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Amostra
ESTATÍSTICA
É um subconjunto, necessariamente finito, uma parte selecionada das observações abrangidas pela população, através da qual se faz um estudo ou inferência sobre as características da população.
A amostra é constituída por n unidades de observação e que deve ter as mesmas características da população. Essa coleta recebe o nome de amostragem, envolvendo pelo menos dois passos: escolha das unidades e registro das observações.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
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ESTATÍSTICA
A amostragem pode ser:
sem reposição — normalmente utilizada nos trabalhos estatísticos, as unidades são selecionadas apenas uma vez. Ex.: a pesquisa eleitoral, pois as pessoas devem ser ouvidas apenas uma vez, porque, em uma eleição, o voto é individual;
com reposição — seleciona-se as unidades mais de uma vez. Ex.: a fila de banco, pois a mesma pessoa pode ser observada duas ou mais vezes, a cada vez que retorna ao banco.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
Amostra
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Há diferentes maneiras pelas quais as amostras podem ser selecionadas, cada qual com vantagens e desvantagens, e um dos problemas associados à amostragem é a definição do tamanho da amostra a ser retirada da população. 
Amostragem Sistemática: quando a retirada das unidades de observação é feita periodicamente, sendo o intervalo de seleção calculado, para uma população finita, por meio da divisão do tamanho da população pelo tamanho da amostra a ser selecionada. 
AULA 3 – COLETA DE DADOS
ESTATÍSTICA
Tipos de Amostragem
Ex.: deseja-se retirar uma amostra de n = 10 unidades de observação de uma população de tamanho N = 874. O intervalo de seleção é, então, 874:10 = 87,4 = 87. Desse modo, vão-se contando as unidades de observação e escolhem-se aquelas que estiverem nas seguintes posições: 87; 174; 261; 348; 435; 522; 609; 696; 783; 870.
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ESTATÍSTICA
Amostragem Aleatória Simples: o processo de retirada de uma amostra de uma população na qual cada unidade tem a mesma chance (ou oportunidade) de ser retirada. 
O processo de amostragem aleatória simples exige que se atribuam números consecutivos às unidades da população e proceda-se a um sorteio, colocando-se todos os números em um recipiente, por exemplo, e retirando um número; situação na qual cada unidade de observação tem a mesma chance de ser selecionada.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
Tipos de Amostragem
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ESTATÍSTICA
Técnicas de Amostragem
Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra; conforme a técnica utilizada tem-se um tipo de amostra.
 
Amostra Casual Simples: é composta por elementos, retirados ao acaso, da população. Então, todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra. 
Ex.: efetuar um sorteio, com fichas numeradas, de zero a nove.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
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ESTATÍSTICA
Amostra Sistemática: Nessa amostra, os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um sistema. Ex.: no lugar do sorteio, chamar todo o elemento com um número terminado em determinado dígito.
 
