entre dois vetores ortogonais entre si é sempre igual a zero). De .
 = 0 obtém-se: 
 
 
 
 . = 0 
(a, b, c) . ( - ) = 0, sendo n = (a, b, c) 
(a, b, c) . ((x, y, z) - (x0, y0, z0))= 0, sendo A = (x0, y0, z0) e P = (x, y, z) 
(a, b, c) . (x - x0, y - y0, z - z0) = 0 
a . (x - x0) + b . (y - y0) + c . (z - z0) = 0 
ax - ax0 + by - by0 + cz - cz0 = 0 
ax + by + cz + d = 0, com d = - ax0 - by0 - cz0 
 
A equação obtida no desenvolvimento acima, ax + by + cz + d = 0 , é a 
equação cartesiana no plano α. Note que os coeficientes, a, b e c, são 
as componentes do vetor normal . 
 
Exemplo 1 
Determine uma equação cartesiana geral do plano α, tal que n = (2, 3,-
1) é normal a α, e A = (4, 2, 1) pertence a α. 
Suponha um ponto P = (x, y, z) pertencente ao plano α. Assim: 
. = 0 
(2, 3, -1) . ( - ) = 0 
(2, 3, -1) . ((x, y, z) - (4, 2, 1))= 0, sendo A = (x0, y0, z0) e P = (x, y, z) 
(2, 3, -1) . (x - 4, y - 2, z - 1) = 0 
2 . (x - 4) + 3 . (y - 2) - 1 . (z - 1) = 0 
2x - 8 + 3y - 6 - z + 1 = 0 
2x + 3y - z - 13 = 0 
Note que os coeficientes de x, y e z coincidem com os coeficientes do 
vetor normal = (2, 3,-1). 
 
 
Pode-se determinar esta equação pela substituição das componentes 
de em a, b e c na equação ax + by + cz + d = 0 : 2x + 3y - 1z + d = 
0. E então, para se determinar d, basta substituir nesta equação os 
componentes de um ponto pertencente à reta, neste caso, 
A = (4, 2, 1): 
2x + 3y - 1z + d = 0 
2 . 4 + 3 . 2 - 1 . 1 + d = 0 
13 + d = 0 
d = - 13 
Ou seja: 2x + 3y - 1z - 13 = 0. 
Exemplo 2: 
Determine uma equação cartesiana geral do plano α que contém os 
pontos A = (1, 0, 1), B = (3, 5, 2) e C = (-2, 3, 2), não-colineares. 
Uma propriedade importante do produto vetorial pode ser aplicada para 
determinação de um vetor normal ao plano: o produto vetorial entre dois 
vetores sempre resulta em um vetor ortogonal a estes dois vetores. 
 
Sendo assim, como A, B e C pertencem ao plano α, os vetores 
 = = (3, 5, 2) - (1, 0, 1) = (2, 5, 1) e = = (3, 5, 2) - (-2, 3, 
2) = (5, 2, 0) são paralelos a α. 
 
Portanto, = × será um vetor normal a α : 
 
 
E então, dado um ponto P = (x, y, z) qualquer de α , pode-se dizer que: 
 
. = 0 
(-2, 5, -21) . ( - = 0) 
 
(-2, 5, -21) . ((x, y, z) - (1, 0, 1)) = 0 
(-2, 5, -21) . (x - 1, y - 0, z - 1) = 0 
-2 . (x - 1) + 5y - 21 . (z - 1) = 0 
-2x + 5y - 21z + 23 = 0 
 
Ou ainda, como no exemplo anterior, pode-se determinar o 
coeficiente d pela substituição das componentes de um dos pontos do 
plano – neste caso de A, B ou C a partir das componentes de = (-2, 
5, -21) e a equação -2x + 5y - 21z + d = 0. 
 
-2x + 5y - 21z + 23 = 0 
-2 . 1 + 5 . 0 - 21 . 1 + d = 0 
-23 + d = 0 
d = 23 
E assim: -2x + 5y - 21z + 23 = 0. 
 
Observe que para um mesmo plano existem várias equações 
cartesianas gerais, todas equivalentes umas às outras. Neste exemplo 
em particular, as equações 2x - 5y + 21z -23 = 0 ou 20x - 50y + 210z - 
230 = 0 são exemplos de equações cartesianas do plano α. 
 
Exemplo 3 
Determine uma equação cartesiana geral do plano α que contém os 
pontos: 
A = (1, 0, 1),B = (3, 5, 2) e C = (-2, 3, 2), não-colineares, usando a 
operação produto misto. 
Como os vetores = = (3, 5, 2) - (1, 0, 1) = (2, 5, 1) e 
 = = (3, 5, 2) - (-2, 3, 2) = (5, 2, 0), determinado no exemplo 2, 
ambos paralelos a α, e um ponto P = (x, y, z) pertencente a α, pode-se 
determinar a equação geral do plano fazendo-se: 
 
AP. u x v = 0, com AP = OP - AP = (x -1, y - 0, z - 1): 
 
 
-2x + 5y - 21z + 23 = 0 
 
1. Determine uma equação geral cartesiana do plano α. Considere o 
vetor normal a α e o ponto A pertencente a α onde = (3, 5, 2) e A 
= (1, 2, 4). 
 
Para escrevermos uma equação geral do plano α vamos considerar a 
expressão . = 0 
Sabemos que o vetor pode ser escrito como - . Sabemos 
também que: 
= (3, 5, 2). Logo 
(3, 5, 2) . ( - )= 0 
 
Como P é um ponto qualquer de α, = (x, y, z) e como 
 = (1, 2, 4), A = (1, 2, 4). 
Substituindo por (x, y, z) e por (1, 2, 4), temos: (3, 5, 2) . ((x, 
y, z) - (1, 2, 4)) = 0 
 
 
Vamos agora subtrair as componentes x - 1, y - 2 e z - 4 
(3, 5, 2) . (x - 1, y - 2, z - 4) = 0 
 
Agora precisamos multiplicar os vetores (3, 5, 2) e (x - 1, y - 2, z - 4) 
3 . (x - 1) + 5 . (y - 2) + 2 . (z - 4) = 0 
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos: 3x - 3 + 5y - 10 + 2z - 8 = 0 
Finalmente, vamos somar os termos semelhantes. Nesse caso, - 3 - 10 
– 8 3x + 5y + 2z - 21 = 0 
 
Portanto, uma equação geral do plano α é 3x + 5y + 2z - 21 = 0. 
 
