Resolução - Halliday 4ª Ed

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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
4 Vetores 2
4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2
4.1.2 Somando vetores atrave´s das
suas componentes . . . . . . . . 2
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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4 Vetores
4.1 Problemas e Exercı´cios
4.1.1 Soma de vetores
P 3-6 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Um vetor � tem mo´dulo � unidades e esta´ dirigido para
leste. Um outro vetor, � , esta´ dirigido para � ��� a oeste
do norte e tem mo´dulo de � unidades. Construa diagra-
mas vetoriais para calcular �
	 � e ��� � . Estime o
mo´dulo e a orientac¸a˜o dos vetores �
	 � e ��� � a partir
desses diagramas.
� Para resolver este problema como o livro deseja,
necessita-se de papel milimetrado, re´gua e um transferi-
dor, para medir aˆngulos.
Irei resolver o problema usando sua representac¸a˜o
alge´brica. As componentes dos vetores � e � sa˜o
�����
���
�������
�
e
ff
���
�
� sen �
�
�
�
�flfi�ffi fi� 
�
ff
�!�
�#"%$�&��
�
�
�
��ffi'fi)(*ffi
O sinal de
ff
� e´ negativo pois para fazer a soma algebri-
camente, precisamos primeiro transladar o vetor � para
a origem do sistema de coordenadas. ´E claro que tal
translac¸a˜o na˜o e´ necessa´ria no processo gra´fico utiliza-
do para a soma. Entenda bem o que esta´ sendo feito, as
diferenc¸as entre os dois me´todos de obter a soma.
Portanto, para a soma + �,�-	 � temos
+
� ./�
�
	
ff
�
�
�
�
	
ff
�10
� .
�
�2fi�ffi'fi3 
�
�
	
�4ffi fi�(
065
.
fi�ffi7(
�
��ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
89�;: 8=<
�
	>8?<
�
�A@ .
fi�ffi'(
0
<B	,.
�4ffi �
0
<fl�
�4ffi'fi3C
5
�Dffi fi�ffi
O aˆngulo que a soma + faz com a horizontal e´
E3F
� arctan
8=�
8
�
� arctan
��ffi'fi)(
fi�ffi'(
�
�
�
ffi �
�
5
�
�
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor + esta´ direcionado de
um aˆngulo de � � � � � � � � � � a Oeste do Norte.
Para o vetor diferenc¸a G � �H� � temos
G
�I.
�flfi�ffi'fi3 J�
���
�4ffi fi�(
�
�
0K5
.
�9(�ffi �
�
�4ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
L
� :
L
<
�
	
L
<
�
�A@ .
�9(*ffi �
0
< 	�.
��ffi �
0
< ��M
ffi
�4N 5 M
ffi
O aˆngulo que a diferenc¸a G faz com a horizontal e´
E1O
� arctan
L
�
L
�
� arctan
�4ffi �
�9(*ffi �
�
fi1�Dffi �
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor G esta´ direcionado
de um aˆngulo de fi1�Dffi � � a Norte do Oeste. Ou ainda, a
 
�
�
�2fi1�4ffi �
�
�
C
�
ffi7(
�
a Oeste do Norte.
4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componen-
tes
P 3-29 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Uma estac¸a˜o de radar detecta um avia˜o que vem do Les-
te. No momento em que e´ observado pela primeira vez,
o avia˜o esta´ a � ��� m de distaˆncia, � � � acima do hori-
zonte, O avia˜o e´ acompanhado por mais N fi3� � no plano
vertical Leste-Oeste e esta´ a M C � m de distaˆncia quando
e´ observado pela u´ltima vez. Calcule o deslocamento da
aeronave durante o perı´odo de observac¸a˜o.
� Chamemos de P a origem do sistema de coordenadas,
de Q a posic¸a˜o inicial do avia˜o, e de R a sua posic¸a˜o fi-
nal. Portanto, o deslocamento procurado e´
��S
QflR
�
�DS
P�RA�
�)S
P�QTffi
Para �DSP�R temos, definindo
E
�UN
fi3�
�
	
�
�
�
�V 
�
�
�
(1�
�
,
que
�DS
P�R
� W
P�R
WX.
� sen
E9Y
	
"%$�&
E[Z
0
� ./M
C
�
0
.
� sen (1�
�
Y
	
"%$)&\(1�
�
Z
0
�
�
M
fi)fi�ffi ��fi
Y
	
fi
�
N
ffi ���
Z
Analogamente, para ��SP�Q temos
�)S
P�Q
� W
P�Q
WX.
"%$�&��
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
� .
�
���
0
.
"]$)&*�
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
�
�
�
C�ffi ��fi
Y
	
fi
�
(*ffi
N�N
Z
Portanto
��S
QflR
�
�DS
P�RA�
�)S
P�Q
� .
�
M
fi�fi�ffi �*fi^�_�
�
C�ffi ��fi
�
fi
�
N
ffi ���^�2fi
�
(*ffi
N�N
0
� .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
�
�
�
ffi C�(
0
�
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cuja magnitude e´
W
��S
QflR
W��I@ .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
0
< 	,.
�
�
ffi C*(
0
< � N�N
fi
M
ffi
M
�
�
5 N�N
�
� m ffi
O aˆngulo que o vetor ��SQ9R faz com a parte negativa do
eixo ` e´
arctan a
�
�
ffi C�(
�
N�N
fi
M
ffi
M
�cb
�,�
ffi
���
�
rad �d� ffi fi M
�
�
o que significa que o avia˜o voa quase que horizontal-
mente.
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Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
4 Movimento em duas e treˆs dimenso˜es 2
4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Ana´lise do Movimento de
Proje´teis . . . . . . . . . . . . 2
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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4 Movimento em duas e treˆs di-
menso˜es
4.1 Problemas e Exercı´cios
4.1.1 Ana´lise do Movimento de Proje´teis
P 4-37 (4-29/6 � edic¸a˜o)
Uma bola e´ jogada do solo para o ar. A uma altura de
�����
m a velocidade e´ �	��
 � ��
���������� em metros por se-
gundo (i horizontal, j vertical). (a) Qual a altura ma´xima
alcanc¸ada pela bola? (b) Qual sera´ a distaˆncia horizon-
tal alcanc¸ada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola
(mo´dulo e direc¸a˜o), no instante em que bate no solo?
� (a) Chame de � o tempo necessa´rio para a bola atingir
a velocidade dada. Neste caso teremos
���fiff
�ffifl��
�����
�
�! #"�$&%
��'
()ff
�ffifl��
�����
�
�
 
"
�
$+*
,
%
�
,
Eliminando � " entre estas duas equac¸o˜es obtemos
-
� �
�
,
�.�����
�
$
�����
�0/�'
cujas raı´zes sa˜o �1��/ � 2 
�34
 e �1� $65 ��� 5 / � . Substituin-
do a raiz positiva na expressa˜o
�! #"
�
�����7�.��� 2
�
encontramos que � " � �
-
� �82:9;�
-
�
 m/s. Portanto a
bola ira´ atingir uma altura ma´xima de
(8<
�
�
,
 "
5=%
�
ff
�
-
�
�fl
,
5�ff
��� 2
fl
�
�8�
m
�
(b) Como a componente horizontal da velocidade e´ sem-
pre a mesma, temos
>
�
� �?A@
5!� "
%CB
�
ff
� �
fl
5�ff
�
-
�
8fl
��� 2 �
585
� 2D9
5�E m
�
(c) O mo´dulo da velocidade e´
�
� F
�
,
 �?
�
�
,
 
"
� G
ff
� �
fl
,
�ff
�
-
�
�fl
,
�
�H���
3
9I�
 m/s �
O aˆngulo que � faz com a horizontal e´
J
� tan K * @
�8Lffi"
�
 �?
B
� tan
K
*
@
�
-
�
� �
B
�
�
5
� �4�
L
90�
E
L
'
ou seja, esta´ orientada � E
L
abaixo da horizontal.
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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas
professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova.
Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o.
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
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Contents
5 Forc¸as e Movimento – I 2
5.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
5.2.1 Segunda Lei de Newton . . . . 2
5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas . . 2
5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton . 3
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5 Forc¸as e Movimento – I
5.1 Questo˜es
Q 5-??
Cite bla-bla-bla...
�
5.2 Problemas e Exercı´cios
5.2.1 Segunda Lei de Newton
E 5-7 (5-7/6 � edic¸a˜o)
Na caixa de � kg da Fig. 5-36, sa˜o aplicadas duas
forc¸as, mas somente uma e´ mostrada. A acelerac¸a˜o da
caixa tambe´m e´ mostrada na figura. Determine a se-
gunda forc¸a (a) em notac¸a˜o de vetores unita´rios e (b)
em mo´dulo e sentido.
� (a) Chamemos as duas forc¸as de ��� e ��� . De acordo
com a segunda lei de Newton, ���
	����
����� , de modo
que �������������
� . Na notac¸a˜o de vetores unita´rios
temos ���������ff� e
�fi�fl��ffi � sen !��#"
�
�$ffi �&%('#)*!��#",+��fl��-.�/��ffi0�21 34+�1
Portanto
���5� 67�98(6:��-#8*�;	�6<��8=6:��ffi0�21 3>8(+��?�@�.�
� AB��!#�&�/�C�;ffi9+=D N 1
(b) O mo´dulo de ��� e´ dado por
E
���GF
E
�
�IH
	
