7 var aleatoria

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Francisco Beltra˜o - PR
Profa Naimara Vieira do Prado
Notas de aula
Probabilidade e Estat´ıstica
Varia´veis aleato´rias e Func¸o˜es de probabilidades
Versa˜o 0.1.0
2015
Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
1 Varia´veis aleato´rias
1.1 Experimento aleato´rio
Refere-se ao caso em que determinada situac¸a˜o e´ realizada repetidas vezes, em con-
dic¸o˜es ideˆnticas, pore´m, sempre apresentara´ resultados diferentes, ou seja, os resultados
sa˜o determinados ao acaso.
1.2 Varia´vel aleato´ria
E´ uma func¸a˜o que descreve numericamente o resultado de um experimento aleato´rio.
Em outras palavras, e´ uma func¸a˜o que associa um nu´mero real a um determinado evento
no espac¸o amostral.
Notac¸a˜o: As varia´veis aleato´rias sera˜o representadas por letras maiu´sculas, X, Y, Z,W,
etc. Os poss´ıveis valores nume´ricos que as varia´veis aleato´rias podem assumir, sera˜o re-
presentados por letras minu´sculas, x, y, z, w, etc.
Exemplo 1: Duas pec¸as sa˜o retiradas sucessivamente, sem reposic¸a˜o de uma urna
que conte´m quatro pec¸as boas (B) e 3 defeituosas (D).
Neste caso, temos o seguinte espac¸o amostral: S = {BB,BD,DB,DD}. Se con-
siderarmos a varia´vel aleato´ria Y = nu´mero de pec¸as boas retiradas, Y = {0, 1, 2}
com as seguintes probabilidades:
Eventos em S Varia´vel aleato´ria Y
BB 2
BD 1
DB 1
DD 0
Exemplo 2: No lanc¸amento de duas moedas, os poss´ıveis resultados sa˜o :
{CC,CK,KC,KK}, em que: C = cara e K = coroa
Seja X uma varia´vel aleato´ria, em que: X = nu´mero de caras no lanc¸amento de
duas moedas.
A varia´vel aleato´ria X pode assumir os seguintes valores, associados aos eventos
listados anteriormente:
2 UTFPR
Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
Possibilidades Varia´vel Probabilidade de X Probab. acumulada de X
Aleato´ria X [P (X = x)] [P (X < x)]
CC 2 1
4
= 0, 25 0, 25
CK ou KC 1 2
5
= 1
2
= 0, 50 0, 75
KK 0 1
4
= 0, 25 1, 00
Pode-se construir um gra´fico relacionado a probabilidade da ocorreˆncia da varia´vel
aleato´ria X e tambe´m um gra´fico associando a Probabilidade acumulada de X.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Número de caras no lançamento de duas moedas (x)
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
= 
P(
X 
= x
)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
Ac
um
u
la
da
 =
 P
(X
 < 
x)
1.3 Tipos de varia´veis
Se um espac¸o amostral conte´m um nu´mero finito e conta´veis de pontos, como no
exemplo 2, ele e´ chamado de espac¸o amostral discreto, a varia´vel aleato´ria definida
sobre o espac¸o e´ chamada de varia´vel aleato´ria discreta.
Se o espac¸o amostral conte´m pontos amostrais na forma de intervalos cont´ınuos de
nu´meros reais, enta˜o ele e´ chamado de espac¸o amostral cont´ınuo e a varia´vel aleato´ria
definida nesse espac¸o e´ chamada varia´vel aleato´ria cont´ınua.
1.4 Classificac¸a˜o das Distribuic¸o˜es de Probabilidades
1.4.1 Func¸a˜o probabilidade (f.p)
A func¸a˜o que associa as probabilidades a cada valor individual de X, f(x), e´ conhe-
cida como func¸a˜o de probabilidade e e´ definida para as varia´veis aleato´rias discretas.
Para uma varia´vel aleato´ria X que assume valores x1, x2, . . . , xn, define-se uma
func¸a˜o de probabilidade f(x) que tem as seguintes propriedades:
• P (xi) ≥ 0 para todo i, em que P (xi) e´ a probabilidade da varia´vel aleato´ria assumir
o valor xi qualquer;
• ∑P (xi) = 1, ou seja, a soma de todas a probabilidades de ocorreˆncia da varia´vel
aleato´ria X e´ exatamente 1.
3 UTFPR
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1.4.2 Func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a) para varia´veis ale-
ato´rias discretas
A func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada, denotada por: F (x) = P (X ≤ x), e´ a proba-
bilidade da varia´vel aleato´ria X assumir valores menores ou iguais a x, com x ∈ N. A
func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada para as varia´veis aleato´rias discretas, possui as seguintes
propriedades:
• F (x) e´ uma func¸a˜o na˜o decrescente.
• lim
x→∞
F (x) = 1
• lim
x→−∞
F (x) = 0
Obs: No exemplo 2, os gra´ficos apresentados para a probabilidade de sair cara no
lanc¸amento de duas moedas, sa˜o exemplos de representac¸o˜es da func¸a˜o probabilidade e
da func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidade, respectivamente.
Exemplo 3: Em um sistema de teste de celulares. Cada celular tem 80% de chance
de ser reprovado no teste. Em um experimento, treˆs celulares sa˜o testados. Supondo que
cada teste e´ independente do outro, estabelec¸a a func¸a˜o de probabilidade do nu´mero de
celulares reprovados.
X: nu´mero de celulares reprovados no teste.
p = 0, 8: probabilidade de reprovar no teste
q = 0, 2: probabilidade de ser aprovado no teste
4 UTFPR
Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
Seja 0→ Celular aprovado no teste e, 1→ Celular reprovado no teste.
Poss´ıveis resultados X Probabilidade
000 0 0, 2× 0, 2× 0, 2 = 0, 23 = 0, 008
001 1 0, 2× 0, 2× 0, 8 = 0, 22 × 0, 8 = 0, 032
010 1 0, 2× 0, 8× 0, 2 = 0, 22 × 0, 8 = 0, 032
100 1 0, 8× 0, 2× 0, 2 = 0, 22 × 0, 8 = 0, 032
011 2 0, 2× 0, 8× 0, 8 = 0, 82 × 0, 2 = 0, 128
101 2 0, 8× 0, 2× 0, 8 = 0, 82 × 0, 2 = 0, 128
110 2 0, 8× 0, 8× 0, 2 = 0, 82 × 0, 2 = 0, 128
111 3 0, 8× 0, 8× 0, 8 = 0, 83 = 0, 512
Desta forma:
X f(x) = P (X = x) F (x)
0 0,08 0,008
1 3× (0, 22 × 0, 8) = 0, 096 0,104
2 3× (0, 82 × 0, 2) = 0, 384 0,488
3 0,512 1,000
Os gra´ficos referentes a func¸a˜o de probabilidade (f(x)) e da func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada (F (x)), respectivamente.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Número de celulares reprovados no teste (x)
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
= 
P(
X 
= x
)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
Ac
um
u
la
da
 =
 P
(X
 < 
x)
5 UTFPR
	Experimento aleatório
	Variável aleatória
	Tipos de variáveis
	Classificação das Distribuições de Probabilidades
	Função probabilidade (f.p)
	Função distribuição acumulada (f.d.a) para variáveis aleatórias discretas