Apostila de Osciladores Harmônicos com Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

Osciladores Harmônicos 
Olavo Amorim Santos 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
2 
 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
3 
Índice 
1. Introdução ............................................................................................................................. 5 
1.1. Equações diferenciais ordinárias ................................................................................... 5 
1.2. Equação homogênea ..................................................................................................... 5 
1.3. Problema de valor inicial ............................................................................................... 6 
2. EDOs de segunda ordem homogênea ................................................................................... 8 
3. Osciladores harmônicos simples ......................................................................................... 13 
3.1. Solução geral ............................................................................................................... 13 
3.2. Energia de um oscilador .............................................................................................. 17 
4. Oscilador Harmônico Amortecido ....................................................................................... 19 
4.1. Solução geral ............................................................................................................... 19 
I) Amortecimento subcrítico (� � �� ............................................................................. 19 
II) Amortecimento supercrítico (� � �� .......................................................................... 20 
III) Amortecimento crítico (� � �� ................................................................................... 21 
5. EDO de segunda ordem não-homogênea ........................................................................... 23 
5.1. Forma geral ................................................................................................................. 23 
5.2. Equação homogênea associada .................................................................................. 23 
5.3. Solução geral ............................................................................................................... 23 
6. Osciladores harmônicos forçados ....................................................................................... 27 
6.1. Solução geral ............................................................................................................... 27 
6.2. Interpretações da solução ........................................................................................... 29 
7. Osciladores harmônicos forçado-amortecidos ................................................................... 31 
7.1. Revisão de conceitos ................................................................................................... 31 
7.2. Solução geral ............................................................................................................... 32 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
4 
Caro leitor. 
Espero que essa breve passada sobre os conceitos de osciladores harmônicos seja útil 
para você. Tento com esse material tratar dessa parte da matéria de uma forma a unir os 
conceitos importantes da física dos osciladores com alguns conceitos básicos das equações 
diferenciais (EDO). Tentar aprender oscilador harmônico sem sabe EDO, torna-se um trabalho 
muito mais difícil do que realmente precisa ser. 
Caso tenham sugestões, críticas, elogios ou comentários sobre esse material, entre em 
contato comigo em meu site http://www.comsizo.com.br ou através do e-mail 
olavo@comsizo.com.br. 
 Obrigado, 
Olavo Amorim Santos, 
Engenharia Física 09, Universidade Federal de São Carlos. 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
5 
 
1. Introdução 
1.1. Equações diferenciais ordinárias 
Equações diferenciais ordinárias ou EDOs são extremamente comuns nas diversas áreas de 
estudo. De forma geral, podemos descrever tais equações como responsáveis por relacionar 
certa função com uma ou mais de suas funções diferenciais. Matematicamente, isto é 
expresso por: 
Exemplo (1.1) 
 
 
Para facilitar a escrita, podemos utilizar a notação para derivadas na forma: 
��	
�
�
 � ��	
� 
���	
�
�
� �	��	
� 
Desde o segundo grau, acostumamos a classificar equações de acordo com o grau do termo de 
maior expoente, denominando-as de primeiro, segundo, terceiro grau, por exemplo. Por sua 
vez, EDOs são classificadas de acordo com a ordem do termo diferencial. Por exemplo: 
Exemplo (1.2) 
 
 
 
1.2. Equação homogênea 
Uma	 equação	 diferencial	 ordinária	 é	 dita	 homogênea	 se	 a	 mesma	 não	 possuir	 termo	
independente.	 Ou	 seja,	 se	 a	 soma	 dos	 termos	 da	 função	 e	 suas	 formas	 diferenciais	 seja	
igual	a	zero.	Tal	definição	fica	mais	bem	ilustrada	ao	observar	um	exemplo.	
	 Exemplo (1.3) 
 
 
Toda EDO não-homogênea possui a chamada equação homogênea associada. Esta é 
facilmente obtida impondo que a relação dos termos “não-independentes” seja igual a zero. 
 
1� 1213 � 4	�, 
�	
2� 162136 � 7 8
12
13 	 , �	, 
9	
��	
� � �	
� : 1	
��	
� � ;
. �� 	
� : �	
� 
1� EDO de primeira ordem:	
2� EDO de segunda ordem:	
	
1� ��	
� : 	�	
� � 0	
2� ��	
� ; 
. �� 	
� : �	
� � 0	
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
6 
 
Exemplo (1.4) 
 
 
 
 
Este tipo de equação será utilizado para resolução de EDOs. Mas nos preocuparemos com isso 
mais adiante. 
1.3. Problema de valor inicial 
Um exercício de EDO é chamado de problema de valor inicial (pvi) quando este fornecer dados 
para a criação de um sistema que possui duas partes: 
• Uma equação diferencial; 
• Condições de contorno; 
Equações diferenciais, como vimos na sessão anterior, são equações matemáticas que 
relacionam uma função com suas funções diferenciais e descrevem uma situação. As 
condições de contorno são dados mais específicos sobre a situação, como a velocidade do 
corpo no instante t, ou a posição inicial do corpo. Estas informações serão utilizadas para 
determinar algumas constantes que surgirão quando resolvermos a EDO. 
Vejamos um exemplo para elucidar um pvi: 
Um corpo de 4kg é puxado por uma força constante de 4N para a direita. Sabendo que a caixa 
parte do repouso e da posição x=0, determine as relações de velocidade por tempo e espaço 
por tempo. 
O enunciado acima, apesar de simples, nos fornece uma equação diferencial e duas condições 
de contorno. Vamos extraí-las! 
Pela segunda lei de Newton: 
 
4 � => ⇒ 4 � 	4. > ⇒ > � 1	=/B�	 	1.1� 
Recordando, podemos reescrever a equação (1.1) como sendo: 
 > � ��	
� � 	1			 	1.2� 
Que é uma EDO de segunda ordem. Além disso, o enunciado fornece duas outras informações 
importantes para podermos resolver o problema: a caixa parte do repouso e parte da posição 
x=0. Ou seja: 
 
��	
� ; 
. �� 	
� : �	
� � 7. 
						EDO�	
��	
� ; 
. �� 	
� : �	
� � 0									Equação	homogênea	associada�	
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
7 
F	0� � 	0					G					�	0� � 	0 	1.3� 
 
Por fim, temos todos os dados! Portanto, nosso pvi é: 
I��	
� � 	1			�	0� � 	0		F	0� � 	0		J 
Assim, para resolvermos um exercício que envolve EDOs, devemos interpretar o texto para 
extrair estes dados do enunciado. 
 
