FÓRMULAS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA E PROBABILIDADE

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FÓRMULAS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL 
Média harm.:
∑∑∑∑
====
====
n
1i i
h
x
1
n
m
 Média quad.: ∑∑∑∑
====
====
n
1i
2
iq x
n
1
m
 Média arit. Pond. 
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
==== k
1i
i
k
1i
ii
p
w
wx
ma
 
Média geom. ponderada: 
∑
=
=
k
1i
i
k21
w
w
k
w
2
w
1p ...xxxmg Média harmônica ponderada: 
∑
∑
=
=
= k
1i i
i
k
1i
i
p
x
w
w
mh
 
MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO 
 
Desvio Médio Absoluto: ∑∑∑∑
−−−−
====
n
xx
dma i
 Variâncias Relativas: 2
2
2
μ
σ
γ =
 2
2
2
x
sg = 
Variâncias: ∑∑∑∑
====
−−−−
====
N
1i
2
i2
N
μ)(x
σ
 ∑∑∑∑
====
−−−−
−−−−
====
n
1i 1n
)x(x
s
2
i2
 ∑ −= 2
2
i2 μ
N
x
σ
 ∑∑∑∑
−−−−
−−−−
====
1n
xnx
s
22
i2 
 
Mediana de uma distribuição de freqüências por classes ou intervalos: 




 −
+= −
i
1i
iie f
F2nhlim
 
Moda de uma distribuição de freqüências por classes ou intervalos: 
Moda de King 





+
+=
+−
+
1i1i
1i
iio ff
fhlim
 Moda de Kzuber 





−−
−
+=
+−
−
1i1ii
1ii
iio ff2f
ffhlim
 
 
MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO PARA DADOS AGRUPADOS 
 
Desvio Médio Absoluto: ∑∑∑∑
−−−−
====
n
xxf
dma ii
 
As Variâncias: 2
N
1i
2
ii
N
1i
2
ii2 μ
N
xf
N
μ)(xf
σ −−−−====
−−−−
==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
==== ====
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
====
n
1i
n
1i
22
ii
2
ii2
1n
xnxf
1n
)x(xf
s
 
 
FÓRMULAS DE PROBABILIDADE 
 
Probabilidade de B condicionada a A: 
P(A)
B)P(AP(B/A) ∩∩∩∩====
 
 
Eventos independentes: P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B) ou P(A ∩ B) = P(A) P(B) 
 
Eventos dependentes: P(A ∩ B) = P(B/A) P(A) = P(A/B) P(B) 
 
Teorema da Probabilidade Total: ∑∑∑∑
====
====
n
1 i
ii )P(A )P(B/AP(B) 
 
Teorema de Bayes: 
∑∑∑∑
====
====
n
1 i
ii
ii
i
 )P(A )P(B/A
 )P(A )P(B/A/B)P(A
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (VAD) 
(a) Expectância, esperança, média ou valor esperado de X: ∑
=
=
n
1i
ii )f(xxE(X) 
(b) A variância de X: ( )2ii
n
1i
μx)x(fV(X) −= ∑
=
 ou [[[[ ]]]]22 E(X))E(XV(X) −−−−==== , onde ∑∑∑∑==== )f(xx)E(X ii22 
 
Distribuição Binomial: xnxqp 
x
n
x)P(Xf(x)p(x) −





====
 E(X) = np V(X) = npq 
 
Distribuição Hipergeométrica: 












−−−−
−−−−






============
n
N
xn
rN
x
r
x)P(Xp(x)
 
npE(X) ====
 
1N
N n
npq)(V
−−−−
−−−−
====X
 
Para N≥20n a Distribuição Hipergeométrica pode ser aproximada pela Distribuição Binomial, com 
parâmetros “n” e “ Nrp = ” 
Distribuição de Poisson: 
x!
λ e
x)P(Xp(x)
xλ−−−−
============
 E(X) = V(X) = λ 
Aproximação da Distribuição Binomial usando a Distribuição de Poisson: 
 
 
x!
λeqp 
x
n
 limx)P(Xlim
xλ
xnx
nn
−
−
∞→∞→
=





==
 com λ = np 
 
FÓRMULAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
Propriedades: 
(a) Expectância, esperança, média ou valor esperado de X: ∫
∞+
∞−
==
 
 
f(x)dxxE(X)μ 
 
(b) A variância de X: (((( )))) 222 
 
2
 
 
22 μ)E(Xμf(x)dxxf(x)dxμxV(X) −−−−====−−−−====−−−−======== ∫∫∫∫∫∫∫∫
∞∞∞∞++++
∞∞∞∞−−−−
∞∞∞∞++++
∞∞∞∞−−−−
σ
 
Distribuição Uniforme: 
 



 ≤≤
−
=
 valor.outroqualquer para 0,
bxa para ,
ab
1
 f(x) 
Propriedades: 
2
baE(X) ++++====
 
12
a)(b 2V(X) −−−−====
 
FDA: 






≥
<≤
−
−
<
=
−
=≤= ∫
∞−
b xse 1,
bxa se ,
ab
ax
a xse 0,
du
ab
1
x)P(XF(X) x
 
 
Distribuição Exponencial: 


 >>>>
====
−−−−
contrário. caso 0,
0 tpara ,λ
 f(t)
λte
 
Propriedades: 
λ
1E(X) ====
 2λ
1V(X) ====
 
FDA: 



≥≥≥≥−−−−
<<<<
========≤≤≤≤====
−−−−
−−−−∫∫∫∫ 0 tse ,1
0, tse 0,
duλet)P(TF(t)
λte
t
0
λu
 
 
Distribuição Normal Padrão ou Reduzida: 
σ
μX
Z
−−−−
====