LISTA 4 Capítulo 4 Movimento Bidimensiional e Tridimensional

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CARNEIRO, J.C.S., IFCE 1 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE 
Curso: Engenharia Civil - Campus Fortaleza - Sem: 2016/2 
Disciplina: Física I - Prof: José Carlos Carneiro - Turno: Manhã 
4ª Lista de Exercícios – Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 
 
1. O vetor posição de um elétron é 
�⃗� = (𝟓, 𝟎𝒎)𝒊 − (𝟑, 𝟎𝒎)𝒋 + (𝟐, 𝟎𝒎)�⃗⃗� . 
Faça o que se pede: 
a) Calcule o módulo de �⃗� ; 
b) Represente o vetor posição �⃗� em 
um sistema de coordenadas 
dextrógiro. 
 
2. Um pósitron sofre um 
deslocamento ∆�⃗� = 𝟐, 𝟎𝒊 − 𝟑, 𝟎𝒋 +
𝟔, 𝟎�⃗⃗� e termina com o vetor posição 
�⃗� = 𝟑, 𝟎𝒋 − 𝟒, 𝟎�⃗⃗� , em metros. Qual 
era o vetor posição inicial do 
pósitron? 
 
3. Uma estação de radar detecta um 
avião se aproximando diretamente do 
leste. Na primeira observação, a 
distância até o avião é de 360m a 40° 
acima do horizonte. O avião ainda é 
seguido por outros 123° no plano 
vertical leste-oeste, sendo que a 
distância no contato final é de 790m, 
conforme a figura a seguir. Ache o 
deslocamento do avião durante o 
período de observação. 
 
 
 
4. O vetor posição para um próton 
inicialmente �⃗� = 𝟓, 𝟎𝒊 − 𝟔, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� 
e depois passa a ser �⃗� = −𝟐, 𝟎𝒊 +
𝟔, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� , tudo em metros. 
Responda: 
a) Qual é o vetor deslocamento do 
próton? 
b) A que plano o vetor deslocamento 
é paralelo? 
 
5. A figura a seguir mostra a 
trajetória seguida por um bêbado em 
um terreno plano, de um ponto inicial 
i até um ponto final f. Os ângulos são 
𝜽𝟏 = 𝟑𝟎, 𝟎°, 𝜽𝟐 = 𝟓𝟎, 𝟎° 𝒆 𝜽𝟑 =
𝟖𝟎, 𝟎°; as distâncias são 𝒅𝟏 =
𝟓, 𝟎𝟎 𝒎, 𝒅𝟐 = 𝟖, 𝟎𝟎 𝒎 𝒆 𝒅𝟑 =
𝟏𝟐, 𝟎 𝒎. 
 
 
 
Quais são: 
a) O módulo do vetor deslocamento 
do bêbado de i até f? 
b) O ângulo que o vetor deslocamento 
forma com o semieixo x positivo de i 
até f. 
 
6. A posição de um elétron é dada por 
�⃗� = 𝟑, 𝟎𝟎𝒕𝒊 − 𝟒, 𝟎𝟎𝒕𝟐𝒋 + 𝟐, 𝟎𝟎�⃗⃗� , com 
t em segundos e �⃗� em metros. 
Calcule: 
a) O vetor velocidade �⃗⃗� (𝒕) do elétron 
na notação de vetores unitários; 
b) A velocidade no instante t = 2,00s; 
 
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7. O vetor posição de um íon é 
inicialmente �⃗� = 𝟓, 𝟎𝒊 − 𝟔, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� 
e 10s depois passa a ser �⃗� = −𝟐, 𝟎𝒊 +
𝟖, 𝟎𝒋 − 𝟐, 𝟎�⃗⃗� , com todos os valores em 
metros. Na notação de vetores 
unitários, qual é a velocidade média 
�⃗⃗� 𝒎 durante os 10s? 
 
8. Um avião voa 483 km para leste, da 
cidade A para a cidade B, em 45min, 
e depois 966 km para o sul, da cidade 
B para a cidade C, em 1,50h. Para a 
viagem inteira, determine: 
a) O módulo e a direção do vetor 
deslocamento do avião; 
b) O módulo e a direção do vetor 
velocidade média do avião; 
c) A velocidade escalar média. 
 
9. A figura abaixo mostra os 
movimentos de um esquilo em um 
terreno plano, do ponto A (em t = 0) 
para os pontos B (em t = 5,00 min.), C 
(em t = 10,0 min.) e, finalmente, D 
(em t = 15,0 min.). Considere as 
velocidades médias do esquilo do 
ponto A para cada um dos outros três 
pontos. Entre essas velocidades 
médias, determine: 
 
 
 
a) O ângulo da que possui o menor 
módulo; 
b) O ângulo da que possui o maior 
módulo. 
 
