8 distribuicoes discretas

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Francisco Beltra˜o - PR
Profa Naimara Vieira do Prado
Notas de aula
Probabilidade e Estat´ıstica
Distribuic¸o˜es de varia´veis aleato´rias discretas
Versa˜o 0.1.0
2015
Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
1 Distribuic¸o˜es de probabilidades para varia´veis
discretas
Existem diversas situac¸o˜es reais que podem ser descritas com certa precisa˜o por
modelos estat´ısticos. Assim podemos “prever” o comportamento de determinada varia´vel
aleato´ria discreta conhecendo o modelo que descreve o seu comportamento baseado no
comportamento da populac¸a˜o infinita.
Para as varia´veis aleato´rias discretas, os principais modelos sa˜o:
• distribuic¸a˜o Uniforme discreta
• distribuic¸a˜o de Bernoulli
• disbribuic¸a˜o Binomial
• distribuic¸a˜o Poisson
1.1 Distribuic¸a˜o uniforme discreta
E´ a mais simples de todas as distribuic¸o˜es discretas de probabilidades. Caracteriza-
se por assumir a mesma probabilidade para o conjunto de valores.
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria cujos poss´ıveis valores sa˜o representados
por x1, x2, . . . xn, dizemos que X segue uma distribuic¸a˜o uniforme discreta se sua func¸a˜o
de probabilidade (f.p.) for dada por:
f(x) = P (X = xi) =
1
n
, para i = 1, 2, . . . , n
Notac¸a˜o: X ∼ Ud(1, n), leˆ-se: a varia´vel aleato´ria X possui distribuic¸a˜o Uniforme dis-
creta no intervalo de 1 a n.
Exemplo 1: No lanc¸amento de um dado, a varia´vel aleato´ria X assume os seguintes
valores:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} com f(x) = P (X = x) = 1
6
2 UTFPR
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De forma gra´fica, temos:
Figura 1: Func¸a˜o de probabilidade Uniforme Discreta para n = 1, 2, . . . , 6
1 2 3 4 5 6
0.
10
0.
14
0.
18
0.
22
x
f(x
) =
 P
(X
 = 
x)
Exemplo 2: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes
consecutivos numerados de 21 a 25. Meu colega tem outros 5 bilhetes com os nu´meros:
1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem a maior probabilidade de ser sorteado? Qual o valor dessa
probabilidade?
Os dois tem a mesma probabilidade de serem sorteados.
Probabilidade de ser sorteado = 5× 1
100
=
5
100
=
1
20
= 5%
Deste modo, as chances de ser sorteado esta´ baseado na quantidade de bilhetes
adquiridos e na˜o na nu´merac¸a˜o dos bilhetes.
1.2 Distribuic¸a˜o Bernoulli
Corresponde a qualquer experimento que realizado uma u´nica vez produza apenas
dois resultados: “0” ou “fracasso” e “1” ou “sucesso”.
A probabilidade de ocorrer sucesso e´ p e a probabilidade de fracasso e´ q = (1−p).
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria em que X = {0, 1} . X ∼ Bernoulli(p),
sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
f(x) = P (X = x) =
{
p se x = 1: sucesso
q = 1− p se x = 0: fracasso
ou de outra forma:
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f(x) = P (X = x) = px(1− p)1−x para X = {0, 1}
Exemplo 3: Suponha que um aparelho e´ submetido a um teste e possui 10% de
probabilidade de ser rejeitado no teste. Seja X = no de aparelhos rejeitados no teste.
Determine a func¸a˜o de probabilidade de X.
Sabendo que apenas um u´nico teste sera´ realizado, X ∼ Bernoulli(p = 0, 10). Deste
modo:
f(x) = P (X = x) = 0, 10x0, 901−x para X = {0, 1}
Neste caso, assumimos como “sucesso” ou “1” a probabilidade do aparelho ser rejei-
tado no teste.
Propriedades:
Seja a v.a. X com distribuic¸a˜o de Bernoulli e chance de sucesso p. (X ∼ Bernoulli(p)).
• Me´dia: µ(X) = p
• Variaˆncia: σ2(X) = p(1− p) = pq
• p+ q = 1
Exemplo 4: Uma urna conte´m 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Retira-se uma
bola da urna. Seja X =no de bolas verdes. Encontrar a func¸a˜o de probabilidade, me´dia e
variaˆncia da varia´vel aleato´ria X.
