aula 9

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Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2012.1 Aula 9
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 5 - TEORIA DA AMOSTRAGEM (NOTAS DE AULA)
1 Introdução
Um problema de inferência estatística é um problema no qual os dados de uma certa
população com uma distribuição de probabilidade desconhecida precisa ser analizado,
e algum tipo de inferência sobre essa distribuição desconhecida precisa ser feito. Essa
inferência é feita através dos dados de uma amostra.
2 Parâmetros e Estatísticas
Parâmetros: são medidas populacionais quando se investiga a população em sua
totalidade, neste caso é impossível fazer inferências, pois toda a população foi investigada.
Estatísticas ou Estimadores: são medidas obtidas da amostra, torna-se possível
neste caso utilizarmos as teorias inferências para que possamos fazer conclusões sobre a
população.
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3 Técnicas de amostragem
O pesquisador procura tirar conclusões a respeito de um grande número de sujeitos.
Por exemplo, ele poderia desejar estudar:
• Os 190.000.000 de cidadãos que constituem a população brasileira.
• Os 1.000 membros de um sindicato.
• Os 45.000 estudantes de intercâmbio e assim sucessivamente.
Se o pesquisador trabalha com todo o grupo que ele tenta compreender, dizemos
que está trabalhando com a POPULAÇÃO.
4 Conceitos Iniciais
Antes de iniciar o estudo da teoria da amostragem é necessário conhecer alguns con-
ceitos básicos.
População: O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência
recebe o nome de população ou universo. A população congrega todas as observações
que sejam relavantes para o estudo de uma ou mais seres animados ou inanimados. Em
linguagem mais formal, a população é o conjunto constituído por todos os indivíduos que
apresentem pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar
(inferir).
Amostra: A amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada
da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo
ou inferência sobre as características da população.
Censo: é a coleção de dados relativos a todos elementos da população.
Estatística: é a medida numérica que descreve uma característica da amostra.
Parâmetro: é a medida numérica que descreve uma característica da população.
Variável: uma característica de uma unidade que será medida a partir daquela unidade
da amostra.
Unidade: qualquer elemento individual da população.
5 Amostragem
Esta é a ideia essencial da amostragem: obter informação sobre o todo, examinando
apenas uma parte.
Exemplos da utilização da amostragem:
• Sondagens à opinião pública que servem para conhecer a opinião da população
sobre variadas questões. As mais populares são as sondagens políticas.
• Inspecção de mercado utilizada com o intuito de descobrir as preferências das pes-
soas em relação a certos produtos. Um dos exemplos mais conhecidos da aplicação
desta amostragem é a lista de audiências dos programas de televisão.
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• Censo (recenseamento da população) que tem como objectivo obter informação rel-
ativa ao número de ocupantes, idade, sexo, parentesco entre eles, etc. de cada
habitação do país (concelho ou freguesia).
• Amostragem de aceitação que consiste na selecção e inspecção cuidada de uma
amostra retirada de uma encomenda enviada pelo fornecedor. Baseado no estado
da amostra, toma-se a decisão de aceitar ou rejeitar a encomenda.
O pesquisador busca generalizar conclusões referentes à AMOSTRA, estendendo-as
para toda a POPULAÇÃO da qual essa amostra foi extraída.
As regras de amostragem podem ser classificadas em duas categorias:
Probabilística: São amostragem em que a seleção é aleatória de tal forma que cada
elemento tem igual probabilidade de ser sorteado para amostra.
Não-probabilística: São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elemen-
tos da amostra.
5.1 As Amostras Probabilísticas
Os métodos de amostragem probabilística servem para assegurar uma certa precisão
na estimação dos parâmetros da população, reduzindo o erro amostral.
A principal característica dos métodos de amostragem probabilística reside no fato de
que cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida e diferente de zero, de
ser escolhida, aquando da tiragem ao acaso para fazer parte da amostra.
O objetivo desta abordagem é obter a melhor representatividade possível.
