Apostila Calculos de Curto circuito em Sistemas Eletricos Unicamp (2)

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia El�etrica e de Computa�c~ao
Departamento de Sistemas de Energia El�etrica
C�alculos de Curto-circuito em Sistemas de Energia El�etrica
Fujio Sato
Campinas, mar�co de 2002
Sum�ario
1 An�alise de Sistema de Pote^ncia 1
1.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dimens~ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Representa�c~ao de Sistema de Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Diagrama uni�lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Valor por unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Transformadores em sistema de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 An�alise de Curto-circuito 37
2.1 Curtos-circuitos em Sistema El�etrico de Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Equipamentos de prote�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Simula�c~ao de curtos-circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 An�alise de Sistema Trif�asico Desequilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1 Transforma�c~ao das Componentes Sim�etricas (TCS) . . . . . . . . . 56
2.4.2 Propriedades da TCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.3 Conex~ao das redes de seque^ncias para c�alculos de curtos-circuitos . 76
2.5 Corrente Assim�etrica de Curto-circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.1 O Signi�cado da Corrente Assim�etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.2 Pico M�aximo da Corrente Assim�etrica e M�axima Assimetria . . . . 88
2.5.3 Valor E�caz da Corrente Assim�etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Sobretens~ao de Freque^ncia Industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6.1 De�ni�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
i
2.6.2 Aterramento do neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6.3 Equacionamento b�asico para determina�c~ao do fator de falta para a
terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.6.4 P�ara-raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ii
Lista de Figuras
1 Expectativa de vida dos rel�es de prote�c~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Evolu�c~ao dos rel�es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Propor�c~oes dos condutores: (a) 13,8 kV (b) 138 kV . . . . . . . . . . . . . 8
4 Gera�c~ao e transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Sistema de distribui�c~ao prim�aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Sistema de distribui�c~ao secund�aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Sistema interligado das regi~oes sul-sudeste brasileiro . . . . . . . . . . . . . 12
8 Interliga�c~oes dos sistemas de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Modelo por fase da m�aquina s��ncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10 Modelo por fase do transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
11 Para^metros referidos para um �unico lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12 Modelo do transfomador para estudos de curtos-circuitos . . . . . . . . . . 15
13 Modelo � da linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14 Sistema radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 Sistema de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16 Liga�c~ao �/Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
17 Liga�c~ao Y/� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18 Liga�c~ao �/� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19 Liga�c~ao Y/Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
20 Diagrama uni�lar de impeda^ncias em pu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
21 Defasagens no transformador �/Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
iii
22 Diagramas fasoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23 Falhas no terci�ario dos autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
24 Transformador e autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
25 Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
26 Autotransformador trif�asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
27 Ensaio de curto-circuito de um transformador de dois enrolamentos . . . . 34
28 Ensaio de curto-circuito de um autotransformador de tre^s enrolamentos . . 36
29 Circuito equivalente de um autotransformador de tre^s enrolamentos . . . . 37
30 Tens~oes e correntes durante os curtos-circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . 38
31 Sistema n~ao aterrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
32 Curto-circuito monof�asico num sistema n~ao aterrado . . . . . . . . . . . . 40
33 Curto-circuito monof�asico num sistema e�cazmente aterrado . . . . . . . . 40
34 Sistema de prote�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
35 Atua�c~ao de um sistema de prote�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
36 Representa�c~ao completa de um sistema-exemplo de 5 barras . . . . . . . . 43
37 Representa�c~ao do sistema-exemplo, considerando-se as hip�oteses simpli�-
cadoras 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
38 Representa�c~ao do sistema-exemplo, considerando-se a hip�otese simpli�ca-
dora 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
39 Curto-circuito trif�asico no sistema de 5 barras . . . . . . . . . . . . . . . . 45
40 Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
41 Simula�c~ao de curto-circuito pelo m�etodo anal�ogico . . . . . . . . . . . . . . 47
42 Simula�c~ao de curto-circuito pelo m�etodo digital . . . . . . . . . . . . . . . 48
iv
43 Inclus~ao da linha do tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
44 Inclus~ao da linha do tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
45 Inclus~ao da linha do tipo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