E
�
�IJ
�GK 6:��!9�98
�
	L6:�
�;ffi,8
�
�L!�M N 1
O aˆngulo que ��� faz com o eixo N positivo e´ dado por
tan OP�
E
�IJ
E
�IH
�
�
�;ffi
��!#�
���21 -#Q@-;1
O aˆngulo e´ ou !�!
"
ou !�!
"
	Rffi0M9�
"
�L�;ffi0!
"
. Como ambas
componentes
E
�SH e
E
�IJ sa˜o negativas, o valor correto e´
�*ffi,!
"
.
5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas
E 5-11 (5-???/6 � )
Quais sa˜o a massa e o peso de (a) um treno´ de -�!9� kg e
(b) de uma bomba te´rmica de 3#�;ffi kg?
� (a) A massa e´ igual a -9!�� kg, enquanto que o peso e´
T
�U�WVX�Y6Z-�!9�98=6Z[;1 M98&�L-;ffi]\ 3 N.
(b) A massa e´ igual a 3#�;ffi kg, enquanto que o peso e´
T
�U�WVX�Y6^3#�;ffi,8=6Z[;1 M98&��32ffi ��Q*1 M N.
E 5-14 (5-11/6 � )
Uma determinada partı´cula tem peso de ��� N num ponto
onde V_�`[21 M m/s � . (a) Quais sa˜o o peso e a massa
da partı´cula, se ela for para um ponto do espac¸o onde
Va�b321 [ m/s � ? (b) Quais sa˜o o peso e a massa da
partı´cula, se ela for deslocada para um ponto do espac¸o
onde a acelerac¸a˜o de queda livre seja nula?
� (a) A massa e´
�c�
T
V
�
�9�
[;1 M
���;1 � kg 1
Num local onde V��d321 [ m/s � a massa continuara´ a ser
�;1 � kg, mas o peso passara´ a ser a metade:
T
�e�WVX�d6<�*1f��8=6^321 [98ff�dffi�ffi N 1
(b) Num local onde Vg��� m/s � a massa continuara´ a ser
�;1 � kg, mas o peso sera´ ZERO.
E 5-18 (5-9/6 � )
(a) Um salame de ffi�ffi kg esta´ preso por uma corda a uma
balanc¸a de mola, que esta´ presa ao teto por outra corda
(Fig. 5-43a). Qual a leitura da balanc¸a? (b) Na Fig. 5-
43b, o salame esta´ suspenso por uma corda que passa
por uma roldana e se prende a uma balanc¸a de mola
que, por sua vez, esta´ presa a` parede por outra corda.
Qual a leitura na balanc¸a? (c) Na Fig. 5-43c, a parede
foi substituı´da por outro salame de ffi�ffi kg, a` esquerda, e
o conjunto ficou equilibrado. Qual a leitura na balanc¸a
agora?
Em todos os treˆs casos a balanc¸a na˜o esta´ acelerando, o
que significa que as duas cordas exercem forc¸a de igual
magnitude sobre ela. A balanc¸a mostra a magnitude de
qualquer uma das duas forc¸as a ela ligadas. Em cada
uma das situac¸o˜es a tensa˜o na corda ligada ao salame
tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame
pois o salame na˜o esta´ acelerando. Portanto a leitura da
balanc¸a e´ �fiV , onde � e´ a massa do salame. Seu valor e´
T
�G6:ffi9ffi,8=6ZM;1 [98&�Yffi0�9M N 1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton
P 5-21 (5-19/6 � )
Um foguete experimental pode partir do repouso e
alcanc¸ar a velocidade de ffi,-���� km/h em ffi�1 M s, com
acelerac¸a˜o constante. Qual a intensidade da forc¸a me´dia
necessa´ria, se a massa do foguete e´ Q@�9� kg?
� Basta usarmos
E
�c��� , onde
E
e´ a magnitude da
forc¸a, � a acelerac¸a˜o, e � a massa do foguete.
A acelerac¸a˜o e´ obtida usando-se uma relac¸a˜o simples da
cinema´tica, a saber, ����� � . Para ��� ffi,-���� km/h �
ffi0-9�����]!;1 - ��3�393 m/s, temos que � ��393�3��>ffi�1 M � �]3*\
m/s � . Com isto a forc¸a me´dia e´ dada por
E
�e���X�Y6<Q@���#8(6<�]3>\�8 �Yffi�1f�
	 ffi,��� N 1
E 5-23 (5-??/6 � )
Se um neˆutron livre e´ capturado por um nu´cleo, ele pode
ser parado no interior do nu´cleo por uma forc¸a forte.
Esta forc¸a forte, que mante´m o nu´cleo coeso, e´ nula fora
do nu´cleo. Suponha que um neˆutron livre com veloci-
dade inicial de ffi�1 3
	�ffi,��� m/s acaba de ser capturado
por um nu´cleo com diaˆmetro � � ffi,��� ��� m. Admitindo
que a forc¸a sobre o neˆutron e´ constante, determine sua
intensidade. A massa do neˆutron e´ ffi�1 -#\�	 ffi,��� � � kg.
� A magnitude da forc¸a e´ E � ��� , onde � e´ a
acelerac¸a˜o do neˆutron. Para determinar a acelerac¸a˜o que
faz o neˆutron parar ao percorrer uma distaˆncia � , usamos
�
�
���
�
�
	$�����/1
Desta equac¸a˜o obtemos sem problemas
�g�
�
�
���
�
�
���
�
� 6:ffi�1 3ff	 ffi,���=8
�
�;6 ffi0�
�
�fi�
8
�fl��[21 Mff	 ffi0�
�
� m/s � 1
A magnitude da forc¸a e´
E
�U���g�G6:ffi�1 -#\�	 ffi0�
�
�
�
8(67[;1 Mfl	 ffi,�
�
�
8ff�Yffi0-;1 3 N 1
E 5-28 (5-15/6 � )
Veja a Fig. 5-27. Vamos considerar a massa do bloco
igual a M;1fQ kg e o aˆngulo OL� !9�
"
. Determine (a) a
tensa˜o na corda e (b) a forc¸a normal aplicada sobre o
bloco. (c) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco
se a corda for cortada.
� (a) O diagrama de corpo isolado e´ mostrado na Fig. 5-
27 do livro texto. Como a acelerac¸a˜o do bloco e´ zero, a
segunda lei de Newton fornece-nos
ffi
� �fiV sen O � �
�
� �fiV %('9);O � �;1
A primeira destas equac¸o˜es nos permite encontrar a
tensa˜o na corda:
ffi
���fiV sen O �Y6ZM21 Q98(6Z[21 M#8 sen !��#"���3#� N 1
(b) A segunda das equac¸o˜es acima fornece-nos a forc¸a
normal:
�
�e�WV %='9)*OP�Y6ZM;1fQ�8=6Z[21 M#8*%('#)*!��9"��_\@� N 1
(c) Quando a corda e´ cortada ela deixa de fazer forc¸a
sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente N da
segunda lei de Newton fica sendo agora ���fiV sen OC�
��� , de modo que
�g�d��� sen O �Y� 6Z[;1 M98 sen !9�#" �Y��321 [ m/s � 1
O sinal negativo indica que a acelerac¸a˜o e´ plano abaixo.
E 5-33 (5-???/6 � )
Um ele´tron e´ lanc¸ado horizontalmente com velocidade
de ffi91 � 	dffi,��� m/s no interior de um campo ele´trico,
que exerce sobre ele uma forc¸a vertical constante de
3/1 Q!	?ffi,���
��" N. A massa do ele´tron e´ [;1 ffi�ffi#	?ffi,���%$ � kg.
Determine a distaˆncia vertical de deflexa˜o do ele´tron, no
intervalo de tempo em que ele percorre !��mm, horizon-
talmente.
� A acelerac¸a˜o do ele´tron e´ vertical e, para todos
efeitos, a u´nica forc¸a que nele atua e´ a forc¸a ele´trica;
a forc¸a gravitacional e´ totalmente desprezı´vel frente a`
forc¸a ele´trica. Escolha o eixo N no sentido da velocidade
inicial e o eixo & no sentido da forc¸a ele´trica. A origem
e´ escolhida como sendo a posic¸a˜o inicial do ele´tron.
Como a acelerac¸a˜o e forc¸a sa˜o constantes, as equac¸o˜es
cinema´ticas sa˜o
N��'�
�
�
e &X�
�
�
�
�
�
�
�
�
E
�
�
��(
onde usamos E � ��� para eliminar a acelerac¸a˜o. O
tempo que o ele´tron com velocidade � � leva para viajar
uma distaˆncia horizontal de N$� !9� mm e´ � � N)�*� � e
sua deflexa˜o na direc¸a˜o da forc¸a e´
& �
�
�
E
�
+
N
�
��,
�
�
�
�
+
3/1 Q
	 ffi0�-�
�."
[21 ffi9ffi/	 ffi0�
�%$
�
,
+
!��ff	 ffi0�-�%$
ffi�1f�
	 ffi,�
�
,
�
� ffi�1fQ!	 ffi,�
�%$ m �L�;1 ���;ffi Q mm 1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
´E jogando ele´trons contra um tubo de imagens que sua
TV funciona... Isto sera´ estudado nos capı´tulos 23 e 24
do livro.
P 5-38 (5-29/6 � )
Uma esfera de massa ! 	 ffi0��� � kg esta´ suspensa por uma
corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera
de maneira que ela fac¸a um aˆngulo de !#\
"
com a verti-
cal de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade
da forc¸a aplicada e (b) a tensa˜o na corda.
� (a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da
direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado
para a esfera tem treˆs forc¸as: a tensa˜o
ffi
na corda, apon-
tando para cima e para a direita e fazendo um aˆngulo
O
�
!>\
"
com a vertical, o peso �WV apontando verti-
calmente para baixo, e a forc¸a E da brisa, apontando
horizontalmente para a esquerda.
Como a esfera na˜o esta´ acelerada, a forc¸a resultante deve
ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as com-
ponentes horizontais e verticais das forc¸as satisfazem as
relac¸o˜es, respectivamente,
ffi
sen O��
E
� �
(
ffi
%('#)*O�� �fiV � �;1
Eliminando
ffi
entre estas duas equac¸o˜es obtemos
E
�U�WV tan O � 6Z!ff	 ffi0� � � 8(6Z[21 M#8 tan !>\@"
� �;1 �;ffi/	 ffi0�
�%$ N 1
(b) A tensa˜o pedida e´
ffi
�
�fiV
%('9);O
�
6Z! 	 ffi,���
�
8(6Z[21 M#8
%('9)2!#\
"
�e!21 -9M
	 ffi0�
�%$ N 1
Perceba que talvez fosse mais simples ter-se primeiro
determinado
ffi
e, a seguir,
E
, na ordem contra´ria do que
pede o problema.
P 5-39 (5-??/6 � )
Uma moc¸a de 39� kg e um treno´ de M;1 3 kg esta˜o sobre
a superfı´cie de um lago gelado, separados por ffi,Q m. A
moc¸a aplica sobre o treno´ uma forc¸a horizontal de Q;1 �
N, puxando-o por uma corda, em sua direc¸a˜o. (a) Qual a
acelerac¸a˜o do treno´? (b) Qual a acelerac¸a˜o da moc¸a? (c)
A que distaˆncia, em relac¸a˜o a` posic¸a˜o inicial da moc¸a,
eles se juntam, supondo nulas as forc¸as de atrito?
� (a) Como o atrito e´ desprezı´vel, a forc¸a da moc¸a no
treno´ e´ a u´nica forc¸a horizontal que existe no treno´. As
forc¸as verticais, a forc¸a da gravidade e a forc¸a normal
do gelo, anulam-se.
A acelerac¸a˜o do treno´ e´
��� �
E
� �
�
Q;1 �
M21 3
�L�;1 -9� m/s � 1
(b) De acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a do
treno´ na moc¸a tambe´m e´ de Q*1f� N. A acelerac¸a˜o da moc¸a
e´, portanto,
��� �
E
� �
�
Q*1f�
3#�
���21 ffi,! m/s � 1
(c) A acelerac¸a˜o do treno´ e da moc¸a tem sentidos opos-
tos. Suponhamos que a moc¸a parta da origem e mova-se
na direc¸a˜o positiva do eixo N . Sua coordenada e´
N � �
�
�
� �
�
�
1
O treno´ parte de N �YN � � ffi Q m e move-se no sentido
negativo de N . Sua coordenada e´ dada por
N
�
�eN
�
�
�
�
�
�
�
�
1
Eles se encontram quando N�� ��N � , ou seja quando
�
�
�
�
�
�
�eN
�
�
�
�
���
�
�
(
donde tiramos facilmente o instante do encontro:
�
�
�
�]N
�
�
�
	 ���
(
quando enta˜o a moc¸a tera´ andado uma distaˆncia
N	�fl�
�
�
���
�
�
�
N
�
���
�
�
	 ���
�
6:ffi,Q98(67�;1 ffi0!98
�;1 ffi0!�	 �;1 -9�
�L�;1 - m 1
P 5-40 (5-31/6 � )
Dois blocos esta˜o em contato sobre uma mesa sem
atrito. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada a um dos blo-
cos, como mostrado na Fig. 5-45. (a) Se � �
� �;1 ! kg e
���
�flffi91 � kg e
E
��!21 � N, determine a forc¸a de contato
entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forc¸a
E
for aplicada a � � , ao inve´s de � � , a forc¸a de contato
entre os dois blocos e´ �;1 ffi N, que na˜o e´ o mesmo valor
obtido em (a). Explique a diferenc¸a.
� (a) O diagrama de corpo isolado para a massa � � tem
quatro forc¸as: na vertical, � �IV e
�
� , na horizontal, para
a direita a forc¸a aplicada E e, para a esquerda, a forc¸a
de contato ��
 que ��� exerce sobre � � . O diagrama de
corpo isolado para a massa � � conte´m treˆs forc¸as: na
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
vertical, ��� V e
�
� e, na horizontal, apontando para a
direita, a forc¸a 
 . Note que o par de forc¸as ��
 e 
 e´ um
par ac¸a˜o-reac¸a˜o, conforme a terceira lei de Newton.
A segunda lei de Newton aplicada para � � fornece
E
� 
��e� � �
(
onde � e´ a acelerac¸a˜o. A segunda lei de Newton apli-
cada para ��� fornece
��e��� �41
Observe que como os blocos movem-se juntos com a
mesma acelerac¸a˜o, podemos usar o mesmo sı´mbolo �
em ambas equac¸o˜es.
Da segunda equac¸a˜o obtemos � � 
 � � � que substitu-
ida na primeira equac¸a˜o dos fornece 
 :
��
E
���
�
�
	R�
�
�
6Z!21 �98(6 ffi�1f��8
�*1 !�	effi91 �
�dffi91 ffi N 1
(b) Se � for aplicada em ��� em vez de � � , a forc¸a de
contato e´
��
E
� �
�
�
	R�
�
�
6Z!21 �98(6<�*1 !98
�*1 !�	effi91 �
�L�;1 ffi N 1
A acelerac¸a˜o dos blocos e´ a mesma nos dois casos.
Como a forc¸a de contato e´ a u´nica forc¸a aplicada a
um dos blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco
a mesma acelerac¸a˜o que ao bloco ao qual � e´ aplicada.
No segundo caso a forc¸a de contato acelera um bloco
com maior massa do que no primeiro, de modo que deve
ser maior.
P 5-44 (5-33/6 � )
Um elevador e sua carga, juntos, teˆm massa de ffi,-���� kg.
Determine a tensa˜o no cabo de sustentac¸a˜o quando o el-
evador, inicialmente descendo a ffi,� m/s, e´ parado numa
distaˆncia de 3>� m com acelerac¸a˜o constante.
� O diagrama de corpo isolado tem duas forc¸as: para
cima, a tensa˜o
ffi
no cabo e, para baixo, a forc¸a �WV da
gravidade. Se escolhermos o sentido para cima como
positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que ffi ���WVg�
��� , onde � e´ a acelerac¸a˜o. Portanto, a tensa˜o e´
ffi
�e�C6 V�	 �*8 1
Para determinar a acelerac¸a˜o que aparece nesta equac¸a˜o
usamos a relac¸a˜o
�
�
� �
�
�
	$��� &
(
onde a velocidade final e´ � � � , a velocidade inicial e´
�
�
� ��ffi � e &_� ��3#� , a coordenada do ponto final.
Com isto, encontramos
�X�
� �
�
�
��&
�
� 6 ��ffi,�98
�
�;6:��3>��8
�
ffi �
\
�dffi91f\*ffi m/s � 1
Este resultado permite-nos determinar a tensa˜o:
ffi
�e�C6 V�	 �*8ff�Y6 ffi0-9���98
�
[21 M�	�ffi�1 \>ffi����Yffi�1 M!	 ffi,�
� N 1
P 5-52 (5-35/6 � )
Uma pessoa de M9� kg salta de pa´ra-quedas e experimenta
uma acelerac¸a˜o, para baixo, de �;1 Q m/s � . O pa´ra-quedas
tem Q kg de massa. (a) Qual a forc¸a exercida, para cima,
pelo ar sobre o pa´ra-quedas? (b) Qual a forc¸a exercida,
para baixo, pela pessoa sobre o pa´ra-quedas?
� (a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+pa´ra-
quedas conte´m duas forc¸as: verticalmente para cima a
forc¸a
E
�
do ar, e para baixo a forc¸a gravitacionalde um
objeto de massa � �Y67M��&	�Q�8&�LM9Q kg, correspondente
a`s massas da pessoa e do pa´ra-quedas.
Considerando o sentido para baixo como positivo, A se-
gunda lei de Newton diz-nos que
�WV �
E
�
�U���
(
onde � e´ a acelerac¸a˜o de queda. Portanto,
E
�
�U�C6 Vg� �*8ff�G6ZM#Q�8(67[;1 M��C�;1 Q98 �L-9��� N 1
(b) Consideremos agora o diagrama de corpo isolado
apenas para o pa´ra-quedas. Para cima temos E
�
, e para
baixo temos a forc¸a gravitacional sobre o pa´ra-quedas
de massa ��� . Ale´m dela, para baixo atua tambe´m a
forc¸a
E
� , da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos
enta˜o que � � V�	
E
�
�
E
�
�e�
�
� , donde tiramos
E
�
�e�
�
6 �P� V;8 	
E
�
� 6<Q�8=67�*1fQ�� [21 M#8 	R-#�@�
� Q�M�� N 1
P 5-55 (5-???/6 � )
Imagine um mo´dulo de aterrisagem se aproximando da
superfı´cie de Callisto, uma das luas de Ju´piter. Se o
motor fornece uma forc¸a para cima (empuxo) de !9��-��
N, o mo´dulo desce com velocidade constante; se o mo-
tor fornece apenas ���@�9� N, o mo´dulo desce com uma
acelerac¸a˜o de �21 !9[ m/s � . (a) Qual o peso do mo´dulo de
aterrisagem nas proximidades da superfı´cie de Callisto?
(b) Qual a massa do mo´dulo? (c) Qual a acelerac¸a˜o em
queda livre, pro´xima a` superfı´cie de Callisto?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
� Chamemos de V a acelerac¸a˜o da gravidade perto da
superfı´cie de Callisto, de � a massa do mo´dulo de ater-
risagem, de � a acelerac¸a˜o do mo´dulo de aterrisagem,
e de E o empuxo (a forc¸a para cima). Consideremos
o sentido para baixo como o sentido positivo. Enta˜o
�WV��
E
�`��� . Se o empuxo for
E
� �`!#�@-9� N, a
acelerac¸a˜o e´ zero, donde vemos que
�fiV �
E
���e�21
Se o empuxo for E �����9�@��� N, a acelerac¸a˜o e´ �*� � �21 !9[
m/s � , e temos
�WV �
E
� ����� � 1
(a) A primeira equac¸a˜o fornece o peso do mo´dulo de
aterrisagem:
T
���fiVg�
E
����!#�@-�� N 1
(b) A segunda equac¸a˜o fornece a massa:
�c�
T
�
E
�
�
�
�
!#�@-����?���@�9�
�;1 !�[
� �*1 \�	 ffi,�
$ kg 1
(c) O peso dividido pela massa fornece a acelerac¸a˜o da
gravidade no local, ou seja,
VX�
T
�
�
!#�@-��
�*1 \
	 ffi0�
$
�Yffi�1f� m/s � 1
P 5-57 (5-41/6 � )
Uma corrente formada por cinco elos, com massa de
�;1 ffi0� kg cada um, e´ levantada verticalmente com uma
acelerac¸a˜o constante de �*1fQ@� m/s � , como mostrado na
Fig. 5-51. Determine (a) as forc¸as que atuam entre elos
adjacentes, (b) a forc¸a � exercida sobre o elo superior
pela pessoa que levanta a corrente e (c) a forc¸a resul-
tante que acelera cada elo.
� (a) Enumere os elos de baixo para cima. As forc¸as
atuando no elo bem de baixo sa˜o a forc¸a da gravidade
�WV , para baixo, e a forc¸a E � � do elo 2 sobre o elo 1,
para cima. Suponha a direc¸a˜o “para cima” como sendo
positiva.
Aplicada ao elo 1, a segunda Lei de Newton fornece
E
� �
� �WVg�e��� . Portanto
E
� ���U�C6 V 	 �*8ff�G6Z�21 ffi,�98(67[;1 M�	 �;1 Q98 �Yffi�1f�@! N 1
As forc¸as atuando no elo 2 sa˜o: a forc¸a �fiV da gravidade,
para baixo, a forc¸a E � � para baixo (do elo 1 sobre o elo
2), e a forc¸a E
$
� do elo 3, para cima. A segunda Lei de
Newton para o segundo elo e´ E
$
���
E
�:���R�WV � ��� ,
de modo que
E
$
�5� � 6^V�	 �*8 	
E
�:�
� 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M�	$�*1fQ�8 	�ffi�1f�@! �L�;1 3#- N 1
Para o elo 3 temos
E
�
$
�
E
�
$
� �WVg�e��� , ou seja,
E
�
$
� � 6^V�	 �*8 	
E
�
$
� 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M�	$�*1fQ�8 	$�*1 39- ��!21 -9[ N (
onde usamos E �
$
�
E
$
� .
Para o elo 4 temos
E
�
� �
E
$
� � �WVg�e��� , ou seja,
E
�
� � � 6^V�	 �*8 	
E
$
�
� 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M�	$�*1fQ�8 	 !;1 -�[ �e3/1 [#� N (
onde usamos E
$
���
E
�
$
.
(b) Para o elo do topo temos E � E �
�
�C�fiVW�_��� , ou
seja,
E
� � 6^V�	 �>8 	
E
�
�
� 6Z�21 ffi 8(6Z[21 M�	$�*1fQ�8 	R321 [9���e-21 ffi Q N (
onde usamos E �
�
�
E
�
� .
(c) Cada elo tem a mesma massa e a mesma acelerac¸a˜o,
de modo que a forc¸a resultante em cada um deles e´
E
res �����X�d6Z�21 ffi 8(6<�*1fQ�8ff�e�21 �9Q N 1
P 5-58 (5-43/6 � )
Um bloco de massa � � � !;1 \ kg esta´ sobre um plano
com !��
"
de inclinac¸a˜o, sem atrito, preso por uma corda
que passa por uma polia, de massa e atrito desprezı´veis,
e tem na outra extremidade um segundo bloco de massa
�
�
� �;1 ! kg, pendurado verticalmente (Fig. 5-52).
Quais sa˜o (a) os mo´dulos das acelerac¸o˜es de cada bloco
e (b) o sentido da acelerac¸a˜o de � � ? (c) Qual a tensa˜o
na corda?
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
� (a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado
para cada um dos blocos.
Para ��� , apontando para cima temos a magnitude ffi da
tensa˜o na corda, e apontando para baixo o peso � �(V .
Para ��� , temos treˆs forc¸as: (i) a tensa˜o ffi apontando
para cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
�
perpendicular ao plano inclinado e apontando para
cima e para a esquerda, e (iii) a forc¸a peso � �IV , apon-
tando para baixo, fazendo um aˆngulo O$� !��
"
com o
prolongamento da normal.
Para � � , escolhemos o eixo N paralelo ao plano incli-
nado e apontando para cima, e o eixo & na direc¸a˜o da
normal ao plano. Para � � , escolhemos o eixo & apon-
tando para baixo. Com estas escolhas, a acelerac¸a˜o dos
dois blocos pode ser representada pela mesma letra � .
As componentes N e & da segunda lei de Newton para
� � sa˜o, respectivamente,
ffi
� � � V sen O � � � �
(
�
� � �IV %='9)*O � �;1
A segunda lei de Newton para � � fornece-nos
� � V �
ffi
�e� � �41
Substituindo-se ffi � � � � 	�� � V sen O (obtida da
primeira equac¸a˜o acima), nesta u´ltima equac¸a˜o, obte-
mos a acelerac¸a˜o:
� �
6Z��� � � � sen O98 V
���ff	R���
�
A �*1 !�� !21f\ sen !9�
"
D 6Z[21 M#8
!;1 \�	 �;1 !
���21f\@!9Q m/s � 1
(b) O valor de � acima e´ positivo, indicando que a
acelerac¸a˜o de � � aponta para cima do plano inclinado,
enquanto que a acelerac¸a˜o de � � aponta para baixo.
(c) A tensa˜o ffi na corda pode ser obtida ou de
ffi
� �
�
��	R�
�
V sen O
� 6Z!21f\�8(A �;1 \]!9Q 	 [;1 M sen !�� " D
� �@�;1 M@3 N (
ou, ainda, da outra equac¸a˜o:
ffi
� �
�
V�	R�
�
�
� 6<�*1 !98(A [;1 M��C�;1 \]!9Q]D/���@�21 M�3 N 1
P 5-60 (5-45/6 � )
Um bloco e´ lanc¸ado para cima sobre um plano incli-
nado sem atrito, com velocidade inicial � � . O aˆngulo de
inclinac¸a˜o e´ O . (a) Que distaˆncia ao longo do plano ele
alcanc¸a? (b) Quanto tempo leva para chegar ate´ la´? (c)
Qual sua velocidade, quando retorna e chega embaixo?
Calcule numericamente as respostas para OG� !#�
"
e
�
�
�L!;1fQ m/s.
� O diagrama de corpo isolado conte´m duas forc¸as: a
forc¸a N normal a` superfı´cie, e o peso �WV , para baixo.
Escolha o eixo N paralelo ao plano e apontando para
baixo, na direc¸a˜o da acelerac¸a˜o, e o eixo & na direc¸a˜o da
forc¸a normal. A componente N da segunda lei de New-
ton nos diz que
�WV sen OP�e���
(
de modo que a acelerac¸a˜o e´ �P�eV sen O .
(a) Escolha a origem embaixo, no ponto de partida. As
equac¸o˜es cinema´ticas para o movimento ao longo do
eixo N sa˜o Ne� � � � 	 � � � ��� e � � � � 	 � � . O bloco
para quando �C� � . A segunda equac¸a˜o nos diz que a
parada ocorre para � �G� � � ��� . A coordenada em que o
corpo para e´
N � �
�
+
� �
�
�
,
	
