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CAPITULO7 - Intervalos de Confiança

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INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
87
CAPÍTULO 7 - Intervalos de confiança
É uma maneira de calcularmos uma estimativa de um parâmetro desconhecido.
Muitas vezes também funciona como um teste de hipóteses.
A idéia é construir um intervalo de confiança para o parâmetro com uma
probabilidade de α−1 (nível de confiança) de que o intervalo contenha o verdadeiro
parâmetro.
Obs: α é o nível de significância, isto é, o erro que estaremos cometendo ao afirmar-
mos que, por exemplo, 95% das vezes o intervalo 21 ˆˆ θθθ << contém θ . Nesse caso,
o erro seria de 5%.
Nesse capítulo veremos apenas a “fórmula” final para se obter um intervalo de
confiança. No entanto, pode-se demonstrar facilmente que intervalos de confiança são
obtidos com base na teoria discutida no capítulo sobre testes de hipóteses. O leitor
interessado pode procurar uma das literaturas apresentadas no primeiro dia de aula, ou
com o professor.
Intervalos de confiança para média e variância.
Intervalo de confiança para média
Será visto apenas o intervalo de confiança para a média populacional (µ )
quando a variância )( 2σ populacional é desconhecida.
n
stX
n
stXCI
22
:)1.(. αα µα +≤≤−−
Ex: A seguinte amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população
normal. Construir o intervalo de confiança, de 95%, para µ .
Solução:
7,8=X
2s0,4
110
10
)87(793
s
2
2 ≅⇒≅
−
−
=
13,1027,7
10
2262,27,8
10
2262,27,8:%)95.(C.I ≤µ≤=+≤µ≤−∴
pelo fato de µ se um parâmetro e não uma v.a. o intervalo acima deve ser interpretado
da seguinte maneira: 95% dos intervalos assim construídos conterão a verdadeira
média.
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
88
Intervalo de confiança para a variância de uma população normal
2
2
2
2
2 s)1n(s)1n(:)1(.C.I
menormaior χ
−≤σ≤
χ
−
α−
onde 2maiorχ e 2menorχ são obtidos na tabela de 2χ , com 1−n graus de liberdade e nível
de significância de acordo com a figura abaixo:
Exemplo: Considerando a mesma amostra do exemplo anterior, calcule o I.C. para
2σ ao nível de 90% de confiança (ou seja, %10=α ).
Solução:
Temos: %10;9v..,4s,10n 2 =α==== !g
então:
%)90.(.CI será: 
33,3
4.9
9,16
4.9 2 ≤≤ σ ou 81,1013,2 2 ≤≤ σ
Intervalo de confiança para proporção
Obs: O método apresentado abaixo é apropriado quando n for maior que 30.
)1.(. α−CI será: 
n
)f1(fZfp
n
)f1(fZf
22
−
+≤≤−− αα
onde f é a estimativa da proporção p .
Exemplo: Entre 500 pessoas inquiridas a respeito de suas preferências eleitorais, 260
mostraram-se favoráveis ao candidato B. Calcular o intervalo de confiança ao nível de
90% para a porcentagem (ou proporção) dos eleitores favoráveis a B.
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
89
Solução: temos %901260500 =−== αxn
52,0
500
260
n
xf ===
500
48,0.52,064,152,0
500
48,0.52,064,152,0%)90.(. +≤≤−= pCI ou
Determinação do tamanho da amostra
Será discutido no final desse capítulo.
Exercícios Propostos
1) Em uma fábrica, colhida uma amostra de 30 peças para avaliação, obtiveram-se as
seguintes informações sobre o diâmetro das peças: 05,2e13,13 2 == sX
Construir um intervalo de confiança para a média sendo %5=α .
R.: 66,1360,12 ≤≤ µ
2) Sendo X uma população tal que ),(~ 2σµNX em que µ e 2σ são
desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu os valores
∑ ∑ == 3,27e7,8 2ii xx . Determinar um intervalo de confiança de 95% para
2σ .
R.: 95,385,0 2 ≤≤σ
3) Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 500
horas. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a proporção.
R.: 98,088,0 ≤≤ p
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
90
COMPLEMENTO DO CAPÍTULO 7
Exercícios Propostos
1) A força de compressão de concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele
testa 12 amostras e obtém os seguintes dados:
2216 2237 2249 2204
2225 2301 2281 2263
2318 2255 2275 2295
Assumindo-se distribuição normal pede-se:
a) Construa o I.C. (95%) para a força média.
