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Aula 16: Correlação e Regressão Linear Simples - Parte 2 ESTATÍSTICA 1 Estrutura de Conteúdo Compreender os conceitos básicos da regressão linear simples; Estimar a equação de regressão e utilizá-la para fazer previsões. Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 2 Regressão Linear Moore et al. (2006, p. 95) define reta de regressão como sendo: “Uma linha reta que descreve como uma variável de resposta Y muda à medida que uma variável explicativa x também varia. Frequentemente utilizamos uma reta de regressão para predizer o valor de y a partir de um determinado valor de X”. O problema de determinar equações de curvas que se ajustam aos dados é chamado de Ajustamento. O Ajustamento mais comum é do da reta, cuja equação é: Y = a + b X Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 3 Método a mão livre Este método consiste na utilização de um Diagrama de Dispersão, ajustar uma curva regular em que pontos fiquem distribuídos os mais próximos da curva. Recomenda-se escolher um número mínimo de pontos necessários para a obtenção das constantes. Se a equação é uma linha reta, são necessários dois pontos, porém se for uma parábola, são necessários três. Vejamos o exemplo do ajustamento de uma linha reta, com os dados da tabela baixo: X Y 1 3 2 6 3 7 4 10 5 10 6 12 Neste exemplo, a reta é traçada de tal forma que os pontos fiquem os mais próximos possíveis da reta. Considerando os pares ordenados (1, 3), (2, 6), .... (6, 12) num sistema cartesiano, e em seguida unindo os pontos, verifica-se que a mesma se aproxima de uma reta. Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 4 Método a mão livre Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 5 Método dos Mínimos Quadrados O grande problema quando se deseja ajustar um conjunto de dados é definir uma curva cujos desvios, isto é, a diferença entre o valor estimado e o observado seja a menor possível. Para um conjunto de valores (x1 y1), (x2 y2) .... (xn yn), tem-se os desvios D1, D2, ... DN, que podem ser positivos ou negativos. Para a determinação da melhor reta ajustante, de um conjunto de valores (x1 y1), (x2 y2) .... (xn yn), cuja a equação é: Y = a + bX Onde: a (coeficiente linear) mede a interceptação da reta no eixo dos y; e b (coeficiente angular) mede de quanto Y cresce a cada acréscimo de uma unidade de X. Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 6 Método dos Mínimos Quadrados Para se obter os valores de a e b, é necessário resolver o seguinte sistema de equações: ΣY = a N + b ΣX ΣXY = a ΣX + ΣX2 As equações acima são chamadas de “equações normais da reta”. Também podemos obter o valor das constantes a e b, por meio do uso das fórmulas: a = ( (ΣY) (ΣX2) – ((ΣX) (ΣXY)) / N ΣX2 - (ΣX)2 b = N (ΣXY) - (ΣX) (ΣY) / N ΣX2 - (ΣX)2 A reta de mínimo quadrado é denominada de “linha de regressão de Y para X” e a constante b de “coeficiente de regressão”. Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2 A Parábola de Mínimo Quadrado A parábola de mínimo quadrado, que se ajusta ao conjunto de pontos (x1 y1), (x2 y2) .... (xn yn), cuja a equação é: Y = a + b X + c X2 Cujas constantes a, b e c são determinadas pela resolução das equações: ΣY = a N + b ΣX + c ΣX2 ΣXY = a ΣX + b ΣX2 + c ΣX3 ΣX2Y = a ΣX2 + b ΣX3 + c ΣX4 Estatística AULA 16: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 2
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