�
�
�
�
� �
�
�
,
�
� �
�
�
�
�
�
�
�d�
�
�
�
�
�
V sen O
� �
�
�
�
6 ��!;1fQ�8
�
[;1 M sen !#�
"��
�d��ffi91 ffi,M m 1
(b) O tempo decorrido ate´ parar e´
�
�Y�
�
�
�
�Y�
�
�
V sen O
�Y�
��!21 Q
[;1 M sen !#�
"
�e�21 ->\ 3 s 1
(c) Primeiro coloque N���� na equac¸a˜o NW� � � � 	 � � � ���
e resolva-a para � . O resultado e´
�
�Y�
�*�
�
�
�Y�
���
�
V sen O
�fl�
�26:��!;1fQ�8
[;1 M sen !#�
"
�Yffi�1 !9Q s 1
Neste instante a velocidade e´
�X���
�
	 �
�
� �
�
	 �
�
���
�
�
���
�
�?�*�
�
�Y� �
�
(
como era de esperar-se pois na˜o existe dissipac¸a˜o no
problema.
� NOTA: no capı´tulo 8 iremos aprender a resolver
este problema de um modo bem mais fa´cil, usando
conservac¸a˜o da energia. Chamando de � a altura que
o bloco sobe, temos
�
�
���
�
�e�WV�� 1
Portanto o mo´dulo da distaˆncia N ao longo do plano
pode ser facilmente extraida da relac¸a˜o trigonome´trica
N sen OP��� , ou seja,
N��
�
�
� V sen O
(
que coincide com o mo´dulo do valor anteriormente cal-
culado.
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
P 5-63 (5-47/6 � )
Um macaco de ffi,� kg sobe por uma corda de massa de-
sprezı´vel, que passa sobre o galho de uma a´rvore, sem
atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de ffi Q
kg, que esta´ no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o mo´dulo da
acelerac¸a˜o mı´nima que o macaco deve ter para levantar
a caixa do solo? Se, apo´s levantar a caixa, o macaco
parar de subir e ficar agarrado a` corda, quais sa˜o (b) sua
acelerac¸a˜o e (c) a tensa˜o na corda?
� (a) Consideremos “para cima” como sendo os senti-
dos positivos tanto para o macaco quanto para a caixa.
Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo com
uma forc¸a de magnitude
E
. De acordo com a terceira lei
de Newton, a corda puxa o macaco com uma forc¸a de
mesma magnitude, de modo que a segunda lei de New-
ton aplicada ao macaco fornece-nos
E
� �
�
VX�e�
�
�
�
(
onde � � e � � representam a massa e a acelerac¸a˜o do
macaco, respectivamente. Como a corda tem massa de-
sprezı´vel, a tensa˜o na corda e´ o pro´prio E .
A corda puxa a caixa para cima com uma forc¸a de mag-
nitude E , de modo que a segunda lei de Newton aplicada
a` caixa e´
E
	
