Raciocínio Lógico - princípios de contagem

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Princípios de Contagem – Análise Combinatória – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípios Fundamentais da Contagem
É o estudo no qual elementos são agrupados. Esses elementos podem ser 
pessoas, objetos, números, letras etc.
1º Princípio: multiplicativo (e – ideia de multiplicação).
2º Princípio: aditivo (ou – ideia de soma).
A partir desses dois princípios, os elementos poderão ser agrupados.
Ex.:
Em uma loja, você compra 3 calças, 2 blusas e 2 sapatos. De quantas formas 
distintas você pode se vestir utilizando essas peças?
C1
C2
C3
e
e
ou
ou
ou
e
ee
e
B1
B1
12
B1
B2
B2
B2
S1
S1











S1
S1
S1
S1
S2
S2
S2
S2
S2
S2
Outra forma de resolução:
Pelo princípio de contagem, temos:
3 2 2 12
C B S
× × =
“Possibilidades”
Essas peças podem ser agrupadas de 12 maneiras distintas. 
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RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória
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I – Questões em que a ordem dos elementos altera a natureza.
Formação:
Formação











Senha;
Matrícula;
Fila;
Classificação;
Protocolo;
Código;
Nº Telefônico;
Nº...
.
.
.
1 2 3 ≠ 3 2 1
R x 2 3 1 ≠ R x 321
A B C D E ≠ E D C B A
OOs.:� Quando a ordem alterar a natureza, as possibilidades devem ser multipli-
cadas.
EXERCÍCIOS
1. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 2, 3, 
4, 5, 7?
5 5 5 5 625× × × =
(Possibilidades)
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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2. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algaris-
mos 1, 2, 3, 4, 5?
Neste caso, a ordem é importante, então é necessário multiplicar:
5 4 3 2 120× × × =
OOs.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor 
Josimar Padilha.
aula-45-principios-de-contagem-analise-combinatoria-ii.pdf
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória II – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA II
3. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos, menores que 5000, e 
divisíveis por 5 podemos formar com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8?
2 4 3 1 24× × × =
↑ ↑
↓	 ↓
{2,3} {5}
4. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. 
Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída 
por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas 
para abrir os cadeados é 
a. 518.400 
b. 1.440 
c. 720 
d. 120 
e. 54
10 9 8 10 9 8720 720
1 1
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
1.440
C1 C2
5. (ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma 
probabilidade	de	vencer.	O	número	de	diferentes	maneiras	para	a	classifica-
ção dos 3 primeiros lugares é igual a:
a. 24.360 
b. 25.240 
c. 24.460 
d. 4.060 
e. 4.650
30 29 28 24.360× × =
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória II
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6. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não 
podem	começar	por	0.	Os	três	primeiros	números	constituem	o	prefixo.	Sa-
bendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o 
prefixo	não	tem	dígitos	repetidos,	então	o	número	de	telefones	que	podem	
ser instalados nas farmácias é igual a:
a. 504 
b. 720 
c. 684
d. 648 
e. 842
 9 	∙	 9 	∙	 8 	∙	 1 	∙	 1 	∙	 1 	∙	 1 = 648
 I I
(≠0)
Prefixo	≠ Zero
         
7. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram 
distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser 
digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compos-
tas por uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), 
seguida de uma sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O 
número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida 
a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a 
a. 26³ x 10³ 
b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 
c. 26 x 25 x 24 x 10³ 
d. 26³ x 10 x 9 x 8
 26 	∙	 25 	∙	 24 	∙	 10 	∙	 10 	∙	 10 =
(≠) (=)
(0–9)L (26)
26 x 25 x 24 x 10³
         
