lista exercícios eq dif cap9 stewart

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Exercícios 
1. Mostre que y = x — x 1 é uma so lução da e q u a ç ã o diferencial 
xy' + y = 2x. 
2. Verifique se y = sen x cos x — cos x é uma so lução do problema 
de valor inicial 
y' + (tgx)y = cos 2 x y(0) = — 1 
no intervalo — TT/2 < x < ir/2. 
(a) Para quais valores de r a função y = erx satisfaz a e q u a ç ã o d i -
ferencial 2 / + y' - y = 0? 
É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 
(b) Se r\ r 2 são os valores que v o c ê encontrou no i tem (a), mos-
tre que todo membro da famíl ia de funções y = aer" + be"x 
t a m b é m é uma so lução . 
4. (a) Para quais valores de k a função y — cos kt satisfaz a e q u a ç ã o 
diferencial 4y" = - 2 5 y ? 
(b) Para estes valores de k, verifique se todo membro da famíl ia 
de funções y = A sen kt + B cos kt t a m b é m é uma so lução . 
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530 C Á L C U L O 
5. Quais das seguintes funções são so luções da e q u a ç ã o diferencial 
y" + y = sen xl 
sen* a )y • 
, 1 
c)y =2 x senx 
(b) y = cos x 
(d) y = —\x cos * 
a) Mos t re que cada membro da f amí l i a de f u n ç õ e s 
y = ( l n x + C)/x é uma s o l u ç ã o da e q u a ç ã o diferencial 
x?y' + xy = 1. 
b) Ilustre a parte (a) t r açando vár ios membros da famíl ia de so-
luções na mesma tela. 
c) Encontre a so lução da e q u a ç ã o diferencial que sat isfaça a 
c o n d i ç ã o in ic ia l y ( l ) = 2. 
d) Encontre a so lução da equação diferencial que satisfaça a con-
d ição in ic ia l y(2) = 1. 
a) O que v o c ê pode dizer da so lução da e q u a ç ã o y' = - y 2 ape-
nas olhando a e q u a ç ã o diferencial? 
b) Verifique se todos os membros da famíl ia y = l/(x + C) são 
so luções da e q u a ç ã o no i tem (a). 
c) Você pode pensar em uma so lução da e q u a ç ã o diferencial 
y' = —y 2que n ã o seja membro da famíl ia no i tem (b)? 
d) Encontre uma so lução para o problema de valor in ic ia l 
y' = - y 2 y(0) = 0,5 
a) O que v o c ê pode dizer sobre o gráf ico de uma so lução da 
e q u a ç ã o y ' = xy3 quando x es tá p r ó x i m o de 0? E se x for 
grande? 
b) Verifique se todos os membros da famíl ia y = (c — x 2 ) ~ " 2 s ão 
so luções da e q u a ç ã o diferencial y ' = xy3. 
c) Trace vár ios membros da famíl ia de so luções na mesma tela. 
Os gráf icos confirmam o que você predisse no i tem (a)? 
d) Encontre uma so lução para o problema de valor in ic ia l 
/ = xf y(0) = 2 
Uma p o p u l a ç ã o é modelada pela e q u a ç ã o diferencial 
f = 1'2 P O-TÍÕÕ 
(a) Para quais valores de P a p o p u l a ç ã o está aumentando? 
(b) Para quais valores de P a p o p u l a ç ã o es tá diminuindo? 
(c) Quais são as so luções de equ i l íb r io? 
10. A função y(f) satisfaz a e q u a ç ã o diferencial 
dy 
dt 
= y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 
(a) Quais são as so luções constantes da e q u a ç ã o ? 
(b) Para quais valores de y a função es tá aumentando? 
(c) Para quais valores de y a função es tá diminuindo? 
11. Explique por que as funções cujos gráficos são dados a seguir não 
podem ser so luções da e q u a ç ã o diferencial 
di 
= e'(y - l) 2 
12. A função, cujo gráfico é dado a seguir, é uma so lução de uma dad 
seguintes equações diferenciais. Decida qual é a e q u a ç ã o cor re t» 
e justifique sua resposta. 
A. y ' = 1 + xy B . y ' = -2xy C. y ' = 1 - 2xy 
13. Combine as equações diferenciais com os gráficos de solução ro-J 
tulados de I - I V . D ê razões para suas escolhas. 