Amostra Estratificada: É composta por elementos provenientes de todos os estratos da população. Devem ser obtidas amostras estratificadas sempre que a população for constituída por diferentes estratos. Por exemplo, se as pessoas que moram nos vários bairros de uma cidade são diferentes, cada bairro é um estrato. Para obter uma amostra de pessoas dessa cidade, seria razoável obter uma amostra de cada bairro e, depois, reunir as informações em uma amostra estratificada.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
Técnicas de Amostragem
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Amostra de Conveniência: É formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. Os estatísticos têm muitas restrições ao uso de amostras de conveniência. 
Tais amostras são comuns na área de Saúde, onde se fazem pesquisas com pacientes de uma só clínica ou de um só hospital. As amostras de conveniência constituem, muitas vezes, a única maneira de estudar determinado problema.
AULA 3 – COLETA DE DADOS
ESTATÍSTICA
Técnicas de Amostragem
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ESTATÍSTICA
A Estatística é a ciência que se preocupa com organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Podemos considerar a ciência Estatística como dividida basicamente em duas partes: 
Estatística Descritiva, que se preocupa com a organização e descrição dos dados experimentais; 
Estatística Indutiva (Estatística Inferencial), que cuida da sua análise e interpretação, ou seja, tirar conclusões sobre populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações.
Definição de Estatística
AULA 2 – CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA
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Conceitos Básicos
Vejamos alguns conceitos básicos:
População: É um conjunto de elementos sobre o qual se faz alguns estudos ou Inferência Estatística. À Estatística não interessa concluir a respeito de unidades individuais de observação, mas sim de grupos, conjuntos ou agregados, porque seu objetivo é o estudo da chamada “população”, a qual pode ser finita ou infinita. A população finita é aquela em que o número de unidades de observação pode ser contado e é limitado. Já em uma população infinita, a quantidade de unidades de observação é ilimitada, ou a sua composição é tal que as unidades da população não podem ser contadas.
ESTATÍSTICA
AULA 2 – CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA
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Amostra: fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos é considerado amostra dessa população;
Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população;
Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional;
Variável: é uma atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, ou seja, é uma função matemática definida na população.
Conceitos Básicos
ESTATÍSTICA
AULA 2 – CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA
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Conceitos Básicos de Distribuição de frequência
ESTATÍSTICA
AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Dados Brutos - Normalmente, na prática, os dados originais de uma série estatística não se encontram prontos para análise, por estarem desorganizados. Por essa razão, costuma-se chamá-los de dados brutos.
Rol - É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. Essa ordenação pode ser crescente ou decrescente.
Elementos de uma distribuição de frequência 
(X máx.)  maior valor observado da variável de frequências;
(X mín.)  menor valor observado da variável de frequências;
Amplitude (A)  é a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável.
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ESTATÍSTICA
AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Conceitos Básicos de Distribuição de frequência
Intervalo de classe (h) - é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. 
Limites de classe - os limites de uma classe são os valores extremos. O limite mínimo de uma classe é denominado Limite Inferior e o limite máximo de Limite Superior.
Ponto médio de classe (Xi) - o ponto médio de uma classe é o valor representativo da classe. Para se obter o ponto médio de uma classe, basta somar os limites superior e inferior da classe e dividir por 2.
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Média Aritmética
Simples  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definida por:
	 _
	 X = X1 + X2 + ....... + Xn / N
Exemplo:			
 {1, 1, 3, 4, 4} 	
 _
 X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 / 5 = 13 / 5 = 2,6
ESTATÍSTICA
AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
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ESTATÍSTICA
Média Ponderada
Média ponderada  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com frequências f1, f2, ....., fn, então:
	 _
	 X = (X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn) / (f1 + f2 + ..... + fn) =  Xi fi /  fi
Exemplo: 
Em um exame, um aluno tirou 4 em Português, 5 em Matemática, 7 em Geografia e 8 em História, sabendo-se os pesos das respectivas disciplinas são 2, 3, 1 e 1 respectivamente.
	_
	X = (4x2 + 5x3 + 7x1 + 8x1) / (2 + 3 + 1 + 1) = 5,43
AULA 4 – MEDIDAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL
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Fórmula para dados agrupados:
	
	Mo = Xo + h ( Fm - Fa) / 2 Fm – (Fa + Fp)
Sendo:
	Xo  ponto inicial do intervalo de classe a que pertence Fm;
	
	h  intervalo de classe;
	
	Fm  frequência máxima;
	
	Fa  frequência anterior à Fm;
	
	Fp  frequência posterior à Fm.
ESTATÍSTICA
Moda
AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
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AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
É o valor que ocupa a posição central de uma distribuição. 
Se tivermos uma amostra simples como; 1, 3, 5, 9 e 10, a mediana é o número 5.
Se a amostra for do tamanho par, como por exemplo; 1, 3, 5, 7, 9 e 10, a mediana será a média dos dois termos centrais (5 + 7) / 2 = 6
Mediana
ESTATÍSTICA
 
AULA 4 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
ESTATÍSTICA
Me = Xe + h (Xm - Fiaa) / Fi
Sendo:
Xm  valor mediano, ou seja, metade da frequência total.
Xe  ponto inicial da classe à qual pertence Xm, na frequência acumulada;
h  intervalo de classe;
Fiaa  frequência acumulada imediatamente anterior à classe a qual pertence Xm;
Fi  frequência simples da classe à qual pertence Xm.
Fórmula para dados agrupados:
A Mediana de um conjunto de números ordenados é o valor central para N ímpar, e a média aritmética dos dois valores centrais para N par.
Exemplo:
a) Conjunto impar de números: 3, 1, 2, 5, 8, 6, 9, 7, 4.
- inicialmente é necessário ordenar os números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- como temos 9 valores, a mediana é 5.
b) Conjunto par de números: 0, 3, 1, 2, 5, 8, 6, 9, 7, 4.
- inicialmente é necessário ordenar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- a mediana é o cálculo dos dois valores centrais: (4 + 5) / 2 = 4,5
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
Mediana Simples
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ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
Mediana para Dados Agrupados em Classes
A Mediana é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais.
Me = Xe + h (Xm - Fiaa) / Fi, sendo:
Xm  valor mediano, ou seja, metade da frequência total.
Xe  ponto inicial da classe à qual pertence Xm, na frequência acumulada;
h  intervalo de classe.
Fiaa  frequência acumulada imediatamente anterior à classe a qual pertence Xm.
Fi  frequência simples da classe à qual pertence Xm.
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É uma medida que divide a distribuição em quatro partes iguais. Há, portanto, três quartis:
O primeiro Quartil (Q1): valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele, e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
O segundo Quartil (Q2): coincide com a Mediana, ou seja, Q2 = Me.
O terceiro Quartil (Q3): valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
Quartis
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A fórmula para o cálculo do quartil:
Qi = Xqi + h (Xmi - Fiaa) / Fi, sendo:
Qi  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2 e 3)
Xqi  ponto inicial da classe à qual pertence Xmi.
Xmi  valor proporcional da frequência total. 25% para o 1º quartil; 50% para o 2º quartil; e 75% para o 3º quartil. 
h  intervalo de classe.
Fiaa  frequência acumulada imediatamente anterior à classe a qual pertence Xm.
Fi  frequência simples da classe à qual pertence Xm.
 _
	
