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Trabalho EDO (2)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° LEI DE NEWTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAIO DE 2017 
2 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS 
 
 
 
2° LEI DE NEWTON 
 
ANTÔNIO EDUARDO DOS SANTOS 
GABRIELA FERNANDES COELHO 
ISABELLA DIAS CARVALHO OLIVEIRA 
LETÍCIA MENEZES BATISTA 
 
 
Trabalho realizado para obtenção de 
créditos para a terceira etapa do 
semestre na matéria de Equações 
Diferencias. 
Prof.: Patrícia Milagre de Freitas 
 
 
 
 
MAIO DE 2017 
3 
 
INTRUDUÇÃO 
Muitos problemas importantes da engenharia, da física, da biologia e das ciências sociais são 
formulados por equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida. Uma equação que envolve 
derivadas de uma função desconhecida é chamada equação diferencial. 
As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma �(�, �, ��) = 0 mas 
geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se reescrever na forma de uma ou mais 
equações: 
��
�� 
= �(�, �). 
Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor 
inicial �(��) = �� é possível calcular a derivada �′ no ponto �� (igual à �(��, ��) segundo a 
equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva que passe pelo ponto (��, ��) e com 
derivada igual a �(��, ��) em cada ponto. O problema de valores iniciais 
��
��
= �(�, �) �(��, ��) 
consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (��, ��). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2° LEI DE NEWTON 
A segunda lei de Newton diz que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao 
somatório das forças que atuam sobre ele: 
� ��
�
= �� 
Para um corpo em queda livre, introduzindo um termo simples para levar em conta o atrito com o 
ar, 
�
��
��
= �� − �� 
 onde v é a velocidade do corpo, k o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade. 
Rearranjando a equação, obtemos 
�
��
��
− �� = −�� 
� �
��
��
− �� = −�� 
��
��
− � = −
��
�
 
��
��
+ 
�
�
� = � 
�� + 
��
�
= � 
�(�) = �∫
�
�
�� 
�(�) = �
��
� 
 
Multiplicando 
�
��
� . �� + �
��
� . 
��
�
= � . �
��
� 
5 
 
��
��
� . ��
�
= � . �
��
� 
Integrando 
�
��
� . � = � � . �
��
� �� 
�
��
� . � = 
�� . �
��
��
�
�
�
�
+ � 
�
��
� . � = 
��
�
 . �
��
� + � 
� = �
��
�
 . �
��
� + �� . ��
��
� 
ou seja, uma EDO linear de 1ª ordem cuja solução geral é: 
� = 
��
�
+ ���
��
� 
Exemplo: Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 s. Antes da 
abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é kspq = 5 kg s-1, depois é kcpq = 100 kg s-1 . 
 
 
6 
 
a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas? 
Já vimos a equação que descreve a queda livre, bem como a sua solução 
��
��
+ 
����
�
� = � → � = 
��
����
+ ���
����
� 
 A constante de integração é determinada a partir da condição inicial, 
�(� = �) = � → � = −
��
����
 
A solução particular é então 
� = 
��
����
− 
��
����
 . ��
��
� 
� = 
��
 ����
�� − �
�
�
����
� � (� < ���) 
Ao fim de 10 segundos, a velocidade alcançada pelo paraquedista é 
� = 
��
����
 � � − �
�
������
� � 
� = �
�� . �, ��
�
� + �
�� . �, ��
�
� . ��
� . ��
�� 
� = ���, �� − ���, ����
�
� 
� = ���, �� − ��, ��� 
� = ��, � �/� 
 
 
 
 
 
 
7 
 
b) Qual a distância percorrida em queda livre? 
Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do paraquedista varia com o tempo durante a 
queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorrida com relação ao 
tempo. Então: 
� = 
��
��
→ � = � � �� + � = �
��
����
 �� − ��
�����
� � �� + � 
ou seja 
� = 
���
����
− �
��
����
 . ��
�����
� � / �−
����
�
� + � 
� = 
���
����
+ 
��� . ��
�����
�
����
� + � 
� = 
��
����
 � � + 
� . ��
�����
�
����
 � + � 
 Aplicando a condição inicial 
� (� = �) = � 
� = 
��
����
�� + 
����
����
� + � 
� = 
���
����
� + � 
� = −
���
����
� 
A solução particular é então: 
� = 
��
����
 � � + 
�
����
 ��
�
����
� − ��� 
� =
��
����
 �� + 
���
�����
�
����
� −
���
����
�
 
8 
 
 
A distância percorrida após 10 segundos foi: 
� = ��� 
� = 
�� . �, ��
�
 ��� + 
����
�∗��
��
�
� − 
��� . �, ��
��
 
� = ���, �� (�� + �, ����) − ����, �� 
� = ����, �� − ����, �� 
� = ����. 
Esperemos que o nosso homem tenha saltado do avião quando este se encontrava a uma altura 
superior a 392 m, do contrário terá se estatelado no chão antes de abrir o paraqueda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Conclusão 
 As equações diferenciais ordinárias possui inúmeras aplicações, e sem dúvida nenhuma, elas têm 
sido de grande importância para o desenvolvimento científico. Suas aplicações têm resolvido muitas das 
questões do cotidiano da população, além de ser uma ferramenta valiosa para a ciência e para a matemática. 
 O presente trabalho apresenta a aplicação da equação diferencial ordinária de primeira ordem na 
Segunda Lei de Newton, ajudando no cálculo de velocidade, posição e movimento de um corpo em queda. 
 Como resultado de tudo, temos em mãos um material que proporciona a qualquer estudante, um 
material para estudos e consulta, e uma base para pesquisas posteriores.

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