(a) y' = 1 + x2 + y 2 (b) y' = xe-* 
1 ( c ) y ' = • 
1 + 
(d) y' = sen(ryj cos (xy) 
I I 
LU I V 
14. Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café 
c é m - c o a d o com uma temperatura de 95 °C em uma sala onde 
temperatura é de 20 °C. 
(a) Quando você acha que o café esfria mais rapidamente? O qf 
acontece com a taxa de resfriamento com o passar do t e n r 
Explique. 
(b) A L e i de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de 
friamente de u m objeto é proporcional à d i ferença de tem 
ratura entre o objeto e sua v iz inhança , desde que essa d i 
rença não seja muito grande. Escreva uma equação diferen:' 
para expressar a L e i de Resfriamento de Newton nessa si 
ção particular. Qual a condição inicial? Tendo em vista sua 
posta no item (a), você acha que essa equação diferencial é 
modelo apropriado para o resfriamento? 
(c) F a ç a u m e s b o ç o para o gráfico da so lução do problema de ^ 
lor inicial no i tem (b). 
15. Os ps icó logos interessados em teoria do aprendizado estudam 
curvas de aprendizado. Seja P(t) o nível de desempenho de 
g u é m aprendendo uma habilidade como uma função do tempo 
treinamento í. A derivada dPIdt representa a taxa em que o 
sempenho melhora, 
(a) Quando você acha que P aumenta mais rapidamente? O 
acontece a dPIdt quando t aumenta? Explique. 
Exercícios 
Resolva a e q u a ç ã o diferencial. 
dy y 
dx x 
xy2y' = x + 1 
v + sen y) y' =x + x3 
dy_ 
dt ye 
t2p - p + t2 - 1 
dy = 4~* 
dx è1 
4. (y 2 + xy 2)y' = 1 
dl> í . + 1. 
6. 
dy sen 0 
8. — = 
d6 y sec 8 
dz 
10. — + e , + z 
11-18 Encontre a so lução da e q u a ç ã o diferencial que satisfaça a con-
d ição in ic ia l dada. 
„ 
12. 
dy x 
dx y' 
dy l n x 
dx xy ' 
y(0) = - 3 
y d ) = 2 
dtí 2f + sec 2 í 
dt 
14. y' 
2M 
xy sen x 
y + i 
w(0) = - 5 
y(0) = 1 
É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador [scÃ] É necessário usar um sistema de computação algébrica 
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544 C Á L C U L O 
15. x I n * = y (1 + V3 + y 2 ) y ' , y ( l ) = 1 
/>(1) = 2 
17. y ' tg x = a + y, y( i r /3) = a, 
m > = - i 
O < x < TT/2 
18. — = kL2 l n r, 
( 19. Encontre uma e q u a ç ã o da curva que passe pelo ponto (0, 1) e 
cuja inc l inação em (x, y) seja xy. 
20. Encontre a f u n ç ã o / t a l q u e / ' ( * ) = f(xj(l - / ( * ) ) e / ( 0 ) = | . 
21. Resolva a e q u a ç ã o diferencial y ' = x + y, usando a m u d a n ç a de 
var iáveis u = x + y. 
Resolva a equação diferencial xy' = y + xe , / j r , usando a m u d a n ç a 
de var iáveis v = y/x. 
22. 
23. (a) Resolva a e q u a ç ã o diferencial y' = 2x-J\ 
(b) Resolva o problema de valor i n i c i a l y ' = 2x^J\~ y 2 . 
y (0) = 0 e faça u m gráfico de so lução . 
(c) O problema de valor in ic ia l y' = 2x^1 — y 2 , y (0) = 2 tem 
so lução? Explique. 
f<J 24. Resolva a e q u a ç ã o e~yy' + cos x = 0 e trace vár ios membros da 
famíl ia de so luções . Como muda a curva so lução quando a cons-
tante C varia? 
SCa[ 25. Resolva o problema de valor inicial y' = (sen x)/sen y, 
y(0) = 7r/2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos). 
r S C Ã 1 26. Resolva a e q u a ç ã o y ' = xjx2 + l/(yey) e trace vár ios mem-
bros da famíl ia de so luções (se seu SCA fizer gráf icos impl íc i -
tos). Como muda a curva so lução quando a constante C varia? 
|SCÃ| 27-28. 