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
Quartis para Dados Agrupados em Classes
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Quartis para Dados Agrupados em Classes
O Decil é uma medida que divide a distribuição em dez partes iguais. 
O 5º decil coincide com o 2º quartil e com a Mediana.
É uma medida que divide a distribuição em 100 partes iguais. 
Os percentis ou centis, englobam todos os decis e quartis, por exemplo:
	
	C1 = D10, C25 = Q1, C50 = D5 = Q2
As fórmulas e os procedimentos para o cálculo do Decil e Percentil são idênticos ao utilizado no cálculo do Quartil.
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
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Os índices de Pearson são muito úteis ao estudo e descrição de uma variável discreta. 
A variável discreta resulta de contagem (Ex.: X representa o total de alunos em cada sala de aula).
Os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, mostram a relação entre dominantes, separatrizes e médias relações entre desvio padrão de distribuição simétricas.
Índices de Pearson
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
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A assimetria pode ser à direita ou à esquerda. Simetria é caracterizada pelo valor de T próximo de zero. 
Este tipo de informação é muito importante para a descrição de uma variável:
T = (Q3 + Q1 – 2 Me) / (Q3 - Q1), sendo:		
T = 0  simétrica; 
T  0  assimétrica negativa; 
T  0  assimétrica positiva.
Índices de Assimetria
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
Comparando a Média, a Moda e a Mediana, podemos concluir pela assimetria da distribuição:
- Assimetria: não simetria – distribuição tende mais para um lado.
Dados negativamente assimétricos (assimetria para a esquerda):
- Média e mediana à esquerda da moda.
- Em geral, média à esquerda da mediana.
Dados positivamente assimétricos (assimetria para a direita):
- Média e mediana à direita da moda.
- Em geral, média à direita da mediana.
Índices de Assimetria
ESTATÍSTICA
AULA 5 - SEPARATRIZES
ESTATÍSTICA
Na Estatística, existem diversas formas de analisar um conjunto de dados, a depender da necessidade em cada caso. Nem sempre, quando se está estudando um grupo de dados, o conhecimento de um promédio é suficiente para se tirar conclusão a respeito desses dados. É necessário também o conhecimento da variabilidade dos dados. Assim é que não se justifica calcular a média de um conjunto de dados onde não haja nenhuma variação desses elementos.
Da mesma forma, não ajuda muito o conhecimento da média, quando o conjunto de dados tiver uma variação muito grande. A tomada de decisões apenas com a média, por exemplo, de um conjunto de dados é inadequada, uma vez que os dados diferem entre si, em maior ou menor grau.
Medidas de Dispersão
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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ESTATÍSTICA
É uma medida de dispersão que permite identificar a distância em que os tempos de cada valor da variável estão do seu valor médio. A variância pode ser definida como uma medida de dispersão que é o quadrado do desvio padrão, ou, se preferir, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. 
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios. Quanto menor a variância, mais próximos os valores estão da média. Igualmente, quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.
Variância
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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ESTATÍSTICA
É um parâmetro muito usado em Estatística indicando o grau de variação de um conjunto de elementos. É utilizado para diferenciar uma média da outra, e serve para dizer o quanto os valores, dos quais se extraiu a média, são próximos ou distantes da própria média.
O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância. É uma das mais utilizadas medidas de variação de um grupo de dados.
A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável. Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista.
Desvio Padrão
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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ESTATÍSTICA
O Desvio Padrão possui as seguintes propriedades:
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão não se altera;
Multiplicando-se ou dividindo-se cada elemento de um conjunto de números por uma constante, o desvio padrão fica multiplicado ou dividido pela constante;
 
Para as distribuições simétricas (normais) tem-se:
68,72% das observações estão contidas entre X  S
95,45% das observações estão contidas entre X  2S
99,73% das observações estão contidas entre X  3S
Propriedades do Desvio Padrão
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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ESTATÍSTICA
Para determinados problemas, além das medidas de dispersão absoluta
(desvio padrão e variância), torna-se necessário o conhecimento de medidas de dispersão relativa (coeficiente de variação), proporcionando assim uma avaliação mais apropriada quanto ao grau de dispersão da variável.
Além disto, a dispersão relativa permite comparar distribuições cujos fenômenos e ou unidades de medidas são diferentes. O seu cálculo é obtido dividindo-se o desvio padrão pela média e o resultado obtido multiplicado por 100.
Coeficiente de Variação
Variância 
S² =  (Xi - X)² Fi
	 ----------------
		  Fi 
Coeficiente de Variação
CV = S x 100
 ---
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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A) Experiência Aleatória – É qualquer experiência onde, de antemão, não se prevê resultado.
Exemplo:
Qual a face que irá aparecer no lançamento de um dado honesto?
Retirada de uma carta de um baralho.
Nascimento de uma criança, quanto ao sexo.
 
