Possibilidades e Probabilidades

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Possibilidades e Probabilidades
Guilherme Biz
26 de fevereiro de 2014
• Ate´ poucos se´culos atra´s, tudo que tivesse relac¸a˜o com o acaso
era visto como intensa˜o divina e, portanto, era considerado
ı´mpio tentar analisar o “mecanismo do sobrenatural” por meio
da matema´tica.
• A teoria da probabilidade comec¸ou a ser utilizada nos estu-
dos das leis da natureza somente quando teve o pensamento
cient´ıfico com eˆnfase em observac¸o˜es e experimentac¸a˜o.
Contagem
• No estudo de “o que e´ poss´ıvel” existem dois tipos de proble-
mas.
• Temos o problema de listar tudo que pode ocorrer numa
determinada situac¸a˜o.
• O segundo tipo de problema sa˜o situac¸o˜es em que na˜o
necessitamos de uma listagem completa
Princ´ıpio fundamental da contagem
• Exemplo 1: Se um cientista quer realizar uma experieˆncia com
um de 12 medicamentos para sinusite, testando com camun-
dongos, porquinhos da ı´ndia e ratos. De quantas maneiras o
cientista pode escolher um dos medicamentos e uma das treˆs
cobaias?
• Princ´ıpio fundamental da contagem: Se uma ac¸a˜o e´ com-
posta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser
realizada de m maneiras, e a segunda pode ser realizada de n
maneiras, enta˜o, o nu´mero de maneiras de se realizar a ac¸a˜o e´
m × n.
• Exemplo 2: Um teste consiste em 15 questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada questa˜o apresentando quatro opc¸o˜es de respostas.
De quantas maneiras diferentes um estudante pode marcar uma
resposta para cada uma das questo˜es?
• De quantas maneiras oito professores substitutos podem ser
distribu´ıdos para lecionar oito turmas de um curso de Engenha-
ria?
Permutac¸o˜es
• Permutac¸a˜o: Denomina-se permutac¸a˜o de n elementos dados
a toda sucessa˜o de n termos formada com os n elementos dados.
• Geralmente estamos interessado no nu´mero de permutac¸o˜es
que podem ser feitas com determinados elementos.
• permutac¸o˜es com elementos distintos.
Pn = n!
• permutac¸o˜es com elementos repetidos.
Pn1,n2,...,nkn =
n!
n1!n2!...nk !
em que n1 + n2 + ... + nk = n
• Exemplo 3: Quantos sa˜o os anagramas do nome BIZ?
• Exemplo 4: Quantos sa˜o os anagramas da palavra BRASIL?
• Exemplo 5: Quantos sa˜o os anagramas da palavra ESTAT´ISTICA?
• Exemplo 6: Quantos sa˜o os anagramas da palavra PALMEI-
RAS?
Exerc´ıcios
• 1- Sete atletas participam de uma prova de atletismo. Na˜o
ocorrendo nenhum empate, quantas sa˜o as classificac¸o˜es poss´ıveis
nesta prova?
• 2- Numa mesa de bilhar ha´ 4 bolas vermelhas, 3 bolas brancas,
2 amarelas e uma verde, encostadas umas nas outras, em linha
reta. De quantas maneiras pode-se dispor estas bolas obtendo
coloridos diferentes?
Arranjos
• Arranjos: Denominam-se arranjos de n elementos distintos to-
mados k a k a`s sucesso˜es formadas de k termos distintos esco-
lhidos entre os n elementos dados, em que cada agrupamento
importa a ordem.
An,k =
n!
(n − k)!
• Exemplo 7: De quantas maneiras distintas os 48 membros de
um sindicato podem escolher um presidente, um vice-presidente,
um secreta´rio e um tesoureiro?
• Exemplo 8: De quantas maneiras diferentes podemos colocar
as 3 das 4 primeiras letras do alfabeto?
• Exemplo 9: Numa festa compareceram 36 pessoas. Se cada
uma delas cumprimentou todas as outras ao chegar, quantos
cumprimentos foram realizados?
Combinac¸o˜es
• Combinac¸o˜es: Denominam-se combinac¸o˜es de n elementos
distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elemen-
tos distintos escolhidos entre os n elementos dados, em que a
ordem do agrupamento na˜o importa.