�
� ���,V �U����� �
(
onde ��� e � � representam a massa e a acelerac¸a˜o da
caixa, respectivamente, e
�
e´ a forc¸a normal exercida
pelo solo sobre a caixa.
Suponhamos agora que E � E ����� , onde E ����� e´ a
forc¸a mı´nima para levantar a caixa. Enta˜o
�
� � e
� �fi� � , pois a caixa apenas ‘descola’ do cha˜o, sem ter
ainda comec¸ado a acelerar. Substituindo-se estes val-
ores na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que
E
� �
�
V que, quando substituida na segunda lei de
Newton para o macaco (primeira equac¸a˜o acima), nos
permite obter a acelerac¸a˜o sem problemas:
�
�
�
E
� �
�
V
� �
�
6Z�
�
� �
�
8 V
� �
�
6 ffi,Q���ffi0�98=6Z[21 M#8
ffi,�
�e321 [ m/s � 1
(b) Para a caixa e para o macaco, a segunda lei de New-
ton sa˜o, respectivamente,
E
� ���,V � � ��� �
(
E
� � ��V � � �/��� 1
Agora a acelerac¸a˜o do pacote e´ para baixo e a do macaco
para cima, de modo que � � �d� � � . A primeira equac¸a˜o
nos fornece
E
�U���;6 V�	 � �@8ff�����*6^VP� ����8
(
que quando substituida na segunda equac¸a˜o acima nos
permite obter � � :
��� �
6Z� ��� � ��8 V
� � � � �
�
6 ffi,Q��$ffi,�98 V
ffi,Q�	�ffi0�
�L� m/s � 1
(c) Da segunda lei ne Newton para a caixa podemos
obter que
E
�U���26 V � ����8ff�G6:ffi Q�8=6Z[;1 M��C�;1 �#8ff�flffi �@� N 1
P 5-67 (5-49/6 � )
Um bloco de Q kg e´ puxado sobre uma superfı´cie hori-
zontal, sem atrito, por uma corda que exerce uma forc¸a
E
� ffi,� N, fazendo um aˆngulo O�� ��Q
"
com a hori-
zontal, conforme a Fig. 5-57. (a) Qual a acelerac¸a˜o do
bloco? (b) A forc¸a E e´ lentamente aumentada. Qual e´
esta forc¸a no instante anterior ao levantamento do bloco
da superfı´cie? (c) Qual a acelelra¸ca˜o nesse mesmo in-
stante?
� (a) A u´nica forc¸a capaz de acelerar o bloco e´ fornecida
pelacomponente horizontal da forc¸a aplicada. Portanto,
a acelerac¸a˜o do bloco de massa �c� Q kg e´ dada por
�g�
E
%('#)2��Q
"
�
�
ffi,� %('#)2��Q
"
Q
���*1 ffi0M m/s � 1
(b) Enquanto na˜o existir movimento vertical do bloco,
a forc¸a total resultante exercida verticalmente no bloco
sera´ dada por
E
sen �9Q " 	
�
� �WVX�e�
(
onde � representa a forc¸a normal exercida pelo solo no
bloco. No instante em que o bloco e´ levantado teremos
�
� � . Substituindo este valor na equac¸a˜o acima e
resolvendo-a obtemos
E
�
�fiV
sen �9Q
"
�
67Q�8=6Z[21 M#8
sen ��Q
"
�dffi9ffi0- N 1
(c) A forc¸a horizontal neste instante e´ E %='9)2�9Q
"
, onde
E
� ffi9ffi0- Newtons. Portanto, a acelerac¸a˜o horizontal
sera´
�g�
E
%='9)2�9Q
"
�
�
ffi9ffi0- %('9)/��Q
"
Q
�L�*ffi m/s � 1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41
A acelerac¸a˜o vertical continuara´ a ser ZERO pois a forc¸a
vertical lı´quida e´ zero.
P 5-70 (5-53/6 � )
Um bala˜o de massa � , com ar quente, esta´ descendo,
verticalmente com uma acelerac¸a˜o � para baixo (Fig. 5-
59). Que quantidade de massa deve ser atirada para
fora do bala˜o, para que ele suba com uma acelerac¸a˜o
� (mesmo mo´dulo e sentido oposto)? Suponha que a
forc¸a de subida, devida ao ar, na˜o varie em func¸a˜o da
massa (carga de estabilizac¸a˜o) que ele perdeu.
� As forc¸as que atuam no bala˜o sa˜o a forc¸a ��� da
gravidade, para baixo, e a forc¸a �
�
do ar, para cima.
Antes da massa de estabilizac¸a˜o ser jogada fora, a
acelerac¸a˜o e´ para baixo e a segunda lei de Newton
fornece-nos
E
�
�
�
VX�d�
�
�
(
ou seja E
�
�
�
6 V � �*8 . Apo´s jogar-se fora uma massa
� , a massa do bala˜o passa a ser � � � e a acelerac¸a˜o
e´ para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos
agora a seguinte expressa˜o
E
�
�U6
�
� ��8 VX�d6
�
� ��8��41
Eliminando E
�
entre as duas equac¸o˜es acima encon-
tramos sem problemas que
�c�
�
�
�
��	CV
�
�
�
ffi 	?V-���
1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 9
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas
professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova.
Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o.
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Contents
6 Forc¸as e Movimento – II 2
6.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
6.2.1 Propriedades do Atrito . . . . . 2
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Ve-
locidade Limite . . . . . . . . . 5
6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 6
6.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 8
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
6 Forc¸as e Movimento – II
6.1 Questo˜es
Q 6-10
Cite bla-bla-bla...
�
6.2 Problemas e Exercı´cios
6.2.1 Propriedades do Atrito
E 6-1 (6-1 na 6 � edic¸a˜o)
Um arma´rio de quarto com massa de ��� kg, incluindo
gavetas e roupas, esta´ em repouso sobre o assoalho. (a)
Se o coeficiente de atrito esta´tico entre o mo´vel e o cha˜o
for ��� ��� , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa
devera´ aplicar sobre o arma´rio para coloca´-lo em movi-
mento? (b) Se as gavetas e as roupas, que teˆm �
	 kg
de massa, forem removidas antes do arma´rio ser em-
purrado, qual a nova forc¸a mı´nima?
� (a) O diagrama de corpo livre deste problema tem
quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita
esta´ a forc¸a aplicada � , para a esquerda a forc¸a de atrito
�
. Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a nor-
mal 
 do piso, para baixo a forc¸a ��� da gravidade.
Escolhando o eixo � na horizontal e o eixo � na vertical.
Como o arma´rio esta´ em equilı´brio (na˜o se move), a se-
gunda lei de Newton fornece-nos como componentes �
e � as seguintes equac¸o˜es
����� �
���
fffi�
�ffifl
�
���
Donde vemos que ��� � e ff!� �ffifl .
Quando � aumenta, � aumenta tambe´m, ate´ que � �
"$#
ff
. Neste instante o arma´rio comec¸a a mover-se.
A forc¸a mı´nima que deve ser aplicada para o arma´rio
comec¸ar a mover-se e´
�%�
"
#
ff&�
"
#
�ffifl
�('
��� ���*)
'
�+�,)
'.-
� /+)
�10
�*� N �
(b) A equac¸a˜o para � continua a mesma, mas a massa e´
agora �+�
�
�
	
