Resolução da Lista 2 Estatística

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Resolução lista 2 – AD2
PROPRIEDADES
1) Uma agência de turismo possui um arquivo que contém a venda de 500 passagens nacionais. Dessas passagens, 150 tem destino para o Nordeste, 120 para o Centro-oeste e 90 tem destino para essas duas regiões. Selecionando-se aleatoriamente uma dessas passagens, qual a probabilidade do turista:
a) visitar somente o Nordeste
b) visitar o Nordeste ou o Centro-oeste
c) visitar somente o Centro-Oeste
d) não visitar o Nordeste
Solução
a) visitar somente o Nordeste
P (NE)= 150500 = 0,3 = 30%
b) visitar o Nordeste ou o Centro-oeste
P (NE ∪ CO ) = P(NE) + P(CO) - P(NE ∩ CO) = 150500 + 120500 + 0 = 0,30 +0,24 = 0,54 = 54%
c) visitar somente o Centro-Oeste
P (CO) = 120500 = 0,24
d) não visitar o Nordeste
P (NE) = 1 - P (NE) = 1- 150500 = 1- 0,30 = 0,70 = 70%
2) Um determinado banco de sangue, conta com o sangue de 100 doadores. Destes doadores, 30 são do tipo O-, 15 são do tipo AB e 17 do tipo B. Selecionando-se aleatoriamente uma dessas bolsas de sangue, qual a probabilidade do sangue:
a) ser somente do tipo O-
b) ser do tipo O-, AB ou B
c) ser somente do tipo AB
d) ser somente do tipo B
e) não ser do tipo O-
f) não ser do tipo B
Solução
a) ser somente do tipo O-
P (O-)= 30100 = 0,3 = 30%
b) ser do tipo O-, AB ou B
P (O- ∪ AB ∪ B) = P(O-) + P(AB) + P(B) = 30100 + 15100 + 17100 = 0,30 + 0,15 + 0,17 = 0,62 = 62%
c) ser somente do tipo AB
P (AB) = 15100 = 0,15 = 15%
d) ser somente do tipo B
P (B) = 17100 = 0,17 = 17%
e) não ser do tipo O-
P(O-) = 1 – P (O-) = 1 - 0,30 = 0,70 = 70%
f) não ser do tipo B
P(B) = 1 – P (B) = 1 - 0,17 = 0,83 = 83%
TEOREMA DE BAYES
1)Numa pesquisa realizada numa agência de turismo foi constatado que o aumento na demanda por um certo destino turístico, pode ocorrer somente por uma das causas mutuamente exclusivas: redução no preço, infraestrutura adequada e elevado número de atrativos naturais e culturais. A probabilidade deste destino apresentar uma redução no preço é de 10%, adequada infraestrutura local é de 40% e atrativos culturais e naturais é de 50%. Nesta mesma pesquisa, verificou-se que a probabilidade de haver um aumento na demanda devido a uma redução de preço é de 70%, a uma infraestrutura adequada é de 30% e elevado número de atrativos culturais e naturais é de 7%.
Em um determinado período verificou-se o aumento da demanda por este destino turístico. Indique a causa mais provável.
Solução
Sejam
 D: aumento na demanda
P: redução no preço
I: infraestrutura adequada
A: atrativos naturais e culturais
Arrumando os dados fornecidos pelo problema, temos: 
P (P) = 0,10			P (D|P) = 0,70
P (I) = 0,40			P (D|I) = 0,30
P (A) = 0,50			P (D|A)= 0,07
Antes de verificarmos as causas que levaram o aumento na demanda, vamos calcular a probabilidade de um aumento na demanda (P(D)), que por sua vez, fará parte do denominador de todas as demais contas!
P(D) = P (P) x P (D|P) + P (I) x P (D|I) + P (A) xP (D|A) = (0,10 x 0,70) + (0,40 x 0,30) + (0,50 x 0,07) = 0,225 = 22,5%
Verificando as causas:
P (P|D) = P P x P (D|P)P(D) = 0,10 x 0,700,225 = 0,311 = 31,1%
P (I|D) = P I x P (D|I)P(D) = 0,40 x 0,300,225 = 0,533 = 53,3%
P (A|D) = P A x P (D|A)P(D) = 0,50 x 0,070,225 = 0,155 = 15,5%
Portanto, a causa mais provável para o aumento da demanda foi a infraestrutura adequada.
2) O serviço público tem se tornado o sonho de muitos brasileiros. Um instituto de pesquisa verificou que o aumento da procura por este serviço deve-se às seguintes causas, mutuamente exclusivas: estabilidade, boa remuneração e plano de carreira. A probabilidade de haver estabilidade é de 90%, enquanto que a probabilidade de haver boa remuneração e um plano de carreira são respectivamente, 7% e 3%. Num certo concurso público foi constatado que a probabilidade de haver um aumento na procura por um emprego público devido à estabilidade é de 80%, boa remuneração é de 15% e plano de carreira é de 5%.