10. A posição �⃗� de uma partícula que 
se move em um plano xy é dada por 
�⃗� = (𝟐, 𝟎𝟎𝒕𝟑 − 𝟓, 𝟎𝟎𝒕)𝒊 +
(𝟔, 𝟎𝟎 − 𝟕, 𝟎𝟎𝒕𝟒)𝒋 , com �⃗� em metros e 
t em segundos. Na notação de vetores 
unitários, calcule: 
a) �⃗� , �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� para t = 2,00s; 
b) O ângulo entre o semieixo positivo 
x e uma reta tangente à trajetória da 
partícula em t = 2,00s. 
 
11. Uma partícula se move de tal 
forma que a posição (em metros) em 
função do tempo (em segundos) é 
dada por �⃗� =𝒊 + 𝟒𝒕𝟐𝒋 + 𝒕�⃗⃗� . Escreva as 
expressões para os vetores velocidade 
e aceleração. 
 
12. A velocidade inicial de um próton 
é �⃗⃗� = 𝟒, 𝟎𝒊 − 𝟐, 𝟎𝒋 + 𝟑, 𝟎�⃗⃗� ; 4s mais 
tarde, passa a ser �⃗⃗� = −𝟐, 𝟎𝒊 −
𝟐, 𝟎𝒋 + 𝟓, 𝟎�⃗⃗� (em metros por 
segundo). Para esses 4s, determine: 
a) A aceleração média do próton �⃗⃗� 𝒎 
na notação de vetores unitários; 
b) O módulo de �⃗⃗� 𝒎; 
c) O ângulo entre �⃗⃗� 𝒎 e o semieixo x 
positivo. 
 
13. Uma partícula deixa a origem 
com uma velocidade inicial �⃗⃗� =
(𝟑, 𝟎𝟎𝒊 ) m/s e uma aceleração 
constante �⃗⃗� = (−𝟏, 𝟎𝟎𝒊 −
𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝒋 ) 𝒎/𝒔𝟐. Quando a partícula 
atinge o máximo valor da coordenada 
x, quais são: 
a) A velocidade �⃗⃗� ; 
 
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b) O vetor posição �⃗� . 
 
14. A velocidade �⃗⃗� de uma partícula 
que se move no plano xy é dada por 
�⃗⃗� = (𝟔, 𝟎𝒕 − 𝟒, 𝟎𝒕𝟐)𝒊 + 𝟖, 𝟎𝒋 , com �⃗⃗� 
em metros por segundo e t > 0 em 
segundos. Responda: 
a) Qual é a aceleração no instante t = 
3,0s? 
b) Em que instante (se isso é possível) 
a aceleração é nula? 
c) Em que instante (se isso é possível) 
a velocidade é nula? 
d) Em que instante (se isso é possível) 
a velocidade escalar da partícula é 
igual a 10 m/s? 
 
15. Na figura a seguir, a partícula A 
se move ao longo da reta y = 30 m 
com uma velocidade constante �⃗⃗� de 
modulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x. 
No instante em que a partícula A 
passa pelo eixo y, a partícula B deixa 
a origem com velocidade inicial zero e 
aceleração constante �⃗⃗� de módulo 
0,40 m/s2. Para que valor do ângulo θ 
entre �⃗⃗� e o semieixo y positivo 
acontece uma colisão? 
 
 
 
16. A velocidade de lançamento de 
um projétil é cinco vezes maior que a 
velocidade na altura máxima. 
Determine o ângulo de lançamento θ. 
 
17. Uma partícula é lançada com 
velocidade horizontal 
0

v
, cujo 
módulo é v0 = 25m/s, de um ponto O 
situado a 120m acima do solo, numa 
região em que a aceleração da 
gravidade tem módulo g = 10m/s2. A 
partícula atinge um muro vertical 
situado a 100m do ponto O. 
Determine a altura h do ponto B onde 
a partícula atinge o muro. (Despreze 
os efeitos do ar). 
 
 
 
18. Na figura seguinte, uma pedra é 
lançada para o alto de um rochedo de 
altura h com uma velocidade inicial 
de 42,0 m/s e com ângulo 𝜽𝟎 = 𝟔𝟎° 
com a horizontal. A pedra cai em um 
ponto A, 5,50 s após o lançamento. 
 