Como sa˜o 20 bolas verdes no total de 50 bolas da urna, p = 20
50
= 2
5
f(x) = P (X = x) =
(
2
5
)x(
1− 2
5
)1−x
=
(
2
5
)x(
3
5
)1−x
Me´dia: µ(X) = p =
2
5
e Variaˆncia: σ2(X) = p× q = 2
5
× 3
5
=
6
25
1.3 Distribuic¸a˜o Binomial
Consiste em n repetic¸o˜es de um experimento Bernoulli de forma independente e,
apresenta como resultado: “sucesso” ou “1” com probabilidade p e “fracasso” ou “0” com
probabilidade q = (1− p).
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Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta, X = {0, 1} resultados de n
experimentos de Bernoulli independentes, dizemos que X tem distribuic¸a˜o Binomial com
func¸a˜o de probabilidade dada por:
X ∼ Bin(n, p) ⇒ f(x) = P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
em que:
(
n
x
)
=
n!
x!(n− x)! = C
n
x .
Exemplo 5: A obtenc¸a˜o de “caras” no lanc¸amento consecutivos de 5 moedas inde-
pendentes. Encontre a probabilidade de sair 3 caras.
X = no de caras, em que: X ∼ Bin(n = 5, p = 0, 5).
f(x) = P (X = x) =
(
5
x
)
0, 5x × 0, 55−x =
(
5
x
)
0, 55
Para encontrar a probabilidade de sair exatamente 3 caras, devemos encontrar
P (X = 3):
P (X = 3) =
(
5
3
)
0, 53 × 0, 52 = 5!
3!2!
(0, 5)5 = 0, 3125 = 31, 25%
Propriedades:
• Me´dia: µ(X) = np
• Variaˆncia: σ2(X) = n(pq)
• A probabilidade de sucesso e´ a mesma a cada repetic¸a˜o do experimento.
Exemplo 6: Seis parafusos sa˜o escolhidos ao acaso da produc¸a˜o de certa ma´quina
que produz 14% de pec¸as defeituosas. Qual a probabilidade de escolher 2 defeituosos?
X = no de parafusos defeituosos, com p = 0, 14 ⇒ X ∼ Bin(n = 6, p = 0, 14)
f(x) = P (X = x) =
(
6
x
)
0, 14x0, 866−x
= P (X = 2) =
(
6
2
)
0, 1420, 866−2 = 0, 1608 = 16, 08%
Exemplo 7: Sendo X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Binomial com paraˆ-
metros n = 15 e p = 0, 4, pergunta-se:
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a) P (X ≤ 2) =
b) P (8 < X ≤ 10) =
c) P (X < 1 ou X ≥ 14) =
Soluc¸a˜o:
a)
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
=
(
15
0
)
0, 400, 615 +
(
15
1
)
0, 410, 614 +
(
15
2
)
0, 420, 613 =
= 4, 7018× 10−4 + 4, 7018× 10−3 + 4, 7018× 10−4 + 0, 0219
= 0, 02707
b)
P (8 < X ≤ 10) = P (X = 9) + P (X = 10) =
=
(
15
9
)
0, 490, 66 +
(
15
10
)
0, 4100, 65 =
= 0, 0612 + 0, 0244 = 0, 0852
c)
P (X < 1 ou X ≥ 14) = P (X = 0) + P (X = 14) + P (X = 15) =
=
(
15
0
)
0, 400, 615 +
(
15
14
)
0, 4140, 61 +
(
15
15
)
0, 4150, 60 =
= 4, 7018× 10−4 + 2, 4159× 10−5 + 1, 0737× 10−6
= 4, 9541× 10−4
1.4 Distribuic¸a˜o Poisson
Distribuic¸a˜o de probabilidade usada para uma varia´vel aleato´ria que registra o nu´-
mero de ocorreˆncias em um intervalo de tempo ou espac¸o espec´ıficos, representa a “taxa”
de ocorreˆncia de um evento em um intervalo pre´-fixado.
E´ utilizada como uma alternativa para a distribuic¸a˜o Binomial para os casos em
que n (nu´mero de ocorreˆncias) e´ muito grande e a probabilidade de sucesso p e´ muito
pequena.
Exemplos de casos que podem ser aplicados a distribuic¸a˜o Poisson:
• Nu´mero de usua´rios de computador ligados a` internet;
• Nu´mero de acidentes em determinada rodovia;
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• Nu´mero de falhas por unidade de tempo;
• Nu´mero de chamadas telefoˆnicas por hora em uma central telefoˆnica;
Resumindo: A varia´vel aleato´riaX e´ o nu´mero de ocorreˆncias do evento no intervalo;
O intervalo pode ser tempo, distaˆncia, volume, a´rea ou qualquer outra unidade
ana´loga.
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria, em que X representa o nu´mero de ocor-
reˆncias em um determinado intervalo, cuja taxa de ocorreˆncia e´ dada por λ, isto e´,
X ∼ Poisson(λ), a func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
f(x) = P (X = x) =
λxe−λ
x!
em que: e ≈2, 71828 (constante natural ou nu´mero de Euler).