Cn,k =
n!
k!(n − k)!
• Exemplo 10: De quantas maneiras diferentes podemos ter os
seis valores da mega-sena?
• Exemplo 11: Nu´mero de maneiras de formar um comiteˆ de
quatro dos 45 membros de um direto´rio acadeˆmico?
• Exemplo 12: De quantas maneiras diferentes o diretor de um
laborato´rio de pesquisa pode escolher dois qu´ımicos dentre sete
candidatos e treˆs f´ısicos dentre nove candidatos?
Probabilidade
• A probabilidade de um evento e´ a proporc¸a˜o do nu´mero de
vezes em que eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.
• Exemplo 13: Utilizando o exemplo 2, qual a probabilidade de
um aluno tirar nota 10 “chutando” todas as 15 questo˜es?
• Exemplo 14: Utilizando o exemplo 10, qual a probabilidade de
ganhar na mega-sena com um jogo simples?
• Exemplo 15: Qual e´ a probabilidade de se tirar um A´s de um
baralho bem misturado de 52 cartas?
Conceito cla´ssico
• Conceitos probabil´ısticos sa˜o necessa´rios para estudar fenoˆmenos
aleato´rios, isto e´, situac¸o˜es em que resultados poss´ıveis sa˜o co-
nhecidos, mas na˜o se pode saber a priori qual deles ocorrera´.
• Caso os fenoˆmenos estudados, repetidos sob as mesmas condic¸o˜es
iniciais, levem sempre ao mesmo resultado, eles sa˜o chamados
de determin´ısticos.
• Definic¸a˜o: Se ha´ n possibilidades igualmente prova´veis, das
quais uma deve ocorrer, e s sa˜o consideradas como favora´veis,
ou enta˜o um “sucesso”, a probabilidade de um “sucesso” e´ de
s
n .
Experimento Aleato´rio
• Sa˜o fenoˆmenos que, mesmo repetidos va´rias vezes sob mes-
mas condic¸o˜es, apresentam resultados imprevis´ıveis, ou seja, o
fenoˆmeno acusa variabilidade em seus resultados.
1 O lanc¸amento de uma moeda.
2 Lanc¸ar treˆs moedas justas e observar as faces voltadas para
cima.
3 Lanc¸ar um dado e observar a face voltada para cima.
Espac¸o Amostral - Ω
• O conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um experimento
aleato´rio e´ chamado de espac¸o amostral.
1 Ω = {c , k} em que c =cara e k =coroa.
2 Ω = {ccc , cck , ckc , kcc , ckk , kck , kkc , kkk}.
3 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento
• E´ qualquer subconjunto do espac¸o amostral. Aqui, um sub-
conjunto significa qualquer parte de um conjunto, inclusive o
pro´prio conjunto como um todo e o conjunto vazio, denotado
por ∅, que na˜o conte´m elemento algum. Denotamos os eventos
por letras maiu´sculas, A, B, C....
1 A = {∅}; B = {c}; C = {k} e D = {c , k}.
2 A = {ccc}; B = {kcc , kkc}; C = {kkk}.
3 A = {2}; B = {4, 5, 6}; C = {2, 4, 6}.
Diagrama de Venn
• Uma forma de ilustrar o espac¸o amostral, eventos e poss´ıveis
resultados, e´ pelo Diagrama de Venn.
• Conceito cla´ssico de probabilidade.
P(A) =
Nu´mero de resultados favora´veis a A
Nu´mero de resultados poss´ıveis
.
Operac¸a˜o com Eventos
• Unia˜o de eventos: unia˜o de A e B equivale a` ocorreˆncia de
A, ou de B, ou ambos. (A ∪ B)
• Intersec¸a˜o de eventos: A intersec¸a˜o de dois eventos A e B,
e´ o evento que consiste de todos os elementos contidos simul-
taneamente em A e em B. (A ∩ B)
• Eventos disjuntos: Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos
ou mutuamente exclusivos, quando a ocorreˆncia de um deles
impossibilita a ocorreˆncia do outro. Os dois eventos na˜o tem
elementos em comum. (A ∩ B)
• Complemento: Seja A um evento, logo o complementar de A,
(A′,Ac ou A¯), e´ o evento que consiste todos os elementos do
espac¸o amostral que na˜o esta˜o contidos em A.
