CALCULO II GERAL

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1a Questão (Ref.: 201403483137) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x - 4 
 
y = x 
 y = 2x - 4 
 
y = x + 6 
 
y = x + 1 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403465480) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
2i 
 
i/2 + j/2 
 2j 
 
2i + 2j 
 
2i + j 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201402516596) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403483048) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈2,4,12〉 
 〈4,0,10〉 
 
〈4,8,7〉 
 
〈6,8,12〉 
 
〈2,3,11〉 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403481698) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
 
 
( 6, π/2) 
 
( 4, π/6) 
 ( 2, π/6) 
 
( 6, π/6) 
 
( 2, π/2) 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403379153) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 r'(t)=v(t)=14i + j 
 r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 r'(t)=v(t)=32i - j 
 r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201403441308) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
(2, 1, -1) 
 
(0, 2, -1) 
 
(1, 1, -1) 
 
(-1, 0, 1) 
 (0, -1, 1) 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201403483140) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da 
função: f(x,y)=xe3y 
 
 fx=e3y e fy=3xe3y 
 fx=ey e fy=3xey 
 fx=0 e fy=0 
 fx=π3y e fy=3πe3y 
 fx= -e3y e fy= -3xe3y 
 
 
 
1. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
 
2a 
 
 
sqrt (a) 
 
 
1/a 
 
 
a 
 
 
3a 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
 
(sent,-cost,2t) 
 
 
(-sent, cost,1) 
 
 
(sent,-cost,0) 
 
 
(sent,-cost,1) 
 
 
(sect,-cost,1) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
 
 
 
=cotg θ. cossec θ 
 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
 
r =3 tg θ . sec θ 
 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
 
 
f ' (t) = e^3t 
 
 
f ' (t) = 3 j 
 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
 
(1-cost,sent,1) 
 
 
(1-sent,sent,0) 
 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
 
(1-cost,sent,0) 
 
 
(1-cost,0,0) 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
 
 
 
18 e -30 
 
 
0 e 0 
 
 
36 e 60 
 
 
36 e -60 
 
 
9 e 15 
 
 
 
 
7. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
 
j - k 
 
 
i - j - k 
 
 
i + j - k 
 
 i + j + k 
 
 
- i + j - k 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + 
∂F/∂z é igual a 
 
 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
-2 
 
 
2 
 
 
-1 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 
 
 
xy.cosxy - senxy 
 
 
y.cosxy + senxy 
 
 
x.cosxy + senxy 
 
 
xy.cosxy + senxy 
 
 
cosxy + senxy 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + 
y. 
 
 
 
 
 
z / (y - 1) 
 
 
z / (yz - 1) 
 
 
z / (yz + 1) 
 
 
z / ( z - 1) 
 
 
z / y 
 
 
 
 
4. 
 
 
A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
 
r = 6 
 
 
r = 3 
 
 
r = 7 
 
 
r = 5 
 
 
r = 4 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
 
 
2,28 
 
 
9,31 
 
 
2,56 
 
 
3,47 
 
 
4,47 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
 
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
 
não existe 
 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + 
y2. 
 
 
 
 
fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
 
x40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
 x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 
 
 20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 
1. 
 
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 
metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 
metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as 
 
 
 
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído 
este galpão. 
 
 
n.r.a 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente 
(147,33) e (105,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente 
(104,33) e (195,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente 
(17,33) e (95,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente 
(97,33) e (145,62) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x - 3y) 
 
 
2cos(x- 3y) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto 
(1,1) e na direção do vetor U = (0,-1) 
 
 
 
 
-1 
 
 
-5 
 
 
-2 
 
 
-3 
 
 
-4 
 
 
 
 
4. 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
 
 
na reta y = x. 
 
 
no centro do círculo. 
 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
 
no raio do círculo. 
 
 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x² + y²) dydx 
 
 
 
 
 
70/11 
 
 
70/9 
 
 
70/13 
 
 
70/15 
 
 
70/3 
 
 
 
 
6. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
 
xy cos xy + sen xy 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = 
cost. 
 
 
 
 
2/t + 2bcotgt + tgt 
 
 
2/t + 2btgt + cotgt 
 
 
2/t + 2bt + tgt 
 
 
2bcotgt + tgt 
 
 
2/t + 2bcotgt 
 
 
 
 
8. 
 
 
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t 
ao longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t 
= Π/2? 
 
 
 
 
 
-1 
 
 
0 
 
 
-2 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
 
1. 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, 
y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
 
 
5/6 
 
 
2/3 
 
 
7/6 
 
 
1/6 
 
 
1/2 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima 
do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
 
 
 
115 
 
 
125 
 
 
120 
 
 
105 
 
 
110 
 
 
 
 
3. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
 
 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, 
no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo 
contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 
20π cm^3. 
 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a 
cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o 
volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15/17 
 
 
12 
 
 
27/2 
 
 
14 
 
 
18/35 
 
 
 
 
5. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o 
volume do sólido gerado pela 
expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos 
R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
 
 
15(u.v.) 
 
 
8(u.v.) 
 
 
2(u.v.) 
 
 
17(u.v.) 
 
 
21(u.v.) 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
 
 
 
-12 
 
 
11 
 
 
12 
 
 
- 11 
 
 
5 
 
 
 
 
7. 
 
 
O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
 
 
 
2y - x 
 
 
2y -3x 
 
 
9x -6y 
 
 
3y - x 
 
 
6y + 2x 
 
 
 
 
8. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a 
cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o 
volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, 
no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo 
contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 
20π cm^3. 
 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 
 
 
1. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral 
tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no 
intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
 
 
 
35/2 
 
 
35/4 
 
 
35/3 
 
 
35/6 
 
 
7 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da 
função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. 
 