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória II – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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8. (CESPE) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de 
uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens. 
1) Em	um	tribunal,	os	códigos	que	identificam	as	varas	podem	ter	1,	2	ou	3	
algarismos de 0 a 9. Nenhuma vara tem código 0 e nenhuma vara tem có-
digo que começa com 0. Nessa situação, a quantidade possível de códigos 
de varas é inferior a 1.100. (Certo)
( )
( )
( )
9 9
0
9 10 90 999
0
9 10 10 900
0
= +
≠
⋅ = +
≠
⋅ ⋅ =
≠
ou (+)
ou (+)
OObs.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor 
Josimar Padilha.
aula-46-principios-de-contagem-analise-combinatoria-iii.pdf
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória III – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA III
9. (CESPE) Julgue o item. 
1) Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e, usualmente, 
os processos protocolados nesses órgãos seguem uma codificação única 
formada por 6 campos. O terceiro desses campos, identificado como códi-
go da vara jurídica correspondente à região geográfica, é constituído por 
3 algarismos com valores, cada um, entre 0 e 9. Supondo-se que, nesses 
códigos, os três algarismos não sejam todos iguais, conclui-se que podem 
ser criados, no máximo, 90 códigos distintos para identificar as varas jurí-
dicas. (Errado)
 ∙ ∙ =    
“os três não sejam todos iguais”
↓
 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720
 D D D
990
ou
ou
ou
 10 ∙ 1 ∙ 9 = 90
 I I D
 10 ∙ 9 ∙ 1 = 90
 I D I 
 10 ∙ 9 ∙ 1 = 90
 D I I 

 


 


Outra forma de resolver:
( 10 ∙ 10 ∙ 10 ) ( 10 ∙ 1 ∙ 1 )
 I I I
1000 10 = 990
Geral Não serve–
–
–
      
      
10. (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema 
com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três 
algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem 
sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem. 
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória III
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
1) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é 
superior a 650.000. (Certo)
2) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utili-
zando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 
28.000. (Errado)
3) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de 
modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é 
superior a 470.000. (Errado)
Solução:
Item 1
 26 ∙ 26
∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 676.000
(0–9)26 l
      
Item 2
 26 ∙ 1 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 26.000
(0–9)letras iguais
      
Item 3
¬(RL ∨ RA) ⇔ ¬RL ∧ ¬RA
 26 ∙ 25 x 10 ∙ 9 ∙ 8 = 468.000
11. (ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico 
cliente. Ele ─ o cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua filha 
seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores 
diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 
8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede 
pode ser pintada é igual a: 
a. 56 
b. 5760 
c. 6720 
d. 3600 
e. 4320
 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6720
12. (CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador 
precisa digitar uma sequência de cinco símbolos distintos, formada de duas 
letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência 
em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador 
pode fazer para acessar o arquivo é 
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória III – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
a. 240 
b. 216 
c. 120 
d. 360 
e. 200
 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
OObs:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor 
Josimar Padilha.
aula-47-principios-de-contagem-analise-combinatoria-iv.pdf
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória IV – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Prof. Josimar Padilha
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA IV
13. (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante 
em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro 
algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha 
algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas 
senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?
a. 224 
b. 210 
c. 168 
d. 144 
e. 96
 1 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 4 = 224
↓ ↓
{8} {0,2,4,6,8}
14. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matrícula dos estu-
dantes é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um 
padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que 
semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano 
da matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a 
um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. Se dois 
estudantes matriculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, nú-
meros de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que 
podem ser matriculados em 2008? 
a. 6.046 
b. 9.000 
c. 10.080 
d. 18.000 
e. 20.000
 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 1 = 18.000
↓ ↓ ↓ ↓
{≠0} {1,2} “0” “8”
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória IV
Prof. Josimar Padilha
15. (CESGRANRIO) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar tele-
fones de 8 dígitos, que comecem por 9 e tenham como segundo dígito um 
algarismo menor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima de números telefô-
nicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade? 
a. 3 × 106 
b. 4 ×106 
c. 5 × 106 
d. 4 ×C9,6 
e. 5 × C9,6
 1 ∙ 5 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 5 ∙ 106
↓ ↓
“9” (≤ 4)
16. (CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 
bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente 
e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira 
bola sacada é verde e a segunda contém um número par? 
a. 15 
b. 20 
c. 23 
d. 25 
e. 27
1v 2v 3v 4v 5v
1B 2B 3B 4B 5B 6B
( ) ( )1ª Verde 2ª nº Par
2 4
8
VP Par
23
3 5 15
VI Par
⋅
 ⋅ = 
  + → 
 