2. Considere o Exercício 1. 
Encontre uma equação geral para α substituindo a, b e c pelas 
componentes do vetor normal e calculando o valor de d a partir da 
relação d = -ax0 - by0 - cz0. 
Como = (3, 5, 2), temos a = 3, b = 5 e c = 2. Substituindo esses 
valores na expressão ax + by + cz + d = 0, temos 3x + 5y + 2z + d = 0. 
 
Para que possamos encontrar o valor de d, vamos utilizar a relação 
d = -ax0 - by0 - cz0 
 
Já sabemos quais são os valores de a, b e c. Quanto aos valores de x0, 
y0 e z0, vamos substituí-los pelas coordenadas do ponto A = (1, 2, 4), 
ou seja, x0 = 1, y0 = 2 e z0 = 4. Portanto d = -3 . 1 - 5 . 2 - 2 . 4 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos d = - 3 - 10 - 8 
Que resulta em d = - 21 
Logo, a equação geral do plano α é dada por 3x + 5y + 2z - 21 = 0. 
 
 
3. Considere os pontos A = (2, 6, 2), B = (3, 1 , 4) e C = (5, 2, 3). 
Determine uma equação geral do plano α que contém os pontos A, 
B e C. 
 
Precisamos, inicialmente, de um vetor normal ao plano α. Podemos 
fazer 
 = e = . Como e são paralelos ao plano α, ovetor = × é normal a α. Logo, vamos calcular o produto 
vetorial × para que possamos encontrar o vetor . 
 
O vetor é dado por = 
Logo = B - A 
Substituindo B por (3, 1, 4) e A por (2, 6, 2), temos = (3, 1, 4) - (2, 6, 2) 
que resulta em = (3 - 2, 1 - 6, 4 - 2) 
donde = (1, -5, 2) 
Para encontrarmos o vetor , vamos fazer = 
ou, equivalentemente, = C - A 
Como C = (5, 2, 3) e A = (2, 6, 2), temos = (5, 2, 3) - (2, 6, 2) 
Vamos subtrair as respectivas componentes = (5 - 2, 2 - 6, 3 - 2) 
Logo = (3, -4, 1) 
Já temos os vetores = (1, -5, 2) e = (3, -4, 1). 
 
O produto vetorial × é dado por: 
 
Substituindo as respectivas componentes de e , temos 
 
Precisamos efetuar as multiplicações indicadas acima 
 × = (-5 + 8)i + (6 - 1)j + (-4 + 15)k 
Vamos agora somar os termos que estão entre parênteses 
 × = 3i + 5j + 11k 
Logo, o vetor normal ao plano α é dado por = (3, 5, 11) 
Podemos agora utilizar a expressão . = 0 
para encontrarmos uma equação geral para o plano α, pois = (3, 5, 
11), 
A = (2, 6, 2) e P = (x, y, z). 
Sabemos que . = 0 é equivalente a . ( - )= 0 
Logo (3, 5, 11) . ((x, y, z) - (2, 6, 2)) = 0 
Subtraindo as respectivas componentes, temos (3, 5, 11) . (x - 2, y - 6, z 
- 2) = 0 
Multiplicando (3, 5, 11) por (x - 2, y - 6, z - 2), temos3.(x - 2) + 5.(y - 6) + 
11.(z - 2) = 0 
Que resulta em 3x - 6 + 5y - 30 + 11z - 22 = 0 
Somando os termos semelhantes, temos 3x + 5y + 11z - 58 = 0 
Que é a equação geral do plano α. 
 
 
4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do 
vetor normal e calculando o valor de d a partir da relação d = -ax0 - 
by0 - cz0. 
Sabemos que a = 3, b = 5 e c = 11, pois = (3, 5, 11). Vamos 
substituindo esses valores na expressão ax + by + cz + d = 0. 
3x + 5y + 11z + d = 0 
O próximo passo é encontrarmos o valor de d utilizando a relação 
d = -ax0 - by0 - cz0 
Nese caso, a = 3, b = 5 e c = 11 e x0 = 2, y0 = 6 e z0 = 2, pois A = (2, 6, 
2). 
Logo: d = -3 . 2 - 5 . 6 - 11 . 2 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos: d = - 6 - 30 - 22 
Que resulta em: d = - 58 
Logo, a equação geral do plano α é dada por: 3x + 5y + 11z - 58 = 0 
 
Sugestões de Estudo 
 
Para conhecer um pouco mais sobre Equação Geral de um Plano clique 
no botão Saiba Mais e aprecie! 
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aulas_online/at4_02.html 
 
Agora que você já fez a leitura, assista aos vídeos a seguir e aprimore 
ainda mais seus conhecimentos! 
https://www.youtube.com/watch?v=EDoby2Sg2IY 
https://www.youtube.com/watch?v=Gr3oHWKrRyA 
Que tal rever o conteúdo desta parte da aula? Aprecie o vídeo do 
professor Nacib Jr. acessando o material on-line! 
 
 
 
Planos no Espaço Tridimensional 
Três situações: uma, duas e três dimensões 
 
Observe o estudo da equação z = 3 em três diferentes situações: 
 
1ª situação: considerando-se 
somente um eixo real, z = 3 é o ponto 
que está a 3 unidades de distância da 
origem (marcação 0), no sentido 
positivo do eixo (indicado pela 
orientação da seta): 
 
2ª situação: considerando-se dois 
eixos reais, y e z, z = 3 representa a 
reta r paralela ao eixo y e que 
dista 3 unidades de y, no quadrante 
positivo. A reta r é formada por todos 
os pontos tais que: 
 
3ª situação: considerando-se três eixos 
reais, x, y e z, z = 3 representa o 
plano α paralelo ao plano xy e que se 
encontra 3 unidades acima de xy. A 
figura a seguir representa parte deste 
plano. Note que α é formado por todos 
os pontos (x, y, z) tais que (x, y, z) = (x, 
y, 3). 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Planos α : z = 3, β : y = 2 e γ : x = 1. 
Na figura a seguir representou-se parte de cada um dos três planos: 
 
 
 
Enquanto z = 3 é o plano paralelo a xy e que está 3 unidades “acima” 
de xy, y = 2 é o plano paralelo a xz e que está 2 unidades “à direita” 
de xz. A equação x = 1 representa o plano paralelo a yz e que está uma 
unidade “à frente” de yz. 
 
