Prova 1 - Tópicos em Eletromagnetismo - UNISUL

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RESOLUÇÃO DA PROVA 1 DE TÓPICOS DE ELETROMAGNETISMO-ENG. CIVIL 
2016-2- TURMA DE QUINTA-FEIRA 
 
 
1) Uma pequena esfera não-condutora, com massa é 2,0m mg= e carga elétrica igual a 
83.10 .q C−= (distribuída em todo o seu volume), está pendura em um fio não-condutor que faz 
um ângulo de 040 com uma placa vertical, não-condutora, uniformemente carregada, conforme 
mostra a figura desta questão. O sistema se encontra no ar. Considerando a força gravitacional 
a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a 
densidade superficial de carga, β , da placa vertical. 
 
 
 
 
 
 040 E
→
 
 
 
 
 
 
3 3 5
0 5
0 0 0
0 5 0 5
5
8
12 9
2
0
2.10 .10 (9,81) 1,96.10
cos 40 2,56.10
cos 40 cos 40 cos 40
40 2,56.10 ( 40 ) 1,65.10
1,65.10 550,00 /
3.10
550(2)8,85.10 9,74.10
2
Y
X
PP T T T T N
F T Tsen F sen F N
FE E E N C
q
CE
m
β β β
ε
− − −
−
− −
−
−
− −
= = → = = = → =
= = → = → =
= → = → =
= → = → =
 
 
 
2) A figura desta questão, mostra três cargas elétricas, AQ com 105.10 elétrons em falta, BQ com 
104.10 elétrons em excesso, CQ com 101,5.10 elétrons em falta, dispostas num sistema de eixos 
coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
a)Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em P, 
representando-o num sistema de eixos coordenados. Considere que o sistema se encontra no 
óleo. 
 y(m) 
 
 ´ AQ 0,6 
 
 
 0,6 BQ CQ 
 
 0 1,8 x(m) 
 
 
 P 0,6 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
10 19 9 10 19 9
10 19 9
2 2 2 2
5.10 (1,6.10 ) 8,0.10 4.10 (1,6.10 ) 6,4.10
 1,5.10 (1,6.10 ) 2,4.10
1,2 0,6 1,34 0,60 0,60 0,85
 
A A B B
C C
A A B B
Q Q C Q Q C
Q Q C
d d m d d m
− − − −
− −
= → = = → = −
= − → =
= + → = = + → =
( ) ( )2 2
1 0 1 0
1 0
9 9
2
0
 2, 4 0,60 2,47
1,2 0,663,43 45,00
0,6 0,6
0,6
 14,04
2,4
1,9.10 (8.10 ) 8,47(1,34)
8, 47cos 63,43
C C
A A B B
C C
A A
AX
d d m
tg tg
tg
NE E C
E
θ θ θ θ
θ θ
− −
−
−
= + → =
   
= → = = → =   
   
 
= → = 
 
= → =
=
0
3,79
8,47 63,43 7,58
AX
AY AY
NE C
NE sen E C
→ = −
= → = −
 
 
 
3 
9 9
2
0
0
9 9
2
0
0
1, 9 .1 0 ( 6 , 4 .1 0 ) 1 6 , 8 3( 0 , 8 5 )
1 6 , 8 3 c o s 4 5 , 0 0 1 1, 9 0
1 6 , 8 3 4 5 , 0 0 1 1, 9 0
1, 9 .1 0 ( 2 , 4 .1 0 ) 0 , 7 5( 2 , 4 7 )
0 , 7 5 c o s 1 4 , 0 4 0 , 7 3
0 , 7 5 1 4 , 0 4 0 ,1 8
3 ,
B B
B X B X
B Y B Y
C C
C X C X
C Y C Y
R X
NE E C
NE E C
NE s e n E C
NE E C
NE E C
NE s e n E C
E
−
−
= → =
= → =
= → =
= → =
= → = −
= → = −
= −( )
( )
( ) ( )2 2
1 0 0
7 9 1 1, 9 0 0 , 7 3 7 , 3 8
7 , 5 8 1 1, 9 0 0 ,1 8 4 , 1 4
7 , 3 8 4 ,1 4 8 , 4 6
4 ,1 4 2 9 , 2 9 o u 6 0 , 7 1
7 , 3 8
R X
R Y R Y
R R
NE C
NE E C
NE E C
tgθ θ α
→ →
−
+ − → =
= − + − → =
= + → =
 
= = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y(N/C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RYE RE 
 
 
 θ 
 
 RXE x(N/C) 
 
 
 
 
b) Considere, agora, que uma carga elétrica 62.10q C−= − é colocada em P, e determine o 
módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante sobre a mesma, representando-a num 
sistema de eixos coordenados. 
 
 
6 5
. 8,46(2.10 ) 1,69.10F E q F F N− −= → = → = 
 
 
 
 
 
4 
 
 y(N/C) 
 
 
 
 RYE RE 
 
 θ 
 
 RF RXE x(N/C) 
 
 
 
 
 
3) A figura desta questão, mostra quatro cargas elétricas, 94.10 .AQ C−= , 92.10 .BQ C−= − , 
93.10 .CQ C−= e 91.10 .DQ C−= − dispostas num sistema de eixos coordenados. Considere que o 
sistema encontra-se no óleo e calcule a energia potencial elétrica do sistema. 
 
 y(m) 
 
 
 AQ 0,4 
 
 
 BQ CQ 
 
 0,8 0 x(m) 
 
 DQ 0,4 
 
 
 
5 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
9 9 9
8
9 9 9
8
0,8 0, 4 0,89 0, 4
0,80 0,80 1,13 0, 4 0,8
0, 4 0,80 0,89
1, 9.10 (4.10 )( 2.10 ) 1, 71.10
0,89
1, 9.10 (4.10 )(3.10 ) 5.7.10
0, 40
1, 9.
AB AB AC
AD AD BD BC
CD CD
AB AB
AC AC
AD
d d m d m
d d m d m d m
d d m
U U J
U U J
U
− −
−
− −
−
= + = → = =
= + → = = =
= + → =
−
= → = −
= → =
=
9 9 9
9
9 9 9
8
9 9 9
9
9 9 99
8
10 (4.10 )( 1.10 ) 6, 73.10
1,13
1, 9.10 ( 2.10 )(3.10 ) 1, 43.10
0,80
1, 9.10 ( 2.10 )( 1.10 ) 9, 5.10
0, 40
1, 9.10 (3.10 )( 1.10 ) 6, 4.10
0,89
( 1, 71.10
AD
BC BC
BD BD
CD CD
TOTAL
U J
U U J
U U J
U U J
U
− −
−
− −
−
− −
−
− −
−
−
−
→ = −
−
= → = −
− −
= → =
−
= → = −
= −
8 9 8 9 9
8
5.7.10 6, 73.10 1, 43.10 9, 5.10 6, 4.10 )
2, 20.10TOTAL
J
U J
− − − − −
−
+ − − + −
=
 
 
4) A figura desta questão, mostra barra eletrizada com uma carga elétrica uniformemente 
distribuída Q , com comprimento 60L cm= . Considere que a densidade linear de carga é 
64.10 C
m
λ −= e determine o potencial elétrico gerado pela barra no ponto P que dista 92cm 
da origem do sistema de eixos coordenados. O sistema se encontra no ar. 
 
 y 
 
 
 L 
 dq 
 P 
 
 0 dL x 
 d 
 
 
 
