Teste de Hipóteses (Paramétricas)

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Estat´ıstica Parame´trica: Testes de
Hipo´teses
Guilherme Biz
7 de agosto de 2013
Teste de hipo´teses
• Um dos problemas a serem resolvidos pela Infereˆncia
Estat´ıstica e´ o de testar uma hipo´tese.
• Para isso, formula-se uma suposic¸a˜o quanto ao valor do
“paraˆmetro” populacional, e pelos elementos amostrais faz-se
um teste que indicara´ a rejeic¸a˜o ou na˜o rejeic¸a˜o da hipo´tese
formulada.
Exemplos de hipo´teses
• A altura me´dia da populac¸a˜o brasileira e´ menor que 1,70m.
• A proporc¸a˜o paulistana com aplicac¸o˜es financeiras e´ 12%.
• O tempo me´dio para atendimento no banco e´ de 15 minutos.
• A quantidade produzida pela industria A e´ maior do que a da
indu´stria B.
Hipo´teses Nula e Alternativa
• A hipo´tese lanc¸ada para ser testada e´ chamada de “hipo´tese
nula”, denotada por H0, e por H1 a “hipo´tese alternativa”,
que contradiz a hipo´tese nula.
• A hipo´tese nula e´ expressa sempre pela igualdade, enquanto
que a hipo´tese alternativa e´ dada por uma desigualdade.
Teste de significaˆncia (Hipo´teses)
• E´ uma regra de decisa˜o que permite “na˜o rejeitar” ou rejeitar
uma hipo´tese nula, com base na evideˆncia amostral, isto
significa que se utiliza uma amostra da populac¸a˜o para
verificar se o paraˆmetro informado pela H0 e´ aceito ou na˜o.
• Quando se decide pela aceitac¸a˜o (na˜o rejeic¸a˜o) ou rejeic¸a˜o de
uma hipo´tese nula, esta˜o sujeitos a acertos e erros na decisa˜o.
Erros
• Comete-se o “Erro tipo I” quando se rejeita hipo´tese nula
quando ela e´ verdadeira. Chamamos de α a probabilidade de
cometer esse erro.
• Comete-se o “Erro tipo II” quando na˜o se rejeita H0 quando
ela e´ falsa. A probabilidade de cometer esse erro e´ denotada
por β.
Etapas para realiazac¸a˜o dos testes de
hipo´tese
1 Enunciar as hipo´teses H0 e H1.
2 Fixar o n´ıvel de significaˆncia (α) e identificar a varia´vel teste.
3 Determinar a regia˜o cr´ıtica.
4 Com os dados amostrais, calcular o valor da estat´ıstica do
teste.
5 Se o valor da estat´ıstica calculado com os dados da amostra
na˜o pertencer a` regia˜o cr´ıtica, na˜o rejeite H0, caso contra´rio ,
rejeite H0.
Testes sobre a me´dia de uma populac¸a˜o
com variaˆncia conhecida
• Exemplo 1: Uma ma´quina automa´tica para encher pacotes
de cafe´ enche-os segundo uma distribuic¸a˜o normal, com me´dia
µ e variaˆncia sempre igual a 400g2. A ma´quina foi regulada
para µ = 500g . Desejamos, periodicamente, colher uma
amostra de 16 pacotes e verificar se a produc¸a˜o esta´ sob
controle, isto e´, se µ = 500g ou na˜o. Se uma dessas amostras
apresentasse uma me´dia x¯ = 492g , voceˆ pararia ou na˜o a
produc¸a˜o para regular a ma´quina?
• Exemplo 2: Uma oceano´grafa, com base numa amostra
aleato´ria de tamanho n=35 e ao n´ıvel 0,05 de significaˆncia,
quer testar se a profundidade me´dia do oceano numa
determinada a´rea e´ de 72,4 metros, conforme registrado. O
que ela decidira´ se obtiver x¯ = 73, 2 metros e se puder supor,
usando informac¸o˜es de estudos anteriores ana´logos, que
σ = 2, 1 metros?