Observe que as equações dos planos xy, xz e yz são, 
respectivamente, z = 0, y = 0 e x = 0. 
 
Este exemplo ilustra três casos em que a equação geral do plano ax + 
by + cz + d = 0 possui dentre os coeficientes a, b e c, dois deles com 
valor nulo. Sempre que isto acontecer, o plano dado pela equação será 
paralelo a um dos planos coordenados: xy, xz ou yz. 
 
Neste exemplo em particular, tem-se: 
α : 0x + 0y + z + (-3) = 0 ∴ z = 3 → plano paralelo a xy. 
β : 0x + y + 0z + (-2) = 0 ∴ y = 2 → plano paralelo a xz. 
γ : x + 0y + 0z + (-1) = 0 ∴ x = 1 → plano paralelo a yz. 
 
 
 
Exemplo 2 
Dois planos: plano α : x + z = 3 e β : x + 2y = 4. 
Plano α: x + z = 3. 
 
Se considerarmos somente os eixos x e z, a equação x + z = 
3 representa a reta r, ilustrada a seguir: 
 
Considerando-se os três eixos, a equação x + z = 3 representa o 
plano α, representado parcialmente na figura a seguir: 
 
 
Observe que a intersecção entre α e o plano xz é a reta r. Além 
disso, x não intersecta o eixo y. 
Os pontos de intersecção com os eixos x e z podem ser obtidos como 
a seguir: 
Intersecção em x : z = 0 em x + z = 3 → x + 0 = 3 → x = 3 → (3, 0, 0) 
Intersecção em z : x = 0 em x + z = 3 → 0 + z = 3 → z = 3 → (0, 0, 3) 
 
Plano β : x + 2y = 4. 
 
Se considerarmos somente os eixos x e y, a equação x + 2y = 
4 representa a reta s ilustrada a seguir: 
 
 
 
Considerando-se os três eixos, a equação x + 2y = 4 representa o 
plano β, representado parcialmente na figura a seguir: 
 
Observe que a intersecção entre β e o plano xy é a reta s. Além 
disso, β não intersecta o eixo z. Os pontos de intersecção com os 
eixos x e y podem ser obtidos como a seguir: 
 
Intersecção com x : y = 0 em x + 2y = 4 → x + 2 . 0 = 4 → x = 4 → (4, 
0, 0) 
Intersecção com y : x = 0 em x + 2y = 4 → 0 + 2y = 4 → y = 2 → (0, 2, 
0) 
 
Os planos neste exemplo ilustram o caso em que a equação geral do 
plano ax + by + cz + d = 0 possui um dentre os coeficientes a, b e c com 
valor nulo. Sempre que isto acontecer, o plano dado pela equação não 
intersectará o eixo correspondente ao coeficiente nulo. 
 
 
Neste exemplo em particular, tem-se: 
α : x + 0y + z + (-3) = 0 ∴ x + z = 3 → plano não intersecta o eixo y. 
β : x + 2y + 0z + (-4) = 0 ∴ x + 2y = 4 → plano não intersecta o eixo z. 
 
Exemplo 3 
 
Plano α : 2x + y + 3z = 6 
Este plano intersecta os três eixos, x, y e z. Os pontos de intersecção 
com os eixos podem ser obtidos como a seguir: 
 
Intersecção com x : y = z = 0 em 2x + y + 3z = 6 → 2x = 6 → x = 3 → 
(3, 0, 0) 
Intersecção com y : x = z = 0 em 2x + y + 3z = 6 → y = 6 → (0, 6, 0) 
Intersecção com z : x = y = 0 em 2x + y + 3z = 6 → 3z = 6 → z = 2 → 
(0, 0, 2) 
 
As intersecções deste plano com os planos xy, yz e xz podem ser 
obtidas como a seguir: 
 
Intersecção com xy : z = 0 em 2x + y + 3z = 6 → 2x + y = 6 (reta r) 
Intersecção com yz : x = 0 em 2x + y + 3z = 6 → y + 3z = 6 (reta s) 
Intersecção com xz : y = 0 em 2x + y + 3z = 6 → 2x + 3z = 6 (reta t) 
 
Observe uma representação do 
plano α: 2x + y + 3z = 6 e suas 
intersecções com os eixos 
coordenados e com os planos xy, 
xz e yz: 
 
 
 
1. Considere o plano α definido por 4x + 5y + 2z - 20 = 0. Determine os 
pontos A, B e C de intersecção do plano α com os eixos coordenados x, 
y e z, respectivamente. 
O ponto de intersecção do plano α com o eixo x ocorre quando y = 
0 e z = 0. Logo, vamos substituir esses valores na equação 4x + 5y + 
2z -20 = 0 
O que resulta em 4x + 5(0) + 2(0) - 20 = 0 
Logo 4x - 20 = 0 
Somando 20 nos dois membros da equação 4x - 20 + 20 = 0 +20 
Donde 4x = 20 
Dividindo ambos os membros por 4, temos 
 
Portanto x = 5 
Logo, o ponto A de intersecção do plano α com o eixo x é igual a A = (5, 
0, 0). Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano α com o 
eixo y vamos considerar agora x = 0 e z = 0. Substituindo esses valores 
na equação 4x - 5y + 2z - 20 = 0 
Temos 4(0) - 5y + 2(0) - 20 = 0 
Os cálculos para encontrarmos o valor de y são análogos aos 
realizados anteriormente: 
 
 
Portanto, o ponto B de intersecção do plano α com o eixo y é igual a B 
= (0, 4, 0). O ponto de intersecção do plano α com o eixo z ocorre 
quando x = 0 e y = 0. Logo: 
 
Assim, o ponto C de intersecção do plano α com o eixo z é igual a C = 
(0, 0, 10). A figura a seguir apresenta os pontos A, B e C onde o 
plano α intercepta os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. 
 
