trabalho modelagem

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO / UNIDADE OSASCO
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA / 9º SEMESTRE
NOME: RENAN RODRIGUES GOMES RA: 080169562
ANALOGIA DE MODELO MATEMATICO MECÂNICO E ELETRICO E SUAS APLICAÇÕES 
(MODELAGEM, ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS)
OSASCO
2017
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO / UNIDADE OSASCO
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA / 9º SEMESTRE
NOME: RENAN RODRIGUES GOMES RA: 080169562
ANALOGIA DE MODELO MATEMATICO MECÂNICO E ELETRICO E SUAS APLICAÇÕES 
(MODELAGEM, ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS)
Trabalho apresentado a matéria de MODELAGEM,
 ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
do curso de Engenharia Elétrica
Da Universidade Anhanguera de são Paulo.
Professor : Edson
OSASCO
2017
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...................................................................................................4
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS............................4
SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO......................................10
SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO............................................11
ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS........................5
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS...........................8
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS..........................11
INTRODUÇÃO
A Modelagem Matemática é uma metodologia de ensino que contribui para a construção de conhecimentos e produção de saber matemáticos. Modelar um problema do mundo real não é apenas executar passos sincronizados para se chegar a um resultado esperado, ou apenas memorização de conceitos, para, além disso, modelar matematicamente um problema é compreender e construir uma estratégia para solucioná-lo, executar esta estratégia e validar a solução com os argumentos utilizados.
A aplicação da modelagem matemática, muitas vezes, significa também abrir espaços para outras tecnologias, como é o caso do computador. Um exemplo é a instalação do Programa Paraná Digital nas escolas públicas estaduais do Paraná, além de proporcionar computadores com acesso à internet, permite-se, também, a utilização deste instrumento para a aplicação da Modelagem Matemática através de softwares livres, bem como, para a pesquisa dos temas a serem estudados.
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
Inicialmente é necessário que se defina o que é sistema, sistema dinâmico e sistema estático. Um SISTEMA é uma combinação de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado. O sistema é dito ESTÁTICO, quando a saída atual do sistema depende somente da entrada atual. A saída do sistema só varia se a sua entrada variar. O sistema é dito DINÂMICO, se a sua saída depende da entrada e dos valores passados da entrada. Num sistema dinâmico a saída varia se ela não estiver num ponto de equilíbrio, mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como sendo o conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com uma certa precisão. O modelo matemático de um dado sistema não é único, isto é, um sistema pode ser representado por diferentes modelos dependendo da análise que se deseja fazer. Na obtenção do modelo matemático para um dado sistema deve-se ter um compromisso entre a simplicidade do modelo e a sua precisão. Nenhum modelo matemático, por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema.
Em geral deve-se obter um modelo matemático, que seja adequado para solucionar o problema específico que esta em análise. Porém, é importante ressaltar que os resultados obtidos desta análise serão válidos somente para os casos em que o modelo é válido. Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumas propriedades físicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do sistema são pequenos, então uma boa semelhança entre os resultados da análise matemática e os resultados práticos do sistema é obtido.
Em geral os sistemas dinâmicos são não lineares. Porém, os procedimentos matemáticos para a obtenção de solução de modelos lineares são muito complicados. Por isto, geralmente substituí-se o modelo não linear por um modelo linear, com validade somente em uma região limitada de operação, ou para um ponto de operação.
A obtenção dos modelos que representam um dado sistema, são baseados nas leis que regem aquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecânico, deve-se ter em mente as leisde Newton; na modelagem de sistemas elétricos deve-se ter em mente as leis das correntes e das tensões de Kirchoff; na modelagem de sistemas térmicos deve-se ter mente as leis que regem os fenômenos térmicos, isto é, condução, radiação e convenção, etc.
Neste capítulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecânicos de translação e rotação e sistemas eletromecânicos. A modelagem de outros sistemas físicos, tais como, sistemas térmicos e sistemas hidráulicos não serão objeto de análise.
ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS
Entre os sistemas elétricos e mecânicos, existem dois tipos de analogias:
• Analogia Força-Tensão;
• Analogia Força-Corrente.
a) Analogia Força-Tensão
Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas Elétricos e Mecânicos para este caso.
SISTEMA ELÉTRICO	 SISTEMA MECÂNICO DE SISTEMAMECÂNICO DE
TRANSLAÇÃO	 ROTAÇÃO
 Tensão ϑ(t)	 Força F(t)	 Torque T(t)
 Indutância L	 Massa M	 Momento de Inércia (J) Resistência R	 Coef. de Atrito B	 Coef. de Atrito B
Inverso da Capacitância 1/C	 Coef. de Elasticidade K	 Coef. de Elasticidade K
 Carga Elétrica q(t)	 Deslocamento χ(t)	 Desloc. Angular θ( t )
 Corrente i(t)	 Velocidade χ(t)	 Veloc. Angular θ(t)=ω(t)
Sejam os sistemas elétricos e mecânicos, abaixo representados.
 