Nos últimos anos tem se notado um aumento significativo na procura pelos serviços públicos. Indique a causa mais provável.
Solução
Sejam
SP: aumento na procura do serviço público
E: estabilidade
R: boa remuneração
C: plano de carreira
Arrumando os dados fornecidos pelo problema, temos: 
P (E) = 0,90			P (SP|E) = 0,80
P (R) = 0,07			P (SP|R) = 0,15
P (C) = 0,03			P (SP|C) = 0,05
Antes de verificarmos as causas que levaram o aumento na demanda pelos serviços públicos, vamos calcular a probabilidade de um aumento na demanda pelos serviços públicos (P(SP)), que por sua vez, fará parte do denominador de todas as demais contas!
P(SP) = P (E) x P (SP|E) + P (R) x P (SP|R) + P (C) xP (SP|C) = (0,90 x 0,80) + (0,07 x 0,15) + (0,03 x 0,05) = 0,732 = 73,2%
Verificando as causas:
P (E|SP) = P E x P (SP|E)P(SP) = 0,90 x 0,800,732 = 0,984 = 98,4%
P (R|SP) = P I x P (SP|R)P(SP) = 0,07 x 0,150,732 = 0,014 = 1,4%
P (C|SP) = P A x P (SP|A)P(SP) = 0,03 x 0,050,732 = 0,002 = 0,2%
Portanto, a causa mais provável para o aumento na procura pelo serviço público foi a estabilidade.
3) Pesquisas realizadas por institutos de pesquisa mostram o aumento do consumo de eletrodomésticos da linha branca se deve aos seguintes fatores (mutuamente exclusivos): redução do IPI, redução da taxa de juros e aumento nos salários. A probabilidade de haver um aumento nos salários é de 10%, uma redução na taxa de juros é de 45% e uma redução no IPI é de 45%. Ainda nessas pesquisas, foi constatado que o aumento do consumo de eletrodomésticos da linha branca devido por uma redução na taxa de IPI foi de 47%, por uma redução na taxa de juros foi de 55% e devido a um aumento nos salários foi de 25%.
Após diversas políticas econômicas verificou-se o aumento no consumo de eletrodomésticos da linha branca. Investigue a causa mais provável.
Solução
Sejam
B: aumento no consumo de eletrodomésticos da linha branca
I: redução do IPI
J: redução na taxa de juros
S: aumento de salários
Arrumando os dados fornecidos pelo problema, temos: 
P (I) = 0,45			P (B|I) = 0,47
P (J) = 0,45			P (B|J) = 0,55
P (S) = 0,10			P (B|S) = 0,25
Antes de verificarmos as causas que levaram o aumento no consumo de eletrodomésticos da linha branca, vamos calcular a probabilidade de um aumento no consumo de eletrodomésticos da linha branca (P(B)), que por sua vez, fará parte do denominador de todas as demais contas!
P(B) = P (I) x P (B|I) + P (J) x P (B|J) + P (S) xP (B|S) = (0,45 x 0,47) + (0,45 x 0,55) + (0,10 x 0,25) = 0,484 = 48,4%
Verificando as causas:
P (I|B) = P I x P (B|I)P(B) = 0,45 x 0,470,484 = 0,437 = 43,7%
P (J|B) = P J x P (B|J)P(B) = 0,45 x 0,550,484 = 0,511 = 51,1%
P (S|B) = P S x P (B|S)P(B) = 0,10 x 0,250,484 = 0,052 = 5,2%
Portanto, a causa mais provável para o aumento no consumo de eletrodomésticos da linha branca foi o aumento na taxa de juros.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
OBS: Resolveremos os itens a e c antes de resolvermos o b, pois neste serão utilizados os resultados dos dois itens anteriores.
Numa pesquisa realizada em pousadas situadas em Cabo Frio, constatou-se que dos 50 apenas 10 apresentaram infraestrutura para acomodação de deficientes físicos. Em outras palavras, isso significa que apenas 20 % desses estabelecimentos atendiam a essa infraestrutura. Se selecionarmos aleatoriamente 25 pousadas, qual a probabilidade de:
uma apresentar a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
três ou mais apresentarem a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
nenhuma apresentar a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
calcule a esperança e a variância
Solução
Temos
X:pousadas com infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
p = 0,20q = 0,80 
n = 25
uma apresentar a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
P (X = 1) = 251 x (0,20)1 x (0,80)24 = 25 x 0,20 x 0,0047 = 0,024 = 2,4% 
 