2. Seja o plano α definido por 4x + 5y + 2z - 20 = 0 conforme o Exercício 
1. Determine as intersecções do plano α com os planos xy, yz e xz. 
O plano α intercepta o plano xy quando z = 0. 
4x + 5y + 2z - 20 = 0 
Logo: 
4x + 5y + 2(0) - 20 = 0 
4x + 5y + 0 - 20 = 0 
4x + 5y - 20 = 0 
4x + 5y = 20 
 
O plano α intercepta o plano yz quando x = 0. 
4x + 5y + 2z - 20 = 0 
Logo: 
4(0) + 5y + 2z - 20 = 0 
0 + 5y + 2z - 20 = 0 
5y + 2z - 20 = 0 
5y + 2z = 20 
O plano α intercepta o plano xz quando y = 0. 
4x + 5y + 2z - 20 = 0 
Logo: 
4x + 5(0) + 2z - 20 = 0 
4x + 0 + 2z - 20 = 0 
4x + 2z - 20 = 0 
4x + 2z = 20 
 
Agora que o conteúdo já foi visto, acesse o material on-line e assista ao 
vídeo preparado pelo professor Nacib Jr. para apreender um pouco 
mais! 
Bons estudos! 
 
 
Equação Vetorial de um Plano 
Equação vetorial 
Seja um plano α , dois vetores e não paralelos entre si e ambos 
paralelos a α e um ponto A ∈ α. 
Todo ponto P ∈ α pode ser escrito como uma combinação linear 
de e , ou seja, pode-se escrever: 
 = t1 . + t2 . → Equação Vetorial do Plano, com t1 e t2 reais. 
 
Para P = (x, y, z), A = (x0 , y0 , z0 ), = (a1 , b1 , c1 ) e = (a2 , b2 , 
c2 ) tem-se: 
 
 
 
Exemplo 1: 
Determine a equação vetorial do plano α, que contém os pontos A = 
(1,0,1), B = (3,5,2) e C = (-2,3,2). 
 
Como calculado no exemplo da seção anterior, pode-se fazer: 
 
 = = (3, 5, 2) - (1, 0, 1) = (2, 5, 1) e = = (3, 5, 2) - (-2, 3, 
2) = (5, 2, 0) 
 
Assim, para t1 e t2 reais: 
 
(x, y, z) = (1, 0, 1) + t1 . (2, 5, 1) + t2 . (5, 2, 0) 
(x, y, z) = (1, 0, 1) + (2t1 , 5t1 , t1 ) + (5t2 , 2t2 , 0) 
(x, y, z) = (1 + 2t1 + 5t2 , 5t1 + 2t2 , 1 + t1 ) 
 
Observação: Para determinarmos uma equação vetorial do plano, 
precisamos de dois vetores quaisquer pertencentes ao plano e que não 
sejam paralelos entre si. 
 
1. Encontre uma equação vetorial do plano α que passa pelos pontos A 
= (2, 6, 2), B = (3, 1, 4) e C = (5, 2, 3). 
 
Considere = . Como = B – A temos = (3, 1, 4) - (2, 6, 2) 
Que resulta em = (3 - 2, 1 - 6, 4 - 2) 
Donde = (1, -5, 2) 
Vamos considerar = 
Sabemos que = C - A 
Logo = (5, 2, 3) - (2, 6, 2) 
Donde = (5 - 2, 2 - 6, 3 - 2) 
Portanto = (3, -4, 1) 
Como já temos os vetores e e o ponto A = (2, 6, 2), a equação 
vetorial do plano pode ser facilmente obtida. 
 
Vamos substituir A, e na expressão P = A + t1 + t2 o que 
resulta em: 
(x, y, z) = (2, 6, 2) + t1(1, -5, 2) + t2(3, -4, 1) 
Multiplicando t1 por (1, -5, 2) e t2 por (3, -4, 1), temos 
(x, y, z) = (2 + t1 + 3t2, 6 - 5t1 - 4t2, 2 + 2t1 + t2) 
Que é a equação vetorial α. 
 
2. Utilize o produto misto para encontrar uma equação vetorial do 
plano α que passa pelos pontos A = (2, 6, 2) , B = (3, 1, 4) e C = (5, 2, 
3). 
Sabemos que o produto misto .( × ) é calculado a partir do 
determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores 
, e : 
 
Precisamos, então, definir a partir dos pontos A, B, C e P, os vetores 
, e . É importante ressaltar que P é um ponto pertencente a α tal 
que P = (x, y, z). Vamos fazer = , = e = . 
 
O vetor = é obtido como segue: 
 = P - A 
 = (x, y, z) - (2, 6, 2) 
= (x - 2, y - 6, z - 2) 
 
Para encontrarmos o vetor = , basta fazer: 
 = B - A 
= (3, 1, 4) - (2, 6, 2) 
 
 
 = (3 - 2, 1 - 6, 4 - 2) 
= (1, -5, 2) 
O vetor = também pode ser facilmente obtido: 
 = C - A 
 = (5, 2, 3) - (2, 6, 2) 
 = (5 - 2, 2 - 6, 3 - 2) 
 = (3, -4 ,1) 
 
Como já temos os vetores , e , podemos calcular o produto 
misto . ( × ) e, para obtermos a equação geral do plano, igualar 
esse produto misto a zero. 
 
Que corresponde a: 
 . ( × ) = (x - 2)(-5)(1) + (y - 6)(2)(3) + (z - 2)(1)(-4) 
-(x - 2)(2)(-4)-(y - 6)(1)(1) - (z - 2)(-5)(3) = 0 
Vamos agora efetuar as multiplicações indicadas 
-5x + 10 + 6y - 36 - 4z + 8 + 8x - 16 - y + 6 + 15z - 30 = 0 
Somando os termos semelhantes, temos: 
3x + 5y + 11z - 58 = 0 que é a equação geral do plano α. 
 