 
6 
( ) ( )
[ ]
6 6
0,60 0,60
0 0
0,60
0
4.10 (0,6) 2, 4.10
( )
0,92 0,92
(0,92 ) (0,92 ) ln
ln(0,92 0,60) ln(0,92 0) 1,14 ( 8,34.1
X X
X X
X
X
Q Q C
dqdq dx r d x dV k
r
dx dxdV k V k
x x
du du
u x x du dx V k k u
dx u
V k V k
λ
λ λ
λ λ
λ λ
− −
= =
= =
=
=
= → =
= → = − → =
= → =
− −
= − → = − → = − → = − = −
= − − − − → = − − − −
∫ ∫ ∫
∫
[ ]
2
9 6
0 )
1,06 8,99.10 (4.10 )(1,06) 38117,60V k V V Vλ
−
−
  
= − − → = → =
 
 
5)A figura desta questão mostra um anel cujo raio é R, carregado uniformemente com uma 
carga elétrica Q. O anel se encontra no ar. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R 
 P 
 
 0 x 
 
 
 z 
 
 
 
a) Obtenha a expressão para o potencial elétrico do anel mostrado na figura desta questão, 
demonstrando todos os passos que levaram à equação em sua forma final. 
 
 
2 2 2 2 2 1/2
2 2 1/2
2 2 1/2 2 2 1/2
( ) ( )
( ) ( )
kdq kdq
r R x r R x dV dV
r R x
kdq kQdV V
R x R x
= + → = + → = → =
+
= → =
+ +∫ ∫
 
 
 
b) A partir da equação obtida em (a), obtenha, por derivação, a expressão do campo elétrico e 
demonstre, a partir dela, que o módulo do campo elétrico é máximo quando a distância ao 
 
7 
longo do eixo central deste anel é 
2
R . (Lembrar que no ponto de máximo tem-se, para este 
caso, 0dE
dx
= ) . 
 
 
2 2 1/2
2 2 1/2
2 2 1/2
2 2 3/2 2 2 3/2
2 2 3/2
2 2 3/2 2 2 2 1/2
2 2 3/2
2
( ) ( )( )
1( ) (2 ) ( ) ( )
2 ( )
( )
0 ( ) 3 ( ) 0( )
(
x x
x
x
kQd
R xkQ dVV E E x R x
R x dx dx
dV kQxR x x E R x x E
dX R x
d dv du
uv u v
dx dx dx
dE x R x x R x
dx R x
R
−
− −
 
 +   = → = − → = − = − + → +
− 
= − + → = + → =  + 
= +
= = → + − + =
+
( )
2 1/2 2 2 2
2 2 1/2
2
2 2 2 2 2 2 2
) ( ) 3 0
( ) 0
( ) 3 0 2 0 2
2 2
x R x x
R x fornece valor imaginário para x
R RR x x R x x R x
 + + − = 
+ =
 + − = → − = → = → = = 
 
 
 
 
c) Determine, a partir da equação obtida por derivação em (b), o módulo, a direção e o sentido 
do campo elétrico resultante no ponto P, que dista 0,30x m= do centro de cada um dos anéis 
mostrados na figura abaixo. Considere as seguintes informações: 61 5.10 .Q C−= , 1 0, 20R m= , 
6
2 8.10 .Q C−= e 2 0,35R m= . 
 
 
 
 y y 
 
 (1) (2) 
 
 
 
 R P R 
 
 0 0 x 
 
 z z 
 
 
8 
 
 
 
9 6
5
1 12 2 3/2 2
9 6
5
2 22 2 3/2 2
5
1 2
8,99.10 (5.10 )0,30 13485,00
 2,88.10 /((0, 20) (0,30) ) 4,69.10
8,99.10 (8.10 )0,30 21576,00
 2, 20.10 /((0,35) (0,30) ) 9,80.10
 (2,88.10 2, 20.10
X X
X X
RX X X RX
E E N C
E E N C
E E E E
−
−
−
−
= = → =
+
= = → =
+
= − → = − 5
4
) /
 6,8.10 / Direção: Horizontal
 Sentido: Para a direita
RX
N C
E N C=