nenhuma apresentar a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
P (X = 0) = 250 x (0,20)0 x (0,80)25 = 1 x 1 x 0,004 = 0,004 = 0,4%
três ou mais apresentarem a infraestrutura para acomodação de deficientes físicos
P (X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − [ P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) ] === 1− [0,004 + 0,024 + 0,072] = 0,90 = 90%
P (X = 2) = 252 x (0,20)2 x (0,80)23 = 300 x 0,04 x 0,006=0,072 = 7,2%
calcule a esperança e a variância
E(X) = n x p = 25 x 0,20 = 5
V(X) = n x p x q = 25 x 0,20 x 0,80 = 4
Com relação a vendas de arroz num determinado mercado do subúrbio verificou-se que dos 1.200 pacotes de arroz vendidos 800 eram do tipo agulhinha, ou seja, aproximadamente 67%. Tomando-se 7 pacotes de arroz, qual a probabilidade de: 
um ser do tipo agulhinha
dois ou mais serem do tipo agulhinha
nenhum ser do tipo agulhinha
calcule a esperança e a variância
Solução
Temos
X:pacote de arroz ser do tipo agulhinha
p = 0,67 q = 0,33 
n = 7
um ser do tipo agulhinha
P (X = 1) = 71 x (0,67)1 x (0,33)6 = 7 x 0,67 x 0,0013 = 0,006 = 0,6% 
nenhum ser do tipo agulhinha
P (X = 0) = 70 x (0,67)0 x (0,33)7 = 1 x 1 x 0,0004 = 0,0004 = 0,04% 
dois ou mais serem do tipo agulhinha
P (X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [ P (X = 0) + P (X = 1)] === 1− [0,006 + 0,0004] = 0,9936 = 99,36%
calcule a esperança e a variância
E(X) = n x p = 7 x 0,67 = 4,69
V(X) = n x p x q = 7 x 0,67 x 0,33 = 1,55
Numa empresa de cartões de crédito foi feito o levantamento sobre o número de inadimplentes. Verificou-se que dos 1.000 clientes detentores do cartão de crédito, 250 estavam na condição de inadimplência. Isso configura um percentual de 25%. Se selecionarmos aleatoriamente 5 clientes, qual a probabilidade de:
 