 ⋅ =
  
ou (+)
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória IV – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Prof. Josimar Padilha
17. (CESPE) Considerando que as matrículas funcionais dos servidores de um 
tribunal sejam formadas por 5 algarismos e que o primeiro algarismo de to-
das a matrículas seja o 1 ou o 2, então a quantidade máxima de matrículas 
funcionais que poderão ser formadas é igual a 
a. 2 × 105. 
b. 3 × 105. 
c. 4 × 103. 
d. 1 × 104. 
e. 2 × 104.
 2 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 2 ∙ 104
↓
{1,2}
Questões em que a ordem dos elementos não altera a natureza: formação de 
equipes, times, diretorias, grupos, turmas, comissões, apertos de mãos, figuras 
geométricas etc.
Ex.1: equipe ABCD = DCBA
Ex.2: Existem 10 pessoas para se formar uma equipe com 5 indivíduos. 
Quantas equipes podem ser formadas a partir dessas 10 pessoas?
Nesse tipo de questão, é necessário dividir para retirar as repetições.
 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 252
5 4 3 2 1
aula-48-principios-de-contagem-analise-combinatoria-v.pdf
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória V – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA V
6H
Ex.: 10 pessoas
4M
 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 252
 5 4 3 2 1
a. quantas equipes com 3H e 2M?
 6 ∙ 5 ∙ 4 x 4 ∙ 3 = 120
 3 2 1 2 1
H M
b. quantas equipes com pelo menos 3H?
3H e 2M:
 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 3 = 120
 3 2 1 2 1