 
 
 
 
Agora que temos alguma idéia do que são equações diferenciais, vamos tentar entender como 
se resolve alguns tipos de EDOs. 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
8 
2. EDOs de segunda ordem homogênea 
Como vimos na sessão1.2, as equações diferenciais homogêneas possuem a seguinte forma: 
 �� : >. �� : K� � 0 	2.1� 
O que desejamos é encontrar uma solução que satisfaça a eq. (2.1). Para isso, devemos fazer a 
suposição de que a solução tem a forma: 
 �	
� � 	 GL.3 	2.2� 
E nosso trabalho se resume a encontrar um valor de M que satisfaça a eq. (2.1). Sim. Eu 
concordo que parece roubo. Mas existem provas matemáticas de que isso é válido. 
Para obter esses valores, derivamos nossa suposta resposta e substituímos o resultado na eq. 
(2.1). Então: 
 �	
� � 	 GL.3	�� 	
� � 	M. GL.3	�� 	
� � M�. GL.3 	2.3� 
Substituindo os resultados na eq. (2.1), temos: 
M�GL.3 : >. MGL.3 : KGL.3 � 0 
Como podemos garantir que eN.O é diferente de zero para todo valor real de t: 
 M� : >. M : K � 0 	2.3� 
Esta é a chamada equação característica. Este é um importante conceito. Esta será a nossa 
ferramenta para obter os valores de M que satisfazem as nossas EDOs. Assim, definimos: 
Definição (2.2) 
 
 
 
 
 
Vamos trabalhar alguns exemplos para ajudar a compreender melhor como resolver uma EDO 
de segunda ordem. 
 
 
�� : >. �� : K� � 0 
M� : >. M : K � 0 
Dada a equação diferencial de segunda ordem: 
sua equação característica será dada por: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
9 
Exemplo (2.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos seguir para o próximo exemplo. 
Exemplo (2.3) 
 
 
 
 
M � ;0 P √Δ2 		; 		Δ � 4 
Resolva a seguinte equação diferencial: 
 �� ; � � 0 	2.4� 
Como dito, devemos supor uma solução do tipo (2.2). Então, derivando temos que: 
 �	
� � 	 GL.3	�� 	
� � 	M. GL.3	�� 	
� � M�. GL.3 
Substituindo as eq. (2.4) em (2.3), temos: 
 M�. GL.3 ;	GL.3 � 0 
Como podemos garantir que eN.O é diferente de zero para todo valor real de t, 
 M� ; 	1 � 0 	2.5� 
Esta é a chamada equação característica. Resolvendo esta equação de segundo grau: 
Portanto: 
 	MU � 	1					G					M� �	;1 	2.6� 
 
Agora que temos valores de M que satisfazem a eq. (2.3), temos duas relações: 
 �U	
� � 	 G3					G					��	
� � 	 GW3 	2.7� 
Para finalizar, temos que a solução para a eq. (2.3) é dada por: 
 �	
� � 	XU. G3 : X�. GW3 	2.7� 
Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
 
Resolva a seguinte equação diferencial: 
 �� : 2�� : � � 0 	2.8� 
Pela definição (2.2), temos que a equação característica da eq. (2.8) é: 
 M� : 2M : 1 � 0 	2.9� 
Resolvendo a eq. (2.9): 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, daremos um terceiro exemplo. 
Exemplo (2.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M � ;2 P √Δ2 		; 		Δ � 0 
�U	
� � ��	
� � G3 
��	
� � 
G3 
Portanto: 
 	MU � M� � 	1 	2.10� 
Neste caso, temos que as relações �U	
� e ��	
� são iguais: 
Que não é o suficiente para nos fornecer uma solução para a eq. (2.8). Neste caso, devemos 
definir que: 
E, finalmente, a solução para a eq. (2.8) é dada por: 
 �	
� � 	XU. G3 : X�. 
G3 	2.11� 
Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
M � ;2 P √Δ2 		; 		Δ � ;16 
Resolva a seguinte equação diferencial: 
 �� : 2�� : 5� � 0 	2.12� 
Pela definição (2.2), temos que a equação característica da eq. (2.12) é: 
 M� : 2M : 5 � 0 	2.13� 
Resolvendo a eq. (2.9): 
Portanto: 
 	MU � ;1: 2[					G					M� �	;1 ; 2[ 	2.14� 
Como podemos ver, os valores de M obtidos são complexos. Com isso as relações são: 
 	�U	
� � G	WU\�]�3 					G					��	
� � G	WUW�]�3 	2.15� 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos exemplos dados, resolvemos três EDOs que nos levaram a três soluções distintas. O 
caminho da resolução mudou dependendo da característica do discriminante ( ), dependendo 
se este era maior, menor ou igual a zero. Portanto, podemos resumir as soluções de EDOs de 
segunda ordem homogênea da seguinte forma: 
Definição (2.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M� : >. M : K � 0 
M � ;>2 P √Δ2 		; 		Δ � >� ; 4K 
�	
� � 	XU. GL^3 : X�. GL63 
�	
� � 	XU. GL3 : X�. 
GL3 
�	
� � G8_�93 `αU. cosb√Δ 2c 
d : X�. BGe b√Δ 2c 
df 
Dada a equação diferencial de segunda ordem: 
 �� : >. �� : K� � 0 	2.18� 
sua equação característica será dada por: 
Sendo a solução da equação característica: 
A solução de (2.18) será: 
I) Para g � 0: 
II) Para g � 0: 
III) Para g � 0: 
Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
A relação de Euler garante que as eq. (2.15) podem ser reescritas como: 
 