B) Espaço Amostra - É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.
Exemplo:
No lançamento de um dado — { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
No nascimento de uma criança, quanto ao sexo — { H, M }.
 
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
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C) Evento - É qualquer resultado, ou conjunto de resultados, de um espaço amostra. 
Exemplo:
Aparecer a face 2, no lançamento do dado.
Aparecer as faces ímpares (1,3,5,), no lançamento do dado.
Retirada de uma dama de ouros de um baralho de 52 cartas.
 
Podemos encontrar dois tipos de eventos:
C.1) Eventos Simples - É o evento formado por apenas 1 elemento do espaço-amostra.
Exemplo:
Aparecer a face 2 no lançamento do dado.
Retirada de um REI de copas de um baralho de 52 cartas.
Aparecer a face cara, no lançamento da moeda.
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
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C.2) Eventos Compostos - É o evento formado por dois ou mais elementos do espaço-amostra.
Exemplo:
Aparecer as faces ímpares (1, 3, 5), no lançamento do dado.
Retirada de um valete de um baralho de 52 cartas (COPAS, OUROS, ESPADA e PAUS).
Aparecer a soma 5 das faces, no lançamento de 2 dados (14, 23, 32, 41).
 
Os eventos simples ou compostos subdividem-se em vários outros tipos de eventos, ou seja:
Evento Certo - É aquele que ocorre em todas as realizações da experiência aleatória.
Exemplo:
Aparecer as faces cara ou coroa, no lançamento da moeda.
Aparecer um número inteiro, positivo, maior do que zero e menor do que 7, no lançamento de um dado. 
 
	
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
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Evento Impossível - É aquele que não ocorre em nenhuma das realizações da experiência aleatória.
Exemplo:
Aparecer a face 7, no lançamento de um dado.
Aparecer a soma 13 das faces, no lançamento de 2 dados.
 
Evento Complementar - Seja o evento K. O evento complementar de K é aquele formado por todos os pontos do espaço amostra que não pertençam a K.
Exemplo:
Seja K o evento aparecer face 2, no lançamento do dado. 
O complementar de K é o evento aparecer uma das faces (1, 3, 4, 5, 6), no lançamento do dado.
O evento complementar do evento cara, no lançamento de uma moeda, é o evento coroa.
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
Eventos Mutuamente Exclusivos – São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente.
Exemplo:
O evento aparecer a face 2 e o evento aparecer a face 6, no lançamento de um dado.
O evento aparecer um VALETE e o evento aparecer um REI, na retirada de uma única carta de um baralho.
 
Eventos Não Mutuamente Exclusivos - São aqueles que podem ocorrer simultaneamente.
 
Exemplo:
O evento aparecer a face 2 e o evento aparecer faces pares, no lançamento de um dado (a face 2 satisfaz aos 2 eventos).
O evento aparecer um VALETE, o evento aparecer carta de ESPADA e o evento aparecer carta preta, na retirada de uma única carta de um baralho (o VALETE DE ESPADA satisfaz aos 3 eventos).
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
Eventos Independentes – Dois eventos são ditos independentes, quando a ocorrência de um em nada interfere na ocorrência do outro, isto é, o espaço amostra não se modifica para os eventos.
Exemplo:
Aparecer a face 2 no primeiro lance de um dado e aparecer a face 5 no segundo lance.
Nascimento do primeiro filho de um casal ser homem e o segundo mulher.
  
Eventos Dependentes – Dois eventos são ditos dependentes, quando a ocorrência de um interfere na ocorrência do outro, isto é, o espaço amostra modifica-se com a ocorrência de um dos eventos.
Exemplo:
Retirada, sem reposição da primeira carta, de 2 cartas de um baralho de 52 cartas (para a retirada da segunda carta, o espaço amostra ficou modificado, tendo apenas 51 cartas).
 
