2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS (1)

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SISTEMAS DE 
COORDENADAS
TOPOGRAFIA
ENGENHARIA AMBIENTAL E CIVIL
UNEOURO 02/2017
PROF: LUAN ANDREANI ZANATTA
Relembrando:
• Topografia: 
O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar 
medições de ângulos, distâncias e desníveis) que 
permita representar uma porção da superfície terrestre 
em uma escala adequada. Às operações efetuadas em 
campo, tem o objetivo de coletar dados para a 
posterior representação. 
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
• Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em 
duas partes: 
• O levantamento planimétrico, onde se procura determinar a posição 
planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y);
• Levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou 
altitude de um ponto. 
A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao 
chamado levantamento planialtimétrico. 
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Sistemas de Coordenadas
• Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de
coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que
estas sejam expressas em um sistema de coordenadas.
• São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para
definição unívoca da posição tridimensional de pontos:
sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de
coordenadas esféricas.
Unívoca: que admite uma única interpretação; sem teor ambíguo.
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
• No espaço bidimensional, um sistema 
bastante utilizado é o sistema de 
coordenadas retangulares ou cartesianas. 
Este é um sistema de eixos ortogonais no 
plano, constituído de duas retas orientadas 
X e Y, perpendiculares entre si. A origem 
deste sistema é o cruzamento dos eixos X e 
Y.
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
• Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada 
denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada
(coordenada Y). Uma das notações P(x, y) ou P= (x, y) é utilizada para 
denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. 
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Abscissa de A:
Ordenada de A:
A (_______,_______)
Abscissa de B:
Ordenada de B:
B (_______,_______)
Abscissa de C:
Ordenada de C:
C (_______,_______)
10
10
10 10
15
25
15 25
20
-15
20 -15
Abscissa de O:
Ordenada de O:
A (_______,_______)
0
0
0 0
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
• Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço 
tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) 
denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, 
as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. 
A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida 
pelas coordenadas cartesianas retangulares (x, y, z).
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
PB (30,20,10)
PB
Levógiro
PC (0,10,15)
PC
PD (20,20,20)
PD
X
Y
Sem escala
Sistemas de Coordenadas Esféricas 
• Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado pelo
afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado,
pelo ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal
deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento
OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As coordenadas
esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β).
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Transformações:
Transforme as coordenadas cartesianas 
tridimensionais em coordenadas esféricas:
• P1(X,Y,Z) = P1(r, α, β). 
• PA(30,20,10)
• PB(10,20,30)
• PC(25,20,10)
• PD(20,20,20)
2º DETERMINAR α  α = tan−1
𝑌
𝑋
1º DETERMINAR r  r = 𝑋2𝑥 𝑌2𝑥 𝑍²
3º DETERMINAR β  β =sin−1
𝑍
𝑟
Modelos de representação
Superfícies de Referência
•Devido às irregularidades da superfície terrestre,
utilizam-se modelos para a sua representação, mais
simples, regulares e geométricos e que mais se
aproximam da forma real para efetuar os cálculos.
Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e
quanto mais complexa a figura empregada para a
representação da Terra, mais complexos serão os
cálculos sobre esta superfície.
Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
Modelo Esférico 
• Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, 
como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre 
esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de 
Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e 
longitude astronômicas. 
• Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o 
equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no 
hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. 
• Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o 
meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto 
considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no 
sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich. 
Λ LÁMBDA
Φ PHI
Modelo Elipsoidal
• A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. O elipsóide
de revolução é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-
elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução);
• se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70
diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de
Geodésia no mundo.
• Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, 
os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional 
considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, 
expresso pela equação:
Modelo Elipsoidal
• As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o 
elipsóide ficam assim definidas: 
• Latitude Geodésica (φ): ângulo que a normal forma com sua projeção 
no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o 
Sul. 
• Longitude Geodésica (λ): ângulo diedro formado pelo meridiano 
geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para 
Leste e negativo para Oeste. 
• A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P 
na superfície física.
Modelo Elipsoidal
Modelo Geoidal 
• O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É
definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em
repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície
regular e é de difícil tratamento matemático. A figura abaixo
representa de forma esquemática a superfície física da Terra, o
elipsóide e o geóide.
Modelo Plano 
• Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a
simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida
dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos.
Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas
dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na
prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de
Levantamento Topográfico) admite um plano com até
aproximadamente 80 km.
• Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos 
no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas 
cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser 
caracterizado da seguinte forma: 
• Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo 
fio de prumo); 
• Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou 
verdadeira); 
• Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).Modelo Plano 
Modelo Plano 
Eixo Z: materializado pela vertical do 
lugar (linha materializada pelo fio de 
prumo); 
Eixo Y: definido pela meridiana (linha 
norte-sul magnética ou verdadeira); 
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º 
na direção leste). 
• Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável 
do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo.
Modelo Plano 
Efeitos da Curvatura para distâncias
Efeitos da curvatura 
na altimetria