	h�U	
� � GW3. G	�3�] � GW3icos	2
� : [BGe	2
�j		��	
� � GW3. G	W�3�] � GW3icos	2
� ; [BGe	2
�jJ 	2.16� 
Para criar nossa solução para a eq. (2.12), utilizamos apenas a relação �U	
� e obtemos: 
 	�	
� � GW3iαU. cos	2
� : X�. BGe	2
�j	 	2.17� 
Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
12 
Neste ponto, temos uma idéia de como lidar com uma equação diferencial. Tentemos, então, 
fixar esses conceitos vendo algumas aplicações destas na área física estudando os osciladores 
harmônicos. 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
13 
3. Osciladores harmônicos simples 
3.1. Solução geral 
Considere a seguinte situação, ilustrada na Figura 1: 
Um corpo de massa (m) está preso a uma mola de constante elástica 
(k) sobre uma superfície sem atrito e sem que haja resistência do ar 
atuando no corpo. Em um primeiro momento, o corpo encontra-se 
em repouso na posição de equilíbrio. 
Ao deslocar o corpo para a direita, a mola passa a exercer uma força 
restauradora (Fx) no corpo para retornar à posição de equilíbrio. 
Então, pela lei de Hook, temos: 
 
 
Assim, pela segunda lei de Newton: 
 4 � 42 	⇒ =. > � ;k. � 	3.2� 
Reescrevendo a aceleração (a) em sua notação diferencial, obtemos por (3.2): 
 =. �� � ;k. � ⇒ �� : k= . � � 0 
Ou: 
 �� : lm�. � � 0 	3.3� 
Onde lm é a freqüência angular do movimento que é dada por: 
 lm� � k= 	3.4� 
Olhando a eq. (3.3), vemos que esta é uma equação diferencial de segunda ordem 
homogênea. Como vimos na sessão 2, podemos resolvê-la encontrando sua equação 
característica e descobrindo valores para M que satisfazem a equação. Mãos a obra! 
Pela definição (2.5), temos que a equação característica de (3.3) é: 
 M� : lm� � 0 	3.5� 
Resolvendo a eq. (3.5), vemos que esta possui discriminante menor que zero. O que nos leva a 
valores complexos e ao terceiro caso de solução de EDOs de segunda ordem homogênea. 
 
42 � ;k. � 	3.1� Figura 1 – Massa e mola 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
14 
M � Plm. [ 	3.6� 
Pela definição (2.5), a solução terá a forma: 
�	
� � Gm.3nαU. cos	lm
� : X�. BGe	lm
�o 
 ∴ �	
� � αU. cos	lm
� : X�. BGe	lm
� 	3.7� 
Pronto! Temos nossa solução. Para achar os valores de XU e X�, precisaríamos de duas 
condições de contorno que seriam dadas no enunciado. 
Exemplo (3.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um corpo de 3kg está preso a uma mola de constante elástica 147N/m, sobre uma superfície 
sem atrito. Em um primeiro momento, o corpo encontra-se em repouso na posição de 
equilíbrio em x = 1m. Com base nos dados, determine a equação geral do movimento do 
corpo. Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
O enunciado nos diz que, em t=0, o corpo está em repouso e na posição x=0. Logo, as 
condições de contorno são: 
 F	0� � 	0					G					�	0� � 	1 	3.8� 
Vejamos, agora, a equação diferencial. Pela segundalei de Newton: 
 
4 � 42 	⇒ =. > � ;k. � ⇒ �� : k= . � � 0 	3.9� 
Assim: 
 �� : 49. � � 0 	3.10� 
Temos, então, condições de contorno e uma EDO! Nosso pvi será: 
 
q�� : 49. � � 0�	0� � 	1	F	0� � 	0		 J 	3.11� 
Pela definição (2.5), temos que a equação característica de (3.9) é: 
 M� : 49 � 0 	3.12� 
Resolvendo a eq. (3.10), obtemos: 
 M � P7. [ 	3.13� 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
15 
 
 M � P7. [ 	3.6� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a eq. (3.7), podemos fazer algumas considerações sobre as constantes X e tornar 
a expressão um pouco mais concisa. Vamos a elas! 
Como XU e X� são constantes, podemos dizer que são valores de seno e cosseno. Assim: 
 XU � r. cos	φ� 				G				X� � ;r. BGe	φ� 	3.15� 
Substituindo na eq. (3.15), obtemos: 
�	
� � Acos	φ�. cos	lm
� ; rBGe	φ�. BGe	lm
� 
Recordando a relação trigonométrica de cossenos, temos: 
cos	uU : u�� � cos	uU� . cos	u�� ; BGe	uU�. BGe	u�� 
�	0� � αU. cos	7.0� : X�. BGe	7.0� � αU. cos	0� : X�. BGe	0� � αU 
�	0� � αU � 1 
��	
� � F	
� � ;αU. 7. sen	7
� : X�. 7. vwB	7
� 
F	0� � ;αU. 7. sen	0� : X�. 7. vwB	0� � 7X� 
F	0� � 7α� � 0 ⇒ α� � 0 
�	
� � cos	7
� 
Pela definição (2.5) e pela eq. (3.7), temos: 
 ∴ �	
� � αU. cos	7
� : X�. BGe	7
� 	3.14� 
Com os dados do pvi (3.11), vamos obter os valores de XU e X�. 
Em t=0, temos: 
Assim: 
Derivando a eq. (3.14), temos: 
Para t=0, temos: 
E então: 
Por fim, concluímos que a equação geral do movimento do corpo é: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
16 
Comparando as relações: 
 �	
� � Acos	lm
 : φ� 	3.16� 
Com essa nova notação da solução, obtivemos dois novos parâmetros: r e x . Estes 
representam: 
• r é a amplitude do oscilador harmônico; 
• x é a fase inicial do movimento; 
Vamos ver um exercício um pouco mais completo. Resolveremos o exercício 1, do capítulo 3, 
do Curso de Física Básica do Moysés Nussenzveig. 
Exemplo (3.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ym � y ⇒ =F � 	= :z�Fm ⇒ Fm � =F	= :z�				3.17� 
	= :z��� � ;k� ⇒ �� : k	= :z� � � 0 
�� : lm�� � 0							3.18� 
�	
� � αU. cos	lm
� : X�. BGe	lm
� 
��	0� � Fm � =F	= :z� 						G						�	0� � 0 
 