Para o sistema mecânico, tem-se que:
Para o sistema elétrico, tem-se que:
onde: q(t) → Cargas elétricas.
As equações diferenciais “1” e “2” são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos.
b) Analogia Força-Corrente
Sejam os sistemas elétricos e mecânicos, abaixo representados.
 
A equação que define o sistema mecânico já foi obtida acima, em “1”.
Para o sistema elétrico, tem-se que:
iL(t) + iR(t) + iC(t) = is(t) “3”
mas
: 
ϑ
φ
(
)
) 
(
t
t
d
dt
 
=
 
;
 
 
onde
: 
φ
 
→
 
fluxo
 magnético. 
C
t
d
dt
d
t
dt
t
t
is
R
L 
φ
φ
φ
2
2
1
1 
(
(
)
)
)
)
(
(
+
=
+
 
“4” 
As equações “1” e “4”, são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos.
Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas elétricos e mecânicos para o caso da analogia Força-Corrente.
SISTEMA ELÉTRICO	 SISTEMA MECÂNICO DE	SISTEMA MECÂNICO DE
 TRANSLAÇÃO	 ROTAÇÃO
 Corrente i(t)	 Força F(t)	 Torque T(t)
 Capacitância C	 Massa M	 Momento de Inércia (J)
 Inverso da Resistência 1/R	 Coef. de Atrito B	 Coef. de Atrito B
 Inverso da Indutância 1/L	 Coef. de Elasticidade K	 Coef. de Elasticidade K
 Fluxo Magnético φ(t)	 Deslocamento χ(t)	 Desloc. Angular θ( t )
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS
Os sistemas mecânicos são divididos em dois grupos, isto é, sistemas mecânicos de translação, e sistemas mecânicos de rotação. Esse sistema aplica-se a toda área da mecânica e indústria como motores geradores e outras diversas maquinas. Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é igual ao número de movimentoslinearmente independentes. A independência linear implica que um ponto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma podemos sugerir uma pequena equação. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemas mecânicos, serão revisados.
- Massa
A massa de um corpo, é a quantidade de matéria deste corpo, a qual é constante. Fisicamente, a massa de um corpo é responsável pela inércia do mesmo, isto é, a resistência à mudança de movimento de um corpo. O peso de um corpo, é a força com a qual a terra exerce atração deste corpo.
Onde: m é massa (Kg) 
ω é o peso (Kgf) 
g é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s2 ) 
Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo não varia.
- Força
A força é definida como a causa que tende a produzir uma mudança na posição de um corpo, no qual a força está atuando. As forças, podem ser classificadas de duas formas, FORÇAS DE CONTATO e FORÇAS DE CAMPO. As forças de contato são aquelas que tem um contato direto com o corpo, enquanto as forças de campo não apresentam contato direto com o corpo, como por exemplo, força magnética e força gravitacional.
- Torque
O torque, é definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudança na posição angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando.
- Deslocamento, Velocidade e Aceleração
O deslocamento χ( )t é a troca de posição de um ponto, tomado como referência, para outro.
A velocidade é a derivada temporal do deslocamento χ( )t .
A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular
O deslocamento angular “θ(t)”, é definido como a troca de posição angular, sobre um eixo, de um ângulo tomado como referência e outro. É medido em radianos. A direção anti-horário é tomada como positiva.
A velocidade angular “ω(t)”, é a derivada temporal do deslocamento angular “θ(t)”.
dθ(t)
ω(t) = 	= θ(t)
dt
A aceleração angular “α(t)”, é a derivada temporal da velocidade angular “ω”.
Obs:
Se a velocidade ou a velocidade angular é medida em relação a uma referência fixa, então chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrário serão grandezas relativas. O mesmo é válido para a aceleração.