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Conceitos Fundamentais
Estatística
Probabilidade é o estudo de experiências aleatórias. 
Suponhamos a experiência de lançarmos N vezes uma moeda, ocorrendo K vezes a face cara. 
Em uma tabela de frequências, teríamos Fr = K/N, a que chamamos comumente de frequência relativa. 
Se repetirmos a experiência diversas vezes, devemos encontrar vários valores para a frequência relativa. Acontece que, se o número de vezes em que a moeda é lançada for grande, a frequência relativa tende a estabilizar-se, isto é, aproxima-se de um limite. 
Esta estabilidade é a base da teoria de probabilidade.
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Definição de Probabilidade
Estatística
Definimos como a probabilidade de ocorrer um determinado evento (sucesso) a relação entre o número de casos favoráveis ao sucesso e o número de casos possíveis (total de elementos do espaço amostra), representada simbolicamente por:
 
	P{E} = H/N , onde
P{E} - probabilidade da ocorrência do evento E.
H - total de casos favoráveis ao sucesso.
N - total de casos possíveis ou total de elementos do espaço amostra.
Podemos concluir, então, para o nosso exemplo, que à medida que aumentamos N, a frequência relativa do sucesso tende a se estabilizar em torno do valor ½, já que o total de casos favoráveis ao aparecimento da face cara no lançamento da moeda é 1 (um), e o total de elementos do espaço amostra é 2 (dois) – cara e coroa.
AULA 10: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE I
Definição de Probabilidade
Estatística
PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
 
Se dois eventos E1 e E2 são mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de E1 U E2 é: 	
P {E1 U E2} = P{E1} + P{ E2}
Exemplo:
Qual a probabilidade de ocorrer a face 3 ou a face 6 no lançamento de um dado?
	
P{ 3 U 6} = P{3} + P{6} = 1/6 + 1/6 = 1/3
Teorema da Soma
AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II
Estatística
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PARA EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Se dois eventos E1 e E2 são não mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de E1 ou E2 é: 
P {E1 U E2} = P{E1} + P{E2} - P {E1  E2}, onde P {E1  E2} é a parte simultânea dos eventos.
Exemplo:
Qual a probabilidade de se retirar uma carta de espada ou um rei em uma única retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas?
E1  o evento carta de espada
E2  o evento carta rei
Como o rei de espada é comum aos dois eventos, isto é, os eventos E1 e E2 podem ocorrer simultaneamente, eles não são mutuamente exclusivos, logo:
 
P {E1 U E2} = P{E1} + P{E2} - P {E1  E2} = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 4/13
Teorema da Soma
AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II
Estatística
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EVENTOS DEPENDENTES
 
Se dois eventos E1 e E2 são ditos dependentes, então a probabilidade da ocorrência dos 2 eventos é:
P {E1 E2} = P{E1} . P {E2 / E1}
Lê-se como a probabilidade de ocorrência do evento E1 multiplicada pela probabilidade de ocorrência do evento E2, dado que já tenha ocorrido E1.
 
Exemplo:
Determinar a probabilidade de se extrair um rei e uma dama na retirada de 2 cartas de um baralho de 52 cartas, sem reposição da primeira
carta.
 
P{R D} = P{D}. P{D/R} = (4/52)(4/51) = 16/2652
Teorema do Produto
AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II
Estatística
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EVENTOS INDEPENDENTES
Se dois eventos E1 e E2 são ditos independentes, então a probabilidade da ocorrência dos 2 eventos é:
	 P {E1 E2 }= P{ E1} . P{E2 }, já que P { E1/ E2 }= P{ E2 }
Isto é, a ocorrência do evento E1 em nada influiu na ocorrência do evento E2.
 
Exemplo:
Determinar a probabilidade de se extrair um rei e uma dama na retirada de 2 cartas de um baralho de 52 cartas, com reposição da primeira carta.
 
	 P{R D} = P{R}. P{D} = (4/52) (4/52) = 16/2704 
 
	
Teorema do Produto
AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II
Estatística
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A lei geral da multiplicação é de grande utilidade para resolver problemas e o último resultado de uma experiência aleatória depende de resultados de estágios intermediários. 
A noção fundamental da estatística bayesiana é probabilidade condicional: O Teorema de Bayes se baseia na seguinte questão: “Se o evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provido do evento Bi?”
Considerando que os eventos B1, B2, ... , Bk, K eventos mutuamente exclusivos dos quais conhecendo as probabilidades P {Bi} e seja A um evento para o qual também conhecemos todas as probabilidades P {A / Bi}. Para o seu cálculo utilizamos a seguinte fórmula:
	P {Bi/A} = (P{Bi}) (P {A / Bi}) / P {A}, sendo:
 
P {A} = P {B1} P{A / B1} + P {B2} P{A / B2} + ........ + P {Bk} P{A / Bk} Interseção 
Teorema de Bayes
AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II
Estatística
Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. A palavra “aleatória” aparece para indicar que, a cada possível valor da variável, atribuímos uma probabilidade de ocorrência. 
Uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a cada um dos resultados de um experimento aleatório. Matematicamente, variável aleatória é uma função que associa elementos de um espaço amostral a valores numéricos.
 
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as continuas.
As variáveis aleatórias discretas assumem valores em um conjunto enumerável e as variáveis aleatórias contínuas assumem valores em qualquer intervalo dos números reais.
Variável Aleatória
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
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Variáveis discretas podem assumir apenas determinados valores, e resultam de uma contagem, como, por exemplo:
Quantidade de valores de uma moeda: 1;5;10;50;100
Quantidade de sabores de refresco: tangerina, laranja, maracujá...
 