Figura 2 – Exemplo 3.2 
Um bloco de massa M, capaz de deslizar com atrito desprezível sobre um trilho de ar 
horizontal, está preso a uma extremidade do trilho por uma mola de massa desprezível e 
constante elástica K, inicialmente relaxada. Uma bolinha de chiclete de massa m, lançada em 
direção ao bloco com velocidade horizontal v, atingi-o no instante t=0 e fica grudada nele (Fig. 
2). Ache a expressão do deslocamento x do sistema para t>0. 
Em t=0, há a colisão entre o chiclete e o bloco. Então, pela conservação do momento: 
Para o sistema (m+M), pela segunda lei de Newton: 
Fazendo lm� � {|\}, temos: 
Como vimos, a eq. (3.18) possui solução do tipo: 
Pelo enunciado, temos que nossas condições de contorno são: 
Portanto, 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. Energia de um oscilador 
A energia do oscilador harmônico é composta por energia cinética (T) e energia potencial 
elástica (Ux). Vamos analisar por partes para então juntar tudo. 
A energia cinética é dada por: 
~	
� � 12=. F� � 12=. ��� 
Pela solução (3.16) do oscilador harmônico simples, temos: 
��	
� � ;Aωmsen	lm
 : φ� 
Logo: 
~	
� � 12=. i;rlmBGe	lm
 : x�j� 
 
∴ 	~	
� � 12=. r�lm�BGe�	lm
 : x� 	3.17� 
A energia potencial elástica é dada por: 
�	0� � αU. cos	lm. 0� : X�. BGe	lm. 0� � αU	
∴ αU � 0 
��	
� � X�lm. vwB	lm
� 
��	0� � X�lm. vwB	lm0� ⇒ X�lm � =F	= :z� 
∴ α� � =F	= :z�lm 
�	
� � =F	= :z�lm BGe	lm
� 
Derivando a solução e substituindo o valor de XU obtido, temos: 
Para t=0: 
Concluímos, então, que a expressão do deslocamento x do sistema para t>0 é: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
18 
€2	
� � 12 . k�� 
Pela solução (3.16) do oscilador harmônico simples e pela relação (3.4), temos: 
�	
� � Acos	lm
 : φ� e k � lm�.= 
Logo: 
€2	
� � 12 .=lm�	Acos	lm
 : φ��� 
 
∴ €2	
� � 12 .=lm� A�cos�	lm
 : φ� 	3.18� 
Pelas equações (3.17) e (3.18) temos que a energia total (E), que se conserva: 
 � ~	
� : €2	
� � 12=. r�lm�BGe�	lm
 : x� : 12 .=lm� A�cos�	lm
 : φ� 
Colocando em evidência: 
 � 12=. r�lm�	BGe�	lm
 : x� : cos�	lm
 : x�� 
Pela relação fundamental da trigonometria: 
 
 � 12=. r�lm� 	3.19� 
 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
19 
4. Oscilador Harmônico Amortecido 
4.1. Solução geral 
Vamos novamente considerar a situação descrita na sessão 3.1, onde um corpo de massa (m) 
está preso a uma mola de constante elástica (k) sobre uma superfície sem atrito. Dessa vez, 
vamos levar em consideração que a superfície do corpo encontra certa resistência do ar 
proporcional a uma constante (‚) e à velocidade do corpo. Assim, temos, pela segunda lei de 
Newton: 
∑4 � =. �� 	⇒ 42 : 4„…† � =. �� 	⇒ ;k. � ; ‚. �� � =. �� 	⇒ �� : ‚= . �� : k= . � � 0	
 
 
∴ 	 �� : ‡. �� : lm�. � � 0 	4.1� 
Onde lm� � {| e ‡ � ˆ| � 0. 
Com base no que foi visto na sessão 2, temo que a equação encontrada é de segunda ordem e 
homogênea. Desse modo, vamos procurar uma solução para a eq. (4.1) com base na definição 
(2.5). Obtendo a equação característica de (4.1), temos: 
M� : ‡. M : lm� � 0 
Resolvendo a equação de segundo grau, temos que os valores de beta são: 
M � ;‡2 P ‰‡� ; 4lm�2 
 
M � ;‡2 P Š‡�4 ; lm� 	4.2� 
Com a equação (4.2), chegamos a um ponto que merece nossa atenção. Neste ponto, será 
avaliado o resultado para saber o tipo de amortecimento que haverá no movimento 
oscilatório. São três tipo distintos, dependendo da característica do discriminante. Vamos a 
eles. 
I) Amortecimento subcrítico (� � �� 
Como o descriminante é menor do que zero, temos: 
‡�4 � lm� 
Pela eq. (4.2), podemos colocar o fator (-1) em evidência dentro da raiz. Assim: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
20 
M � ;‡2 P Š‡�4 ; lm� �	;‡2 P Š‹lm� ; ‡�4 Œ . 	;1� � 	; ‡2 PŠ‹lm� ; ‡�4 Œ . [ 
Chamando l � lm� ; Ž6 , concluímos: 
M � ;‡2 P l. [ 
A partir disso, obtemos nossa solução que, pela definição (2.5) é: 
 