Os tipos de amostragem probabilísticas são: Amostragem Aleatória Simples, Amostragem
Aleatória Estratificada, Amostragem por Conglomerados e Amostragem Sistemática.
5.2 Amostragem Aleatória Simples
A Amostragem aleatória simples é uma técnica segundo a qual cada um dos elementos
(sujeitos) que compõe a população alvo tem igual probabilidade de ser escolhido para fazer
parte de uma amostra. A amostragem aleatória simples consiste em elaborar uma lista
numérica de elementos de onde se tira, com a ajuda de uma tabela de números aleatórios,
uma série de números para constituir a amostra.
Exemplo:
Vamos retirar uma amostra para uma pesquisa de estatura de quarenta alunos de uma
sala de aula.
a) Numeramos os alunos de 01 a 40.
b) Escrevemos os números, de 01 a 40, em pedaços de papel, colocando-os dentro de
uma urna. Mexemos a urna para misturar bem os papéis, e retiramos, um a um, quatro
números que farão parte da amostra. Neste exemplo o tamanho da amostra é igual a 10%
da população mas este percentual pode variar dependendo do tamanho da população que
está sendo estudada.
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5.3 Amostragem Aleatória Estratificada
A Amostragem aleatória estratificada é uma variante da amostra aleatória simples. Esta
técnica consiste em dividir a população alvo em subgrupos homogéneos chamados "es-
tratos"e a seguir tirar de forma aleatória uma amostra de cada estrato. A Amostragem
aleatória estratificada é utilizada quando a população inteira é reconhecida por certas car-
acterísticas precisas, tais como a idade, o sexo, a incidência de uma condição de saúde,
tudo isto para assegurar a melhor representatividade possível.
5.4 Amostragem por Conglomerados
Algumas populações não permitem, ou tornam-se extremamente difícel que se identi-
fiquem seus elementos, mas podemos identificar subgrupos da população. Em tais casos,
uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) podem ser escolhida,
e uma contagem completa deve ser feita no conglomerado sorteado.
Agregados típicos são: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc.
5.5 Amostragem Sistemática
Consiste quando existe uma lista ordenada de elementos da população. Esta técnica
consiste K elementos dessa lista sendo o primeiro elemento da amostra retirado ao acaso.
O intervalo entre os elementos corresponde à razão entre o tamanho da população e
da amostra.
Exemplo: Se pretender uma amostra de 100 indivíduos e a população for de 1000
o sistema será r = 1000/100 = 10 (dez em dez é o sistema), isto é, será incluído um
elemento da lista de 10 em 10 indivíduos a partir do primeiro número sorteado.
6 Amostragem Não-probabilística
A amostragem não probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgamento, onde a
variabilidade amostral não pode ser estabelecida com precisão, conseqüentemente, não é
possível nenhuma estimativa do erro amostral.
Se o tamanho da amostra é bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem
aleatória pode dar resultados totalmente não representativos, ao passo que uma pessoa
familiarizada com a população pode especificar quais os itens mais representativos da
população.
7 Erros no processo de amostragem
Não há dúvida de que uma amostra não representa perfeitamente uma população.
Ou seja, a utilização de uma amostra implica na aceitação de uma margem de erro que
denominaremos ERRO AMOSTRAL.
Erro Amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado
populacional; taiserros resultam de flutuações amostrais aleatórias
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Ocorrem erros não-amostrais quando:
• Os dados amostrais são coletados, registrados ou analisados incorretamente.
• Há uma utilização de um instrumento defeituoso durante a realização de mensu-
rações.
• Um questionário ou formulário possui questões formuladas de modo tendencioso.
Não podemos evitar a ocorrência do ERRO AMOSTRAL, porém podemos limitar seu
valor através da escolha de uma amostra de tamanho adequado. Quanto maior o
tamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa.