b) Construa o I.C. (99%) para a força média.
c) Ao nível de 5% de significância verificar se a verdadeira média da força de
compressão difere de 2280. Realizar o teste t para uma média.
d) Repetir o item c , porém usando α = 1%.
e) Repetir o item c , porém verificando se a verdadeira força média difere de 2300.
f) Compare as conclusões obtidas usando-se I.C. e teste de hipótese.
2)Tintas para marcação em asfalto de rodovias são oferecidas em duas cores, branca e
amarela. O tempo de secagem dessas tintas é de muito interesse, e especificamente,
suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Amostras foram
obtidas para a medição dos tempos de secagem (em minutos), em condições reais das
duas tintas:
tinta branca 120 132 123 122 140 110 120 107
tinta amarela 126 124 116 125 109 130 125 117 129 120
 Assumindo distribuição normal pede-se:
a) Obtenha o I.C. (95%) para o tempo médio de secagem de cada tipo de tinta;
b) Realize um teste de hipótese para responder às questões apresentadas no
enunciado do problema. Use %5=α ;
c) Obtenha o I.C. (95%) para a variância do tempo de secagem de cada tipo de tinta;
d) Realize um teste F para verificar se ambas às tintas apresentam a mesma
variabilidade no tempo de secagem. Use %5=α .
LEITURA COMPLEMENTAR
(Faz parte do assunto do curso, mas não será cobrado em prova)
Se considerarmos o intervalo L≤≤θ! , onde ! é o limite inferior do
intervalo, L é o limite superior do intervalo, e θ é o parâmetro desconhecido, então o
comprimento !−L do intervalo de confiança observado é uma medida importante da
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
91
qualidade da informação obtida da amostra. A metade do intervalo, ou seja, !−θ ou
θ−L , é chamado de precisão do estimador.
Assim, quanto maior o intervalo de confiança, mais confiante nós estaremos de
que realmente o intervalo calculado contenha o verdadeiro valor de θ . Por outro lado,
quanto maior o intervalo, menos informação teremos sobre o verdadeiro valor de θ .
Numa situação ideal, obtemos um intervalo relativamente curto com alta confiança.
Intervalo de confiança para a média, quando a variância é conhecida.
Se X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população
com variância conhecida 2σ , o I.C. 100 ( )1 α− % da média µ é dado por
n
zX
n
zX σµσ αα 22 +≤≤−
onde 2αz é obtido da distribuição normal reduzida.
Exemplo: Um artigo no “Journal of Heat Transfer” (1974) apresenta os dados abaixo
referentes à condutividade térmica (em Btu/hr.ft.oF) de uma amostra de 10 peças
metálicas (ferro).
41,60 41,48 42,34 41,95 41,86 42,18 41,72 42,26 41,81
42,04
Obtenha o I.C. (95%) da média da condutividade térmica nessas peças
metálicas.
Solução:
média = 41,924
desvio-padrão = 0,30
96,1025,0205,02 === zzzα
Assim
I.C. (95%): 41,738 < µ ≤ 42,110
Obs.1: A fórmula apresentada acima apresenta bons resultados para amostras
oriundas da população normal, ou para amostras com 30≥n de população não
normal. O nível de confiança )1( α− não será exato para amostras pequenas de
população não normais.
Obs.2: Desde que o comprimento do I.C. mede a precisão da estimação, podemos
observar que a precisão é inversamente relacionada com o nível de confiança. O
desejável seria obter um I.C. que fosse curto o suficiente para o propósito de
tomada de decisão, e que também tivesse umaconfiança adequada. Uma
maneira de conseguir isso seria pela escolha do tamanho da amostra n para ser
grande o suficiente para dar um I.C. de um determinado comprimento com uma
confiança definida.
Escolha do tamanho da amostra
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
92
A precisão do I.C. é nz σα 2 . Isto significa que em usar X para estimar
µ , o erro µ−= XE é menor ou igual a nz σα 2 com confiança 100 (1 – α). Isso
poderia ser mostrado graficamente. Se o tamanho da amostra pode ser controlado,
podemos escolher n de modo que nós estaremos 100 (1 – α) % confiantes de que o
erro na estimação do µ será menor do que um erro específico E . Assim, o tamanho
amostral apropriado será aquele de n tal que
nz σα 2 = E, ou seja, 
2
2 