Exerc´ıcios
1- A associac¸a˜o dos proprieta´rios de indu´strias metalu´rgicas esta´
muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de
trabalho, cujo me´dia, nos u´ltimos tempos, tem sido da ordem
de 60 horas/homem por ano e desvio padra˜o de 20
horas/homem. Tentou-se um programa de prevenc¸a˜o de
acidentes, apo´s o qual foi tomada uma amostra de nove
indu´strias e medido o nu´mero de horas/homem perdidas por
acidente, que foi de 50 horas. Voceˆ diria, no n´ıvel de 5%, que
ha´ evideˆncia de melhoria?
2- O sala´rio me´dio dos empregados das indu´strias sideru´rgicas e´
de 2,5 sala´rios m´ınimos, com um desvio padra˜o de 0,5 sala´rios
m´ınimos. Se uma firma particular emprega 49 empregados
com um sala´rio me´dio de 2,3 sala´rios m´ınimos, podemos
afirmar que essa indu´stria paga sala´rios inferiores, ao n´ıvel de
5%?
3- Uma companhia de cigarros anuncia que o ı´ndice me´dio de
nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se abaixo de 23
mg por cigarro. Um laborato´rio realiza 6 ana´lises desse ı´ndice,
obtendo: 27; 24; 21; 25; 26; 22. Sabe-se que o ı´ndice de
nicotina se distribui normalmente, com variaˆncia igual a 4,86
mg2. Pode-se aceitar, no n´ıvel de 10%, a afirmac¸a˜o do
fabricante?
Testes sobre a me´dia de uma populac¸a˜o
com variaˆncia desconhecida
• Quando na˜o conhecemos o valor do desvio padra˜o
populacional, seguimos as etapas ba´sicas, pore´m baseamos os
testes relativos a me´dias numa estat´ıstica t apropriada.
t =
x¯ − µ0
s√
n
∼ t(n − 1)
Exemplos
• Exemplo 3: A safra de alfafa de uma amostra aleato´ria de
seis lotes de teste e´ dada por 1,4; 1,6; 0,9; 1,9; 2,2 e 1,2
tonelada por acre. Teste ano n´ıvel 0,05 de significaˆncia, se
isso corrobora a alegac¸a˜o de que a safra me´dia para esse tipo
de alfafa e´ de 1,5 tonelada por acre.
• Exemplo 4: Um fabricante afirma que seus cigarros conteˆm
na˜o mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros
fornece me´dia de 31,5 mg e desvio padra˜o de 3 mg. No n´ıvel
de 5%, os dados refutam ou na˜o a afirmac¸a˜o do fabricante?
Exerc´ıcios
4- O tempo me´dio, por opera´rio, para executar uma tarefa, tem
sido 100 minutos, com um desvio padra˜o de 15 minutos.
Introduziu-se uma modificac¸a˜o para diminuir esse tempo, e,
apo´s certo per´ıodo, sorteou-se uma amostra de 16 opera´rios,
medindo-se o tempo de execuc¸a˜o de cada um. O tempo
me´dio da amostra foi de 85 minutos, e o desvio padra˜o foi de
12 minutos. Estes resultados trazem evideˆncias estat´ısticas da
melhora desejada?
5- Suponha que voceˆ pretende verificar a renda me´dia dos
economistas. Para isso obteve uma amostra com os seguintes
sala´rios: 2216; 2237; 2249; 2204; 2225; 2301; 2281; 2263;
2318; 2255; 2275; 2295. Testar a hipo´tese de que a me´dia e´
igual a 2250, usando α = 0, 05.
6- A rotina de encerramento do expediente dia´rio de uma grande
fa´brica compreende o resfriamento de maquina´rio, verificando
os interruptores ele´tricos e fechamento das grades de
seguranc¸a. A gereˆncia quer saber se o verdadeiro tempo
me´dio para a execuc¸a˜o dessas tarefas e´ de 40 minutos. Em
uma amostra de 34 dias, os tempos me´dios de execuc¸a˜o das
tarefas acusam a me´dia de 42 minutos, com desvio padra˜o de
2,1 minutos. Teste, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia, a hipo´tese
nula µ = 40 minutos, contra a alternativa µ 6= 40 minutos.
Teste para Proporc¸a˜o
• Passo 1: Temos uma populac¸a˜o e uma hipo´tese sobre a
proporc¸a˜o p de individuos portadores de certa caracter´ısticas.
