Correlação e Rebressão

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Correlac¸a˜o e Regressa˜o Linear
Guilherme Biz
3 de maio de 2014
• Na infereˆncia estat´ıstica e´ u´til identificar se existe relac¸a˜o
entre duas ou mais varia´veis.
• Uma relac¸a˜o entre duas varia´veis pode ser identificada por
meio de um gra´fico de dispersa˜o.
• Pode-se quantificar a relac¸a˜o existente entre duas varia´veis
utilizando o coeficiente de correlac¸a˜o linear.
• Em muitos problemas ha´ duas ou mais varia´veis quantitativas
que sa˜o relacionadas, e e´ importante modelar e explorar essa
relac¸a˜o.
Gra´fico de Dispersa˜o
Figura : Correlac¸a˜o positiva
Figura : Correlac¸a˜o negativa
Figura : Na˜o ha´ correlac¸a˜o
Coeficiente de correlac¸a˜o
• O coeficiente de correlac¸a˜o linear tem por objetivo medir o
grau de relac¸a˜o entre duas varia´veis e e´ definida por:
r =
Cov(X ,Y )√
S2x S
2
y
em que
S2x =
∑n
i=1 x
2
i − (
∑n
i=1 xi )
2
n
n − 1
S2y =
∑n
i=1 y
2
i − (
∑n
i=1 yi )
2
n
n − 1
Cov(X ,Y ) =
∑n
i=1 xiyi −
∑n
i=1 xi
∑n
i=1 yi
n
n − 1
• O coeficiente de correlac¸a˜o e´ denotado por r e somente pode
assumir um valor entre -1 e 1 inclusive.
• Se r = +1, existe uma correlac¸a˜o perfeita positiva entre as
varia´veis.
• Se r = −1, existe uma correlac¸a˜o perfeita negativa entre as
vaia´veis.
• Se r = 0, na˜o existe correlac¸a˜o entre as varia´veis.
• Exemplo 1: Certa empresa, estudando a variac¸a˜o de vendas
de seus produtos em relac¸a˜o a` variac¸a˜o de despesas com
propagandas, obteve a tabela:
Vendas R$ 24 34 27 20 36 16 27 16 28 30
Despesas R$ 7 12 10 5 13 4 8 4 9 11
Existe relac¸a˜o entre as duas varia´veis? Calcule o coeficiente de
correlac¸a˜o e interprete.
Exerc´ıcios
1- Os dados a seguir correspondem a` varia´vel renda familiar e
gasto com alimentac¸a˜o (em unidades moneta´rias) para uma
amostra de 8 fam´ılias.
Renda 3 5 10 20 30 40 50 60
Gasto 2 3 6 10 15 10 20 20
(a) Construa o gra´fico de dispersa˜o.
(b) Calcular o coeficiente de correlac¸a˜o e interpretar o resultado.
Teste de hipo´teses
E´ poss´ıvel testar a hipo´tese que o coeficiente de correlac¸a˜o seja
igual a zero, ou seja,
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
O teste estat´ıstico apropriado para esta hipo´tese e´
tcal = r
√
n − 2
1− r2
que segue uma distribuic¸a˜o t com n-2 graus de liberdade.
Rejeita-se a hipo´tese nula se |tcal | > ttab.
• Exemplo 2: Estamos estudando se ha´ ou na˜o correlac¸a˜o
entre as notas de diversas disciplinas de um curso de
mestrado. Analisando uma amostra de 12 alunos encontrou-se
uma correlac¸a˜o de 0,6 entre as disciplinas de Estat´ıstica e
Metodologia da Pesquisa. Teste a hipo´tese de na˜o haver
correlac¸a˜o entre as disciplinas. Use α = 5%.
2- Abaixo esta˜o os dados referentes a` porcentagem da populac¸a˜o
economicamente ativa empregada no setor prima´rio e o
respectivo ı´ndice de analfabetismo para algumas regio˜es
metropolitanas do Brasil.
Regio˜es Setor prima´rio (X) Analfabetismo (Y)
Sa˜o Paulo 2,0 17,5
Rio de Janeiro 2,5 18,5
Bele´m 2,9 19,5
Belo Horizonte 3,3 22,2
Salvador 4,1 26,5
Porto Alegre 4,3 16,6
Recife 7,0 36,6
Fortaleza 12,0 38,3
(a) Fac¸a o diagrama de dispersa˜o.
(b) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o, interprete o resultado.
(c) Teste a hipo´tese de na˜o haver correlac¸a˜o entre as duas
varia´veis usando α = 0, 05.
