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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
Prova Substitutiva de MAT135 - GAAL - 2012/1
Nome:.......................................................................... Matr´ıcula:......................
1. (32 pontos) Seja a transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 definida por:
T (x, y, z) = (x+ 2y − z, y + z, x+ y − 2z) .
(a) (7 pontos) Determine a matriz [T ] da transformac¸a˜o linear com relac¸a˜o a base
canoˆnica.
(b) (10 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T .
(c) (10 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o da imagem de T .
(d) (5 pontos) Verifique se T e´ injetora e se T e´ sobrejetora. Justifique suas respostas.
2. (44 pontos) Seja a matriz A =
 1 3 3−3 −5 −3
3 3 1
.
(a) (8 pontos) Mostre que os autovalores de A sa˜o 1 e −2.
(b) (12 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o dos autoespac¸os W1 e W−2.
(c) (6 pontos) A matriz A e´ diagonaliza´vel. Justifique esta afirmac¸a˜o com base no ı´tem
(b).
(d) (8 pontos) Determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A = PDP−1.
(e) (10 pontos) Obtenha a matriz inversa P−1 da matriz P do ı´tem anterior e utilize as
matrizes D, P e P−1 para obter a matriz A7.
3. (24 pontos, sendo 6 cada ı´tem) Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou
falsas. Justifique as verdadeiras e deˆ um contraexemplo para as falsas.
(a) Sejam A, B e C matrizes quadradas tais que AB = C. Se duas destas matrizes na˜o
sa˜o invert´ıveis enta˜o a terceira tambe´m na˜o e´ invert´ıvel.
(b) Se o polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz M e´ p(x) = x3(x− 1)2(x− 2)5 enta˜o M
na˜o e´ invert´ıvel.
(c) Se uma transformac¸a˜o linear T : Rn −→ Rm e´ injetora enta˜o n ≤ m.
(d) Se T : Rn −→ Rm e´ uma transformac¸a˜o linear com n ≤ m enta˜o T e´ injetora.