Ac ⇒
{
Ac ∪ A = Ω
Ac ∩ A = ∅
Propriedades da Probabilidade
• 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
Propriedades de ca´lculo de probabilidade
• Seja A e B dois eventos. Logo,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B),
P(A ∪ Ac) = P(Ω) = 1 = P(A) + P(Ac),
P(Ac) = 1− P(A).
• Se A e B forem disjuntos (mutuamente exclusivos), teˆm-se
P(A ∩ B) = 0, enta˜o
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Exemplos
• Exemplo 16: Lanc¸ar um dado e observar a face voltada para
cima. Sejam os eventos: A - o resultado ser ı´mpar; B - ser
menor ou igual a 3; C - ser maior que 2 ; D - ser primo.
Calcule:
1 P(A)
2 P(B)
3 P(A ∪ D)
4 P(C ∪ D)
5 P(Ac ∩ D)
6 P(Bc ∩ C )
• Exemplo 17: Uma urna conte´m 7 bolas brancas e treˆs verdes.
Escolhemos 4 bolas ao acaso, de modo que a ordem das bo-
las seja irrelevante.Qual e´ a probabilidade de ter duas bolas
verdes?
Generalizac¸a˜o da regra da adic¸a˜o
• Se k eventos sa˜o mutuamente excludentes, a probabilidade de
ocorreˆncia de um deles e´ igual a` soma de suas probabilidades
individuais.
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak),
para quaisquer eventos mutuamente excludentes A1, A2, ...e Ak .
• Exemplo 18: As probabilidades de um servic¸o de teste do con-
sumidor classificar uma nova ma´quina fotogra´fica como ruim,
razoa´vel, boa, muito boa e excelente sa˜o 0,07; 0,16; 0,34; 0,32
e 0,11. Qual e´ a probabilidade de a nova ma´quina ser classifi-
cada como boa, muito boa ou excelente?
• Suponhamos que um instituto de pesquisa de consumidores te-
nha estudado os servic¸os prestados dentro da garantia por 200
lojas de pneus em uma grande cidade:
Tabela : Servic¸os prestados em 200 lojas de pneus
Lojas Bom servic¸o Servic¸o deficiente Total
dentro da garantia dentro da garantia
Especializada 64 16 80
N˜ especializada 42 78 120
Total 106 94 200
• Dado que:
• N e´ o evento escolher uma loja especializada na marca.
• G e´ o evento escolher uma loja que preste bons servic¸os dentro
da garantia.
• N ∩ G e´ o evento escolher uma loja especializada numa marca
que preste bons servic¸os dentro da garantia.
Caso seja selecionado uma dessas 200 lojas aleatoriamente, qual
a probabilidade de cada um desses eventos?
• Se limitamos a lojas especializadas numa marca, estamos redu-
zindo o espac¸o amostral para 80 lojas. Qual a probabilidade de
escolher uma loja que preste bons servic¸os dentro da garantia,
dado que e´ uma loja especializada numa marca?
Probabilidade Condicional
• Definic¸a˜o: Se P(B) e´ diferente de zero, enta˜o a probabilidade
condicional de A em relac¸a˜o a B, isto e´, a probabilidade de A
dado B e´:
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
• Com refereˆncia a`s lojas de pneus, qual e´ a probabilidade de uma
loja que na˜o e´ especializada numa marca prestar bons servic¸os
sob garantia?
• Exemplo 19: Em uma fa´brica de parafusos, as ma´quinas A,
B e C produzem 25%, 35% e 40% do total, respectivamente.
Da produc¸a˜o de cada ma´quina 5%, 4% e 2%, respectivamente,
sa˜o parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso
e verifica-se que e´ defeituoso. Qual a probabilidade de que o
parafuso venha da ma´quina A? da B? e da C?.
Eventos independentes
• Se A e B sa˜o eventos independentes, enta˜o
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
• Exemplo 20: Confira cada par de eventos dados a seguir
quanto a` independeˆncia
1 Eventos A e B para os quais P(A) = 0, 40, P(B) = 0, 90 e
P(A ∩ B) = 0, 36.