27. 
(a) Use um sistema de c o m p u t a ç ã o a lgébr ica para desenhar um 
campo de d i reção para a e q u a ç ã o diferencial. Impr ima e use-
-o para e sboça r algumas curvas de so lução sem resolver a 
e q u a ç ã o diferencial. 
(b) Resolva a e q u a ç ã o diferencial. 
(c) Use o SCA para desenhar as so luções obtidas na parte (b) . 
Compare com as curvas da parte (a). 
y ' = y 2 28. y' = xy 
29-32 Encontre as trajetórias ortogonais da famíl ia de curvas. 
Usando uma calculadora (ou u m computador), desenhe vár ios mem-
bros de cada famíl ia na mesma tela. 
29. x2 + 2y2 
k 
y = — 
30. kx-
31 32. y = 
1 + kx 
33-35 U m a e q u a ç ã o in t eg ra l é uma e q u a ç ã o que c o n t é m uma fun-
ção desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a 
determinada e q u a ç ã o integral. [Dica: Use uma c o n d i ç ã o in ic ia l 
obtida da e q u a ç ã o integral.]33. y(x) = 2 + £ [í - fy(f)] dt 
34. y(x) = 2+ \ ' - ^ - , x > 0 
Ji fy(f) 
35. y(x) = 4 + ^2ty/yjt)dt 
36. Encontre a f u n ç ã o / t a l q u e / ( 3 ) = 2 e 
(t2 + \)f(t) + \f(t)f+ 1 = 0 t ^ l 
37. 
38. 
39. 
[Dica: Use a fórmula de ad i ção para tg(x + y) na Pág ina de ReJ 
ferência 2.] 
Resolva o problema de valor inicial no Exerc íc io 27, na Seçãa 
9.2, para encontrar uma expressão para a carga no instante t. EnJ 
contre o valor-l imite da carga. 
N o Exerc íc io 28, na S e ç ã o 9.2, discutimos uma e q u a ç ã o di tei 
rencial que modela a temperatura de uma x ícara de café a 95 "Q 
em uma sala a 2 0 ° C . Resolva a e q u a ç ã o diferencial para encoi»-j 
trar uma expres são para a temperatura do café no instante /. 
N o Exerc íc io 15, na Seção 9 .1 , formulamos u m modelo paradj 
aprendizado na forma da e q u a ç ã o diferencial 
dP 
dt 
= k{M - P) 
40. 
onde P(t) mede o desempenho de a l g u é m aprendendo uma h" 
bilidade depois de u m tempo de treinamento t, M éo nível má 
x i m o de desempenho e k é uma constante positiva. Resolva ess^ 
e q u a ç ã o diferencial para encontrar uma e x p r e s s ã o para P(t\ 
Qual é o l imi te dessa exp re s são? 
E m uma reação qu ímica elementar, as mo lécu la s ún icas de doid 
reagentes A e B formam a m o l é c u l a do produto C: A + B —> C 
A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é propor-] 
cional ao produto das concen t r ações de A e B : 
rf[C] 
dt 
* [ A ] [ B ] 
(Veja o Exemplo 4, na S e ç ã o 3.7, no Volume I . ) En tão , se as c o n l 
cen t rações iniciais forem [ A ] = a mols /L e [ B ] = b mols /L d) 
escrevermos x = [ C ] , en t ão teremos 
dx 
dt 
= k(a — x)(b — x) 
41. 
(a) Supondo que a ^ b , encontre x como uma função de t. Use 
fato de que a concen t r ação in ic ia l de C é 0. 
(b) Encontre x(t) assumindo que a = b. Como essa expressa 
para x(t) é simplificada se soubermos que [C] = j o. depois 
20 segundos? 
E m contraste com a s i tuação do Exerc íc io 40, as exper i ênc ia ! 
mostram que a r eação H 2 + B r 2 —> 2 H B r satisfaz a lei de troca 
d [ H B r ] 
dt 
= £ [ H 2 ] [ B r 2 ] 1/2 
e, portanto, para essa reação a e q u a ç ã o diferencial torna-se 
dx 
dt 
= k{a - x)(b - x)1'2 
42. 
onde x = [ H B r ] e o e i são concen t r ações iniciais de h idrogénio 
e bromo. 