• Passo 2: Fixar α. Como, pˆ ∼ N(p0, p0(1−p0)n ) a estat´ıstica do
teste e´ Z = pˆ−p0√
p0(1−p0)
n
.
• Passo 3: Determinar a regia˜o cr´ıtica.
• Passo 4: Calcular o valor da estat´ıstica do teste.
• Passo 5: Se o valor da estat´ıstica calculado com os dados da
amostra na˜o pertencer a` regia˜o, na˜o rejeite H0, caso
contra´rio, rejeite H0.
Exemplos
• Exemplo 5: Uma rede banca´ria afirma que em certa regia˜o a
proporc¸a˜o de seus clientes que investem na bolsa e´ de 60%.
Testar essa hipo´tese ao n´ıvel de 5% se em 1000 clientes
amostrados aleatoriamente, verificou-se que 530 eram
investidores.
• Exemplo 6: Uma estac¸a˜o de televisa˜o afirma que 60% dos
televisores estavam ligados no seu programa especial da
u´ltima segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar
essa afirmac¸a˜o e decide usar uma amostra de 200 familias
para um teste. Das 200 fam´ılias, 104 estavam assistindo ao
programa. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar
a veracidade da afirmac¸a˜o?
Exerc´ıcios
7- Um fabricante de creme dental alega que no ma´ximo 3% dos
seus produtos apresentam menos de 100 gramas por
embalagem. Uma amostra aleato´ria com 300 produtos revelou
que 14 possu´ıam menos de 100 gramas. Assumindo o n´ıvel de
significaˆncia de 1%, e´ poss´ıvel dizer queo fabricante esta´
mentindo?
8- Uma grande rede de academia de gina´stica alega que no
m´ınimo 80% dos equipamentos utilizados pelos alunos esta˜o
em boas condic¸o˜es de uso. De uma amostra de 160
equipamentos, 90 estavam em ma´s condic¸o˜es de uso. Sera´
que e´ poss´ıvel aceitar a afirmac¸a˜o da rede, ao n´ıvel de 5%?
Teste de significaˆncia para igualdade de
duas me´dias com variaˆncias (σ2)
desconhecidas
• Para testar a igualdade entre duas me´dias ha´ diferentes
estat´ıstica, dependendo das variaˆncias das duas populac¸o˜es.
• Quando as variaˆncias das duas populac¸o˜es sa˜o desconhecidas
e as variaˆncias amostrais sa˜o consideradas iguais, utilizaremos
a estat´ıstica.
tcal =
X¯1 − X¯2
Sc
√
n1+n2
n1n2
em que S2c =
(n−1)S21+(n2−1)S22
n1+n2−2 tera´ uma distribuic¸a˜o t de
Student, com (n1 + n2 − 2) g.l., sob a hipo´tese H0, isto e´, se
µ1 = µ2
Exemplos
• Exemplo 7: As amostras aleato´rias seguintes sa˜o medic¸o˜es da
capacidade de gerar calor ( em milho˜es de calorias por
tonelada) do carva˜o de duas minas:
Mina 1: 8380; 8180; 8500; 7840; 7990.
Mina 2: 7660; 7510; 7910; 8070; 7790.
Use o n´ıvel 0,05 de significaˆncia para testar se a diferenc¸a
entre as me´dias dessas duas amostras e´ significante.
• Exemplo 8: Um grupo de planejamento urbano esta´
interessado em estimar a diferenc¸a entre a me´dia de
rendimentos familiares para dois bairros em uma grande a´rea
metropolitana. Amostras aleato´rias independentes de fam´ılias
nos bairros forneceram os seguintes resultados:
Bairro 1: n1 = 8 ; X¯1 = R$1570, 00; s1 = R$70, 00.
Bairro 2: n2 = 12; X¯2 = R$1450, 00; s2 = R$85, 00.
Pode-se concluir, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, que as
rendas familiares sejam diferentes nos dois bairros?