3- Na tabela abaixo esta´ apresentado os dados referentes a taxa
de fundo de investimento: FIC executivo, e taxa SELIC, no
per´ıodo de janeiro a dezembro de 2005.
Meses
Taxas Jan Fev Mar Abr Mai Jun
SELIC (X) 1,38 1,22 1,53 1,41 1,50 1,60
FIC (Y) 1,34 1,18 1,49 1,35 1,43 1,53
Meses
Taxas Jul Ago Set Out Nov Dez
SELIC (X) 1,51 1,66 1,50 1,41 1,38 1,47
FIC (Y) 1,43 1,55 1,46 1,35 1,43 1,46
(a) Construa o gra´fico de dispersa˜o.
(b) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o e interprete o resultado.
(c) Teste a hipo´tese de na˜o haver correlac¸a˜o entre as duas
varia´veis. Use α = 0, 05.
Regressa˜o Linear Simples
• Em muitos problemas ha´ duas ou mais varia´veis quantitativas
que sa˜o relacionadas, e e´ importante modelar e explorar essa
relac¸a˜o.
• Por exemplo, as vendas pode estar relacionado com despesas
com propagandas.
• Pode ser de interesse construir um modelo relacionando as
vendas e as despesas com propagandas para predic¸a˜o.
• Em geral, suponha que haja uma u´nica varia´vel dependente,
ou reposta, Y que depende de k varia´veis independentes ou
explicativas, X1,X2, ...,Xk .
• A relac¸a˜o entre essas varia´veis e´ caracterizada por um modelo
chamado equac¸a˜o de regressa˜o, que e´ ajustado a um conjunto
de dados amostrais.
• Em algumas situac¸o˜es, o pesquisador conhece a forma exata
da relac¸a˜o funcional entre Y e X1,X2, ...,Xk dada por
Y = f (X1,X2, ...,Xk).
• Entretanto, em muitos casos, essa relac¸a˜o e´ desconhecida, e o
pesquisador escolhe uma func¸a˜o apropriada para aproximar f.
• Modelos de regressa˜o sa˜o frequentemente usados para analisar
dados de um experimento na˜o planejado, tal pode surgir de
observac¸o˜es de um fenoˆmeno na˜o controlado ou registros
histo´ricos.
Regressa˜o linear simples
• Determinar a relac¸a˜o entre uma u´nica varia´vel explicativa X e
uma varia´vel resposta Y.
• E´ usual assumir que a varia´vel regressora X seja cont´ınua e
controlada pelo pesquisador, ou seja, se o experimento e´
planejado, escolhe-se os valores de X e observa-se as respostas
Y.
• Cada observac¸a˜o Y pode ser descrita pelo modelo
Y = a + bX + �
em que � e´ o erro aleato´rio e � ∼ N(0, σ2).
• Utilizando o me´todo dos m´ınimos quadrados para estimar os
paraˆmetros a e b, temos:
aˆ = Y¯ − bˆX¯
bˆ =
∑n
i=1 XiYi −
∑n
i=1 Xi
∑n
i=1 Yi
n∑n
i=1 X
2
i − (
∑n
i=1 Xi )
2
n
• A diferenc¸a entre o valor observado Yi e o correspondente
valor ajustado Yˆi e´ chamado res´ıduo.
�i = Yi − Yˆi = Yi − (aˆ + bˆXi ), i = 1, 2, ..., n
Os res´ıduos teˆm papel importante na verificac¸a˜o do ajuste do
modelo e nas suposic¸o˜es que sa˜o feitas.
• Exemplo 3: Certa empresa, estudando a variac¸a˜o de vendas
de seus produtos em relac¸a˜o a` variac¸a˜o de despesas com
propagandas, obteve a tabela:
Vendas R$ 24 34 27 20 36 16 27 16 28 30
Despesas R$ 7 12 10 5 13 4 8 4 9 11
Determine a equac¸a˜o da reta de regressa˜o linear de Y em X.
Estime o valor de Y para X igual ao valor me´dio.
• Exemplo 4: Os dados a seguir correspondem a` varia´vel renda
familiar e gasto com alimentac¸a˜o (em unidades moneta´rias)
para uma amostra de 8 fam´ılias.
Renda 3 5 10 20 30 40 50 60
Gasto 2 3 6 10 15 10 20 20
Determine o modelo de regressa˜o linear simples.
Estime o valor de Y para X=25.
Exerc´ıcios
4- Na tabela abaixo esta´ apresentado os dados referentes a taxa
de fundo de investimento: FIC executivo, e taxa SELIC, no
per´ıodo de janeiro a dezembro de 2005.