Equações paramétricas do plano 
A equação vetorial do plano apresentada acima, 
r(t1 , t2 ) = (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t1 . (a1 , b1 , c1 ) + t2 . (a2 , b2 , c2 ) , é 
uma parametrização do plano, isto é, é uma regra P = r(t1 , t2 ) que 
 
determina as coordenadas dos pontos P pertencentes a um plano em 
função dos parâmetros reais t1 e t2. 
Comparando-se os componentes nesta equação podem ser obtidas as 
equações paramétricas do plano: 
 
 
 
Exemplo 
Determine as equações paramétricas do plano α que contém os pontos: 
A = (1, 0, 1). 
B = (3, 5, 2) e C = (-2, 3, 2). 
De (x, y, z) = (1 + 2t1 + 5t2 , 5t1 + 2t2 , 1+ t1) tem-se: 
 
 
 
Para cada combinação de valores reais de t1 e t2 tem-se um ponto 
diferente do plano, e para cada ponto do plano sempre existirá uma 
combinação de valores dos parâmetros que resulta neste ponto. 
 
1. Encontre um sistema de equações paramétricas do plano α que 
passa pelos pontos A = (2, 6, 2), B = (3, 1, 4) e C = (5, 2, 3). 
A partir dos pontos A, B e C, precisamos definir os vetores diretores do 
plano α: 
O primeiro vetor pode ser = : 
 = B - A 
 = (3, 1, 4) - (2, 6, 2) 
 = (1, -5, 2) 
 
O segundo vetor diretor pode ser = 
 = C - A 
 = (5, 2, 3) - (2, 6, 2) 
 = (3, -4, 1) 
Como as equações paramétricas são dadas por 
 
Basta substituirmos x0, y0 e z0 pelas respectivas coordenadas do 
ponto A, a1, b1 e c1pelas respectivas coordenadas do vetor e a2, 
b2 e c2 pelas respectivas coordenadas do vetor : 
 
Logo, as equações paramétricas de α são: 
 
Sugestões de Estudo 
Para conhecer um pouco mais sobre Equação Vetorial de um Plano, 
confira os links a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=6LAybr1Colc 
https://www.youtube.com/watch?v=TY77xqTDpsA 
 
E antes de prosseguir, confira o que o professor Nacib Jr. preparou 
para você no material on-line! 
 
 
 
Retas e Planos 
Retas e planos: perpendicularismo e paralelismo 
Para avaliar se uma reta r é paralela ou perpendicular a um plano α , 
podem ser comparados um vetor diretor de re um vetor normal a α . 
Observe: 
 
A figura vista anteriormente ilustra o caso em que um vetor diretor de r, 
vetor , é paralelo a um vetor normal de α , vetor : a reta é 
perpendicular ao plano. 
 
Na figura a seguir, ilustra-se o caso em que um vetor diretor de r é 
ortogonal a um vetor normal de α : a reta é paralela ao plano: 
 
Exemplo: 
Verifique que a reta r dada por: 
 
 
 
É perpendicular ao plano α , dado por α : 7x - y -3z +45 = 0. 
Pode-se escrever r: (x, y, z) = (13, 5, 0) + t . (-14, 2, 6) com o que se 
evidencia o vetor diretor de r usado nesta parametrização: = (-14, 2, 
6). 
A partir dos coeficientesda equação cartesiana do plano α pode-se 
obter um vetor normal a α: 7x - y -3z + 45 = 0 → = (7, -1, -3). 
Assim, basta verificar que = (-14, 2, 6) e são paralelos entre si, 
ou seja, que = k . para algum k real: 
 = k . 
(-14, 2, 6) = k . (7, -1, -3) 
(-14, 2, 6) = (7k, -k, -3k) 
 
 
 
Portanto, como um vetor diretor de r é paralelo a um vetor normal 
de α, r é ortogonal a α . 
 
Exemplo: 
Verifique que a reta r dada por: 
 
 
 
É paralela ao plano α , dado por α : (x, y, z) = (1 +3t1 + 5t2, 2t2, 1 + 2t1). 
 
Pode-se escrever r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t . (1, 1, -1) com o que se 
evidencia o vetor diretor de r usado nesta parametrização: 
= (1, 1, -1). 
E também, pode-se escrever: α : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t1 . (3, 0, 2) + t2 . 
(5, 2, 0), com o que se evidenciam dois vetores paralelos ao plano α 
, = (3, 0, 2) e = (5, 2, 0), a partir dos quais pode ser obtido um 
vetor normal a α : 
 
 
 
Finalmente, basta verificar que = (1, 1, -1) e (-4, 10, 6) são 
ortogonais entre si, ou seja, que . = 0 : . = (1, 1, -1) . (-4, 
10, 6) = -4 + 10 -6 = 0. 
 
Portanto, como um vetor diretor de r é ortogonal a um vetor normal 
de α, r é paralela a α. 
Note que uma reta paralela a um plano pode ou não estar contida neste 
plano: acompanhe o próximo exemplo. 
 
Exemplo 
Em relação ao exemplo anterior, verifique se a reta r está ou não 
contida no plano α. 
Como, de acordo com o exemplo anterior, já se sabe que a reta é 
paralela ao plano, tem-se agora apenas que verificar se há dois pontos 
de r que também pertencem a α: se houver, a reta está contida no 
plano, caso contrário, a reta não está contida em α. 
Para determinar as coordenadas de dois pontos da reta, substitua 
quaisquer dois valores no parâmetro t, por exemplo: 
 
t = 0 : A = (1, 2, 3) + 0 . (1, 1, -1) → A = (1, 2, 3) 
t = 1 : B = (1, 2, 3) + 1 . (1, 1, -1) → B = (2, 3, 2) 
 
Em seguida, verifique se os dois pontos pertencem ao plano: 
 
A = (1, 2, 3): 
(1, 2, 3) = (1, 3t1 + 5t2 , 2t2, 1 + 2t1) 
 
 
Substituindo-se t1 = 1 e t2 = 1 
na primeira equação: 
1 = 1 + 3t1 + 5t2 
1 = 1 + 3 + 5 
1 = 9 → Falso (Sistema impossível) 
 
Como o sistema de equações resultante da aplicação das coordenadas 
do ponto A nas equações paramétricas do plano α não possui 
solução, A não pertence ao plano e, por isso, pode-se afirmar que a 
reta r não está contida no plano α - lembre-se: para se afirmar 
que r está contida em α seria necessário que os dois pontos, A e B, 
pertencessem ao plano. 
1. Seja r a reta dada pelas equações: 
 