 
�	
� � G8WŽ�93nXU. cos	l
� : X�. BGe	l
�o 	4.3� 
Ou, pela manipulação do resultado, como feito para a obtenção da eq. (3.16): 
 
 
�	
� � rG8WŽ�93cos		l
 : x� 	4.4� 
 
II) Amortecimento supercrítico (� � �� 
No caso do amortecimento supercrítico, temos que o discriminante é positivo. Com isso: 
‡�4 � lm� 
Logo, temos que a solução de M é dada por: 
M � ;‡2 P Š‡
�
4 ; lm� 
Chamando  � Ž6 ;lm�, concluímos: 
M � ;‡2 P  
A partir disso, obtemos nossa solução que, pela definição (2.5) é: 
 
�	
� � GWŽ�3‘XU. e’3 : X�. GW’3“ 	4.5� 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
21 
III) Amortecimento crítico (� � �� 
No caso do amortecimento supercrítico, temos que o discriminante é nulo. Com isso: 
‡�4 � lm� 
Logo, temos que a solução de M é dada por: 
M � ;‡2 
A partir disso, obtemos nossa solução que, pela definição (2.5) é: 
 
�	
� � G8WŽ�93nXU : X�. 
o 	4.6� 
Vejamos como este assunto é cobrado pelo livro do Moysés Nussenzveig. 
Exemplo (3.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=”� � ;‚”� ⇒ =”� : ‚”� � 0 ⇒ ”� : ‡”� � 0 
M� : ‡M � 0 ⇒ M	M : ‡� � 0 
MU � 0			G			M� � ;‡ 
”	
� � 	XU. GL^3 : X�. GL63 ⇒ ”	
� � 	XU : X�. GWŽ3 
Uma partícula de massa m move-se na direção z no interior de um fluido, cuja resistência de 
atrito é da forma – ‚”� ou seja, é proporcional à velocidade (‚ � 0). A forçapeso PE 
desprezível em confronto com a resistência de atrito durante o intervalo de tempo 
considerado. Dadas a posição inicial ”m e a velocidade inicial Fm, ache z(t). 
Imaginando a situação, temos que a partícula está caindo no fluido com seu peso despresível. 
Pela segunda lei de Newton, temos: 
Com ‡ � ˆ|. 
Supondo a solução da forma ”	
� � GL3, obtemos a equação característica: 
Tal equação cai no resultado (I) da definição (2.5). Isso nos fornece: 
E que a solução geral do oscilador será: 
Derivando a solução: 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso, vemos quatro casos de oscilação harmônica: Oscilação simples, amortecida 
subcrítica, crítica e supercrítica. Entretanto, até agora, consideramos apenas oscilações livres, 
em que o oscilador recebe uma certa energia inicial e depois é solto. Entretanto, há casos onde 
a oscilação é produzida devido a uma força externa. Tais casos são denominados Oscilações 
forçadas e requerem uma forma de resolução de EDOs não homogêneas. Vamos passar alguns 
conceitos de resolução dessas EDOs! 
 
”�	
� � 	;X�‡. GWŽ3 
”�	0� � 	;X�‡. GWŽm � Fm ⇒ X� � ;Fm‡ 
”	0� � 	XU ; Fm‡ . GWŽm � ”m ⇒ XU � ”m : Fm‡ 
”	
� � 	 ”m : Fm‡ ; Fm‡ . GWŽ3 
”	
� � 	 ”m : Fm‡ 	1 ; GWŽ3� 
Pela condição de contorno fornecida: 
A segunda condição de contorno nos fala que z(0)=z0. Logo, pela solução e pelo valor de X� 
obtido: 
Portanto a solução z(t) que procuramos é dada por: 
Ou, colocando em evidência: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
23 
5. EDO de segunda ordem não-homogênea 
Até o momento, discutimos várias equações diferenciais e alguns tipos de resoluções, 
entretanto todas homogêneas. Vamos estender nosso conhecimento, agora, para podermos 
resolver alguns tipos de equações diferenciais não-homogêneas. 
5.1. Forma geral 
Este tipo de EDO são aquelas que possuem termos independentes. Vejamos alguns exemplos 
para elucidar um pouco a idéia. 
Exemplo (5.1) 
 
 
 
5.2. Equação homogênea associada 
Como vimos na sessão 1.2, as equações não-homogêneas possuem as chamadas equações 
homogêneas associadas. Estas são de fácil obtenção! Basta desconsiderar o termo 
independente, e igualar os demais termos a zero. 
Exemplo (5.2) 
 
 
 
 
 
Estas serão importantes para a obtenção da solução geral das EDOs não-homogêneas. Já 
veremos por que! 
5.3. Solução geral 
Diferentemente das EDOs homogêneas, as não-homogêneas terão solução construídas em 
duas partes: solução da homogênea associada e solução particular. 
Com isso, a solução deste tipo de EDO terá a forma: 
 �	
� � 	�–	
� :	�—	
� 	5.1� 
Mas como obteremos tais soluções? Vejamos agora! 
1) �� ; 
�� : � � 7
	
2�	�� ; 
��� : 3� � cos		5
�		
1) �� ; 
�� : � � 7
 (EDO) 
 �� ; 
�� : � � 0 (Homogênea associada) 	
2�	�� ; 
��� : 3� � cos		5
�				(EDO)	
					�� ; 
��� : 3� �	0																		(Homogênea associada) 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
24 
Solução da homogênea associada 
Para essa parte da solução não teremos novidades! Por ser uma EDO homogênea, obtemos a 
solução da mesma forma que foi mostrado na sessão 2. 
Mas vamos reescrever aqui a definição (2.5) para deixá-la mais fresca em nossas memórias. 
Definição (5.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta já está fácil. Vejamos agora a segunda etapa! 
Solução particular 
Uma solução particular, como o próprio nome diz, é uma solução que é característica do 
problema o qual estamos trabalhando. Esta solução dependerá da função do termo 
independente. 
Para obter essa solução, devemos novamente fazer suposições. Para isso, deveremos avaliar o 
termo independente. Vejamos um exemplo: 
 