Meses
Taxas Jan Fev Mar Abr Mai Jun
SELIC (X) 1,38 1,22 1,53 1,41 1,50 1,60
FIC (Y) 1,34 1,18 1,49 1,35 1,43 1,53
Meses
Taxas Jul Ago Set Out Nov Dez
SELIC (X) 1,51 1,66 1,50 1,41 1,38 1,47
FIC (Y) 1,43 1,55 1,46 1,35 1,43 1,46
Determine o modelo de regressa˜o linear simples.
Coeficiente de Determinac¸a˜o
• A medida R2 e´ chamada de coeficiente de determinac¸a˜o e seu
campo de variac¸a˜o e´ 0 ≤ R2 ≤ 1 e indica a proporc¸a˜o da
variac¸a˜o total que e´ “explicada”pela regressa˜o.
• Se R2 = 1, todos os pontos observados se situam
“exatamente”sobre a reta de regressa˜o, enta˜o, as variac¸o˜es de
Y sa˜o 100% explicadas pelas variac¸o˜es de X atrave´s da func¸a˜o
especificada.
• Por outro lado, um R2 = 0 pode ou na˜o indicar auseˆncia de
correlac¸a˜o entre X e Y .
Exerc´ıcios
5- Um jornal quer verificar a efica´cia de seus anu´ncios na venda
de carros usados. A tabela abaixo mostra o nu´mero de
anu´ncios publicados e o correspondentenu´mero de carros
vendidos por seis companhias que usaram apenas esse jornal
como ve´ıculo de propaganda.
Companhia A B C D E G
Anu´ncios 74 45 48 36 27 16
Carros vendidos 139 108 98 76 62 57
Ajuste a reta de regressa˜o linear simples, determine o coeficiente
de determinac¸a˜o e interprete.
6- A empresa Lojas Barateiras possui cinco lojas, situadas nos
estados de Sa˜o Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Rio
Grande do Sul e Santa Catarina. Alguns dados das lojas esta˜o
apresentados abaixo:
Loja SP RJ MG RS SC
N ◦ de vendedores 18 12 10 16 13
Vendas(em R$ mil) 16 11 10 14 12
Ajuste a reta de regressa˜o linear, determine o coeficiente de
determinac¸a˜o e interprete.
7- A companhia dos Sonhos Gelados produz e comercializa
sorvetes. A a´rea comercial da empresa resolveu analisar alguns
dados referentes aos u´ltimos anos. Analisou a temperatura
me´dia no vera˜o e o volume de vendas nesta mesma estac¸a˜o.
Obteve os nu´meros apresentados na tabela seguinte.
Temp.( ◦C) 32 28 33 27 26 36 34 30 31 29
Vendas(mil uni.) 83 78 80 75 71 92 85 81 83 79
Pede-se: (a) construa um modelo de ajuste linear entre os pontos;
(b) calcule o coeficiente de determinac¸a˜o; (c) para uma
temperatura me´dia igual a 35 ◦C, qual o volume de vendas
projetado pelo modelo linear; (d) para vendas iguais a 90 mil
unidades, calcule qual deveria ser a temperatura me´dia.
8- As u´ltimas vendas das Indu´strias Pirapora ltda. esta˜o
apresentadas na tabela seguinte. Com base nos nu´meros
fornecidos, pede-se: (a) obter o modelo linear para a previsa˜o
da demanda; (b) o coeficiente de determinac¸a˜o do modelo;
(c) a demanda prevista para os pro´ximos dois per´ıodos.
Per´ıodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Vendas 40 43 51 54 58 62 57 65 60 68 72
Regressa˜o Linear Mu´ltipla
• O objetivo da ana´lise de regressa˜o mu´ltipla e´ estabelecer uma
equac¸a˜o que possa ser utilizada para predizer, ou entender, os
valores de (Y) para valores dados das diversas varia´veis expli-
cativas (Xi ).
• Para o caso com duas varia´veis independentes, X1 e X2, o mo-
delo matema´tico e´ dado por:
Y = a + b1X1 + b2X2 + �
em que, � ∼ N(0, σ2).
Exemplo
• Seja a v.a. y= vendas de reme´dios de um laborato´rio, x1 =
vendas dos vendedores e x2 o n
o de visitas feitas pelos vende-
dores.
y 16 16 27 18 20 28 26 27 32 35
x1 5 5 5 10 10 10 15 15 15 15
x2 3 6 12 3 6 12 3 6 12 10
• Apresente a equac¸a˜o da reta ajustada e calcule o coeficiente de
determinac¸a˜o;
• Para x1 = 12 e x2 = 9, estime y.