8 Distribuição amostral da média
De uma população X, tiramos uma amostra de tamanho n constituída pelos elemen-
tos x1, x2, . . . , xn obtida de uma distrbuição N(µ, σ2). Então, o estimador da Média
µ populacional na amostra é:
x¯ =
1
n
n∑
i=1
xi ∼ N(µ, σ
2
n
)
ou seja, x¯ tem distribuição Normal com E(x¯) = µ e V (x¯) = σ
2
n
. Podemos escrever
de forma equivalente que, se x¯ ∼ N(µ, σ2
n
) então
Z =
x¯− µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
que é a forma mais adequada para aplicações.
Há uma observação importante a ser feita: se a população for finita e de tamanho N
conhecido, e se a amostra de tamanho n dela retirada for sem reposição, então:
x¯ ∼ N
(
µ,
σ2
n
N − n
N − 1
)
em que N−n
N−1 é o fator de correção.
Exemplo 1: Se X ∼ N(µ, σ2) onde µ = 20 e σ2 = 16, calcule a probabilidade que:
a) x¯ > 21 se x¯ for baseado numa amostra de tamanho 16.
b) 19 < x¯ < 23 se x¯ for baseado numa amostra de tamanho 36.
Exemplo 2: Sabe-se que a altura média dos alunos de uma faculdade é de 175 cm e
o desvio padrão, 5 cm. Retiramos uma amostra sem reposição, de tamanho n = 100.
Qual a probabilidade amostral da média das alturas estar entre 160 e 180 cm?
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9 Distribuição amostral das proporções
Veremos a distribuição amostral da proporção p de sucessos, característica que se
estuda na população
Seja p conhecida. A população pode ser definida como uma variável X tal que
{
X = 1 se o elemento da população tem a característica
X = 0 se o elemento da população não tem a característica
logo, µ = E(X) = p, σ2 = V (X) = p(1− p).
Retiramos uma grande amostra, n → ∞, x1, x2, . . . , xn, dessa população, com
reposição, e definimos x como o número de sucessos na amostra, isto é, o número
de elementos da amostra com a característica que se quer estudar.
O estimador de p é definido por pˆ = x
n
: proporção de sucessos na amostra.
X ∼ B(n, p) e E(X) = np e V (X) = npq sendo q = 1− p
Calculando esperança e variância de pˆ, temos:
E(pˆ) = E
(
x
n
)
= 1
n
E(x) = 1
n
· np = p ∴ E(pˆ) = p ou µpˆ = p
O que garante que, para grandes amostras, a proporção amostral se distribui com
média igual à proporção populacional.
Vejamos agora:
V (pˆ) = V
(
x
n
)
= 1
n2
· V (x) = 1
n2
npq ∴
ou V (pˆ) = pq
n
ou σpˆ =
√
pq
n
Logo, a variancia da proporção amostral é a variância da população dividida pelo
número de elementos da amostra.
Quando n→∞ pˆ ∼= N
(
p, pq
n
)
, pˆ é aproximadamente normal.
Segue-se que, nas mesmas condições,
Z =
pˆ− p√
pq
n
∼ N(0, 1)
A precisão da aproximação normal melhora na medida que o valor do tamanho da
amostra, n, aumenta e, para p próximo de 1/2. Uma regra geral usada, é que a
aproximação normal é boa quando np e nq ≥ 5.
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Exemplo 3: Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos
casos. Uma amostra aleatória de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi obtida
e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o
fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na
amostra ser inferior a 0,75? E superior a 0,85?
Exemplo 4: Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. Os
copos são embrulhados individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os
lotes para determinar a proporção dos quebrados ou lascados. Se um grande lote
contém 10% de quebrados (lascados) qual a probabilidade do varejista obter numa a
mostra de 100 copos 17% ou mais defeituosos?
EXERCÍCIOS
1. Com o objetivo de verificar que lanche deveria ser servido para os adoles-
centes de um acampamento, selecionou-se amostra composta por 250 ado-
lescentes sorteados entre os 2.000 presentes num acampamento. Que tipo de
amostragem foi utilizada?