1864H e 1M:
 6 ∙ 5 ∙ 4 3 ∙ 4 = 60
 4 3 2 1 1
5H
 6 ∙ 5 ∙ 4 3 ∙ 2 = 6
 5 4 3 2 1
18. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos 
modos podemos formar uma diretoria com 5 sócios, 3 brasileiros e 2 japoneses?
 6 ∙ 5 ∙ 4 x 4 ∙ 3 = 120
 3 2 1 2 1
B J
19. Em uma festa com 50 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa 
forma são possíveis quantos apertos de mão?
25
 50 ∙ 49 = 1.225
2 1
2
3 2
2
2
2
+ou(+)
ou(+)
+
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória V
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória VI – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA VI
20. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os ou-
tros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na 
reunião, se foram trocados 45 apertos de mão?
( )x 1x 45
2 1
−
⋅ =
( )x x 1 45
2
⋅ −
=
x (x 1) 90⋅ − =
x = 10
21. (CESPE) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste 
de uma xícara de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com 
açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoitos. 
Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas 
uma de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de 
ele compor o seu lanche é 
a. menor que 13. 
b. maior 13 e menor que 17. 
c. maior que 17 e menor que 20.
d. maior que 20 e menor que 23. 
e. maior que 23.
2 4 3
1 1 1
× ×
C B S
24
22. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples
(ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro 
sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da 
Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O nú-
mero mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena 
que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganha-
dores caso o seu sonho esteja correto é: 
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória VI
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a. 8 
b. 28 
c. 40 
d. 60
e. 84
 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 28
 6 5 4 3 2 1
23. (CESGRANRIO) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 
3 supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equi-
pe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser 
escaladas?
a. 15120 
b. 3780 
c. 840 
d. 630 
e. 510
 3 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 630
 1 4 3 2 1
S T
24. (ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 ques-
tões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 
15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as 
questões? 
a. 3003 
b. 2980 
c. 2800 
d. 3006 
e. 3005
 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3003
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória VI – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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25. (CESGRANRIO) Sebastiana faz doces de cupuaçu, de açaí, de tucumã, de 
cajá e de banana. Ela quer preparar embalagens especiais, cada uma com 
dois potes de doce de sabores diferentes, para vender na feira. Quantas em-
balagens diferentes Sebastiana poderá preparar?
a. 7 
b. 9 
c. 10 
d. 14 
e. 20
 5 ∙ 4 = 10
2 1
26. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para es-
colher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Ma-
temática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo 
número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, 
uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma 
única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portan-
to, igual a: 
a. 10 
b. 14 
c. 20 
d. 25 
e. 45
4
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória VI
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27. (CESPE) Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital 
brasileira, foram aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espí-
rito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo. Entre estes, três serão sele-
cionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca 
da situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras 
distintas de selecionar os três servidores que irão atender ao prefeito e a seu 
secretariado de forma que
1) os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11. (Errado)
2) todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a 10. (Certo)
3) nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a 20. (Certo)
4) um seja capixaba, um mineiro e um paulista é igual a 30. (Errado)
OObs.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória VII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA VII
28. (CESPE) Caso 5 servidores em atividade e 3 aposentados se ofereçam como 
voluntários para a realização de um projeto que requeira a constituição de 
uma comissão formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores 
em atividade e os outros dois, aposentados, então a quantidade de comis-
sões distintas que se poderá formar será igual a 
a. 60. 
b. 30. 
c. 25. 
d. 13. 
e. 10.
 5 ∙ 4 ∙ 3 3 ∙ 2 = 30
 3 2 1 2 1
AT AP
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação 
para o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de 
que atitudes imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de veloci-
dade, ultrapassagens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoo-
lizado têm um potencial ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
29. (CESPE/PRF/2012) Existem 12!/(3!)^4 maneiras de se montar quatro equi-
pes, cada uma delas com 3 agentes. (Certo)
 12 ∙ 11 ∙ 10 x 9 ∙ 8 ∙ 7 x 6 ∙ 5 ∙ 4 x 3 ∙ 2 ∙ 1 
 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
Eq1 Eq2 Eq3 Eq4
 12! 
 (3!)4
30. (Cespe/PRF/2012) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, a partir 
dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se for-
mar essas equipes será superior a 200. (Certo)
 12 ∙ 11 ∙ 10 = 220
 3 2 1 
2
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória VII
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Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro 
agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão 
em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será di-
vidido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, 
necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
31. (CESPE/PF/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a 
dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se 
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e 
mais quatro passageiros — será superior a 100. (Certo)
5 PFs 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
 M
32. (CESPE/PF/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referi-
das equipes.
 2 ∙ 2 x 2 ∙ 4 ∙ 3 x 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 = 48
 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
O P E AG O P E AG  
Eq1 Eq2
33. (ESAF/MIN.FAZENDA/2012) O número de centenas ímpares e maiores do 
que trezentos, com algarismos distintos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 
4 e 6, é igual a 
a. 15. 
b. 9. 
c. 18. 
d. 6. 
e. 12.
 3 ∙ 3 ∙ 1 = 9
 ↓ “1”
 {3, 4, 6} +
ou(+)	 ⇒		 15
 2 ∙ 3 ∙ 1 = 6
 ↓ “3”
 {4, 6}
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória VII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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OObs.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor 
Josimar Padilha.
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória VIII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA VIII
34. (ESAF/MIN. FAZENDA/2012) Dos aprovados em um concurso público, os 
seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses 
seis aprovados serão alocados nas salas
numeradas de 1 a 6, sendo um em 
cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um 
homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis 
aprovados é igual a 
a. 720. 
b. 480. 
c. 610.
d. 360. 
e. 540.
(TCDF/2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três se-
rão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os outros 
três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro titular 
no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente. Com 
base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
35. Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez manei-
ras de serem escolhidos os suplentes. (Errado)
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória VIII
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36. O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e 
seus respectivos suplentes é superior a 100. (Certo)
Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção 
de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas 
de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 
servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe 
deverá ser composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue 
os próximos itens. 
37. A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servi-
dores para a montagem de uma equipe de análise é superior a 2.500. (Certo)