As variáveis contínuas são aquelas cujo conjunto de valores possíveis é um intervalo de números reais, resultante de uma medição em qualquer grau de precisão, como ,por exemplo:
Duração de uma bateria de telefone celular: 60h, 46h 37min 12s ou 39h 13min (dependendo do tipo de bateria ou da sua utilização).
Variável Aleatória
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
45
Se uma variável aleatória X pode assumir um conjunto discreto de valores x1, x2, ..., xn, com probabilidades p1, p2, ..., pn, respectivamente sendo p1 + p2 + .... + pn = 1, diz-se que está definida uma distribuição de probabilidade discreta de x. 
Suponhamos a experiência aleatória de lançar duas moedas simultaneamente. O espaço amostral é: S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
Se definirmos a variável aleatória discreta “Total de Faces Caras”, a distribuição de probabilidades desta variável consiste no conjunto de valores possíveis que ela pode assumir e suas probabilidades associadas, ou seja: 
 X 0 	1	2	
	 __________________,	onde Σ f(xi) = 1
F(x) 	1/4	2/4	1/4 	
 
A função f(x), que assume os valores p1, p2, ..., pn, é chamada de função de densidade de probabilidade, ou simplesmente função de probabilidade da variável x.
Distribuição de Probabilidade Discreta
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
46
O conceito de esperança matemática surgiu de jogos de azar. 
Se X representa uma variável aleatória discreta, assumindo valores x1, x2, ..., xn, com probabilidades p1, p2, ..., pn, respectivamente sendo p1 + p2 + .... + pn = 1, a esperança matemática é definida por: 
E(x) = p1x1+ p2x2 + ... + pnxn = Σ pixi 
Para ilustrar a aplicação do conceito acima, vejamos o seguinte exemplo: a probabilidade da empresa alfa ganhar uma concorrência é 3/5. Na hipótese de perder a concorrência, ela terá um prejuízo de R$100.000,00. No caso de vencer, ela terá um lucro de R$1.000,000,00. A esperança matemática da empresa será:
E(x) = (1.000.000,00) (3/5) + (-100.00,00) 92/5) = 560.000,00
 
	
Esperança Matemática de uma Variável Aleatória Discreta
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
47
Seja p a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única (sucesso) e q = 1 – p é a de que o evento não ocorra em qualquer tentativa única (insucesso). Então, a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes, em N tentativas é dado por:
		 ( N )	 ( N )
	P (X = K) = ( ) pK . qn – K , sendo ( ) ,
 ( K )		 ( K ) 
Denominado número binomial e é obtido pela fórmula:
n! / {(K! (n – K!)} 
Esse número indica o número de maneiras de obter k sucessos em n tentativas, independentemente da ordem.
Modelo Binomial
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
Para a identificação de uma distribuição binomial, tornam-se necessárias as seguintes características:
 
Uma experiência que consiste em um número finito de tentativas repetidas, cada uma das quais tendo apenas dois resultados (sucesso e insucesso);
As tentativas repetidas são independentes, isto é, o resultado de uma não afeta os resultados das sucessivas; 
As probabilidades do sucesso e do insucesso são conhecidas e não se modificam durante a experiência.
 
Para ilustrar o exemplo acima, vejamos a seguinte situação: a empresa Beta produziu um lote de peças do produto X. Considerando que a probabilidade da peça ser perfeita e com defeito é a mesma. Ao se retirar seis peças para inspeção, qual a probabilidade de obter exatamente duas dessas peças com defeito?
Nesse caso, K = 2 e N = 6, então: P(X = K) = {6! / (2!) (6 – 2)!} {(1/2)6 (1/26 – 4) = 0,0146
Modelo Binomial
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
A distribuição de Poisson é aplicada a fenômenos raros e é frequentemente usada para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo. 
Podemos considerar, por exemplo, número de chamadas recebidas por uma central telefônica durante um período de uma hora. 
Na situação descrita, a variável aleatória consiste na contagem de resultados discretos que ocorrem em um meio contínuo (tempo, superfície ou volume). Essas variáveis podem assumir os valores 0, 1, 2, ..., e seu comportamento é descrito pela distribuição de Poisson, cuja função distribuição de probabilidade é:
	P (X = K) = Eλ λK / K!
 