 
 
 
 
fx = x(1 + y); fy = y + x2 
 
 
fx = - 2x(1 + y); fy = 2y - x2 
 
 
fx = 2x(1 - y); fy = 2y - x2 
 
 
fx = 2(1 + y); fy = y2 + x2 
 
 
fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x2 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 
 
 
 
 
11 e 9 
 
 
16 e 4 
 
 
12 e 8 
 
 
10 e 10 
 
 
15 e 5 
 
 
 
 
4. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
 
xy cos xy + sen xy 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24/5 u.v 
 
 
16/3 u.v 
 
 
18 u.v 
 
 
9/2 u.v 
 
 
10 u.v 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-
z ∫02 dxdydz. 
 
 
 
 
 
2 
 
 
2.5 
 
 
1 
 
 
3 
 
 
1.5 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i 
+ (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1). 
 
 
 
 
 
-4 
 
 
-5 
 
 
-2 
 
 
-6 
 
 
-1 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
 
 
π+senx 
 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
 
π 
 
 
0 
 
 
2π 
 
 
 
 
1. 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, 
z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
 
2/3 
 
 
7/6 
 
 
1/2 
 
 
1/6 
 
 
5/6 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
Integrando temos: 
 
 
 
 
(sent)i + t4j 
 
 
(cost)i+3tj 
 
 
(cost)i-3tj 
 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 
 
-(sent)i-3tj 
 
 
 
 
3. 
 
 
Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de 
feijão de um restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do 
preço y (em R$) do quilo de arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos 
concluir acertadamente que: 
 
 
 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de arroz irá aumentar. 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar. 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais,mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg. 
 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de feijão irá aumentar em 20 Kg. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + 
y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
 
 
(0,0,2) 
 
 
(0,-1,-1) 
 
 
(0, 1,-2) 
 
 
(0,-1,2) 
 
 
(0,0,0) 
 
 
 
 
6. 
 
 
Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a: 
 
 
 
 
-1 
 
 
2 
 
 
1/2 
 
 
1 
 
 
-1/2 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
 
 
 
(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy) 
 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy) 
 
 
(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
 
 
70/9 
 
 
70/13 
 
 
70/15 
 
 
70/11 
 
 
70/3 
 
 
 
1. 
 
 
Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a 
 
 
 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
 
- cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a área da região limitada por 
 
 
 
 
 
32/3 
 
 
96/3 
 
 
31/3 
 
 
32 
 
 
64/3 
 
 
 
 
3. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = 
(x3 + y3) . sen(x) em relação a x 
 
 
 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 
 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale: 
 
 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) 
 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x). 
 
 
 
 
1 e 4 
 
 
3/2 e 0 
 
 
0 
 
 
3/2 
 
 
0 e 4 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral dupla de f(x,y) = xy^2, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. 
 
 
 
 
25/6 
 
 
0 
 
 
1/6 
 
 
-1/6 
 
 
25/3 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado 
da outra seja máximo. 
 
 
 
 
100 e 20 
 
 
50 e 70 
 
 
60 e 60 
 
 
80 e 40 
 
 
30 e 90 
 
 
 
 
8. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto 
(1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto? 
 
 
 
 
8i ⃗-5j ⃗ e √69 
 
 
2i ⃗+7j ⃗ e √85 
 
 
-8i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
 
8i ⃗+5j ⃗ e √89 
 
 
-18i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
 
 
1. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se 
encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o 
deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
 
 
80PI 
 
 
100PI 
 
 
20PI 
 
 
40PI 
 
 
60PI 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x 
+ 2 
 
 
 
 
3 
 
 
9/2 
 
 
1 
 
 
5/6 
 
 
1/2 
 
 
 
 
3. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
 
 
0 
 
 
-1/12 
 
 
1/12 
 
 
-2/3 
 
 
2/3 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante 
pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4. 
 
 
 
 
26/3 
 
 
2 
 
 
13/26 
 
 
3 
 
 
15/4 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das 
leis de newton F=MA 
 
 
 
 
F = 9t i + 6 j + 9t k 
 
 
F = 6t i + 6 j + 18t k 
 
 
F = 9t2 i + 6 j + 9t2 k 
 
 
F = 18t i + 6 j + 18t k 
 
 
F = 12t i + 6 j + 12t k 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os 
pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
 
 
-1/2 
 
 
0 
 
 
1/2 
 
 
-7/2 
 
 
7/2 
 
 
 
 
7. 
 
 
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 
+ z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 
 
 
 
16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
 
 
8. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
 
 
(a) 
 
 
(c) 
 
 
(e) 
 
 
(d) 
 
 
(b) 
 
 
 
1. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no 
intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 
 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
 
 
 
2. 
 
 
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], 
em t0=2 são: 
 
 
 
 
 
v = (-3; 5) 
 
 
v = (4; 16) 
 
 
v = (-1; 2) 
 
 
v = (3; -5) 
 
 
v = (-2; 3) 
 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
= t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
 
0 
 
 
t2 i + 2 j 
 
 
 2t j 
 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 
3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y 
- y3)j no ponto (1,1). 
 
 
 
 
6 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
 
 
5. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a 
curva representada pela fronteira . 
 
 
 
 
 
 
-6 
 
 
6 
 
 
3 
 
 
-1 
 
 
-3 
 
 
 
 
6. 
 
 
A equaçãode Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
 
 
1,3,4 
 
 
1,2,3 
 
 
1,2,4 
 
 
1,3,5 
 
 
1,2,5 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
25, 33 
 
 
32,59 
 
 
53,52 
 
 
33,19 
 
 
34,67 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
 
 
2 
 
 
82 
 
 
8π3 
 
 
8π2 
 
 
π2