 
 
Determine: 
a) A altura h do rochedo; 
b) A velocidade da pedra 
imediatamente antes do impacto em 
A; 
c) A altura máxima H alcançada 
acima do solo. 
 
19. A figura seguinte representa a 
trajetória descrita por uma bola que 
 
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sofre impactos sucessivos com o solo. 
Sendo 
g
 a aceleração da gravidade, 
qual o intervalo de tempo decorrido 
entre as passagens pelas posições 1 e 
2? 
 
 
 
20. Uma bola de golfe recebe uma 
tacada no solo. A velocidade da bola 
em função do tempo é mostrada na 
figura a seguir, onde t = 0 é o instante 
em que a bola foi golpeada. A escala 
vertical do gráfico é definida por 
𝒗𝒂 = 𝟏𝟗 𝒎/𝒔 e 𝒗𝒃 = 𝟑𝟏 𝒎/𝒔. 
Determine: 
a) Que distância horizontal a bola de 
golfe percorre antes de tocar 
novamente o solo? 
b) Qual é a altura máxima atingida 
pela bola? 
 
 
 
21. . Uma bola de futebol recebe uma 
velocidade inicial com módulo v0, 
formando um ângulo φ com um plano 
que está inclinado de um ângulo θ 
acima da horizontal. Calcule a 
distância, medida ao longo do plano 
inclinado, entre o ponto de 
lançamento e o ponto em que a bola 
colide com o plano inclinado. 
Expresse sua resposta em termos de 
v0, g, θ e φ. Qual o ângulo φ que 
fornece o alcance máximo, medido ao 
longo do plano inclinado?22. Um carro se desloca em um plano 
horizontal, ao longo de uma reta X, 
com velocidade Vx. Em um dado 
instante, uma pequena bola é lançada 
de um ponto P do carro, com 
velocidade relativa ao carro, 
formando um ângulo de 45° com a 
horizontal e ao longo do plano 
vertical que contêm a reta X. 
 
 
 
Considere g = 10m/s2, despreze a 
resistência do ar e o impulso sofrido 
pelo carro quando do lançamento da 
bola. Determine o valor da aceleração 
constante ax, em m/s2, que deve ser 
imprimida ao carro, no exato 
momento do lançamento, para que a 
bola caia no mesmo ponto P do carro, 
de onde foi lançada. 
 
23. Uma bola é lançada para a 
esquerda da extremidade esquerda do 
terraço de um edifício, conforme 
mostra a figura. O ponto de 
lançamento está a uma altura h em 
relação ao solo e a bola chega ao solo 
1,50 s depois, a uma distância 
horizontal d = 25,0 m do ponto de 
0

v
 
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lançamento e fazendo um ângulo 𝜽 =
𝟔𝟎, 𝟎° com a horizontal. Determine: 
a) O valor de h; 
b) O módulo da velocidade com o 
qual a bola foi lançada; 
c) O ângulo de lançamento com 
relação à horizontal. 
Sugestão: uma forma de resolver o 
problema é inverter o movimento, 
como se você estivesse vendo um filme 
de trás para frente. 
 
 
 
24. Uma bola é arremessada para o 
alto de um edifício, caindo 4,00 s 
depois a uma altura h = 20,0 m acima 
da altura de lançamento, conforme 
mostra a figura. A trajetória da bola 
no final da trajetória tem uma 
inclinação 𝜽 = 𝟔𝟎, 𝟎° em relação à 
horizontal. Determine: 
a) A distância d coberta pela bola; 
b) O módulo da velocidade inicial da 
bola; 
c) O ângulo de lançamento com 
relação à horizontal. 
 
 
25. Uma bola é lançada do solo em 
direção a uma parede que está a uma 
distância x, como indica a figura. O 
gráfico mostra a componente 𝒗𝒚 da 
velocidade da bola no instante em que 
alcançaria a parede em função da 
distância x. As escalas do gráfico são 
definidas por 𝒗𝒚𝒔 = 𝟓, 𝟎 𝒎/𝒔 e 𝒙𝒔 =
𝟐𝟎 𝒎. Qual é o ângulo do 
lançamento? 
 
 
 
26. Uma partícula é lançada 
obliquamente num plano vertical da 
origem O de um referencial 
cartesiano xOy com velocidade de 
intensidade 10m/s, a qual faz com o 
eixo Ox um ângulo de 60°. No mesmo 
instante, é lançada verticalmente 
para cima uma outra partícula do 
ponto 
 340;100
, onde as 
coordenadas são dadas em metros. 
 
