AP1-MetDet1-2017-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
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AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 09/09/2017
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Questão 1 (2.0 pt) Este ano, durante o Carnaval de Ladeirópolis, seus 150 comerciantes tiveram
divergências quanto a trabalhar no sábado e na segunda de Carnaval. Foi constatado o seguinte:
• O número de comerciantes que trabalharam no sábado e na segunda foi metade do número de
comerciantes que trabalharam só segunda.
• Apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam segunda.
• 12 comerciantes resolveram não trabalhar nem sábado nem segunda.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as variáveis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o número de comerciantes que trabalharam sábado e
segunda.
Importante!!! Tenha atenção no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equações que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constrúıdo, com as variáveis escolhidas, e não a simples verificação de valores intúıdos.
Solução: Vamos chamar de U o conjunto de todos os comerciantes de Ladeirópolis, de E o conjunto
dos comerciantes que trabalharam na segunda-feira e de A o conjunto comerciantes que trabalharam
no sábado.
Considerando que um comerciante pode não trabalhar nem segunda nem sábado, apenas em um dos
dois dias ou em ambos, temos então o seguinte diagrama de Venn:
Métodos Determińısticos I AP1 2
Utilizando as informações dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informações. Façamos x = n(E − E ∩ A), isto é, x representa o
número de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira. A segunda informação nos diz
que o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é igual à metade do número de
comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira; logo,
n(E ∩ A) = n(E − E ∩ A)2 =
x
2 .
Completando o diagrama com essa informação, temos:
Sabe-se ainda, que apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam
segunda. Em outras palavras, sabe-se que o número de comerciantes que trabalharam segunda e
sábado representa um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado. Traduzindo esta informação,
temos que,
n(E ∩ A) = n(A)4 ,
logo
n(A) = 4 · n(E ∩ A) = 4 · x2 = 2x.
Com isso, temos que o número de comerciantes que trabalhou apenas no sábado foi de
n(A− (E ∩ A)) = n(A)− n(E ∩ A) = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
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Métodos Determińısticos I AP1 3
Temos agora todas as informações do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x + x2 +
3x
2 + 12 = 150,
logo
2x
2 +
x
2 +
3x
2 = 150− 12
e, então,
6x
2 = 138.
Com isso,
3x = 138
e, portanto,
x = 46.
Como o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é
x
2 , temos que
46
2 = 23
comerciantes trabalharam nestes dois dias.
(Este texto é comum às questões 2, 3 e 4 e a seguir.)
Um comerciante de Ladeirópolis, cansado de suas ı́ngremes ladeiras, decidiu fechar suas portas.
Desta forma, resolveu liquidar seu estoque. Depois de muito pensar, decidiu que em março daria
um desconto de 10% em suas mercadoria e nos meses seguintes um desconto de 20% em relação ao
mês anterior. Porém, ele não abaixaria o valor a um valor inferior a 55%, pois este corresponderia
ao valor que ele adquiriu a mercadoria e ele não queria ter prejúızo.
Questão 2 (1.0 pt) Um mercadoria que custava R$1.000,00 em fevereiro, terá seu preço estacio-
nado em que mês? Qual será seu preço então?
Solução: Primeiramente, como
55% · 1.000 = 55100 · 1.000 = 55 · 100 = 550,
note que a mercadoria terá seu preço estacionado no mês em que seu valor previsto for maior ou
igual a R$550,00, mas no mês seguinte, for menor do que R$550,00.
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Vamos então analisar os novos preços a começar de março.
Em março, o desconto previsto é de 10% no preço p da mercadoria em fevereiro; logo, seu preço em
março, que chamaremos de p1 seria de
p1 = p− 10% p = p−
10
100 p =
(
1− 110
)
p = 910p.
Em abril, o desconto previsto é de 20% no preço p1 da mercadoria em março; logo, seu preço em
abril, que chamaremos de p2 seria de
p2 = p1 − 20% p1 = p1 −
20
100 p1 =
(
1− 15
)
p1 =
4
5p1.
A cada mês seguinte, o preço p da mercadoria teria uma redução prevista em 20% = 20100 =
1
5 em
relação ao preço anterior.
Com isso, para uma mercadoria que em fevereiro custava R$1.000,00, temos o seguinte,
• Preço previsto para março: p1 =
9
10 · 1.000 = 9 · 100 = 900 > 550.
• Preço previsto para abril: p2 =
4
5 · p1 =
4
5 · 900 = 4 · 180 = 720 > 550.
• Preço previsto para maio: p3 =
4
5 · p2 =
4
5 · 720 = 4 · 144 = 576 > 550.
• Preço previsto para junho: p4 =
4
5 · p3 =
4
5 · 576 = 460, 80 < 550.
Logo, o preço da mercadoria estacionaria em R$576,00, preço vigente em maio. Em junho não seria
mais aplicada a poĺıtica de descontos progressivos.
Questão 3 (1.0 pt) Chamando de P o preço de uma mercadoria em fevereiro, determine a ex-
pressão de seu novo preço, após decorridos n meses, n ≥ 2, onde n = 1 corresponderia a março,
n = 2 a abril e assim sucessivamente, se o comerciante não tivesse colocado um critério para encerrar
os descontos.