O símbolo λ é a letra grega lambda, que é usada como parâmetro para a chamada distribuição de Poisson e a letra e é um número matemático especial aproximadamente igual a 2,71828.
Modelo de Poisson
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Estatística e Probabilidade
Variável é uma característica da unidade experimental. Vamos estudar dois tipos de variáveis: quantitativas e qualitativas.
Variáveis quantitativas
são aquelas cujas respostas da variável são expressas por números (quantidades). 
Variáveis qualitativas
são aquelas cujas respostas são expressas por um atributo. 
V
A
R
I
Á
V
E
I
s
Variáveis quantitativas contínuas
são aquelas que podem assumir, teoricamente, infinitos valores entre dois limites (num intervalo), ou seja, podem assumir valores não inteiros.
Por exemplo: altura (em metros) de alunos de uma determinada faixa etária,
peso (em kg), salário, etc.
Variáveis quantitativas discretas
são aquelas que só podem assumir valores inteiros.
Por exemplo: número de filhos por casal, número de livros em uma biblioteca, número de carros vendidos, etc.
Variáveis qualitativas nominais
definem-se como aquelas em que as respostas são expressas por um atributo (nome) e esse atributo não pode ser ordenado.
Por exemplo: tipo sanguíneo, religião, estado civil, etc.
Variáveis qualitativas ordinais
têm suas respostas expressas por um atributo (nome) e esse atributo pode ser ordenado.
Por exemplo: grau de instrução, classe social, etc.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos
Estatística e Probabilidade
Exercício 1: Classifique as variáveis abaixo em quantitativas (discretas ou contínuas) ou qualitativas (nominal ou ordinal).
cor dos olhos
número de peças produzidas por hora
diâmetro externo
número de pontos em uma partida de futebol
produção de algodão
salários dos executivos de uma empresa
número de ações negociadas na bolsa de valores
sexo dos filhos
tamanho de pregos produzidos por uma máquina
quantidade de água consumida por uma família em um mês
grau de escolaridade
nível social
tipo sanguíneo
estado civil
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos
Estatística e Probabilidade
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos
Estatística e Probabilidade
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Conceitos Básicos
Estatística e Probabilidade
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados
Estatística e Probabilidade
Exercício 3: Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra, conforme a técnica utilizada tem-se um tipo de amostra. Entende-se como sendo amostra sistemática:
A) quando é composta por elementos, retirados ao acaso, da população. Então, todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra.
B) quando os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um sistema.
C) quando é composta por elementos provenientes de todos os estratos da população.
D) quando é formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados
Estatística e Probabilidade
Exercício 3: Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra, conforme a técnica utilizada tem-se um tipo de amostra. Entende-se como sendo amostra sistemática:
A) quando é composta por elementos, retirados ao acaso, da população. Então, todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra.
B) quando os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um sistema.
C) quando é composta por elementos provenientes de todos os estratos da população.
D) quando é formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Coleta de Dados
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: Suponha que duas amostras da produção da peça X, colhidas da mesma ordem de produção, sendo uma amostra com 100 exemplares e outra amostra com 200 exemplares.
A amostra maior é mais representativa da população? Justifique sua resposta.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
As medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência central, têm o objetivo de apresentar um ponto central em torno do qual os dados se distribuem. As mais conhecidas são: a média, a mediana e a moda. 
A Moda de um conjunto de dados é o valor (ou valores) que ocorre com maior frequência.
Para os dados não tabulados, ou seja, quando os dados não estiverem na forma de distribuição de frequência. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo.
Mediana
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo.
Mediana
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
Como o próprio nome sugere, o valor da Mediana (que ocupa a posição central numa distribuição de frequência), deve estar em algum ponto entre o valor da Média e o valor da Moda, mas pode também ser igual à Moda e à Média.
Assimetria Positiva, podemos dizer que a distribuição é Assimétrica à Direita (da curva);
Assimetria Negativa, podemos dizer que a distribuição é Assimétrica à Esquerda (da curva);
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 4: (ENADE/2011) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo.
Mediana
a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA, ou seja, é Assimétrica à Direita (da curva)
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Para os dados não tabulados, ou seja, quando os dados não estiverem na forma de distribuição de frequência. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os dados estão apresentados na tabela a seguir.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os dados estão apresentados na tabela a seguir.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 5: Em um determinado mês, foi computado o número de faltas ao trabalho, por motivos de saúde, que cada funcionário de uma determinada empresa teve. Os dados estão apresentados na tabela a seguir.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