M� : >. M : K � 0 
M � ;>2 P √Δ2 		; 		Δ � >� ; 4K 
�	
� � 	XU. GL^3 : X�. GL63 
�	
� � 	XU. GL3 : X�. 
GL3 
�	
� � G8_�93 `αU. cosb√Δ 2c 
d : X�. BGe b√Δ 2c 
df 
Dada a equação diferencial de segunda ordem: 
 �� : >. �� : K� � 0 	5.2� 
sua equação característica será dada por: 
Sendo a solução da equação característica: 
A solução de (2.18) será: 
IV) Para g � 0: 
V) Para g � 0: 
VI) Para g � 0: 
Para XU e X� números reais a ser determinados pelas condições de contorno. 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
25 
Exemplo (5.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�—	
� � XU. cos	8
� : X�. BGe	8
� 
cos	8
� n4. XU ; 8�. XUo : BGe	8
�n4. X� ; 8�. X�o � cos		8
� 
cos	8
� n4. XU ; 8�. XUo : BGe	8
�n4. X� ; 8�. X�o � cos	8
� : 0. BGe	8
� 
˜4. XU ; 8�. XU � 14. X� ; 8�. X� � 0J 
Encontre a solução particular da seguinte EDO: 
 �� : 4� � cos		8
� 	5.3� 
Como dito, devemos avaliar o termo independente e supor uma solução. Nosso termo 
independente, nesse caso, é dado por cos(8t). Com isso, vamos supor uma solução do tipo: 
Onde XU e X� são constantes que vamos determinar a seguir. 
Então, derivando nossa solução, temos que: 
 �—	
� � 	XU. cos	8
� : X�. BGe	8
�	��—	
� � 	;XU8. sen	8
� : X�8. vwB	8
�	��—	
� � ;XU8�. cos	8
� ; X�8�. BGe	8
� 	5.4� 
Substituindo as eq. (5.3) em (5.2), temos: 
 ;XU8�. cos	8
� ; X�8�. BGe	8
� : 4nXU. cos	8
� : X�. BGe	8
�o � cos		8
� 
Reagrupando os termos: 
Ou: 
Comparando os termos da equação, concluímos que: 
Portanto: 
 
XU � ; 160		;		X� � 0 	5.5� 
Por fim, com o resultado obtido em (5.4), nossa solução particular será dada por: 
 
�—	
� � ; 160 . cos	8
� 	5.6� 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
26 
 
Sem mistério! Mas de onde foi tirada a suposição? Bom, a seguir foi feita uma tabela de qual 
suposição deverá ser feita para cada caso: 
Tabela (5.3) 
Termo Independente Suposição (xp) Exemplo 
BGe	�� ou cos		�� XU. cos	�� : X�. BGe	�� 
• BGe	8
� � 	�� : �	 ⇒			�— � XU. cos	8
� : X�. BGe	8
� 
• vwB	
� � 	�� : 9�	 ⇒			�— � XU. cos	
� : X�. BGe	
� 
G™2	 XG™2 • 13Gš3 � �� : 2�� ; �	 ⇒ �— � XGš3 
�› : �›WU :⋯: � : �m X›. �› : X›WU. �›WU :⋯: XU. � : Xm • 
� �	�� : � ⇒ �— � X�. 
� : XU. 
 : Xm 
A tabela se prolonga um pouco mais para alguns casos. Entretanto, os casos que veremos aqui 
serão mais simples. Em geral, osciladores harmônicos terão força na forma de funções 
trigonométricas. Então não se assuste. 
 
 
 
 
Assim concluímos a solução de uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea! 
Vamos agora aplicar essas informações aos osciladores harmônicos! 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
27 
6. Osciladores harmônicos forçados 
6.1. Solução geral 
Novamente, considere a situação que foi descrita nas sessões 3 e 4: 
Um corpo de massa (m) está preso a uma mola de constante elástica (k) sobre uma superfície 
sem atrito. Desconsidere, também, a resistência do ar. 
Agora, considere que uma força exterior passe a exercer uma força do tipo: 
4	
� � 4. cos		ž. 
� 
Onde ž representa a freqüência angular da força externa. 
Pela segunda lei de Newton: 
∑4 � =. �� ⇒ 4	
� ; 42 � =. �� ⇒ 4. cos	ž. 
� ; k. � � =. �� 	
 
∴ �� : lm�. � � 4= . cos		ž. 
� 	6.1� 
Com isso, obtemos uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea. Basta agora 
resolvê-la para obter uma solução. 
Primeiramente, vamos encontrar a solução da homogênea associada: 
Pela eq. (6.1): 
 ∴ �� : lm�. � � 0 	6.2� 
Resolvendo a (6.2) pela teoria dada nas sessões 2 e 3, obtemos: 
�–	
� � αU. cos	lm
� : X�. BGe	lm
� 
Ou: 
 �–	
� � Acos	lm
 : φ� 	6.3� 
Agora, devemos obter uma solução particular para então obter a solução geral. 
Como o termo independente é dado porŸ | cos		ž. 
�, devemos supor uma solução da forma: 
�—	
� � XU. cos	ž. 
� : X�. BGe	ž. 
� 
Derivando a nossa suposta solução: 
 �—	
� � 	XU. cos	ž. 
� : X�. BGe	ž. 
�	��—	
� � 	;XUž. sen	ž. 
� : X�ž. vwB	ž. 
�	 	6.4� 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
28 
��—	
� � ;XUž�. cos	ž. 
� ; X�ž�. BGe	ž. 
� 
 