2. Em uma cidade de 138.000 habitantes, deseja-se fazer uma pesquisa sobre
as preferências de lazer entre pessoas da terceira idade, levando em conta o
sexo a que pertencem. Supondo que na cidade haja 8.500 mulheres e 5.300
homens acima de 65 anos de idade, determine uma amostra estratificada com
200 elementos.
3. Um repórter da revista Business Week obtém uma relação numerada de 1.000
empresas com maiores cotações de ações na bolsa. Ele entrevistará 100 ger-
entes gerais das empresas correspondentes a esta amostra. Que tipo de amostragem
você surgeriria e por que?
4. Um tipo de fio é fabricado com resistência média à tensão de 78,3 quilogramas
e desvio-padrão de 5,6 quilogramas. Em quanto a variância da média amostral
muda quando o tamanho da amostra é
a) Aumentado de 64 para 196?
b) Reduzido de 784 para 49?
5. Uma engarrafadora utiliza uma máquina para encher garrafas plásticas com
refrigerante, cujo conteúdo segue uma distribuição Normal com µ = 298 ml e
σ = 3 ml. Qual é a probabilidade de:
a) determinada garrafa conter menos de 295 ml?
b) o conteúdo médio das garrafas de um pacote de 6 ser inferior a 295 ml?
6. Seja a variável X = chamadas telefonicas de longas distâncias (em minutos),
com X ∼ N(µ, σ2) em que µ = 8 e σ2 = 4. Se amostras aleatórias de 25
chamadas forem selecionadas,
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a) que proporção das médias amostrais estará entre 7,8 e 8,2 min?
b) que proporção das médias amostrais estará entre 7,5 e 8 min?
c) Que proporção das médias amostrais estará entre 7,8 e 8,2 min para uma
amostra aleatória de 100 chamadas? Comparar os resultados a) e c).
7. A renda de um conjunto de pessoas de uma certa região tem média 6 s.m. e
desvio padrão de 2 s.m. Se desta população for extraída uma amostra de n =
100 pessoas, qual a probabilidade de a média desta amostra acuse um valor
superior a 6,3 s.m?
8. Se vamos extrair amostras de n = 100 observações de uma população muito
grande, em que a proporção populacional é 0,20, que porcentagem de pro-
porções amostrais poderemos esperar nos intervalos:
a) 0,16 a 0,24?
b) maior que 0,24?
9. Tendo em mente estimar a proporção de alunos de um determinado "Cam-
pus"universitário que eram favoráveis à reestruturação das contas acadêmicas,
um pesquisador social entrevistou uma amostra aleatória de 590 estudantes e
constatou que 57% deles era de fato, favoráveis à citada reestruturação. Con-
siderando a proporção obtida como sendo o valor "p"populacional:
a) Calcule a probabilidade de numa amostra de 49 alunos, menos de 49% sejam
favoráveis à reestruturação das contas acadêmicas.
b) Calcule a probabilidade de numa amostra de 36 alunos, menos de 55% sejam
favoráveis à reestruturação das contas acadêmicas.
10. A proporção de estômatos da epiderme abaxial da folha de macieira da var-
iedade M-9, com tamanho acima de um determinado valor é 0,12. Extraída
uma amostra de 35 folhas, qual a probabilidade de que a proporção amostral
esteja entre 0,08 e 0,13?
11. Um distribuidor de sementes determina, através de testes, que 5% das se-
mentes não germinam. Ele vende pacotes de 200 sementes com garantia de
90% de germinação. Qual a probabilidade de um pacote nao satisfazer a garan-
tia?
8
	Introdução
	Parâmetros e Estatísticas
	Técnicas de amostragem
	Conceitos Iniciais
	Amostragem
	As Amostras Probabilísticas
	Amostragem Aleatória Simples
	Amostragem Aleatória Estratificada
	Amostragem por Conglomerados
	Amostragem Sistemática
	Amostragem Não-probabilística
	Erros no processo de amostragem
	Distribuiçãoamostral da média
	Distribuição amostral das proporções