Exercício 6: A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do tempo de vida de 60 componentes eletrônicos (medido em dias) submetidos à experimentação num laboratório especializado. Calcular as medidas de posição.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Medidas de Tendência Central
Estatística e Probabilidade
MEDIDA DE POSIÇÃO
VANTAGENS
DESVANTAGENS
MÉDIA
Reflete
cada valor observado na distribuição
É influenciada por valores extremos
MEDIANA
Menos sensível a valores extremos do que a Média
Difícil de determinar para grande quantidade de dados
MODA
Maior quantidade de valores concentrados neste ponto
Não se presta à análise matemática
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
Exercício 7: Vamos utilizar os dados do Exercício anterior (Exercício 6) para encontrar o terceiro quartil, o quinto decil e o décimo quinto percentil
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
ÍNDICES DE PERSON
Os índices de Pearson são muito úteis ao estudo e descrição de uma variável discreta.
Os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, mostra a relação entre dominantes, separatrizes e médias relações entre desvio padrão de distribuição simétricas.
Para maiores detalhes, sugerimos complementar essa atividade com uma visita ao site: http://estatisticax.blogspot.com.br/2008/03/medidas-de-assimetria-e-de-achatamento.html
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
ÍNDICES DE PERSON
Uma distribuição simétrica resultará num valor igual a 0 (zero);
Se a distribuição for assimétrica positiva resultará num valor superior a 0 (zero);
Se a distribuição for assimétrica negativa resultará num valor inferior a 0 (zero).
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
ÍNDICES DE PERSON
Fonte: http://4.bp.blogspot.com/_HqjPVvZ1cRI/R-v7u8hreYI/AAAAAAAABNw/M1oM2cFIXFk/s1600-h/curtose.gif
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Separatrizes
Estatística e Probabilidade
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5
Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média.
Determine a variância.
Determine o desvio padrão.
qual a amplitude total?
85
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5
a) Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média.
86
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5
b) Determine a variância.
87
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5
c) Determine o desvio padrão.
d) qual a amplitude total?
88
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
2ª Questão: A tabela ao lado é o resultado de uma pesquisa realizada entre os funcionários de uma empresa de exportação e importação de produtos eletrônicos, com o objetivo de verificar os salários nesse segmento de mercado.
determine o desvio médio;
determine a variância;
determine o desvio padrão.
Salário
(Em salários mínimos)
Funcionários
1
|--
2
1
2
|--
3
4
3
|--
4
6
4
|--
5
5
5
|--
6
6
6
|--
7
10
7
|--
8
9
8
|--
9
6
9
|--
10
3
50
89
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
2ª Questão: a) determine o desvio médio;
Salário
Funcionários
(Em salários mínimos)
Xi
Frequência (fi)
Xi* fi
Xi- M
|Xi- M|.fi
1
|--
2
1.50
1
1.50
-4.50
4.50
2
|--
3
2.50
4
10.00
-3.50
14.00
3
|--
4
3.50
6
21.00
-2.50
15.00
4
|--
5
4.50
5
22.50
-1.50
7.50
5
|--
6
5.50
6
33.00
-0.50
3.00
6
|--
7
6.50
10
65.00
0.50
5.00
7
|--
8
7.50
9
67.50
1.50
13.50
8
|--
9
8.50
6
51.00
2.50
15.00
9
|--
10
9.50
3
28.50
3.50
10.50
50
300.00
88.00
90
Medidas de Dispersão
GST1079 - Estatística e Probabilidade
2ª Questão: b) determine a variância;
 c) determine o desvio padrão.
Salário
Funcionários
(Em salários mínimos)
Xi
Frequência (fi)
Xi* fi
Xi- M
(Xi- M)2.fi
1
|--
2
1.50
1
1.50
-4.50
20.25
2
|--
3
2.50
4
10.00
-3.50
49.00
3
|--
4
3.50
6
21.00
-2.50
37.50
4
|--
5
4.50
5
22.50
-1.50
11.25
5
|--
6
5.50
6
33.00
-0.50
1.50
6
|--
7
6.50
10
65.00
0.50
2.50
7
|--
8
7.50
9
67.50
1.50
20.25
8
|--
9
8.50
6
51.00
2.50
37.50
9
|--
10
9.50
3
28.50
3.50
36.75
50
300.00
216.50
91
Medidas de Assimetria
GST1079 - Estatística e Probabilidade
Para revisar os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, sugerimos que você reveja a apresentação do PreparAV1.
Ressalto que, além desse tema, as demais revisões poderão ser uteis para o bom fechamento de seu semestre na disciplina!
92
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: 
O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. 
93
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: 
Os múltiplos de 8 são os números 8, 16, 24, 32, 40, 48.
Para problemas com uma quantidade maior de números, podemos encontrar a quantidade de múltiplos de 8, utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a1 = 8 (1º múltiplo) e an (último múltiplo).
O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo, 
.
94
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?
.
95
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?
O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como foi informado que o resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6.
Logo, .
.
1ª Solução: Redução do espaço amostral 
96
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?
E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6};
E’ = {resultado par} = {2, 4, 6};
E ∩ E’ = {4, 6}
 
Logo, .
.
2ª Solução: Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos: 
97
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?
.
98
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?
.
Utilizando a teoria de conjuntos, temos: 
 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500. 
 
Logo, 
99
Probabilidade
GST1079 - Estatística
e Probabilidade
6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição?
.
100
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição?
.
A = {a primeira bola é branca}
B = {a segunda bola é branca}
101
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
7ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição?
.
102
Probabilidade
GST1079 - Estatística e Probabilidade
7ª Questão: Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? 
.
103