 
 
 
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Admitindo desprezíveis a resistência 
do ar e a curvatura da superfície 
terrestre e considerando g = 10m/s2, 
determinar: 
 
a) A intensidade da velocidade da 
partícula lançada verticalmente para 
que consiga encontrar a outra; 
b) O tempo decorrido desde o 
instante dos lançamentos até o 
instante do encontro. 
 
27. A figura seguinte mostra alguns 
dados da trajetória de um projétil. 
Calcule d em função de v0, g e φ. 
 
 
 
28. Uma partícula descreve um 
movimento circular uniforme em um 
plano horizontal xy. Em certo 
instante, a partícula passa pelo ponto 
de coordenadas (4,00 m; 4,00 m) com 
uma velocidade de – 𝟓, 𝟎𝟎𝒊 𝒎/𝒔 e 
uma aceleração de +𝟏𝟐, 𝟓𝒋 𝒎/𝒔𝟐. 
Quais são as coordenadas (x, y) do 
centro da trajetória circular? 
 
29. Uma bolsa a 2,00 m do centro e 
uma carteira a 3,00 m do centro 
descrevem um movimento circular 
uniforme no piso de um carrossel. Os 
dois objetos estão na mesma linha 
radial. Em certo instante, a 
aceleração da bolsa é (𝟐, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔𝟐)𝒊 +
(𝟒, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔𝟐)𝒋 . Qual é a aceleração da 
carteira nesse instante, em termos dos 
vetores unitários? 
 
30. Uma partícula P se move com 
velocidade escalar constante sobre 
uma circunferência de raio r = 3,00 m 
e completa uma revolução a cada 20,0 
s. A partícula passa pelo ponto O no 
instante t = 0. Os vetores pedidos a 
seguir devem ser expressos na 
notação módulo-ângulo (ângulo em 
relação ao sentido positivo de x). 
 
Determine: 
a) O vetor posição da partícula, em 
relação a O, nos instantes: t = 5,00 s, t 
= 7,50 s e t = 10,0 s; 
b) O vetor deslocamento no intervalo 
de 5,00 s entre o fim do quinto 
segundo e o fim do décimo segundo; 
c) A velocidade média �⃗⃗� 𝒎 para o 
intervalo de tempo do item anterior; 
d) O vetor velocidade instantânea �⃗⃗� 
no início e no fim do intervalo do item 
b); 
e) O vetor aceleração �⃗⃗� no início e no 
fim do intervalo do item b); 
31. Calcule a aceleração de uma 
pessoa na latitude 40°, em função da 
rotação da Terra. 
 
 
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32. Na figura, as rodas dentadas R1 e 
R3 são iguais e seus raios medem 50 
cm, enquanto a roda dentada R2 tem 
raio igual a 25 cm. As rodas R2 e R3 
giram fixas a um mesmo eixo. A roda 
R1, acoplada à R2, gira com 
frequência igual a 5000rpm. 
 
 
Determine: 
 
a) A frequência de rotação das rodas 
R2 e R3; 
b) O quociente 
3
1
v
v
 das velocidades 
escalares lineares de pontos na 
periferia das rodas R1 e R3, 
respectivamente. 
 
33. Uma roda rola sem escorregar, 
em um plano horizontal, tendo seu 
centro C velocidade 
Cv
 de módulo vc 
= 2,0m/s. Calcule os módulos das 
velocidades em relação à Terra, dos 
pontos A, B, R e S assinalados na 
figura. 
 
 
34. Um barco está navegando rio 
acima, no sentido positivo de um eixo 
x, a 14 km/h em relação à água do rio. 
A água do rio está correndo a 9,0 
km/h em relação à margem. Uma 
criança que está no barco caminha da 
popa para proa a 6,0 km/h em relação 
ao barco. Responda: 
a) Qual o módulo da velocidade do 
barco em relação à margem? 
b) Qual a orientação (direção e 
sentido) da velocidade do barco em 
relação à margem? 
c) Qual o módulo, e a orientação da 
velocidade da criança em relação à 
margem? 
 
35. Um avião vai de uma cidade A a 
uma cidade B, situada a 400 km ao 
norte de A. Os instrumentos do 
aeroporto registram um vento de 
50km/h de oeste para leste. Sabendo 
que a velocidade do avião em relação 
ao ar é 200 km/h, pede-se: 
a) O ângulo que o eixo do avião forma 
com a direção sul-norte; 
b) A velocidade do avião em relação 
ao solo; 
c) O tempo de voo. 
 