Solução: Vimos, na questão anterior, que o preço da mercadoria em março é 910 de seu preço em
fevereiro e que nos meses seguintes é de 45 de seu preço no mês anterior. Assim, sendo P o preço da
mercadoria em fevereiro,
• Preço em março: P1 =
9
10 · P .
• Preço em abril: P2 =
4
5 · P1 =
4
5 ·
9
10 · P .
• Preço em maio: P3 =
4
5 · P2 =
4
5 ·
4
5 ·
9
10 · P =
(4
5
)2
· 910 · P .
• Preço em junho: P4 =
4
5 · P3 =
4
5 ·
(4
5
)2
· 910 · P =
(4
5
)3
· 910 · P .
• Preço em agosto: P5 =
4
5 · P4 =
4
5 ·
(4
5
)3
· 910 · P =
(4
5
)4
· 910 · P .
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Prosseguindo assim, vemos que o valor após n meses, onde n = 1 é março, n = 2 é abril e assim
por diante, será dado por
Vn =
(4
5
)(n−1)
· 910 · P.
Questão 4 (1.0 pt) Se 55% do preço P da mercadoria em fevereiro corresponde ao valor que ele
adquiriu esta mercadoria, quando ele coloca a mercadoria a venda na loja em fevereiro, por P , qual o
lucro percentual, em relação ao preço adquirido, que ele pretende obter com a venda da mercadoria?
Como o comerciante comprou a mercadoria por 55% P , ele a comprou por
55% · P = 55100 · P =
11
20 · P.
Como ela a colocou à venda em fevereiro por P , ele obtém um lucro de
P − 1120 · P =
20− 11
20 · P =
9
20 · P.
Em termos percetuais, o valor do lucro em relação ao valor da compra é dado por
9
20 · P
11
20 · P
= 920 ·
20
11 =
9
11 =
9
11 · 100
100 =
900
11
100 =
900
11 % ≈ 81.8%,
(Este texto é comum às questões 5 e 6 a seguir.)
Para imprimir folhetos de propaganda, a gráfica Papel Amassado tem um custo C, composto por
um valor fixo de R$ 700,00, mais R$ 930,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gráfica obtém
imprimindo folhetos para seus cliente é de R$ 2.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de
impressão dos folhetos é dado pela diferença entre a receita R e o custo C, isto é, R− C.
Questão 5 (1.0 pt) Determine a expressão do lucro L da gráfica Papel Amassado em função de
n, onde n é o número de milheiros impressos.
Solução: Com as informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gráfica Papel Amassado sãodados por
C1 = 700 + 930 n
R1 = 2.000 n
logo, seu lucro, é dado por
L1 = R1 − C1 = 2.000 n− (700 + 930 n) = 2.000 n− 700− 930 n) = 1.070 n− 700.
Questão 6 (1.0 pt) Ao lado da gráfica Papel Amassado, foi aberta uma concorrente, a Papel
Rasgado. A Papel Rasgado vangloria-se por ter um custo C, composto por um valor fixo de R$
300,00, mais R$ 950,00 por milheiro de folhetos. Sua receita também é de R$ 2.000,00 por milheiro.
Até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da gráfica Papel
Amassado?
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Solução: Com as informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gráfica Papel Rasgado são dados por
C2 = 300 + 950 n
R2 = 2.000 n
logo
L2 = R2 − C2 = 2.000 n− (300 + 950 n) = 2.000 n− 300− 950 n) = 1.050 n− 300.
Para determinarmos até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro
da gráfica Papel Amassado, precisamos resolver a inequação
L2 > L1 ⇔ 1.050 n− 300 > 1.070 n− 700.
Resolvendo a inequação anterior, temos que
1.050 n− 300 > 1.070 n− 700 ⇔ 1.050 n− 1.070 n > 300− 700
⇔ −20 n > 400⇔ n < 40020
⇔ n < 20.
Assim, até 19 milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da
gráfica Papel Amassado. Observe que para 20 milheiros de folhetos, os lucros são iguais e para 21
milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado passa a ser menor do que o lucro da gráfica
Papel Amassado.
Questão 7 (1.0 pt) Racionalize e simplifique o número A =
√
18√
(−2)2 −
√
7
.
Solução: Temos que
A =
√
18√
(−2)2 −
√
7
=
√
18√
4−
√
7
=
√
18
2−
√
7
=
√
18
2−
√
7
· 2 +
√
7
2 +
√
7
=
√
18(2 +
√
7)
4− 7
=
√
18(2 +
√
7)
−3 =
√
32 · 2 (2 +
√
7)
−3 =
3
√
2 (2 +
√
7)
−3 = −
√
2(2 +
√
7).
(Este texto é comum às questões 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
Questão 8 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a + 2.
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Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b é igual a a mais dois.
A proposição p é verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a + 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a + 2.
Questão 9 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a + 2.
Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b é igual a a mais dois.
A proposição q é falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a + 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a + 2.
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