Exemplo 8: Uma central telefoˆnica recebe em me´dia 4 chamadas por minuto, qual
a probabilidade de na˜o receber nenhuma chamada no intervalo de 1 minuto?
X = nu´mero de chamadas telefoˆnicas por minuto; X ∼ Poisson(λ), com λ = 4.
Desta forma: f(x) = P (X = x) =
4xe−4
x!
Enta˜o: P (X = 0) =
40e−4
0!
= 0, 08131 = 1, 831%
Qual a probabilidade de receber 5 chamadas em 1 minuto?
P (X = 5) =
45e−4
5!
= 0, 1562 = 15, 62%
Propriedades:
• Me´dia = µ(X) = λ;
• Variaˆncia = σ2(X) = λ
Observac¸o˜es:
1) O nu´mero de ocorreˆncias num intervalo de tempo na˜o depende do nu´mero de ocor-
reˆncias em qualquer outro intervalo de tempo;
2) O nu´mero me´dio de ocorreˆncias por tempo e´ constante;
3) O nu´mero de ocorreˆncias durante qualquer intervalo depende somente da durac¸a˜o
do intervalo, quanto maior o intervalo, maior o nu´mero de ocorreˆncias;
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Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
4) A distribuic¸a˜o Poisson DIFERE da distribuic¸a˜o Binomial nos seguintes aspectos:
i) a distribuic¸a˜o Binomial e´ afetada (ou depende) do tamanho da amostra n e da
probabilidade de sucesso p, enquanto a Poisson e afetada apenas pela taxa de
ocorreˆncias (λ).
ii) em uma distribuic¸a˜o os poss´ıveis valores da varia´vel aleato´riaX sa˜o 0, 1, 2, . . . , n
(n e´ o limite ma´ximo). A distribuic¸a˜o de Poisson foi desenvolvida supondo
n → ∞, enta˜o os poss´ıveis valores paa a varia´veis aleato´ria X neste caso sa˜o
0, 1, 2, . . . (sem limite superior).
5) Podemos utilizar a distribuic¸a˜o Poisson como uma aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o Bi-
nomial quando: n e´ grande (n ≥ 100) e p e´ pequeno (com np < 10) - (regra
emp´ırica!).
6) Ao utilizarmos a Poisson como aproximac¸a˜o da Binomial, podemos encontrar o valor
de λ pela seguinte fo´rmula: λ = np.
Exemplo 9: Considere um processo de fabricac¸a˜o que tem uma taxa de 0,2 defeitos
por unidade. Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar 2 defeitos? E 1
defeito apenas?
X = nu´mero de defeitos por processo de fabricac¸a˜o, X ∼ Poisson(λ = 0, 2).
Probabilidade de apresentar 2 defeitos: P (X = 2) =
0, 22e−0,2
2!
= 0, 0654 = 6, 54%
Probabilidade de apenas 1 defeito: P (X = 1) =
0, 21e−0,2
1!
= 0, 1637 = 16, 37%
Exemplo 10: Em momentos de pico, a chegada de avio˜es a um aeroporto se da´
segundo o modelo Poisson com taxa de 1 por minuto.
a) Determine a probabilidade de chegar 3 avio˜es em um minuto qualquer do hora´rio
de pico.
Y = nu´mero de avio˜es que chegam no aeroporto no hora´rio de pico.
Y ∼ Poisson(λ)⇒ P (X = x) = λ
xe−λ
x!
Probabilidade chegar 3 avio˜es = P (X = 3) =
13e−1
3!
= 0, 0613 = 6, 131%
b) Se o aeroporto pode atender 2 avio˜es por minuto, qual a probabilidade de haver
avio˜es sem atendimento imediato?
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Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
Primeiro devemos descobrir qual a probabilidade do aeroporto atingir a capacidade
ma´xima de atendimento que e´ de ate´ 2 aeronaves; em outras palavras, queremos calcular
a probabilidade de 0 ≤ Y ≤ 2, para isso temos:
P (0 ≤ Y ≤ 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)
=
10e−1
0!
+
11e−1
1!
+
12e−1
2!
= 0, 3678 + 0, 3678 + 0, 1839
= 0, 9195
Assim, em 91,95% dos casos, o aeroporto tem capacidade de atender, pore´m, em
8,05% das vezes havera´ aeronaves sem atendimento, isto e´, (100%− 91, 95% = 8, 05%).
9 UTFPR
	Distribuição uniforme discreta
	Distribuição Bernoulli
	Distribuição Binomial
	Distribuição Poisson