. 
Verifique se r é paralela ao plano α dado por α: (x, y, z) = (1 + t1 + 2t2, 3 
+ t1 + t2 , 3 + 3t1 + 2t2 ). 
 
r: (x, y, z) = (2 + 3t, 5 + t, 1 + 2t) 
 
Vetor diretor: = (3, 1, 2) 
Plano α: (x, y, z) = (1, 3, 3) + t1(1, 1, 3) + t2(2, 1, 2) 
Donde: 
 = (1, 1, 3) 
 = (2, 1, 2) 
 
 = (-1, 4, -1) 
Ortogonalidade: 
= (3, 1, 2) 
 = (-1, 4, -1) 
× = (3, 1, 2) . (-1, 4, -1) 
 × = (3).(-1) + (1).(4) + (2).(-1) 
 × = -3 + 4 -2 
 × = -1 
Não são ortogonais 
 
2. Considerando o Exercício 1, verifique se r está contida no plano α. 
 
 
Para que uma reta esteja contida no plano, essa reta deve ser paralela 
ao plano e é preciso ainda mostrar que dois pontos quaisquer da reta 
pertencem ao plano. Como r e α não são paralelos, a reta r não está 
contida no plano α. 
3. Verifique se o ponto A = (4, 2, 3) pertence ao plano 
α: (x, y, z) = (1 + t1 + 2t2 , 3 + t1 + t2 , 3 + 3t1 + 2t2 definido no Exercício 
1. 
Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano, basta 
substituirmos as coordenadas x, y e z desse ponto na equação do 
plano e verificarmos se os parâmetrost1 e t2 satisfazem a equação do 
plano. Nesse caso, temos: 
α : (x, y, z) = (1 + t1 + 2t2 , 3 + t1 + t2 , 3 + 3t1 + 2t2 ) 
Sendo assim: 
(4, 2, 3) = (1 + t1 + 2t2 , 3 + t1 + t2 , 3 + 3t1 + 2t2 ) 
Donde 
 
Agrupando os termos semelhantes, temos 
 
Ou, equivalentemente, 
 
Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas 
incógnitas para encontrarmos, caso existam, os parâmetros t1 e t2 que 
satisfazem o sistema de equações. Podemos resolver, inicialmente, o 
 
sistema formado pelas duas primeiras equações. Caso exista solução, 
devemos substituir t1 e t2 na terceira equação para, enfim, sabermos se 
o sistema possui solução e, consequentemente, se o ponto A = (4, 2, 
3) pertence ao plano α. Logo: 
 
Multiplicado a segunda equação por -1 temos: 
 
Vamos agora somar os termos semelhantes: 
 
Logo, t2 = 4. Podemos substituir esse valor na equação t1 + t2 = -1 , o 
que resulta em 
t1 + t2 = -1 
t1 + 4 = -1 
t1 = -1 – 4 
t1 = -5 
Finalmente, para sabermos se o ponto A pertence ao plano α, vamos 
substituir t1 = -5 et2 = 4 na equação 3t1 + 2t2 = 0. 
3t1 + 2t2 = 0 
3(-5) + 2(4) = 0 
-15 + 8 = 0 
-7 = 0 
Como -7 ≠ 0, podemos concluir que o ponto A = (4, 2, 3) não pertence 
ao planoα: (x, y, z) = (1 + t1 + 2t2 , 3 + t1 + t2 , 3 + 3t1 + 2t2 ). 
Intersecção de retas com planos 
 
Caso exista, a intersecção entre uma reta r e um plano α , é formada 
pelo ponto (ou conjunto de pontos) ponto comum a ambas e que, 
portanto, atende às equações da reta e do plano ao mesmo tempo. 
 
Exemplo: 
Verifique se a reta r dada por: r: y = 3 - 2x, com z = 0, intersecta o 
plano α, dado por: 
α: 2x + y + z = 5. 
Para determinar uma equação vetorial de r, encontre dois pontos 
pertencentes a r atribuindo valores em x: 
Para x = 0 : y = 3 → A = (0, 3, 0) 
Para x = 1 : y = 3 - 2 = 1 → B = (1, 1, 0) 
Assim: 
r: (x, y, z) = + t. 
r: (x, y, z) = (0, 3, 0) + t . ( - ) 
r: (x, y, z) = (0, 3, 0) + t . ((1, 1, 0) - (0, 3, 0)) 
r: (x, y, z) = (0, 3, 0) + t . (1, -2, 0) 
r: (x, y, z) = (t, 3 - 2t, 0 com t ∈ ℝ) 
 
Em seguida, verifique se há algum ponto que atenda às equações do 
plano e da reta ao mesmo tempo. Por exemplo, substitua 
 
 
Na equação do plano: 
α : 2x + y + z = 5 
 
r ∩ α : 2 . (t) + (3 - 2t) + 0 = 5 
r ∩ α : 2t + 3 - 2t + 0 = 5 
r ∩ α : 3 = 5 → Equação Falsa 
 
A equação falsa encontrada no desenvolvimento indica que não existe 
ponto que atenda tanto às equações da reta como à equação do plano 
e, assim, não há intersecção entre a reta e o plano. 
Obs.1: uma equação vetorial para a reta pode ser facilmente encontrada 
substituindo-se a variável x pelo parâmetro t: 
r : y = 3 - 2x, com z = 0 
x = t : y = 3 - 2t, com z = 0 
r : (x, y, z) = (t, 3- 2t, 0) 
 
Obs.2: pode-se desenvolver este exercício por meio das equações 
dadas, sem que seja determinada uma equação vetorial para a reta: 
α : 2x + y + z = 5 ∩ r : y = 3 - 2x com z = 0: 
 
 
2x + 3 -2x + 0 = 5 ∴ 3 = 5 
Exemplo: 
Verifique se a reta r dada por: P = (1, 2, 4) + t (1, 2, 1) intersecta o 
plano α, dado por: 
α: (x, y, z) = t1 . (2, 1, -1) + t2 . (0, 3, 2). 
Deve-se procurar por algum ponto que atenda as equações da reta e 
do plano, ou seja, um ponto tal que: 
 