um ser inadimplente
dois ou mais serem inadimplentes
nenhum ser inadimplente
calcule a esperança e a variância
Solução
Temos
X:clientes inadimplentes 
p = 0,25 q = 0,75 
n = 5
um ser inadimplente
P (X = 1) = 51 x (0,25)1 x (0,75)4 = 5 x 0,25 x 0,316 = 0,396 = 39,6%
nenhum ser inadimplente
P (X = 0) = 50 x (0,25)0 x (0,75)5 = 1 x 1 x 0,237 = 23,7% 
dois ou mais serem inadimplentes
P (X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [ P (X = 0) + P (X = 1)] === 1− [0,396 + 0,237] = 0,367 = 36,7%
calcule a esperança e a variância
E(X) = n x p = 5 x 0,25 = 1,25
V(X) = n x p x q = 5 x 0,25 x 0,75 = 0,938
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Os gastos dos turistas estrangeiros num determinado hotel, seguem uma distribuição normal com média R$ 1.500 e desvio-padrão de R$ 100. Qual a probabilidade do gasto ser:
maior que R$ 1.700
menor que R$ 1.700
Solução
	Dados 
	X: gasto dos turistas
	µ (média) = 1.500
	𝝈 (desvio-padrão) = 100
P (X > 1.700) = P X - µ σ > 1.700 - 1.500 100 = P ( Z > 2) == 0,5 – P ( 0 < Z < 2) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228 = 2,28%
	tabela 0
	 2,0 0,4772
P (X < 1.700) = P X - µ σ< 1.700 - 1.500 100 = P ( Z < 2) == 0,5 + P ( 0 < Z < 2) = 0,5 + 0,4772 = 0,9772 = 97,27%
	tabela 0
	 2,0 0,4772
O consumo de energia de uma família com aproximadamente 3 pessoas apresenta uma distribuição normal com média 150 Kwh e desvio-padrão de 10 Kwh. Qual a probabilidade do consumo ser:
maior que R$ 180
menor que R$ 180
Solução
Dados 
X: consumo de energia
µ (média) = 150
𝝈 (desvio-padrão) = 10
P (X > 180) = P X - µ σ > 180 - 150 10 = P ( Z > 3) == 0,5 – P ( 0 < Z < 3) = 0,5 – 0,4987 = 0,0013 = 0,13%
	tabela 0
	 3,0 0,4987
P (X < 180) = P X - µ σ < 180 - 150 10 = P ( Z < 3) == 0,5 + P ( 0 < Z < 3) = 0,5 + 0,4987 = 0,9987 = 99,87%
	tabela 0
	 3,0 0,4987
A nota média de redação do vestibular do CEDERJ é de 6,5 com desvio padrão 2,0. Sabendo que esta variável tem uma distribuição normal, calcule a probabilidade da nota ser:
maior que 9
menor que 9
Solução
Dados 
X: nota média da redação do vestibular
µ (média) = 6,5
𝝈 (desvio-padrão) = 2
P (X > 9) = P X - µ σ > 9 - 6,5 2 = P ( Z > 1,25) = 0,5 – P ( 0 < Z < 1,25) = 0,5 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
	tabela 5
	 1,2 0,3944
P (X < 180) = P X - µ σ < 9 - 6,5 2 = P ( Z < 1,25) = 0,5 + P ( 0 < Z < 1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944 = 99,87%
	tabela 5
	 1,2 0,3944
CORRELAÇÃO E EQUAÇÃO DA RETA ESTIMADA
Para as variáveis abaixo, calcule: 
Coeficiente de correlação e sua classificação
Equação da reta de regressão estimada
1)
	Demanda por destinos turísticos
	Nº de atrativos históricos
	14
	3
	17
	5
	20
	7
	22
	9
	26
	12
 
Solução
Para resolvermos os dois itens abaixo vamos usar os dados do quadro abaixo:
	 
	 
	 
	 
	 
	Demanda por destinos turísticos Y
	Nº de atrativos históricos X
	XY
	X2
	Y2
	14
	3
	42
	9
	196
	17
	5
	85
	25
	289
	20
	7
	140
	49
	400
	22
	9
	198
	81
	484
	26
	12
	312
	144
	676
	99
	36
	777
	308
	2045
	∑y
	∑x
	∑xy
	∑x2
	∑y2
 
 n = 5
Coeficiente de correlação e sua classificação
r = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 x n ∑y 2 - (∑y)2 = 5 x 777 - (36 x 99) (5 x 308)- (36)2 x 5 x 2045- (99)2 = 321244x (424) = 0,998 
A correlação é significativa e positiva.
Equação da reta de regressão estimada
A equação da reta estimada é dada por: ŷ = a x + b. 
Devemos achar os coeficientes a e b.
a = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 = 5 x 777 - (36 x 99) (5 x 308)- (36)2 = 321244 = 1,31
Para acharmos o b, devemos ter, além do a (calculado acima) o Y e X. Calculando-os, temos
Y = ∑yn = 995 = 19,8
X = ∑xn = 365 = 7,2
b = Y-a X = 19,8 - (1,31 x 7,2) = 10,37
	
	Portanto a equação da reta estimada será:
	ŷ = a X + b 
ŷ = 1,31 X + 10,37
2)
	Viagens internacionais
	Taxa de câmbio
	25
	1,90
	20
	2,00
	15
	2,10
	10
	2,30
	7
	2,40
 