(a) Escreva x como uma função de t no caso em que a = b. Use 
o fato de que x (0) = 0. 
(b) Se a > b, encontre t como uma função de x. [Dica: Ao de-
sempenhar a in tegração , faça a subs t i tu ição u = y/b — x .] 
Uma esfera com raio 1 m tem temperatura 15 °C. Ela encontra-
-se dentro de uma esfera concênt r ica com raio 2 m e temperatura 
25 °C. A temperatura T(r) em uma dis tânc ia r do centro comum 
das esferas satisfaz a e q u a ç ã o diferencial 
d2T 2 dT 
+ = 0 
dr2 r dr 
Se fizermos 5 = dTIdr, en tão S satisfaz uma equação diferencial 
de primeira ordem. Encontre uma expres são para a temperatura 
T(r) entre as duas esferas. 
E Q U A Ç Õ E S DIFERENCIAIS 545 
43. Uma solução de glicose é administrada de maneira intravenosa na 
corrente sanguínea em uma taxa constante r. A medida que a g l i -
cose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e remo-
vida da corrente s angu ínea a uma taxa que é proporcional à 
concent ração naquele instante. En tão , um modelo para a concen-
tração C = C(t) da so lução de glicose na corrente sanguínea é 
dt2 
dC 
dt 
kC 
44. 
onde k é uma constante positiva. 
(a) Suponha que a c o n c e n t r a ç ã o no instante t = 0 seja C 0 . 
Determine a c o n c e n t r a ç ã o em u m instante qualquer í, resol-
vendo a e q u a ç ã o diferencial. 
(b) Assumindo que C0 < r/k, calcule l i m , ^ C(t) e interprete sua 
resposta. 
U m pequeno pa ís tem $ 10 b i lhões em papel-moeda em circu-
l ação e a cada dia $ 50 m i l h õ e s chegam aos bancos daquele 
lugar. O governo decide introduzir uma nova moeda, fazendo 
com que os bancos troquem notas velhas por novas sempre que 
a moeda antiga entrar nos bancos. Denote p o r * = x(t) a quanti-
dade de moeda nova em c i rcu lação no instante /, com x(0) = 0. 
(a) Formule um modelo ma temá t i co na forma de u m problema de 
valor in ic ia l que represente o " f l u x o " da nova moeda em cir-
cu lação . 
(b) Resolva o problema de valor in ic ia l encontrado no item (a). 
(c) Quanto tempo levará para a nova moeda representar 90% da 
moeda em c i r cu lação? 
U m tanque c o n t é m 1 000 L de água salgada com 15 kg de sal dis-
solvido. Agua pura entra no tanque a uma taxa de 10 L / m i n . A so-
lução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. 
Quanto sal há no tanque (a) após t minutos e (b) após 20 minutos? 
O ar em uma sala com volume 180 m 3 c o n t é m 0,15% de d i ó -
xido de carbono inicialmente. A r mais fresco com apenas 0,05% 
de d i ó x i d o de carbono entra na sala a uma taxa de 2 m 3 / m i n e o 
ar misturado sai na mesma taxa. Encontre a porcentagem de d ió -
xido de carbono na sala como uma função do tempo. O que 
I " acontece a longo prazo? 
47. U m barr i l com 2 000 L de cerveja c o n t é m 4% de á lcool (por vo-
* lume). Cerveja com 6% de á lcool é bombeada para dentro do 
barril a uma taxa de 20 L / m i n e a mistura é bombeada para fora 
do barr i l à mesma taxa. Qual é a porcentagem de á lcool depois 
de uma hora? 
U m tanque c o n t é m 1.000 L de água pura.* Agua salgada com 
0,04 kg de sal por l i t ro de água entra no tanque a uma taxa de 10 
L / m i n . A so lução é mantida completamente misturada e sai do 
tanque a uma taxa de 15 L / m i n . Quanto sal h á no tanque (a) de-
pois de t minutos e (b) depois de uma hora? 
Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim, 
sua massa em u m instante t é uma função de t, m(t). A taxa de 
crescimento da massa é km{i) para alguma constante positiva k. 
Quando aplicamos a L e i do M o v i m e n t o de Newton à gota 
de chuva, obtemos (mv)' = gm, onde v é a velocidade da gota de 
chuva (dirigida para baixo) e g é a ace le ração da gravidade. A ve-
locidade terminal da gota de chuva é l i m , ^ lÁj). Encontre uma 
expressão para a velocidade terminal em termos de g e k. 