�10
/ kg. Portanto
�%�
"$#
�2fl
�('
��� �+�,)
'30
/,)
'.-
� /+)
�
�
0
� N �
P 6-2 (6-3 na 6 � )
Um jogador de massa � � 	 - kg escorrega no campo
e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito
� �
��	4� N. Qual e´ o coeficiente de atrito cine´tico "65
entre o jogador e o campo?
� Neste problema, o diagrama de corpo livre tem ape-
nas treˆs forc¸as: Na horizontal, apontando para a es-
querda, a forc¸a
�
de atrito. Na vertical, apontando para
cima temos a forc¸a normal 
 do solo sobre o jogador, e
para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
A forc¸a de atrito esta´ relacionada com a forc¸a normal
atrave´s da relac¸a˜o
�7�
"65
ff
. A forc¸a normal
ff
e´ obtida
considerando-se a segunda lei de Newton. Como a com-
ponete vertical da acelerac ca˜o e´ zero, tambe´m o e´ a
componente vertical da segunda lei de Newton, que nos
diz que
fffi�
�ffifl
�
���
ou seja, que ff8� �ffifl . Portanto
"
5
�
�
ff
�
�
�2fl
�
��	4�
'
	
-
)
'9-
� /,)
�
��� :��;�
E 6-8 (6-5 na 6 � )
Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de �*�
kg, para moveˆ-la sobre o cha˜o, com uma forc¸a de 0*0 �
N. O coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� <,� . (a) Qual o
mo´dulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a˜o da
caixa?
� (a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na
horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a � que
a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda
a forc¸a de atrito
�
. Na vertical, para cima a forc¸a normal
 do piso, e para baixo a forc¸a ��� da gravidade.
A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por �8�
"
5
ff
, onde " 5 e´ o coeficiente de atrito cine´tico. Como a
componente vertical da acelerac¸a˜o e´ zero, a segunda lei
de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo-
nentes verticais da forc¸a deve ser zero: ff(� �ffifl � � , ou
seja, que ff&� �2fl . Portanto
�7�
"$5
ff&�
"$5
�2fl
�%'
��� <,�*)
'
�,�*)
'9-
� /,)
�
�=/
-
N �
(b) A acelerac¸a˜o e´ obtida da componente horizontal da
segunda lei de Newton. Como �1���7� ��> , temos
>
�
� �?�
�
�
0,0
�
�
�=/
-
�*�
�
���@�4: m/s A*�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
E 6-11 (6-9 na 6 � )
Uma forc¸a horizontal
� de � 0 N comprime um bloco
pesando � N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O
coeficiente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´
��� : , e o coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� � . Suponha que
inicialmente o bloco na˜o esteja em movimento. (a) O
bloco se movera´? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede
sobre o bloco, em notac¸a˜o de vetores unita´rios?
� (a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua-
tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita,
temos a forc¸a
�
e apontando para a esquerda a forc¸a
normal
ff
. Na vertical, apontandoverticalmente para
baixo temos o peso �2fl , e apontando para cima a forc¸a
de atrito � .
Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a
magnitude � da forc¸a de fricc¸a˜o nevessa´ria para mante-
lo sem acelerar bem como encontrar a forc¸a da parede
sobre o bloco. Se ��� " # ff o bloco na˜o desliza pela
parede mas se ��� "$# ff o bloco ira´ deslizar.
A componente horizontal da segunda lei de Newton re-
quer que
� � ff �
� , de modo que � � ff � � 0 N
e, portanto, " #
ff � '
��� :,)
'
�
0
)
�
	��
0
N. A componente
vertical diz que � � �ffifl � � , de modo que �7� �2fl � �
N.
Como ��� " # ff , vemos que o bloco na˜o desliza.
(b) Como o bloco na˜o se move, � � � N e ff � � 0 N.
A forc¸a da parede no bloco e´
���
�(� ff��
	 ��� �(' �
�
0
��	
�
�
) N �
NOTE: os resultados sa˜o radicalmente diferentes se por
engano usassemos " 5 em vez de "$# !
P 6-17 (6-11 na 6 � )
Um trabalhador deseja empilhar um monte de areia, em
forma de cone, dentro de uma a´rea circular. O raio do
cı´rculo e´ � e nenhuma areia vaza para fora do cı´rculo
(Fig. 6-22). Se "�� e´ o coeficiente de atrito esta´tico en-
tre a camada de areia da suprfı´cie inclinada e a camada
imediatamente abaixo (sobre a qual a camada superior
pode deslizar), mostre que o maior volume de areia que
pode ser empilhado desta forma e´ � "�� �����4< . (O volume
de um cone e´ ���ff�4< , onde � e´ a a´rea da base e � a altura
do cone.)
� A secc¸a˜o reta do cone e´ um triaˆngulo iso´sceles (tem
dois lados iguais) cuja base mede 0 � e cuja altura e´ � .
Como a a´rea da base e´ fixa, o problema consiste em
ir-se depositando areia de modo a fazer � ter o maior
valor possı´vel. Ao ir-se depositando areia a inclinac¸a˜o
da superfı´cie lateral aumenta, ate´ tornar-se ta˜o grande
que toda areia que for adicionada comec¸a deslizar.
Desejamos determinar a maior altura � (i.e. a maior
inclinac¸a˜o) para a qual a areia na˜o deslize.
Para tanto consideramos o diagrama de corpo isolado de
um gra˜o de areia na situac¸a˜o imediatamente de que a su-
perfı´cie possa deslizar. Sobre tal gra˜o atuam treˆs forc¸as:
a forc¸a fi
�
�2fl da gravidade, a forc¸a nornal ff e a forc¸a
� do atrito que impede o gra˜o de deslizar. Como o gra˜o
na˜o desliza, sua acelerac¸a˜o e´ zero.
Escolhemos como eixo � um eixo paralelo a` superfı´cie e
apontando para baixo, como eixo � um eixo apontando
na mesma direc¸a˜o da normal ff , e chamamos de fl o
aˆngulo que a superfı´cie lateral faz com a base. Com
estas escolhas, as componente � e � da segunda lei de
Newton sa˜o dadas, respectivamente, por
�2fl sen fl
� � �
�
fffi�
�2fl�ffi! #"�fl
�
���
Para que o gra˜o na˜o deslize devemos ter
���
"
�
ff
. Isto
significa ter-se
�ffifl sen fl
�
"
�
�2fl�ffi! $"
fl
isto e´ tan fl
�
"
�
. A superfı´cie do cone tera´ a maior
inclinac¸a˜o (e, simultaneamente, a maior altura) quando
tan fl
�
"%�
�
Entretanto, da figura vemos que � � � tan fl � � "�� .
Como a a´rea da base e´ � � �&� A , temos, finalmente,
que
'(�
�(�
<
�
�
"%�
���
<
�
P 6-22 (6-13 na 6 � )
Uma caixa de :*/ kg e´ puxada pelo cha˜o por uma corda
que faz um aˆngulo de �=�#) acima da horizontal. (a) Se o
coeficiente de atrito esta´tico e´ ��� � , qual a tensa˜o mı´nima
necessa´ria para iniciar o movimento da caixa? (b) Se
"
5
�
��� <+� , qual a sua acelerac¸a˜o inicial?
� (a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forc¸as.
Apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl �
�
�
) com a horizontal temos a tensa˜o * na corda. Hor-
izontalmente para a esquerda aponta a forc¸a de atrito
�
.
Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal 
 do cha˜o
sobre a caixa, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
Quando a caixa ainda na˜o se move as acelerac¸o˜es sa˜o
zero e, consequentemente, tambe´ o sa˜o as respectivas
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda
lei de Newton nos fornece para as componente horizon-
tal e vertical as equac¸o˜es, respectivamente,
�
ffi! #"�fl
��� �
���
�
sen fl
	 fffi�
�2fl
�
���
Esta equac¸o˜es nos dizem que � ��� ffi! #"�fl e que ff �
�2fl
���
sen fl .
Para a caixa permanecer em repouso
�
tem que ser
menor do que " # ff , ou seja,
�
ffi! #"�fl
�
"$#
'
�ffifl
���
sen fl,) �
Desta expressa˜o vemos que a caixa comec¸ara´ a mover-
se quando a tensa˜o � for tal que os dois lados da
equac¸a˜o acima compemsem-se:
�
ffi! #"�fl
�
"$#
'
�ffifl
���
sen fl,) �
donde tiramos facilmente que
� �
"$#
�2fl
ffi $"�fl
	