Substituindo na eq. (6.1): 
�� : lm�. � � 4= . cos	ž. 
� ⇒ ⇒ ;XUž�. cos	ž. 
� ; X�ž�. BGe	ž. 
� : lm�nXU. cos	ž. 
� : X�. BGe	ž. 
�o � 4= . cos	ž. 
� 
Organizando os termos: 
cos	ž. 
� nlm�. XU ; XUž�o : BGe	ž. 
�nlm�X� ; X�ž�o � 4= . cos	ž. 
� 
Ou: 
cos	ž. 
� nlm�. XU ; XUž�o : BGe	ž. 
�nlm�X� ; X�ž�o � 4= . cos	ž. 
� : 0. BGe	ž. 
� 
Comparando os termos: 
IXU	lm� ; ž�� � 4=X�	lm� ; ž�� � 0 J 
Como 	lm� ; ž�� ¡ 0: 
XU � 4=	lm� ; ž�� G X� � 0 
Portanto, a solução particular do oscilador é dada por: 
 
�—	
� � 4=	lm� ; ž�� . cos	ž. 
� 	6.5� 
Por fim, por (6.3) e (6.5), a solução geral é: 
�	
� � �–	
� : �—	
� ⇒ 
 
�	
� � 4=	lm� ; ž�� . cos	ž. 
� : Acos	lm
 : φ� 	6.6� 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
29 
6.2. Interpretações da solução 
A partir desse resultado que obtivemos, podemos interpretar três situações quanto a 
freqüência da força externa: Limite de baixas freqüências, limite de altas freqüências e o caso 
da ressonância. 
I) Limite de baixas freqüências: 
Neste caso, temos que: 
ž ≪ lm 
Com isso, podemos considerar válida a aproximação: 
lm� ; ž� £ lm� 
Logo, nossa solução particular passa a ser: 
�—	
� £ 4=. lm� . cos	ž. 
� 
Ou seja, o deslocamento é no mesmo sentido da força externa. 
II) Limite de altas freqüências: 
Neste caso, temos que: 
ž ≫ lm 
Com isso, podemos considerar válida a aproximação: 
lm� ; ž� £ ;ž� 
Logo, nossa solução particular passa a ser: 
�—	
� £ ; 4=. ž� . cos	ž. 
� 
Ou seja, o deslocamento está em oposição de fase com a força externa. 
III) Ressonância: 
Neste caso, temos que: 
ž → lm 
Analisando a eq. (6.5), podemos notar que, à medida a freqüência da força externa aproxima-
se da freqüência natural do oscilador, a amplitude de resposta, dada por: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
30 
r= � 4=	lm� ; ž�� 
vai crescendo e, quando ž → lm, vemos que r= → ∞. 
Esse fenômeno pode ser observado em vários locais e pode também ser responsável por 
efeitos catastróficos! Um deles é o desabamento de pontes que entram em ressonância com a 
marcha cadenciada de uma tropa de soldados ao atravessá-las. Outro exemplo é o da voz de 
uma cantora induzindo vibrações fortes em um cálice de cristal que acabam por parti-lo. 
 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
31 
7. Osciladores harmônicos forçado-amortecidos 
7.1. Revisão de conceitos 
Antes de começarmoa a analisar o caso desse oscilador, devemos passar por dois 
conceitos que serão usados na dedução da solução. 
I) Notação em coordenadas polares: 
A notação que normalmente utilizamos em nossas contas é a notação cartesiana. Desde 
cedo em nossas vidas aprendemos a traçar gráficos em eixos X versus Y e analisá-los. 
Entretanto, há casos onde a análise nesse tipo de coordenada torna-se complexo demais, 
sendo inviável. Assim, podemos descrever as expressões em coordenadas diferentes da 
cartesiana, por exemplo, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas e, a que utilizaremos 
em nosso processo, coordenadas polares. Como não tenho intensão de ensinar-lhe a 
manipular expressões para mudar de coordenada, apenas mostrarei as relações das 
coordenadas esféricas. 
Considere >, K, § números reais e X um ângulo. Assim: 
 
©¨ª
©« > � §. cos	X�K � §. BGe	X�§ � ‰>� : K�
X � arctan ¬K>­
J	 	7.1� 
Bom, para deixar um pouco menos abstrato, demonstrarei as expressões 3 e 4 utilizando 
as expressões 1 e 2. Isso não é algo fundamental. Caso queira, siga adiante para o próximo 
conceito. 
Pelas expressões (7.1) temos: 
˜> � §. cos	X� ⇒ >� � §�. vwB�	X�K � §. BGe	X� ⇒ K� � §�. BGe�	X�J	
Somando	as	expressões:	
>� : K� � §�. cos�	X� : §�. BGe�	X� � §�icos�	X� : BGe�	X�j	
	 Pela	relação	fundamental	da	trigonometria,	
cos�	X� : BGe�	X� � 1	
Assim,	concluímos:	
∴ § � ‰>� : K�	∎	
	 A	outra	expressão	já	é	um	pouco	mais	simples.	Dividindo	a	segunda	expressão	pela	
primeira:	
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
32 
K> � §. BGe	X�§. cos	X� 
Simplificando: 
K> � BGe	X�cos	X� � 
>e	X� 
Logo: 
α � arctan ¬K>­ ∎ 
II) Notação de euler: 
Esse conceito nós já utilizamos durante nossas deduções, entretanto acho importante 
recordá-lo agora. Sendo >, K, § números reais e X um ângulo, temos, pelas coordenadas 
polares: 
I> � §. cos 	X�K � §. BGe	X�§ � ‰>� : K� J 
Assim, temos: 
G]	µ� � cos	X� : [. BGe	X� ⇒ §. G]	µ� � §. cos	X� : [. §. BGe	X� 
 
∴ §. G]	µ� � > : [. K 	7.2� 
Haverão casos onde queremos apenas a parte real dessas expressões. Nesses casos, 
denotaremos: 
¶ � ·G	G]µ� 
Isso nada mais é do que: 
¶ � cos 	X� 
tendo vista que cos	X� é a parte real de G]µ. 
 