Exerc´ıcios
9- Uma empresa deseja estudar a eventual efica´cia da aplicac¸a˜o
dos programas de treinamento ministrados pela sua a´rea de
recursos humanos. Para isso analisou duas amostras de
desempenhos de seus funciona´rios: Grupo A, treinamento de
20 horas/aula e o Grupo B com 80 horas/aula. Os
desempenhos dos funciona´rios foram:
Grupo A: 7; 8; 8; 7; 6; 8; 9; 7; 8.
Grupo B: 5; 9; 4; 8; 6; 6; 7; 5; 6.
Verifique se os treinamentos podem ser considerados
equivalentes, ao n´ıvel de 1%.
Exerc´ıcios complementares
10- Uma pessoa gaba-se de adivinhar qual sera´ o resultado do
lance de uma moeda, mas e´ preciso que os presentes na˜o o
perturbem com pensamentos duvidosos. Para testar tal
capacidade, lanc¸ou-se uma moeda perfeita 6 vezes, e o
adivinhador acertou 5. Qual seria sua conclusa˜o?
11- O consumidor de um certo produto acusou o fabricante,
dizendo que mais de 20% das unidades fabricadas apresentam
defeito. Para confirmar sua acusac¸a˜o, ele usou uma amostra
de tamanho 50, onde 27% das pec¸as eram defeituosas.
Mostre como o fabricante poderia refutar a acusac¸a˜o. Utilize
um n´ıvel de significaˆncia de 10%.
12- Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que
fornece a uma fa´brica esta˜o de acordo com as especificac¸o˜es
exigidas. O exame de uma amostra de 200 pec¸as desse
equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do
fabricante, nos n´ıveis de 5% e 1%.
13- Os produtores de um programa de televisa˜o pretendem
modifica´-lo se for assistido regularmente por menos de um
quarto dos possuidores de televisa˜o. Uma pesquisa
encomendada a uma empresa especializada mostrou que, de
400 fam´ılias entrevistadas, 80 assistem ao programa
regularmente. Com base nos dados, qual deve ser a decisa˜o
dos produtores?
14- A precipitac¸a˜o pluviome´trica anual numa certa regia˜o tem
desvio padra˜o σ = 3, 1 e me´dia desconhecida. Para os u´ltimos
9 anos, foram obtidos os seguintes resultados: 30,5; 34,1;
27,9; 35,0; 26,9; 30,2; 28,3; 31,7; 25,8.
(a) Construa um teste de hipo´teses para saber se a me´dia da
precipitac¸a˜o pluviome´trica anual e´ maior que 30,0 unidades.
Utilize um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(b) Discuta o mesmo problema, considerando σ desconhecido.
15- Uma fa´brica de automo´veis anuncia que seus carros
consomem, em me´dia, 11 litros por 100 km, com desvio
padra˜o de 0,8 litro. Uma resvista resolve testar essa afirmac¸a˜o
e analisa 35 automo´veis dessa marca, obtendo 11,3 litros por
100 km como consumo me´dio (considerar distribuic¸a˜o
normal). O que a revista pode concluir sobre o anu´ncio da
fa´brica, no n´ıvel de 10%?
16- Amostras aleato´rias de 12 medic¸o˜es do conteu´do de
hidrogeˆnio coletadas das erupc¸o˜es de cada um de dois vulco˜es
deram x¯1 = 41, 2, x¯2 = 45, 8, s1 = 5, 2 e s2 = 6, 7. Supondo
que as condic¸o˜es requeridas para poder aplicar o teste t de
duas amostras tenham sido satisfeitas, decida ao n´ıvel 0,05 de
significaˆncia se podemos aceitar ou na˜o a hipo´tese nula de que
na˜o ha´ diferenc¸a no conteu´do me´dio de hidrogeˆnio dos gases
das duas erupc¸o˜es.
17- Na comparac¸a˜o de dois tipos de tinta, um servic¸o de teste do
consumidor constatou que 160 litros da marca A pintavam em
me´dia 514 metros quadrados, com desvio padra˜o de 32
metros quadrados, enquanto que 160 litros da marca B
pintavam 487 metros quadrados, com desvio padra˜o de 27
metros quadrados. Supondo que as condic¸o˜es requeridas para
poder aplicar o teste t tenham sido satisfeitas, teste ao n´ıvel
0,02 de significaˆncia se e´ significante a diferenc¸a entre as duas
me´dias amostrais.