"$# sen fl
�
'
���@�*)
'
:*/+)
'.-
� /+)
ffi $" �
�
)
	
���@� sen �=�
)
�
<,�4� N �
(b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton
nos diz que
�
ffi $"�fl
��� �
��> �
ff 	��
sen fl
�
�ffifl
�
���
Agora, pore´m temos
�7�
"$5
ff&�
"$5
'
�ffifl
���
sen fl,) �
onde tiramos
ff
da segunda equac¸a˜o acima. Substi-
tuindo este
�
na primeira das equac¸o˜es acima temos
�
ffi $"�fl
�
"
5
'
�2fl
���
sen fl,)
�
��> �
de onde tiramos facilmente que
>
�
� '
ffi $" fl
	
"
5 sen fl,)
�
�
"
5
fl
�
'
<*�*�+)
'
ffi! #" �=�$)
	
��� <+� sen �=�$) )
:*/
� '
��� <,�,)
'.-
� /+)
�
�*� < m/s A4�
Perceba bem onde se usa " # e onde entra " 5 .
P 6-24 (6-15 na 6 � )
Na Fig. 6-24, A e B sa˜o blocos com pesos de �*� N e 0,0
N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco
C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi-
lo de deslizar, sabendo que o coeficiente " � entre A e a
mesa e´ ���
0
. (b) Se o bloco C for repentinamente reti-
rado, qual sera´ a acelerac¸a˜o do bloco A, sabendo que " 5
entre A e a mesa e´ ��� �=� ?
� (a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O
diagrama para o corpo B tem apenas duas forc¸as: para
cima, a magnitude da tensa˜o � na corda, e para baixo
a magnitude fi�� do peso do bloco B. O diagrama para
o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na hor-
izontal, apontando para a direita temos a tensa˜o � na
corda, e apontando para a esquerda a magnitude � da
forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal ff
exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o
peso fi��
	 , peso total de A+C.
Vamos supor que os blocos esta˜o parados (na˜o aceler-
ados), e escolher o eixo � apontando para a direita e o
eixo � apontando para cima. As componentes � e � da
segunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
� �?� �
���
fffi�
fi��
	
�
���
Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como
sendo positivo, obtendo que
fi��
��� �
���
Portanto temos que
� �
fi�� e, consequentemente, que
�7��� �
fi�� . Temos tambe´m que
ff!�
fi
�
	 .
Para que na˜o ocorra deslizamento, e´ necessa´rio que �
seja menor que "%� ff , isto e´ que fi � � "%� fi��
	 . O menor
valor que fi �
	 pode ter com os blocos ainda parados e´
fi��
	
�
fi��
"%�
�
0*0
���
0
�
�*�=� N �
Como o peso do bloco A e´ �*� N, vemos que o menor
peso do bloco C e´
fi�	
�
�,� �
�
�*�
�
:,: N �
(b) Quando existe movimento, a segunda lei de New-
ton aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos
fornece as equac¸o˜es
� � � �
fi��
fl
> �
ff8�
fi��
�
���
fi��
��� �
fi
�
fl
> �
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Ale´m destas, temos � � " 5 ff , onde ff � fi�� (da
segunda equac¸a˜o acima). Da terceira acima tiramos
� �
fi �
� '
fi � �=fl�) > . Substituindo as duas u´ltimas ex-
presso˜es na primeira equac¸a˜o acima obtemos
fi �
�
fi �
fl>
�
" 5
fi��
�
fi��
fl
> �
Isolando > encontramos, finalmente,
>
�
fl
'
fi �
�
" 5
fi�� )
fi �
	
