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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS 2° LEI DE NEWTON MAIO DE 2017 2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS 2° LEI DE NEWTON ANTÔNIO EDUARDO DOS SANTOS GABRIELA FERNANDES COELHO ISABELLA DIAS CARVALHO OLIVEIRA LETÍCIA MENEZES BATISTA Trabalho realizado para obtenção de créditos para a terceira etapa do semestre na matéria de Equações Diferencias. Prof.: Patrícia Milagre de Freitas MAIO DE 2017 3 INTRUDUÇÃO Muitos problemas importantes da engenharia, da física, da biologia e das ciências sociais são formulados por equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida. Uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida é chamada equação diferencial. As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma �(�, �, ��) = 0 mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se reescrever na forma de uma ou mais equações: �� �� = �(�, �). Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial �(��) = �� é possível calcular a derivada �′ no ponto �� (igual à �(��, ��) segundo a equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva que passe pelo ponto (��, ��) e com derivada igual a �(��, ��) em cada ponto. O problema de valores iniciais �� �� = �(�, �) �(��, ��) consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (��, ��). 4 2° LEI DE NEWTON A segunda lei de Newton diz que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao somatório das forças que atuam sobre ele: � �� � = �� Para um corpo em queda livre, introduzindo um termo simples para levar em conta o atrito com o ar, � �� �� = �� − �� onde v é a velocidade do corpo, k o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade. Rearranjando a equação, obtemos � �� �� − �� = −�� � � �� �� − �� = −�� �� �� − � = − �� � �� �� + � � � = � �� + �� � = � �(�) = �∫ � � �� �(�) = � �� � Multiplicando � �� � . �� + � �� � . �� � = � . � �� � 5 �� �� � . �� � = � . � �� � Integrando � �� � . � = � � . � �� � �� � �� � . � = �� . � �� �� � � � � + � � �� � . � = �� � . � �� � + � � = � �� � . � �� � + �� . �� �� � ou seja, uma EDO linear de 1ª ordem cuja solução geral é: � = �� � + ��� �� � Exemplo: Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 s. Antes da abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é kspq = 5 kg s-1, depois é kcpq = 100 kg s-1 . 6 a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas? Já vimos a equação que descreve a queda livre, bem como a sua solução �� �� + ���� � � = � → � = �� ���� + ��� ���� � A constante de integração é determinada a partir da condição inicial, �(� = �) = � → � = − �� ���� A solução particular é então � = �� ���� − �� ���� . �� �� � � = �� ���� �� − � � � ���� � � (� < ���) Ao fim de 10 segundos, a velocidade alcançada pelo paraquedista é � = �� ���� � � − � � ������ � � � = � �� . �, �� � � + � �� . �, �� � � . �� � . �� �� � = ���, �� − ���, ���� � � � = ���, �� − ��, ��� � = ��, � �/� 7 b) Qual a distância percorrida em queda livre? Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do paraquedista varia com o tempo durante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorrida com relação ao tempo. Então: � = �� �� → � = � � �� + � = � �� ���� �� − �� ����� � � �� + � ou seja � = ��� ���� − � �� ���� . �� ����� � � / �− ���� � � + � � = ��� ���� + ��� . �� ����� � ���� � + � � = �� ���� � � + � . �� ����� � ���� � + � Aplicando a condição inicial � (� = �) = � � = �� ���� �� + ���� ���� � + � � = ��� ���� � + � � = − ��� ���� � A solução particular é então: � = �� ���� � � + � ���� �� � ���� � − ��� � = �� ���� �� + ��� ����� � ���� � − ��� ���� � 8 A distância percorrida após 10 segundos foi: � = ��� � = �� . �, �� � ��� + ���� �∗�� �� � � − ��� . �, �� �� � = ���, �� (�� + �, ����) − ����, �� � = ����, �� − ����, �� � = ����. Esperemos que o nosso homem tenha saltado do avião quando este se encontrava a uma altura superior a 392 m, do contrário terá se estatelado no chão antes de abrir o paraqueda. 9 Conclusão As equações diferenciais ordinárias possui inúmeras aplicações, e sem dúvida nenhuma, elas têm sido de grande importância para o desenvolvimento científico. Suas aplicações têm resolvido muitas das questões do cotidiano da população, além de ser uma ferramenta valiosa para a ciência e para a matemática. O presente trabalho apresenta a aplicação da equação diferencial ordinária de primeira ordem na Segunda Lei de Newton, ajudando no cálculo de velocidade, posição e movimento de um corpo em queda. Como resultado de tudo, temos em mãos um material que proporciona a qualquer estudante, um material para estudos e consulta, e uma base para pesquisas posteriores.
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