U m objeto de massa m es tá se movendo horizontalmente por um 
meio que resiste ao movimento com uma força que é uma fun-
ção da velocidade; isto é, 
51. 
52. 
53. 
onde v = v(t) es = s(t) representam a velocidade e a pos i ção do 
objeto no instante t, respectivamente. Por exemplo, pense em 
um barco se movendo pela água . 
(a) Suponha que a força de resis tência seja proporcional à veloci-
dade, isto é,f(v) = —kv, k uma constante positiva. (Esse mo-
delo é apropriado para pequenos valores de v.) Sejam v(0) = v0 
e Í (0 ) = ÍO os valores iniciais deves. Determine i i e s e m qual-
quer instante t. Qual é a dis tância total que o objeto viaja a par-
tir do instante t = 0? 
(b) Para volumes maiores de vum melhor modelo é obtido ao su-
por que a força de res is tênc ia seja proporcional ao quadrado 
da velocidade, isto é,f(v) = — kv2, k > 0. (Esse modelo fo i 
sugerido primeiro por Newton.) Sejam v0 e s0 os valores i n i -
ciais deves. Determine P e s e m qualquer instante t. Qual é 
a d i s tânc ia total que o objeto viaja nesse caso? 
Crescimento alométrico em biologia refere-se às re lações entre 
os tamanhos das partes de um organismo (comprimento do crâ-
nio e comprimento do corpo, por exemplo). Se L i ( r ) e Liif) s ão 
os tamanhos de dois ó rgãos em u m organismo de idade t, en t ão 
Li e La satisfazem uma lei a lomé t r i ca se suas taxas de cresci-
mento específ icas são proporcionais: 
1 dLl , 1 dL2 
— = k — 
L \ L \
onde k é uma constante. 
(a) Use a lei a lométr ica para escrever uma equação diferencial fa-
zendo a re lação de L \ L 2 e solucione-a para expressar L \ 
como uma função de L 2 . 
(b)E m um estudo de diversas espéc ies de algas unicelulares, a 
constante de proporcionalidade na lei a lométr ica relacionando 
B (biomassa celular) e V (volume celular) fo i considerada 
k = 0,0794. Escreva B como uma função de V. 
Homeostase refere-se a u m estado em que o teor de nutrientes de 
u m consumidor é independente do teor de nutrientes de seu a l i -
mento. Na a u s ê n c i a de homeostase, u m modelo sugerido por 
Sterner e Elser é dado por 
dy_ = }_y_ 
dx 6 x 
onde xey representam o teor de nutrientes do alimento e do con-
sumidor, respectivamente, e 8 é uma constante com 6 3= 1. 
(a) Resolva a e q u a ç ã o diferencial. 
(b) O que acontece quando d = 1 ? O que acontece quando 
0 ^ o o ? 
Seja A(t) a área de uma cultura de tecido em u m instante t e seja 
M a área final do tecido quando o crescimento es tá completo. A 
maioria das d iv isões celulares ocorre na periferia do tecido, e o 
n ú m e r o de células na periferia é proporcional a *jA{t). Ass im, 
um modelo razoável para o crescimento de tecido é obtido as-
sumindo-se que a taxa de crescimento da á rea seja conjunta-
mente proporcional a -jA(t) e M — A(t). 
(a) Formule uma e q u a ç ã o diferencial e use-a para mostrar que o 
tecido cresce mais ráp ido quando A(t) = 3 M. 
(b) Resolva a e q u a ç ã o diferencial para encontrar uma expres são 
para A(t). Use um sistema de c o m p u t a ç ã o a lgébr ica para fa-
zer a in tegração . 
m Agua salgada com 0,05 kg de cal. por l i t ro de á g u a entra no tanque a uma taxa de 5 L / m i n . 
Exercícios 
Determine se a e q u a ç ã o diferencial é linear. 
v = xy 
1 1 
— + — 
x y 
l 2. i y ' + x y 2 = V * 
4 J. y sen x = x^y — x 
i Resolva a e q u a ç ã o diferencial. 
ixjT -2y = x2 
W - x - y 
+ y = -Jx 
6. y ' = x + 5y 
8. 4x 3 y + x 4 y ' = sen3x 
10. y ' + y = ser^e1) 
dy 
+ (cosx)y = sen(x 2 ) 12. x — 4y = x 4 e 
dx 
+ í) — + u = 1 + t, r > 0 
d í 
- : — + r = te' 
dt 
Resolva o problema de valor in ic ia l . 