 
 
Para t, t1 e t2 reais, ou seja, por uma solução para o sistema de 
equações: 
 
 
Da primeira equação obtém-se: 
1 + t = 2t1 → 2t1 – 1 
Substituindo-se este resultado na segunda equação: 
2 + 2t = t1 + 3t2 → 2 + 2 . (2t1 - 1) = t1 + 3t2 → t1 = t2 
 
Substituindo-se t = 2t1 - 1 e t1 = t2 na terceira equação, tem-se: 
4 + t = - t1 + 2t2 → 4 + 2t1 - 1 = 1t1 + 2t1 → t1 = -3 
Finalmente, aplicando-se t1 = -3 em t = 2t1 - 1 e t1 = t2, tem-se a solução 
do sistema: t = 2 . (-3) - 1 = -7 e t1 = t2 = -3, ou ainda: 
 
 
O plano e a reta se intersectam em P = (-6, -12, -3). 
Sugestões de Estudo 
Para conhecer um pouco mais sobre Retase Planos, confira os vídeos 
a seguir! 
https://www.youtube.com/watch?v=gyqDMNxtY7k 
https://www.youtube.com/watch?v=LwsQ9XXtaSs 
 
E depois de conferir os vídeos, assista às explicações dadas pelo 
professor Nacib Jr. no material on-line! 
 
Planos: Ângulos, Paralelismo e 
Perpendicularismo 
 
O ângulo θ entre dois planos α e β é dado pelo menor ângulo formado 
entre um vetor normal aα e um vetor normal a β, podendo ser calculado 
pela expressão: 
 
 
Destacam-se dois casos particulares: 
planos paralelos e planos 
perpendiculares. Quando dois planos 
forem paralelos (ângulo de 0º), os 
vetores normais aos dois planos 
também serão paralelos entre si. 
Observe a ilustração: 
 
 
Quando dois planos forem 
perpendiculares entre si (ângulo 
de 90º), os vetores normais aos dois 
planos serão ortogonais uns aos outros. 
Observe a ilustração: 
 
 
 
Exemplo 
 
Encontre a medida do ângulo entre os planos α: x + 2y - z = 0 e β: x + y 
+ z = 0. 
Dos coeficientes de x, y e z nas equações gerais dos 
planos α e β obtêm-se os vetores: 
 
 = (1, 2, -1) e = (1, 1, 1), normais, respectivamente, a α e β. 
 
Assim: 
 
 
cos (θ) = 0,471 
Então para encontrar o ângulo, usa-se arccos (θ)=0,471, portanto 
θ=61,9° 
 
 
Qual é a medida do ângulo entre os planos α: 6x + 2y - 4z = 15 e β : 2x 
-4y + z = -13 ? 
 
Dos coeficientes de x, y e z nas equações gerais dos 
planos α e β obtêm-se os vetores: 
 = (6, 2, -4) e = (2, -4, 1), normais, respectivamente, a α e β. 
 
Assim: 
 
 
Este exemplo ilustra o caso em que os vetores normais a dois planos 
são ortogonais entre si e, com isso, os planos são perpendiculares entre 
si. Lembre-se: . = 0 ⇔ e são ortogonais entre si. 
 
 
Intersecção entre planos 
A intersecção entre dois planos não paralelos entre si é uma reta cujas 
equações podem ser obtidas a partir das equações dos planos. 
 
Exemplo: 
 
Determine a intersecção entre os planos α: 6x + 2y -4z = 15; e β: 2x - 
4y + z = -13. 
Como os dois planos são perpendiculares (veja o exemplo da seção 
anterior), a intersecção entre eles existe e pode ser determinada pelo 
sistema de equações a seguir: 
 
 
Substituindo-se z = -13 -2x + 4y em 6x + 2y - 4z = 15: 
 
 
Substituindo-se: 
 
 
 
Portanto, a intersecção entre os dois planos é a reta de equações: 
 
 
 
Ou ainda, fazendo-se x=t: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Determine a intersecção entre os planos α: 6x + 2y -4z = 15 e 
β: 2x - 4y + z = -13, usando-se outro método. 
 
A figura a seguir ilustra a ideia de que um vetor diretor da reta formada 
pela intersecção de dois planos é ortogonal aos vetores normais aos 
planos: 
 
 
 
Os vetores = (6, 2, -4) e = (2, -4, 1) são normais, 
respectivamente, a α e β. Como, de acordo com as propriedades do 
produto vetorial, = × é um vetor ortogonal tanto a como 
a , = × é um vetor diretor de r. 
 
 
Assim: 
 
Para se determinar um vetor posição de r é preciso encontrar um 
ponto A que pertença aos dois planos, α e β, ou seja, é preciso 
determinar uma das soluções do sistema formado pelas equações dos 
planos. 
 
Para isso, atribua um valor qualquer (por exemplo, 0) em uma das 
incógnitas (por exemplo, emx): 
 
 
 
Em seguida, resolva o sistema assim obtido: 
 
 
 
O ponto 
 
 
pertence à reta r e, portanto, 
 
 
 
é um vetor posição de r. 
 
 
Finalmente, uma equação vetorial de r pode ser obtida como a seguir: 
 
 
 
Obs.: o desenvolvimento aplicado neste exemplo para a determinação 
do ponto A, pertencente à intersecção dos dois planos, parte do 
pressuposto de que o sistema de equações obtido com as equações 
dos planos possui grau de liberdade igual a 1, conceito este que será 
explorado na disciplina de Álgebra Linear. 
 
Em linhas gerais, pode-se dizer que, como apresentado, o sistema de 
equações formado pelas equações dos planos pode ser reduzido a 
duas equações em que as incógnitas y e z estão em função de x e, 
assim, para cada (um) valor atribuído a x, determina-se uma solução do 
sistema. No desenvolvimento acima, atribuiu-se o valor 0 a x, 
determinando-se uma dentre as soluções do sistema. 
 