Solução
Para resolvermos os dois itens abaixo vamos usar os dados do quadro abaixo:
	Viagens internacionais Y
	Taxa de câmbio X
	XY
	X2
	Y2
	
	25
	1,9
	47,5
	3,61
	625
	
	20
	2
	40
	4
	400
	
	15
	2,1
	31,5
	4,41
	225
	
	10
	2,3
	23
	5,29
	100
	
	7
	2,4
	16,8
	5,76
	49
	
	77
	10,7
	158,8
	23,07
	1399
	
	∑y
	∑x
	∑xy
	∑x2
	∑y2
	
 n = 5
Coeficiente de correlação e sua classificação
r = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 x n ∑y 2 - (∑y)2 = 5 x 158,8 - (10,7 x 77) (5 x 23,07)- (10,7)2 x 5 x 1399- (77)2 = - 29,90,86x (1066) = - 0,987 
A correlação é significativa e negativa.
Equação da reta de regressão estimada
A equação da reta estimada é dada por: ŷ = a x + b. 
Devemos achar os coeficientes a e b.
a = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 = 5 x 158,8 - (10,7 x 77) (5 x 23,07)- (10,7)2 = -29,90,86 = -34,77
	
Para acharmos o b, devemos ter, além do a (calculado acima) o Y e X. Calculando-os, temos
Y = ∑yn = 775 = 15,4
X = ∑xn = 10,75 = 2,14
b = Y-a X = 15,4 – [ (-34,77) x 2,14] = 15,4 + 74,41 = 89,81
	
	Portanto a equação da reta estimada será:
	ŷ = a x + b 
ŷ = -34,77 x + 89,81
3)
X: taxa de juros am
Y: número de empréstimos
Foi realizada uma amostragem que compreende 4 instituições financeiras
	∑xi = 12
	∑yi = 100
	∑yixi = 253
	∑xi2 = 40,54
	∑yi2 = 3000
Solução
n = 4
Coeficiente de correlação e sua classificação
r = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 x n ∑y 2 -(∑y)2 = 4 x 253 - (12 x 100) (4 x 40,54)- (12)2 x 4 x 3000- (100)2 = -18818.16x (2000) = -0,986
A correlação é significativa e negativa.
Equação da reta de regressão estimada
A equação da reta estimada é dada por: ŷ = a x + b. 
Devemos achar os coeficientes a e b.
a = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 = 4 x 253 - (12 x 100) (4 x 40,54)- (12)2 = - 18818.16 = - 10,35
	
Para acharmos o b, devemos ter, além do a (calculado acima) o Y e X. Calculando-os, temos
Y = ∑yn = 1004 = 25
X = ∑xn = 124 = 3
b = Y-a X = 25 - [ (-10,35) x 3] = 56,05
	
	Portanto a equação da reta estimada será:
	ŷ = a x + b 
	ŷ = - 10,35 x + 56,05
4)
X: taxa do IPI
Y: consumo de eletrodomésticos da linha branca
Foi realizada uma amostragem que inclui 4 lojas comerciais.
	∑xi = 10,8
	∑yi = 20
	∑yixi = 41,4
	∑xi2 = 37,22
	∑yi2 = 120
Solução
n = 4
Coeficiente de correlação e sua classificação
r = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 x n ∑y 2 - (∑y)2 = 4 x 41,4 -(10,8 x 20) (4 x 41,4)- (10,8)2 x 4 x 120- (20)2 = - 50,448,96x (80) = - 0,805
A correlação é significativa e negativa.
Equação da reta de regressão estimada
A equação da reta estimada é dada por: ŷ = a x + b. 
Devemos achar os coeficientes a e b.
a = n∑xy - ∑x ∑y n ∑x 2- (∑x)2 = 4 x 41,4 -(10,8 x 20) (4 x 41,4)- (10,8)2 = -1,03
	
Para acharmos o b, devemos ter, além do a (calculado acima) o Y e X. Calculando-os, temos
Y = ∑yn = 804 = 20
X = ∑xn = 20,54 = 5,12
b = Y-a X = 20 - [ (-1,03) x 5,12] = 25,27
	
	Portanto a equação da reta estimada será:
	ŷ = a x + b 
ŷ = - 1,03 x + 225,27