2 Eventos C e D para os quais P(C ) = 0, 75, P(D) = 0, 80 e
P(C ∩ Dc) = 0, 15
3 Eventos E e F para os quais P(E ) = 0, 30, P(F ) = 0, 35 e
P(E c ∩ F c) = 0, 4.
• Exemplo 21: A probabilidade de que A resolva um problema
e´ de 23 , e a probabilidade de que B o resolva e´ de
3
4 . Se am-
bos tentarem independentemente, qual a probabilidade de o
problema ser resolvido?
Teorema de Bayes
• Uma das relac¸o˜es mais importantes envolvendo probabilidade
condicionais e´ dada pelo teorema de Bayes. A versa˜o mais
simples desse teorema e´ dada por:
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A)P(B|A)
P(B)
• Exemplo 22: Temos cinco urnas, cada uma com seis bolas.
Duas dessas urnas (tipo C1) teˆm 3 bolas brancas, duas outras
(tipo C2) teˆm 2 bolas brancas, e a u´ltima urna (tipo C3) tem 6
bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos
uma bola. Qual a probabilidade de a urna ser do tipo C3,
sabendo-se que a bola sorteada e´ branca?
• Exemplo 23: Num certo estado onde os automo´veis devem ser
testados quanto a` emissa˜o de gases poluentes, 25% de todos os
automo´veis emitem quantidades excessivas de gases poluentes.
Ao serem testados 99% de todos os automomo´veis que emitem
quantidades excessivas de gases poluentes sa˜o reprovados, mas
17% dos que na˜o emitem quantidades excessivas de gases po-
luentes tambe´m sa˜o reprovados. Qual e´ a probabilidade de um
automo´vel que e´ reprovado no teste efetivamente emitir uma
quantidade excessiva de gases poluentes?
Teorema de Bayes
• A probabilidade de ocorreˆncia do evento Ci , supondo-se a ocorreˆncia
do evento A, e´ dada por:
P(Ci |A) = P(Ci )P(A|Ci )∑n
j=1 P(Cj)P(A|Cj)
para todo i = 1, 2, ..., n.
• Exemplo 24: Numa fa´brica de enlatados, as linhas de produc¸a˜o
I, II e III respondem por 50, 30 e 20% da produc¸a˜o total. Se
0,4% das latas da linha I sa˜o lacradas inadequadamente e as
percentagens correspondentes a`s linhas II e III sa˜o de 0,6%
e 1,2%, respectivamente, qual e´ a probabilidade de uma lata
lacrada impropriamente (descoberta na inspec¸a˜o final de pro-
dutos prontos) provir da linha de produc¸a˜o I?
Exerc´ıcios
1- Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de re-
feic¸o˜es: salada completa ou uma prato a` base de carne. Con-
sidere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a
salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses
sa˜o homens e os seguintes eventos: H - fregueˆs e´ homem; M -
fregueˆs e´ mulher; A - fregueˆs prefere salada; B - fregueˆs prefere
carne. Calcular:
1 P(H),P(A|H),P(B|M);
2 P(A ∩ H),P(A ∪ H);
3 P(M|A).
2- A probabilidade de um famoso maratonista nigeriano participar
da corrida de Sa˜o silvestre e´ de 0,60. Se ele na˜o disputar a
corrida, a probabilidade de o campea˜o do ano passado voltar a
vencer e´ de 0,66 mas se ele disputar a corrida, a probabilidade
de o campea˜o do ano passado voltar a vencer e´ de apenas 0,18.
1 Qual e´ a probabilidade de o campea˜o do ano passado voltar a
vencer?
2 Suponha que o campea˜o do ano passado voltou a vencer. Qual
e´ a probabilidade de o famoso maratonista nigeriano na˜o ter
participado da corrida?
3- Suponhamos que 10000 bilhetes sejam vendidos em uma loteria
e 5000 em outra, cada uma tendo apenas uma ganhador. Um
homem tem 100 bilhetes de cada. Qual a probabilidade de que:
1 ele ganhe alguma coisa?
2 ele ganhe exatamente um preˆmio?