- 2 x y = l n x , y ( l ) = 2 
-j- + tfy = cos r, y(7r) = 0 
— = r 2 + 3u, t>0, u(2) = 4 
- y = 6x, x > 0, y(4) = 20 
f = y + x2 sen x, y ( i r ) = 0 
í + l ) - 7 - + 3 x ( y - 1) = 0, y(0) = 2 
dx 
^ ^ • c s o l v a a equação diferencial e use uma calculadora gráfica 
— . -putador para traçar vários membros da família de solu-
\a curva solução muda quando C varia? 
- 2v = e* 22. xy ' = x 2 + 2y 
' fz3 U m a e q u a ç ã o diferencial de Bernoul l i (em homenagem a 
James Bernoul l i ) é uma e q u a ç ã o da forma 
dy 
dx 
+ P(x)y = Q(x)yn 
Observe que, se n = 0 ou 1, a equação de Bernoull i é linear. Para 
outros valores de n, mostre que a subs t i tu ição u = y 1 " " trans-
forma a e q u a ç ã o de Bernoul l i na equação linear 
du 
dx 
+ (1 - n ) F ( x ) « = (1 - n)Q(x) 
24-25 Use o m é t o d o do Exerc íc io 23 para resolver a e q u a ç ã o dife-
rencial. 
24. xy ' + y = — xy2 
26. Resolva a equação de segunda ordem xy" + 2y' = 12x 2 por meio 
da subs t i tu ição u = y'. 
27. N o circuito apresentado na Figura 4, uma pilha fornece uma vo l -
tagem constante de 40 V, a indu tânc ia é 2 H , a res i s tênc ia é 10 
í l e 7(0) = 0. 
(a) Encontre I(t). 
(b) Calcule a corrente depois de 0,1 s. 
28. N o circuito mostrado na Figura 4, um gerador fornece uma vo l -
tagem de E(t) = 40 sen 60r volts, a indu tânc ia é 1 H , a res is tên-
cia é 20 a e 7(0) = 1 A . 
(a) Encontre 7(f). 
(b) Calcule a corrente depois de 0,1 s. 
(c) Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico da função 
corrente. 
29. A figura mostra u m circuito contendo uma força eletromotriz, 
u m capacitor com capaci tância de C farads (F) e um resistor com 
uma res is tência de R de ohms ( í l ) . A queda de voltagem no ca-
pacitor é QIC, onde Q é a carga (em coulombs); nesse caso, a Le i 
de Ki rchhof f fornece 
- iezessário usar uma calculadora gráfica ou computador As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com 
562 C Á L C U L O 
RI + — = E(t) 
C 
Mas / = dQldt (veja o Exemplo 3, na S e ç ã o 3.7), assim, temos 
àQ 1 
Suponha que a resis tência seja 5 í l e a capaci tância , 0,05 F; que 
a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V e que a carga in i -
cial seja g ( 0 ) = 0 C. Encontre a carga e a corrente no instante t. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
N o circuito do Exerc íc io 29, R = 2 í l , C = 0,01 F, Q(0) = 0 e 
E(f) = 1 0 sen 60r. Calcule a carga e a corrente no instante t. 
Seja P(t) o nível de desempenho de a l g u é m aprendendo uma ha-
bilidade como uma função do tempo de treinamento t. O gráfico 
de P é chamado curva de aprendizagem. N o E x e r c í c i o 15 na 
Seção 9.1 propusemos a e q u a ç ã o diferencial 
dP 
dt 
= k[M - P(t)] 
como u m modelo razoáve l para a aprendizagem, onde k é uma 
constante positiva. Resolva essa e q u a ç ã o diferencial linear e use 
sua so lução para t raçar a curva de aprendizagem. 
Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de 
montagem. J o ã o processou 25 unidades durante a primeira hora 
e 45 unidades durante a segunda. Marcos processou 35 unidades 
durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Usando o mo-
delo do Exerc íc io 31 e assumindo que P(0) = 0, estime o nú-
mero m á x i m o de unidades por hora que cada trabalhador é capaz 
de processar. 