fi��
�
'9-
� /,)��
0,0 � '
��� �
�*)
'
�*��)��
�*�
	 0*0
� 0
� < m/s A4�
Perceba bem onde entra " � e onde se usa " 5 .
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite
P 6-30 (6-19 na 6 � )
O bloco � da Fig. 6-30 pesa 	��,� N. O coeficiente de
atrito esta´tico entre o bloco e a superfı´cie horizontal e´
���
0
� . Determine qual o peso ma´ximo do bloco � para o
qual o sistema ainda permanece equilibrado.
� No no´ onde o peso fi�� esta´ aplicado temos treˆs forc¸as
aplicadas: (i) o peso fi � , para baixo, (ii) uma forc¸a � ,
para a direita, fazendo um aˆngulo fl
�
<*��) com a hor-
izontal, (iii) uma forc¸a ��� , apontando horizontalmente
para a esquerda, na direc¸a˜o do corpo � . Para que na˜o
haja movimento, tais forc¸as devem equilibrar-se. Por-
tanto, escolhendo o eixo � horizontal e o eixo � verti-
cal, encontramos para as componentes � e � , respectiva-
mente,
���
ffi $"�fl
��� �
�
���
sen fl
�
fi
�
�
���
Por outro lado, no corpo � temos quatro forc¸as apli-
cadas: fi � , ff , �
�
e a forc¸a
� de atrito. Esta forc¸as
esta˜o dispostas de modo que as componentes � e � nos
fornec¸am as seguintes equac¸o˜es adicionais:
�
�
�?� �
���
ff �
fi
�
�
���
Eliminando-se as duas tenso˜es � e �
�
obtemos ex-
presso˜es que fornecem
�
e
ff
em termos de fi � e fi � .
Devemos enta˜o escolher fi�� de modo que �7� "%� ff .
Do primeiro conjunto de equac¸o˜es obtemos
�
�
�
fi�� � tan fl��
Substituindo-a na primeira das equac¸o˜es do segundo
conjunto de equac¸o˜es obtemos
�7�
fi�� � tan fl��
O bloco � permanecera´ parado quando � � "�� ff . O
maior valor possı´vel para fi � sera´ aquele para o qual
fi �
tan fl
�
"%�
fi � �
donde obtemos
fi��
�
"%�
fi � tan fl
� '
���
0
�*)
'
	��,�=)
'
tan <,� ) )
�
�=�*� N �
P 6-31 (6-21 na 6 � )
O corpo � na Fig. 6-31 pesa � � 0 N e o corpo � pesa < 0
N. Os coeficientes de atrito entre � e o plano inclinado
sa˜o "��
�
��� �*: e " 5
�
���
0
� . Determine a acelerac¸a˜o do
sistema se (a) � estiver inicialmente em repouso, (b) �
estiver se movendo para cima no plano inclinado e (c)
� estiver se movendo para baixo.
�
P 6-43 (6-33 na 6 � )
Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um mı´ssil de �*<
cm de diaˆmetro, viajando na velocidade de cruzeiro de
0
�4� m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e´ �*� 0
kg/m � . Suponha 	 � ��� 	4� .
� Use a Eq. 6-18 do livro texto:
��
 �
�
0�	�� ��
A
�
onde � e´ a densidade do ar, � e´ a a´rea da secc¸a˜o reta do
mı´ssil, 
 e´ a velocidade do mı´ssil, e 	 e´ o coeficiente
de viscosidade. A a´rea e´a dada por � � �&� A , onde
�
�
��� �*<#�
0 �
���
0
:,� m e´ o raio do mı´ssil. Portanto,
�
�
�
0
'
���@	*�*)
'
�*�
0
)
'
�$)
'
���
0
:+�*)
A
'90
�*�,)
A
�
:��
0��
� �
� N �
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6.2.3 Movimento Circular Uniforme
E 6-47 (6-37 na 6 � )
Se o coeficiente de atrito esta´tico dos pneus numa
rodovia e´ ��� 0 � , com que velocidade ma´xima um carro
pode fazer uma curva plana de ��	 � � m de raio, sem der-
rapar?
� A acelerac¸a˜o do carro quando faz a curva e´ 
�A���� ,
onde 
 e´ a velocidade do carro e � e´ o raio da curva.
Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´nica forc¸a que
evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada
com os pneus. A componente horizontal da segunda lei
de Newton e´ � � � 
�A ��� . Sendo ff a forc¸a normal da
estrada sobre o carro e � a massa do carro, a compo-
nente vertical da segunda lei nos diz que
ff8�
�ffifl
�
� .
Portanto,
ff �
�2fl e " �
ff �
" �
�2fl . Se o carro na˜o
derrapa,
� �
"
�
�2fl . Isto significa que 
 A �
�
�
"
�
fl , ou
seja, que 
 � � " � �;fl .
A velocidade ma´xima com a qual o carro pode fazer a
curva sem deslizar e´, portanto, quando a velocidade co-
incidir com o valor a´ direita na desigualdade acima, ou
seja, quando
 max
���
"
�
�;fl
�
� '
���
0
�,)
'
� 	��@�*)
'.-
� /,)
�
�,� m/s �
E 6-55 ( � na 6 � )
No modelo de Bohr do a´tomo de hidrogeˆnio, o ele´tron
descreve uma o´rbita circular em torno do nu´cleo. Se o
raio e´ ��� <
�
�=���
� �
m e o ele´tron circula :�� :
�
� �
���
vezes
por segundo, determine (a) a velocidade do ele´tron, (b)
a acelerac¸a˜o do ele´tron (mo´dulo e sentido) e (c) a forc¸a
centrı´peta que atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante
da atrac¸a˜o entre o nu´cleo, positivamente carregado, e o
ele´tron, negativamente carregado.) A massa do ele´tron
e´
-
� �,�
�
�=��� �
�
kg.
�
E 6-56 (6-41 na 6 � )
A massa � esta´ sobre uma mesa, sem atrito, presa a
um peso de massa 	 , pendurado por uma corda que
passa atrave´s de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6-
39). Determine a velocidade escalar com que � deve se
mover para 	 permanecer em repouso.
� Para 	 permanecer em repouso a tensa˜o
�
na corda
tem que igualar a forc¸a gravitacional 	 fl sobre 	 . A
tensa˜o e´ fornecida pela forc¸a centrı´peta que mante´m �
em sua o´rbita circular: � � � 
 A ��
 , onde 
 e´ o raio
da o´rbita. Portanto, 	 fl � � 
 A ��
 , donde tiramos sem
problemas que
��
	 fl�
�
�
P 6-62 (6-43 na 6 � )
Um estudante de :,/ kg, numa roda-gigante com ve-
locidade constante, tem um peso aparente de �,�4� N no
ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto
mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade
da roda-gigante dobrar?
Atenc¸a˜o: observe que o enunciado deste prob-
lema na quarta edic¸a˜o do livro fala em “peso
aparente de �*: kg”, fazendo exatamente aquilo
que na˜o se deve fazer: confundir entre si, peso e
massa.
A origem do problema esta´ na traduc¸a˜o do livro.
O livro original diz que “um estudante de �=�*� li-
bras” ....“tem um peso aparente de � 0 � libras”.
O tradutor na˜o percebeu que, como se pode
facilemente ver no Apeˆndice F, “libra” e´ tanto
uma unidade de massa, quanto de peso. E e´ pre-
ciso prestar atenc¸a˜o para na˜o confundir as coisas.
Assim, enquanto que as �=�*� libras referem-se a
uma massa de :,/ kg, as � 0 � libras referem-se a
um peso de �*�*� N.
� (a) No topo o acento empurra o estudante para cima
com uma forc¸a de magnitude
���
, igual a �*�*� N. A Terra
puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude fi , igual
a :*/4fl
� '
:,/,)
'9-
� /,)
�
:*:,: N. A forc¸a lı´quida apontando
para o centro da o´rbita circular e´ fi � ��� e, de acordo
com a segunda lei de Newton, deve ser igual a � 
�A ��� ,
onde 
 e´ a velocidade do estudante e � e´ o raio da o´rbita.
Portanto
�
�A
�
�
fi
�?��� �
:*:*:
�
�*�*�
�
�*�=: N �
Chamemos de ��� a magnitude da forc¸a do acento sobre
o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal
forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a lı´quida que
aponta para o centro do cı´rculo e´
�
�
�
fi . Assim sendo,
temos
�
�
�
fi
�
� 
A
��� , donde tiramos
�
�
�
�
+A
�
	
fi
�
�*�=:
	
:,:*:
�
	4/
0
N �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 8
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que correspondem a uma massa aparente de
�
� �
� �
fl
�
	4/
0
-
� /
�
	
-
� 	 kg �
(b) No topo temos fi � ��� � � 
�A���� , de modo que
� � �
fi
�
�
+A
�
�
Se a velocidade dobra, � 
 A �
� aumenta por um fator de
� ,passando a ser �*�=: � � � �+:4� N. Enta˜o
� � �
:,:*:
�
�+:4�
� 0
�
0
N �
correspondendo a uma massa efetiva de
�
� �
� �
fl
�
0
�
0
-
� /
� 0
��� : kg �
P 6-65 (6-45 na 6 � )
Um avia˜o esta´ voando num cı´rculo horizontal com uma
velocidade de �+/*� km/h. Se as asas do avia˜o esta˜o incli-
nadas �,�#) sobre a horizontal, qual o raio do cı´rculo que
o avia˜o faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a
necessa´ria seja obtida da “sustentac¸a˜o aerodinaˆmica”,
que e´ perpendicular a` superfı´cie das asas.
� O diagrama de corpo isolado do avia˜o conte´m duas
forc¸as: a forc¸a �7� da gravidade, para baixo, e a forc¸a
�
, apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl
com a horizontal. Como as asas esta˜o inclinadas �,�
)
com a horizontal, a forc¸a de sustentac¸a˜o e´ perpendicular
as asas e, portanto, fl
� -
�#)
�
�,�#)
�
�4�#) .
Como o centro da o´rbita esta para a direita do avia˜o, es-
colhemos o eixo � para a direita e o eixo � para cima.
A componente � e � da segunda lei de Newton sa˜o, re-
spectivamente,
�
ffi! #"�fl
�
�
+A
�
�
�
sen fl
�
�ffifl
�
���
onde � e´ o raio da o´rbita. Eliminando � entre as duas
equac¸o˜es e rearranjando o resultado, obtemos
�
�
�A
fl
tan fl��
Para 
�
�,/,� km/h � � <,< m/s, encontramos
�
�
'
� <,<,) A
-
� /
tan �4� )
� 0
�
0��
� �
� m �
NOTE: existe forc¸a horizontal na˜o-equilibrada, pois sem
ela o avia˜o na˜o teria como fazer a curva! Em out-
ras palavras, a soma das componentes horizontais neste
problema na˜o pode ser nula.
P 6-70 (6-47 na 6 � )
A Fig. 6-42 mostra uma bola de �*� <4� kg presa a um eixo
girante vertical por duas cordas de massa desprezı´vel.
As cordas esta˜o esticadas e formam os lados de um
triaˆngulo equila´tero. A tensa˜o na corda superior e´ de
<+� N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a
bola. (b) Qual a tensa˜o na corda inferior? (c) Qual a
forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na
figura? (d) Qual a velocidade da bola?
� (a) Chame de � 5 e � � as tenso˜es nas cordas de cima
e de baixo respectivamente. Enta˜o o diagrama de corpo
isolado para a bola conte´m treˆs forc¸as: para baixo atua
o peso ��� da bola. Para a esquerda, fazendo um aˆngulo
fl
�
<*�#) para cima, temos *�� . Tambe´m para a esquerda,
pore´m fazendo um aˆngulo fl � <,� ) para baixo, temos a
forc¸a *�� . Como o triaˆgulo e´ equila´tero, perceba que o
aˆngulo entre *�� e *�� tem que ser de :*� ) sendo fl , como
mostra a figura, a metade deste valor.
Observe ainda que a relac¸a˜o entre as magnitudes de *��
e *�� e´
�
5
� � �
, pois *�� deve contrabalanc¸ar na˜o ape-
nas o peso da bola mas tambe´m a componente vertical
(para baixo) de * � , devida a´ corda de baixo.
(b) Escolhendo o eixo horizontal � apontando para a es-
querda, no sentido do centro da o´rbita circular, e o eixo
� para cima temos, para a componente � da segunda lei
de Newton
�
5
ffi! #"�fl
	 � �
ffi! #"�fl
�
�
+A
�
�
onde 
 e´ a velocidade da bola e � e´ o raio da sua o´rbita.
A componente � e´
�
5 sen fl
��� �
sen fl
�
�ffifl
�
���
Esta u´ltima equac¸a˜o fornece a tensa˜o na corda de baixo:
� � ���
5
�
�ffifl � sen fl . Portanto
�
�
�
<+�
�
'
�*� <4��)
'.-
� /+)
sen <*�
)
�
/�� 	
� N �
(c) A forc¸a lı´quida e´ radial para a esquerda com magni-
tude
��� �(' �
5
	��
�
)
ffi! $" fl
�('
<,�
	