Os sistemas mecânicos obedecem à lei fundamental onde o somatório de todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de reação.
LEIS DE NEWTON
Das três leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei é a mais importante, para a obtenção de modelos matemáticos de sistemas mecânicos.
- Segunda lei de Newton (Translação)
“A aceleração adquirida por de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional as forças que atuam neste corpo, e inversamente proporcional a massa deste corpo”.
Σ forças = m.a
- Segunda lei de Newton (Rotação)
“A aceleração angular de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional aos torques que atuam neste corpo, e inversamente proporcional ao momento de inércia deste corpo” Onde: J → Momento de inércia;
ΣT = Jα
SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO
Nos sistemas mecânicos de translação, há três elementos mecânicos envolvidos que são: elemento de inércia, elemento de amortecimento, elemento de elasticidade.
- Elemento de Inércia (Massa)
É assumido que a massa é rígida. Desta forma a conexão superior, não deve se mover em relação a conexão inferior, isto é, ambas conexões se deslocam segundo χ(t).
- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)
No caso deste elemento existe um deslocamento relativo entre o ponto de conexão superior e o ponto de conexão inferior. Portanto, existe a necessidade de duas variáveis deslocamento para descrever este elemento. A realização física deste elemento é a fricção viscosa associada ao óleo ou ar.
- Elemento de Elasticidade (Mola)
 Este elemento, pode ser deformado por uma força externa, tal que a deformação é diretamente proporcional a esta força.
Uma vez que os elementos mecânicos dos movimentos de translação estão definidos, as equações de sistemas mecânicos de translação podem ser escritas seguindo as leis de Newton.
SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO
Os elementos mecânicos envolvidos nos sistemas mecânicos de rotação, são os mesmos já definidos para os sistemas mecânicos de translação. A diferença é que agora os deslocamentos são angulares.
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS
A modelagem de sistemas elétricos é baseada nas leis das tensões e das correntes de Kirchoff. Devido a nossa familiaridade com circuitos elétricos, a modelagem dos mesmos torna-se facilitada. 
Os elementos envolvidos nos circuitos elétricos são: Resistores, Indutores, Capacitores, amplificadores, etc...
CIRCUITO RLC
 
 
 
Aplicando a T.L nas expressões acima, resulta:
L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) = Ei(s)
 I(s) = C.S.Vc(s)
Substituindo-se a expressão de I(s) na primeira equação, tem-se:
L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) = Ei(s) 
Como:
Vc(s) = E0( s )
LCS2. E0(s) + R.CSE0(s) + E0( s) =Ei(s )
Obs:
Em invés trabalharmos com o elemento elétrico podemos trabalhar com o circuito de impedância complexa, facilitando a obtenção da Função de Transferência.
Componentes passivos – não produzem energia (sem fontes internas)
Resistor
Indutor
Capacitor
Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância apara capacitores, resistores e indutores
Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores.
As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem:
A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero.
A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.
 A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência.
Esse modelo matemático pode ser aplicado em toda a elétrica, residencial, industrial, componentes e etc.
13