Na S e ç ã o 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais o 
volume de f luido permanecia constante e vimos que estes for-
necem e q u a ç õ e s separáveis (veja o Exemplo 6 naquela seção) . 
Se as taxas de entrada e de sa ída do sistema forem diferentes, 
en tão o volume não é constante e a e q u a ç ã o diferencial resul-
tante é linear, mas não separável . 
U m tanque c o n t é m 100 L de água . Uma so lução com uma 
concen t ração salina de 0,4 k g / L é adicionada à taxa de 5 L / m i n . 
A so lução é mantida misturada e é retirada do tanque na taxa de 
3 L / m i n . Se y(t) é a quantidade de sal (quilogramas) após t m i -
nutos, mostre que y satisfaz a e q u a ç ã o diferencial 
3y 
dt 100 + 2r 
Resolva essa e q u a ç ã o e calcule a concen t r ação depois de 20 m i -
nutos. 
Um tanque com capacidade de 400 L está cheio com uma 
mistura de á g u a e cloro com c o n c e n t r a ç ã o de 0,05 g de cloro 
por l i t ro . Para poder reduzir a concen t r ação de cloro, á g u a doce 
é bombeada para o tanque na taxa de 4 L/s. A mistura é 
agitada e bombeada para fora em uma taxa de 10 L/s. Encontre 
a quantidade de cloro no tanque como uma função de tempo. 
35. 
36. 
U m objeto de massa m é solto a partir do repouso e presumimos 
que a res is tência do ar seja proporcional à velocidade do objeto. 
Se s(t) for a d is tânc ia percorrida depois de t segundos, en t ão a 
velocidade é v = s'(t) e a ace le ração é a = v'(f). Se g for a ace-
l e ração da gravidade, en t ão a força para baixo no objeto é 
mg—.cv, onde c é uma constante positiva, e a Segunda L e i de 
Newton fornece 
dv 
m — = mg — cv 
dt w 
(a) Resolva essa e q u a ç ã o linear para mostrar que 
„ = / M ( 1 _ e - « / m ) 
c 
(b) Qual é a velocidade-limite? 
(c) Calcule a d is tânc ia que o objeto caiu depois de t segundos. 
Se ignorarmos a res i s t ênc ia do ar, poderemos concluir que os 
objetos mais pesados n ã o caem mais r áp ido que objetos mais 
leves. Mas, se considerarmos a res i s tênc ia do ar, nossa conclu-
são muda. Use a expressão para a velocidade de queda de um ob-
je to no E x e r c í c i o 35(a) para calcular dvldm e mostrar que os 
objetos mais pesados caem mais r á p i d o que os mais leves. 
37. (a) Mostre que a subs t i tu ição z = l / f transforma a e q u a ç ã o d i -
ferencial logís t ica P' = kP(l — P/M) na e q u a ç ã o diferencial 
linear 
k_ 
M 
z' + kz = 
(b) Resolva a equação diferencial no i tem (a) paraencontrar uma 
expres são para P(t). Compare com a E q u a ç ã o 9.4.7. 
38. Para considerarmos a va r iação sazonal na e q u a ç ã o diferencial 
podemos permitir que keMsejam as funções de t: 
dP 
= k(i)P\
Mit) 
(a) Verifique se a subs t i tu ição z = l/P transforma essa equação 
na e q u a ç ã o linear 
+ k(t)z 
dt 
Kt) 
M{t) 
(b) Escreva uma expres são para a so lução da e q u a ç ã o linear no 
i tem (a) e use-a para mostrar que se a capacidade de suporte 
M for constante, en tão 
P(t) 
M 
1 + C M e " 
Deduza que se ^k(t) dt = °°, en t ão l i m , ^ „ P(t) = M. [Isso 
será comprovado se k(t) = k0 + a cos bt com ko > 0, que des-
creve uma taxa de crescimento in t r ínseco positiva com uma va-
r iação sazonal per iód ica . ] 
(c) Se k é constante, mas M varia, mostre que 
z(t) 
ké 
-k,\' ds + Ce~ 
e uti l ize a Regra de 1'Hôspital para decidir que se M(t) tem u m 
l imi te quando t —»• oo, en t ão Pit) tem o mesmo l imi te .