Lembre-se desses resultados! Eles serão importantes! 
7.2. Solução geral 
Considere dessa vez uma situação semelhante àquela retratada na sessão 6: 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
33 
Um corpo de massa (m) está preso a uma mola de constante elástica (k) sobre uma 
superfície sem atrito. 
Como podemos ver, nossa atual situação não despresou o atrito causado pelo ar. Esse 
fator será responsável pelo amortecimento do movimento. Agora, considere que uma força 
exterior passe a exercer uma força do tipo: 
4	
� � 4. cos		ž. 
� 
Onde ž representa a freqüência angular da força externa. 
Pela segunda lei de Newton: 
∑4 � =. �� ⇒ 4	
� ; 4_„ ; 42 � =. �� ⇒ 4. cos	ž. 
� ; ‚. �� ; k. � � =. �� 	
 
∴ �� : ‡. �� : lm�. � � 4= . cos		ž. 
� 	7.3� 
Com a 7.3, obtemos uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com 
um faotr de amortecimento ‡. Basta agora resolvê-la para obter uma solução. 
Como já mencionado, a solução geral se dá pela soma da solução da homogênea 
associada com a solução da não-homogênea. Entretanto, nesse caso daremos atenção apenas 
para a solução da não-homogênea. Vamos começar! 
Pela 7.3: 
�� : ‡. �� : lm�. � � 4= . cos		ž. 
� 
Supondo: 
� � r. ·GiG]	¸.3\¹�j 
ou seja, x é a parte real da expressão de euler. Para facilitar a notação, escreveremos 
simplesmente que: 
� � r. G]	¸.3\¹� 
Então, temos que as derivadas de x em t são: 
�� � [rž. G]	¸.3\¹� 
�� � ;rž�. G]	¸.3\¹� 
Substituindo: 
�� : ‡. �� : lm�. � � 4= . cos	ž. 
� ⇒	 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
34 
⇒ ;rž�. G]	¸.3\¹� : ‡. [rž. G]	¸.3\¹� : lm�. r. G]	¸.3\¹� � 	 4= . G]¸3 
Note que, nesse caso podemos denotar cos	X� como G]µ já que estamos denotando G]µ como a parte real da expressão complexa. Ou seja, G]µ � ·G	G]µ�. 
 	;rž�. G]	¹�. G]	¸.3� : ‡. [rž. G]	¹�. G]	¸.3� :lm�. r. G]	¹�. G]	¸.3� �	4= . G]¸3 
 Simplificando: 
;rž�. G]	¹� : ‡. [rž. G]	¹� :lm�. r. G]	¹� �	4= ⇒ 
r. G]	¹� 8	lm� ; ž�� : ‡ž. [9 � 	4= ⇒ r. G]	¹� �	 4=i	lm� ; ž�� : ‡ž. [j 
 Bom, estamos indo bem. As contas são grandes e feias, mas com calma podemos 
entendê-las. 
 Racionalizando o denominador: 
r. G]	¹� �	 4=i	lm� ; ž�� : ‡ž. [j .
8	lm� ; ž�� ; ‡ž. [9i	lm� ; ž�� ; ‡ž. [j ⇒ 
r. G]	¹� �	 4. 8	lm� ; ž�� ; ‡ž. [9=		lm� ; ž��� ; ‡�ž�. [�� 
Lembrando da propriedade dos numeros complexos, [� � ;1. Assim: 
 
r. G]	¹� �	 4. 8	lm� ; ž�� ; ‡ž. [9=		lm� ; ž��� : ‡�ž�� 	7.4� 
 
Lembremos, agora, o pouco que falei sobre coordenadas polares: 
©¨ª
©« > � §. cos	X�K � §. BGe	X�§ � ‰>� : K�
X � arctan ¬K>­
J 
Se fizermos: 
x � X 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
35 
	lm� ; ž�� � > � §. cos	x� 
‡ž � K � §.BGe	x� 
Temos: 
§ � 		lm� ; ž��� : ‡�ž��U� 
 Leia isso tudo com calma. Essa parte é um tanto estranha em primeira vista. 
 Como fizemos na sessão 7.1 na parte II, temos: 
§. G]	¹� � §. cos	x� : [. §. BGe	x� ⇒ §. G]	¹� � > : [. K 
Portanto, substituindo os valores: 
 		lm� ; ž��� : ‡�ž��U�	. G]	¹� � 	lm� ; ž�� : [. ‡ž 	7.5� 
Substiruindo a expressão 7.5 na 7.4: 
r. G]	¹� �	4. 		lm� ; ž��� : ‡�ž��U�	. G]	¹�=		lm� ; ž��� : ‡�ž�� 
Simplificando: 
r	l� � 	4. 		lm� ; ž��� : ‡�ž��U�=		lm� ; ž��� : ‡�ž�� 
Simplificando novamente: 
r	l� � 	 4=		lm� ; ž��� : ‡�ž��U� 
Ou seja: 
 
r	l� � 	 4=‰	lm� ; ž��� : ‡�ž� 	7.6� 
e, pela 7.1: 
 
x	l� � >º
>e ‹ ‡žlm� ; ž�Œ 	7.6� 
Olavo Amorim Santos Osciladores Harmônicos 
 
36 
Assim concluímos nossa dedução. Caso não tenha entendido bem, não se desespere. 
Essa é uma dedução importante mas complicada. Para que entenda melhor, sugiro que você 
tente ler novamente a dedução e tente também você deduzi-la em um papel.