36. Um homem de aparência suspeita 
corre o mais depressa que pode por 
 
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uma esteira rolante, levando 2,5 s 
para ir de uma extremidade à outra. 
Os seguranças aparecem e o homem 
volta ao ponto de partida, correndo o 
mais depressa que pode e levando 
10,0 s. Qual é a razão entre a 
velocidade do homem e a velocidade 
da esteira? 
 
37. Duas rodovias se cruzam, como 
mostra a figura abaixo. No instante 
indicado, um carro de polícia P está a 
uma distância 𝒅𝑷 = 𝟖𝟎𝟎 𝒎 do 
cruzamento, movendo-se com uma 
velocidade escalar 𝒗𝑷 = 𝟖𝟎 𝒌𝒎/𝒉. O 
motorista M está a uma distância 
𝒅𝑴 = 𝟔𝟎𝟎 𝒎 do cruzamento, 
movendo-se com uma velocidade 
escalar 𝒗𝑴 = 𝟔𝟎 𝒌𝒎/𝒉. 
 
 
 
Responda: 
a) Qual é a velocidade do motorista 
em relação ao carro de polícia na 
notação de vetores unitários? 
b) No instante mostrado na figura, 
qual é o ângulo entre a velocidade 
calculada no item a) e a reta que liga 
os dois carros? 
c) Se os carros mantêm a velocidade, 
as respostas dos itens a) e b) mudam 
quando os carros se aproximam da 
interseção? 
 
38. Um barco está inicialmente 
parado, encostado em uma das 
margens de um rio de margens 
paralelas. A água do rio tem, em 
relação às margens, velocidade 
AMv 
cujo módulo é vAM = 8,0m/s. A partir 
do instante t = 0, o barco começa a 
movimentar-se com movimento 
retilíneo uniformemente variado em 
relação à água, cuja aceleração 
escalar é a = 4,0m/s2, de modo que o 
eixo do barco fique perpendicular à 
correnteza. Qual é a trajetória do 
barco para um observador fixo em 
uma das margens? 
 
39. Um elevador se move de baixo 
para cima com velocidade constante 
de 2,50m/s. Um parafuso no teto do 
elevador está frouxo e cai. 
Responda: 
a) Quanto tempo ele leva para atingir 
o piso do elevador? 
b) Qual é a velocidade do parafuso no 
momento em que ele atinge o piso do 
elevador para um observador dentro 
do elevador? 
c) Qual é a velocidade do parafuso no 
momento em que ele atinge o piso do 
elevador para um observador parado 
fora do elevador? 
d) Qual é a distância percorrida pelo 
parafuso entre o teto e o piso do 
elevador para um observador parado 
fora do elevador? 
 
40. Um rio de 200 m de largura corre 
com velocidade constante de 1,1 m/s 
em uma floresta, na direção leste. Um 
explorador deseja sair de uma 
pequena clareira na margem sul e 
atravessar o rio em um barco a motor 
que se move com uma velocidade 
escalar constante de 4,0 m/s em 
relação à água. Existe outra clareira 
na margem norte, 82 m rio acima do 
ponto de vista de um local da margem 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 9 
 
sul exatamente em frente à segunda 
clareira. Responda: 
a) Em que direção o barco deve ser 
apontado para viajar em linha reta e 
chegar à clareira da margem norte? 
b) Quanto tempo o barco leva para 
atravessar o rio e chegar à clareira? 
 
41. . Uma escada rolante liga o piso A 
ao piso B. Estando a escada parada 
em relação ao solo, um garoto vai de 
A até B em 60s, mantendo velocidade 
constante em relação à escada. 
 
 
 
Suponhamos agora que a escada 
esteja em movimento ascendente, com 
velocidade constante em relação 
ao solo; nestas condições o garoto 
parado em relação à escada, vai de A 
até B em 40s. Se o garoto subisse essa 
escada com velocidade em relação 
a ela, com a escada em movimento em 
relação ao solo, quanto tempo levaria 
para ir de A até B? 
 
42. Na figura abaixo, uma bola é 
lançada verticalmente para cima, a 
partir do solo, com uma velocidade 
inicial 𝒗𝟎 = 𝟕, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔. Ao mesmo 
tempo, um elevador de serviço 
começa a subir, a partir do solo com 
uma velocidade constante 𝒗𝒆 =
𝟑, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔. 
 
 
 
Responda: 
a) Qual é a altura máxima atingida 
pela bola em relação ao solo? E em 
relação ao piso do elevador? 
b) Qual é a taxa de variação da 
velocidade da bola em relação ao 
solo? E em relação ao piso do 
elevador? 
 
 Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0

v
1

v
0

v