=
E
z
n
σα .
Obs.1: Se n não for inteiro, este deve ser aproximado para cima para garantir que o
nível de confiança não fique menor que 100(1 – α)%.
Obs.2: Observe que 2E é o comprimento do I.C. de interesse.
Exemplo: Considerando os dados do exercício anterior, suponha que queremos que o
erro na estimação da condutividade média naquela peça metálica seja menor do
que 0,10 Btu/hr.ft.oF , com 95% de confiança.
Solução:
Já que σ = 0,30 e z0,025 = 1,96
3557,34
10,0
30,0.96,1
2
≈=


=n
Observemos a relação geral entre tamanho da amostra, comprimento desejado
do I.C. (2E), nível de confiança 100 )1( α− % e desvio padrão σ :
• Se 2E diminui, o tamanho amostral n aumenta, para σ e nível de confiança
constantes;
• Se σ aumenta, n aumenta, para 2E fixo e 100 )1( α− % fixo.
• Se o nível de confiança aumenta, n aumenta, para 2E fixo e σ fixo.
Problemas Propostos
1) Um fabricante produz anéis de pistão para motores de automóveis. Sabe-se que o
diâmetro do anel tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão
001,0=σ mm. Uma amostra aleatória de 15 anéis apresentou diâmetro médio
036,74=X mm.
a) Construa o I.C. (99%) para o diâmetro médio do anel.
b) Construa o I.C. (95%) para o diâmetro médio do anel.
2) Suponha que a vida em horas de lâmpadas de 75 Watt tenha distribuição
aproximadamente normal com variância σ2 = (25 h)2. Uma amostra aleatória de
20 lâmpadas apresentou X =1014 horas.
a) Construa o I.C. (95%) para a média de vida.
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
93
b) Suponha que desejamos ser 95% confiantes de que o erro na estimação da vida
média é menor do que 5 horas. Qual tamanho amostral deveria ser usado?
c) Suponha que nós queiramos um comprimento total do I.C. da média de vida
ser de 6 horas ao nível de confiança de 95%. Qual tamanho amostral deveria
ser usado?
3) Um Engenheiro Civil está analisando a força de compressão de concreto. Força de
compressão é normalmente distribuído com σ2 = 1000 (psi)2. Uma amostra
aleatória de 12 corpos de prova apresentou X =3250 psi.
a) Construa o I.C. (95%) para a média da força de compressão.
b) Construa o I.C. (99%) para a média da força de compressão.
c) Compare o comprimento dos I.C. calculados em a e b .
d) Suponha que seja desejado estimar a força de compressão com um erro menor
do que 15 psi e uma confiança de 99%. Qual deverá ser o tamanho amostral?
I.C. para Média quando σσσσ2 é desconhecido
Se X e s são, respectivamente, a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória
de uma população com distribuição normal com variância σ2 desconhecida, então o
I.C. de 100 (1- α)% da média é dado por
n
stX
n
stX 22 αα µ +≤≤− ,
onde 2αt é obtido da distribuição t de Student
Exemplo: Considere os 20 dados abaixo correspondentes ao tempo de resistência ao
fogo (em segundos) de determinada vestimenta após tratamento com uma tintura
especial:
9,85 9,93 9,75 9,77 9,67
9,87 9,67 9,94 9,85 9,75
9,83 9,92 9,74 9,99 9,88
9,95 9,95 9,93 9,92 9,89
Assuma que o tempo de resistência ao fogo segue uma distribuição normal.
Obter o I.C. (95%) do tempo médio de resistência ao fogo.
R.: 9,8073 ≤ µ ≤ 9,8977. Dizemos estar 95% confiantes de que a média do tempo de
resistência ao fogo está entre 9,8073 e 9,8977 segundos.
Escolha do tamanho da amostra
Quando não conhecemos a variância σ2, a determinação do tamanho amostral
n necessário para fornecer o I.C. com o comprimento de interesse não é fácil, já que o
comprimento do I.C. depende de σ e do valor de n . Além disso n entra no I.C. de
duas maneiras: n1 e 1,2 −ntσ .
Dessa forma, a obtenção de n ocorre por meio de tentativas e erros, usando
uma estimativa de σ baseada, talvez, em experiência passada.
INF 162 Prof. Luiz A. Peternelli
94
Outra possibilidade seria tomar uma amostra preliminar (amostra piloto) de n
observações para estimar σ. Então, usando o desvio padrão amostral s como uma
aproximação para σ usamos a equação
2
2 . 



=
E
z
n
σα
para calcular o valor requerido de n para fornecer a acurácia e o nível de confiança
desejados.

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