/��@	 �+)�ffi $" <,�
)
�
<�	��
-
N �
(d) A velocidade e´ obtida da equac¸a˜o � � � � 
+A ��� ,
observando-se que o raio � da o´rbita e´ (tan fl �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
'
�,�@	$�
0
) ��� , veja a figura do livro):
�
�
�*� 	 �
0
tan <*�
)
�
�,� � 	 m �
Portanto
� 
�
� �
�
�
'
�*� ��	*)
'
<+	��
-
)
�,� <*�
�
:�� �+� m/s �
6.2.4 Problemas Adicionais
6-72 (6-20 na 6 � )
Uma forc¸a
�
, paralela a uma superfı´cie inclinada �
� )
acima da horizontal, age sobre um bloco de �+� N, como
mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o
bloco e a superfı´cie sa˜o "�� � ��� � e " 5 � ��� <*� . Se o
bloco inicialmente esta´ em repouso, determine o mo´dulo
e o sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as
seguinte intensidades de P: (a) � N, (b) / N, (c) �=� N.
�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas
professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova.
Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o.
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Contents
7 Trabalho e Energia Cine´tica 2
7.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
7.2.1 Trabalho: movimento ��� com
forc¸a constante . . . . . . . . . 2
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a
varia´vel . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4
7.2.4 Energia Cine´tica . . . . . . . . 5
7.2.5 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . 6
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades
Elevadas . . . . . . . . . . . . 8
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47
7 Trabalho e Energia Cine´tica
7.1 Questo˜es
Q 7-13
As molas A e B sa˜o ideˆnticas, exceto pelo fato de que A
e´ mais rı´gida do que B, isto e´ ��������� . Qual das duas
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem
o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa˜o distendi-
das por forc¸as iguais.
� (a) Temos 	 ��
 � �
������� e 	 ��
 � ��������� , onde �
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por-
tanto,
	��
	
�
���
�
�
�
���
ou seja, 	�����	ff� .
(b) Agora temos 	 �fi
 � �
�
�
�
�fl� e 	 �ffi
 � ��� �
�
��� ,
onde ��� e ��� representam os delocamentos provocados
pela forc¸a ideˆntica que atua sobre ambas as molas e que
implica ter-se, em magnitude,
 
�
�
�!��
�
�"���
�
donte tiramos �!�#
 � �
���"� � � . Portanto
	ff�
	
�
���
�
�
�
�
�%$
�
�&�����
�
��'
�
���
�
�)(
�fl�
ou seja, 	��
(
	ff� .
7.2 Problemas e Exercı´cios
7.2.1 Trabalho: movimento � � com forc¸a con-
stante
E 7-2 (7-7/6 * edic¸a˜o)
Para empurrar um caixote de +�, kg num piso sem atrito,
um opera´rio aplica uma forc¸a de
�
�
, N, dirigida
�
,.-
acima da horizontal. Se o caixote se desloca de / m, qual
o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio,
(b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exer-
cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
executado sobre o caixote?
� (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por
ela e´
	�0 
�1#243�
 65"748�9;:
�
onde
1
e´ a forc¸a,
3
e´ o deslocamento do caixote, e : e´
o aˆngulo entre a forc¸a
1
e o deslocamento
3
. Portanto,
	�0 
<$=�
�
, '>$ / '
7>8?9
� ,
-
 +�@�,
J A
(b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendic-
ular ao deslocamento do caixote. O aˆngulo entre esta
forc¸a e o deslocamento e´ @fl, - e, como
748�9
@�, -B
 ,
, o
trabalho feitopela forc¸a gravitacional e´ ZERO.
(c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per-
pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra-
balho por ela realizado tambe´m e´ ZERO.
(d) As treˆs forc¸as acima mencionadas sa˜o as u´nicas que
atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das treˆs forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ +�@fl, J.
P 7-9 ( C na 6 * )
A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
facilitar o levantamento de um peso D . Suponha que o
atrito seja desprezı´vel e que as duas polias de baixo, a`s
quais esta´ presa a carga, pesem juntas � , N. Uma carga
de EflF�, N deve ser levantada � � m. (a) Qual a forc¸a
mı´nima 1 necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o
trabalho executado para levantar a carga de � � m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela forc¸a
1
para realizar esta
tarefa?
� (a) Supondo que o peso da corda e´ desprezı´vel (isto e´,
que a massa da corda seja nula), a tensa˜o nela e´ a mesma
ao longo de todo seu comprimento. Considerando as
duas polias mo´veis (as duas que esta˜o ligadas ao peso
D ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
uma forc¸a
 
aplicada em quatro pontos, de modo que a
forc¸a total para cima aplicada nas polias mo´veis e´ F .
Se
 
for a forc¸a mı´nima para levantar a carga (com ve-
locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta˜o a segunda
lei de Newton nos diz que devemos ter
F
 HGJIHK
,
�
onde IHK representa o peso total da carga mais polias
mo´veis, ou seja, IHK 
L$ EflF�,6M � , ' N. Assim, encon-
tramos que
 
E�Nfl,
F
��
�
+ N A
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47
(b) O trabalho feito pela corda e´ 	 
 F 65 
 IHK 5 ,
onde 5 e´ a distaˆncia de levantamento da carga. Portanto,
o trabalho feito pela corda e´
	 
 $ E�Nfl, '4$
�
�fl' 
�
,fl/ � , J A
(A resposta na traduc¸a˜o do livro esta´ incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento
da corda entre o conjunto superior e inferior de polias
diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da
corda abaixo de F metros. Portanto, no total a extremi-
dade livre da corda move-se $ F '4$ � �fl'�
 F?E m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
extremidade livre e´ 	 
 65
IHK�5
� F , onde
5
e´ a
distaˆncia que a extremidade livre se move. Portanto,
	 
 $ EflN�, '
F?E
F
�
,�/ � ,
J A
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que na˜o ocorre com as respostas
fornecidas no livro.
P 7-12 ( C na 6 * )
Um bloco de /.A
�
+ kg e´ puxado com velocidade con-
stante por uma distaˆncia de F�A ,�N m em um piso hori-
zontal por uma corda que exerce uma forc¸a de � A N�E N
fazendo um aˆngulo de � +?- acima da horizontal. Calcule
(a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b)
o coeficiente de atrito dinaˆmico entre o bloco e o piso.
� (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o tra-
balho e´ dado por 	 
L1 2�3 
 65"748�9;:
, onde 1 e´
a forc¸a exercida pela corda, 3 e´ a distaˆncia do desloca-
mento, e
:
e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o deslocamento.
Portanto
	
 $
�
A NflE
'4$
F�A ,�N
'
748�9
�
+
-
/fl,;A
� J A
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forc¸as aplicadas.
Desenhe um ponto � representando o bloco. Em � , de-
senhe a forc¸a normal � apontando para cima, a forc¸a
peso ��� apontando para baixo. Apontando horizontal-
mente para a esquerda desenhe a forc¸a � de atrito. De-
senhe a forc¸a 1 que puxa o bloco apontando para a dire-
ita e para cima, fazendo um aˆngulo
:
com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı´brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equac¸o˜es, respectivamente,
 �7>8�9�: G	�
,
�
M
 
sen
: G
�
K
 ,.A
A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por
�
���
���
�$ �
K GJ 
sen
:
'
�
onde o valor de 
 foi obtido da segunda equac¸a˜o acima.
Substituindo o valor de � na primeira das equac¸o˜es
acima e resolvendo-a para ��
 encontramos sem prob-
lemas que
� 
 
 �7>8?9;:
�
K G� 
sen
:
$
�
A N�E '
748�9
�
+ -
$ /;A +
�
'4$ @.A E '
G
$
�
A N�E '
sen
�
+
-
 ,;A ��� A
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel
E 7-13 (7-24 na 6 * )
Um bloco de + kg se move em linha reta numa superfı´cie
horizontal sem atrito sob a influeˆncia de uma forc¸a que
varia com a posic¸a˜o da forma indicada na Fig. 7-28.
Qual o trabalho executado pela forc¸a quando o bloco
se desloca da origem ate´ o ponto
� 
E m?
� Basta calcular-se a a´rea debaixo da curva da cada um
dos quatro segmentos de reta.
	
 $ �fl'4$
�
,
'
M��
�
$
F
G
��'>$
�
,
G
,
'
M , M��
�
$
E
G
N
'4$
,
G
+
'
 �
, M
�
, M�,
G
+
 �
+ J A
P 7-14 (7-25 na 6 * )
Uma massa de � , kg esta´ se movendo ao longo do eixo
dos
�
. Sua acelerac¸a˜o varia com a posic¸a˜o da forma
indicada na Fig. 7-29. Qual o trabalho total executado
sobre a massa quando ela se move de
� 
, m ate´
� 
E
m?
� Do gra´fico vemos que a acelerac¸a˜o varia linearmente
com
�
, ou seja, que �
�� �
, onde
��
��
,
�
E
H�
A + s �
�
.
Portanto, como
 
���
�
� �
, temos
	
���ff�
fi
 �5
� 
�
�
���ff�
fi
�
5
�
�
� �
� fl
�
$
�
,
'>$=�
A +
'>$
E
'
�
�
Efl,�, J A
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P 7-16 (7-27 na 6 * )
A forc¸a exercida num objeto e´ 
$ � ' 
 
fi
$ � ���
fi
G
�
'
.
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
� 
 , ate´ ��
 ��� fi (a) fazendo um gra´fico de $ �!' e
determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte-
gral analiticamente.
� (a) A expressa˜o de $ � ' diz-nos que a forc¸a varia
linearmente com � . Supondo � fi � , , escolhemos dois
pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma
linha reta.
Para
� 
 ,
temos
 
G 
fi enquanto que para
� 
 ���
fi
temos
 
 
fi
, ou seja devemos desenhar uma linha
reta que passe pelos pontos
$ ,
�
G 
fi
'
e
$=���
fi
�
 
fi
'
. Fac¸a
a figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado
pela soma da a´rea de dois triaˆngulos: um que vai de
�B
 , ate´ � 
�� fi , o outro indo de � 
�� fi ate´ �B
���� fi .
Como os dois triaˆngulos tem a mesma a´rea, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
	
�
�
���
fi
 
fi
�
�
�
-
G
���
5
�
 
fi
�
�
�
���
fi
G
�
���
�
�
�
���
fi
,.A
E 7-17 (7-29/6 * )
Qual o trabalho realizado por uma forc¸a dada em New-
tons por
1 
fi�����
M /
	 , onde
�
esta´ em metros, que
e´ exercida sobra uma partı´cula enquanto ela se move da
posic¸a˜o, em metros, �
� 
)��� M#/�	 para a posic¸a˜o (em
metros) � fl 
 G F � G /�	
� Suponha que a partı´cula mova-se primeiramente, dig-
amos, ao longo da quota constante �
/ m, indo desde
�
�
 �
m ate´
�
�
G
F m. Neste percurso o trabalho
realizado e´:
	
�
� ���