1. Encontre o ângulo formado entre os planos α : x + y + z - 5 = 0 e 
β : 2x + 3y + z - 12 = 0. 
O ângulo entre dois planos é dado pelo menor ângulo entre os vetores 
normais desses dois planos. A fórmula a ser utilizada é a seguinte 
 
O vetor normal ao plano α é = (1, 1, 1) e o vetor normal ao plano 
β é = (2, 3, 1). Substituindo esses vetores na expressão: 
 
 
Temos: 
 
Nesse caso, o ângulo entre os planos α: x + y + z - 5 = 0 e 
β : 2x + 3y + z - 12 = 0 é igual a 22,21°. 
 
Sugestões de Estudo 
Para conhecer um pouco mais sobre Planos: Ângulos, Paralelismo e 
Perpendicularismo, assista aos vídeos a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=TZy-yItttQ8 
https://www.youtube.com/watch?v=jNcZKMYHe4A 
 
E para finalizar seus estudos, acesse o material on-line e assista com 
atenção ao vídeo que o professor Nacib Jr. preparou para você! 
 
 
 
Planos 
Equações do plano 
 
Equação geral do plano: ax + by + cz + d = 0 onde a, b e c são as 
componentes do vetor normal , d = -ax0- by0 - cz0 e . = 0, 
A,P ∈ α. 
 
 
Equação vetorial do plano: P = A + t1 + t2 onde e são 
paralelos a α, A, P ∈ α e t1, t2 ∈ ℝ. 
 
 
 
Equações paramétricas do plano: 
 
 
Produto misto: 
 
 
 
Onde = (x1, y1 , z1 ), = (x2, y2 , z2 ) e = (x3, y3 , z3 ). 
 
Ângulo entre dois planos: 
 
Com 0 ≤ θ ≤ 90º. 
 
Na prática 
Vamos colocar em prática o que estudamos nessa aula! 
Agora que você já é capaz de encontrar um vetor normal a um plano, 
uma equação do plano que passa por três pontos e também como 
proceder para determinarmos o ângulo entre dois planos, poderá ajudar 
o Marcelo a resolver o seu problema. 
O GPS fornece coordenadas globais e, para simplificar o processo de 
obtenção de uma equação do plano, vamos considerar as coordenadas 
dos pontos em relação a um sistema hipotético de eixos, onde a origem 
desse sistema de eixos está localizada na parte plana do terreno e 
próxima ao morro. 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, as coordenadas dos pontos em relação ao sistema de 
eixos são: A=(2, 5, 10), B=(0, 8, 9) e C=(4, 9, 2). Para encontrar um 
vetor �⃗� normal a esse plano, considerar �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Calcular o produto vetorial �⃗� × 𝑣 para que se possa encontrar o vetor �⃗� . 
 
O vetor �⃗� é dado por �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Logo: 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
�⃗� = 𝐵 − 𝐴 
�⃗� = (0, 8, 9) − (2, 5, 10) 
�⃗� = (−2, 3,−1) 
O vetor 𝑣 é dado por 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. Logo: 
𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑣 = 𝐶 − 𝐴 
𝑣 = (4, 9, 2) − (2, 5, 10) 
𝑣 = (2, 4,−8) 
A partir dos vetores �⃗� e 𝑣 , pode-se encontrar o vetor �⃗� . 
�⃗� = �⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
−2 3 −1
2 4 −8
| 
�⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
−2 3 −1
2 4 −8
 | 
𝑖 𝑗 
−2 3
2 4
| 
�⃗� = −24𝑖 − 2𝑗 − 8�⃗� − 16𝑗 + 4𝑖 − 6�⃗� 
�⃗� = −20𝑖 − 18𝑗 − 14�⃗� 
Dessa maneira, tem-se que o vetor normal ao plano é dado por �⃗� =
(−20,−18,−14). 
Para determinar o ângulo entre dois planos, basta conhecer os vetores 
normais a esses planos, mas como exercício determinar também a 
equação do plano que passa pelos pontos A, B e C. 
 
Para encontrar a equação do plano, utilizar a expressão �⃗� . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 com 
A=(2, 5, 10) e P=(x, y, z). 
Logo: (-20, -18, -14). ((x, y, z) - (2, 5, 10)) = 0 
Subtraindo as respectivas componentes, tem-se: (-20,-18, -14) . (x - 2, 
y - 5, z - 10) = 0 
 
Multiplicando (-20, -18, -14) por (x - 2, y - 5, z - 10), tem-se: (-20).(x - 2) 
+ (-18).(y - 5) + (-14).(z - 10) = 0 
Que resulta em: -20x + 40 - 18y + 90 - 14z + 140 = 0 
 
Somando os termos semelhantes, tem-se: -20x - 18y - 14z + 270 = 0 
Essa é a equação geral do plano  em questão. 
 
Precisamos agora de um vetor normal ao plano horizontal. Pode-se 
considerar o vetor �⃗� = (0, 0, 1) como sendo o vetor normal ao plano. 
Mas por que isso? A resposta é bem simples. Esse vetor coincide com 
o vetor canônico �⃗� que é normal ao plano horizontal. 
horizontal, utilizar a 
fórmula: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ . 𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ |. |𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
 
onde 𝑛1⃗⃗⃗⃗ = (−20,−18,−14) e 𝑛2⃗⃗⃗⃗ = (0, 0, 1). 
Logo: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|(−20,−18,−14). (0, 0, 1)|
|(−20,−18,−14)|. |(0, 0, 1)|
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|(−20,−18,−14). (0, 0, 1)|
|(−20,−18,−14)|. |(0, 0, 1)|
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
|(−20)(0) + (−18)(0) + (−14). ( 1)|
√(−20)2 + (−18)2 + (−14)2. √(0)2 + (0)2 + (1)2
 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
| − 14|
√400 + 324 + 196.√0 + 0 + 1
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
14
√920.√1
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
14
30,33
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,46 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,46) 
𝜃 = 62,61° 
Portanto, o ângulo formado entre o plano  e o plano horizontal é de 
62,61°. 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Nessa aula, aprendemos a obter uma equação geral de um plano. 
Vimos também que um plano pode ser representado por equações 
vetoriais e também por equações paramétricas. Aprendemos a 
avaliar se uma reta é paralela ou perpendicular a um plano e também a 
encontrar, caso exista, a intersecção de uma reta com um plano. E por 
fim, aprendemos a encontrar o ângulo entre dois planos e verificar se 
há intersecção entre planos. 
Até a próxima! 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.