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória VIII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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38. Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente 
uma equipe de análise e que cada equipe não possa analisar mais que um 
programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar que a capacidade 
operacional do órgão está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco 
programas de governo. (Certo)
39. A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas 
para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000. (Errado)
OObs.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos 
Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor 
Josimar Padilha.
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória IX – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA IX
Anagrama: é a formação de palavras com ou sem significado.
Ex.: Com a palavra LÓGICA, quantos anagramas podem ser formados?
 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
OOb.:� Em anagramas com letras distintas, não há divisão. Haverá apenas mul-
tiplicação das possibilidades.
Ainda com base na palavra LÓGICA:
a. Quantos anagramas começam por vogal e terminam com consoante?
 3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 216
“V” “C”
b. Quantos anagramas possuem as letras “L” e “G” juntas?
Lógica = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 x 2 = 240
“LG” ou “GL”
c. Quantos anagramas possuem as vogais juntas?
Lógica = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 x 6 = 144
OIA = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
40. Com relação à palavra TEORIA: 
a. Quantos anagramas existem? 
 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
b. Quantos anagramas começam por T? 
 1 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
 T
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória IX
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c. quantos anagramas possuem as vogais juntas? 
Teoria = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 x 24 = 144
EOIA = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
d. quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética? 
Teoria = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
AEIO
41. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e 
Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz – compram ingressos para 
nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e 
Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pa-
cote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque 
querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas 
as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se 
juntos. Com essa informações, o número de diferentes maneiras que esses 
amigos podem sentar-se é igual a: 
a. 1920 
b. 1152 
c. 960 
d. 540 
e. 860
2 x (2 ∙ 1) ∙ (5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1) x 2 = 960 x 2 = 1.920
H H H M M M M M M
H M
M H
CB
BC
AB
BA
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Josimar Padilha.
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória X – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA X
42. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em 
uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem 
sentar-se de modo que: 
• homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que 
• todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se 
juntas, são, respectivamente, 
a. 1112 e 1152
b. 1152 e 1100
c. 1152 e 1152
d. 384 e 1112
e. 112 e 384
43. (ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas 
em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo po-
dem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma 
cadeira vazia entre eles, é igual a: 
a. 80 
b. 72 
c. 90 
d. 18 
e. 56
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória X
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44. (CESPE) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de con-
tagem. 
1) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem 
usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do 
Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de 
nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada 
inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes 
distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de 
nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. (Certo)
2) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários 
de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcio-
nários. (Errado)
3) Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores 
distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras 
de se realizarem tais lotações. 
4) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões 
iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir 
diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 
3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador 
conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória X – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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45. (IADES/2013) Numa floricultura é vendido um kit do dia das mães contendo 
um buquê e uma caixa de chocolates. Sabendo que há 12 tipos diferentes de 
buquês e 7 tipos diferentes de caixas de chocolate à disposição dos clientes, 
quantas são as opções diferentes de kits? 
a. 19. 
b. 48. 
c. 84. 
d. 96. 
e. 144.
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Josimar Padilha.
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória XI – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA XI
Anagramas com repetição:
Ex.1: Quantos anagramas podem ser formados com as palavras abaixo:
a. ANA: 3 x 2 x 1 = 6 = 3
 2 x 1 2
Em caso de anagrama com letra repetida, é necessário dividir pelo fatorial 
daquilo que se repete, no caso de ANA, a letra “A”. 
b. BANANA: 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 60
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
c. ARARA: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
Ex. 2: Uma prova é formada por dez itens, sendo três verdadeiros e sete 
falsos. De quantas maneiras distintas essa prova pode ser respondida?
V V V F F F F F F F =
 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Ex. 3: Um código binário é formado por 4 dígitos iguais a 1 e 2 dígitos iguais 
a zero. Quantos códigos podem ser formados?
1 1 1 1 0 0 = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 15
 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
Ex. 4: Uma senha é formada por 3 triângulos idênticos, 2 quadriláteros idên-
ticos e 2 círculos idênticos. Permutando-se as figuras, quantas senhas distintas 
podem ser formadas?
 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 210
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória XI
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Ex. 5: Em um tabuleiro de xadrez, considere a última fileira. Desconsiderando 
as regras do jogo, de quantas maneiras distintas essas peças poderiam ser tro-
cadas de lugar?
T C B Rei Ra B C T
 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040
 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
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Princípios de Contagem – Análise Combinatória XII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA XII
46. (CESPE) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de con-
tagem. 
3) Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores 
distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras 
de se realizarem tais lotações. (Errado)
4) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões 
iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir 
diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 
3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador 
conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. 
(Certo)
47. (IADES/2013) Candidatos a um emprego, em determinada construtora res-
ponderam um questionário com 10 itens do tipo verdadeiro ou falso. Obser-
vou-se que todos os candidatos responderam oito itens como verdadeiros e 
dois como falsos e que não existiam dois questionários com todas as respos-
tas iguais. Nessa situação, o número máximo de candidatos era 
a. 45. 
b. 50. 
c. 55.
d. 60. 
e. 65.
2
RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória XII
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48. (IADES/2013) No projeto de um jardim, há uma fonte rodeada de cinco está-
tuas diferentes. De quantas maneiras distintas podem ser dispostas as está-
tuas em volta da fonte? 
a. 10. 
b. 12. 
c. 24. 
d. 32. 
e. 56.
49. (ESAF/MIN.FAZENDA/2012) Uma reunião no Ministério da Fazenda será 
composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. 
De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno 
de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem 
juntos? 
a. 96
b. 360 
c. 120 
d. 48 
e. 24
3
Princípios de Contagem – Análise Combinatória XII – RACIOCÍNIO LÓGICO 
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