46 Inje�c~ao da corrente de 1,0 pu atrav�es das barras p e q . . . . . . . . . . . . 52
47 Simula�c~ao da inclus~ao de um ramo fechando a malha atrav�es das barras p
e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
48 Sistema de fasores unit�arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
49 Sistema desiquilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
50 Componentes de seque^ncias positiva, negativa e zero . . . . . . . . . . . . . 58
51 Linha de transmiss~ao com carga desequilibrada . . . . . . . . . . . . . . . 62
52 Tipos de n�ucleos para transformadores monof�asicos . . . . . . . . . . . . . 66
53 Tipos de n�ucleos para transformadores trif�asicos . . . . . . . . . . . . . . . 67
54 Ensaio de curto-circuito para determina�c~ao da impeda^ncia de seque^ncia
zero de um transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
55 Ensaio de curto-circuito para determina�c~ao da impeda^ncia de seque^ncia
zero de um transformador Y=Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
56 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador Y=Y . . . . . . 70
57 Ensaio de curto-circuito para determina�c~ao da impeda^ncia de seque^ncia
zero de um transformador Y=� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
58 Fonte de tens~ao aplicada no lado � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
59 Circuito equivalente de seque^nciazero de um transformador Y=� . . . . . 71
60 Ensaio de curto-circuito para determina�c~ao da impeda^ncia de seque^ncia
zero de um transformador �=� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
61 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador �=� . . . . . 72
v
62 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador Y=Y, com
n�ucleo envolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
63 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador Y=�, com
n�ucleo envolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
64 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um autotransformador . . . . . . 74
65 Circuito equivalente de uma m�aquina s��ncrona . . . . . . . . . . . . . . . . 74
66 Curto-circuito bif�asico na barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
67 Conex~ao das redes de seque^ncias para um curto-circuito bif�asico na barra k 79
68 Curto-circuito monof�asico na barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
69 Conex~ao das redes de seque^ncias para um curto-circuito monof�asico na
barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
70 Circuito equivalente para an�alise da corrente assim�etrica. . . . . . . . . . . 87
71 An�alise da corrente de curto-circuito assim�etrica. . . . . . . . . . . . . . . 88
72 Corrente de curto-circuito assim�etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
73 Corrente de curto-circuito assim�etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
74 M�axima assimetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
75 Pico m�aximo da corrente assim�etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
76 Curva
I
I
0
x
X
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
77 Gerador aterrado por resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
78 Curto-circuito fase-terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
vi
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 1
1 An�alise de Sistema de Pote^ncia
1.1 Introdu�c~ao
Ser�a que algu�em, olhando para a la^mpada acesa no teto de seu quarto, j�a teve a curiosidade
de questionar de onde vem a energia el�etrica que ilumina o ambiente? Provavelmente que
sim. Se esta pergunta fosse feita h�a cerca de 80 anos atr�as a resposta seria diferente da de
hoje. Naquela �epoca pod��amos a�rmar categoricamente que a energia el�etrica provinha de
uma determinada usina, pois, o sistema el�etrico operava isoladamente, isto �e, o que a usina
gerava era transportada diretamente para o centro consumidor. Hoje, esta resposta n~ao
teria sentido, pois a necessidade de grandes \blocos" de energia e de maior con�abilidade
fez com que as unidades separadas se interligassem formando uma �unica rede el�etrica, o
sistema interligado.
Um sistema interligado, apesar de maior complexidade na sua opera�c~ao e no seu
planejamento, al�em da possibilidade da propaga�c~ao de perturba�c~oes localizadas por toda
a rede, traz muitas vantagens que suplantam os problemas, tais como: maior n�umero
de unidades geradoras, necessidade de menor capacidade de reserva para as emerge^ncias,
interca^mbio de energia entre regi~oes de diferentes sazonalidades, etc.
Esta pr�atica �e adotada mundialmente e especi�camente no Brasil iniciou-se no �nal da
d�ecada de 50. Atualmente no Brasil podemos distinguir dois grandes sistemas interligados:
o sistema da regi~ao Sul/Sudeste/Centro-oeste e o sistema da regi~ao Norte/Nordeste. Estas
duas regi~oes no futuro pr�oximo ser~ao interligadas por uma linha de transmiss~ao de 500
kV que transportar�a cerca de 1000 MW.
A �loso�a b�asica de opera�c~ao desta interliga�c~ao ser�a a de produzir o m�aximo de
energia no sistema Norte/Nordeste durante o per��odo marcante de cheias naquela regi~ao
(especialemte no Norte, em Tucuru��) e exportar para o Sudeste, onde est~ao localizados os
grandes reservat�orios do pa��s, acumulando �agua. Nos per��odos secos, o 
uxo se inverte.
O \linh~ao", com comprimento de 1270 km partir�a de uma subesta�c~ao em Imperatriz,
no Maranh~ao, atravessar�a todo o estado de Tocantins e chegar�a em Bras��lia. Com o
crescente risco de d�e�cit de energia el�etrica na regi~ao Sul/Sudeste, esta interliga�c~ao �e
uma das obras priorit�arias.
A �nalidade de um sistema de pote^ncia �e distribuir energia el�etrica para uma multipli-
cidade de pontos, para diversas aplica�c~oes. Tal sistema deve ser projetado e operado para
entregar esta energia obedecendo dois requisitos b�asicos: qualidade e economia, que ape-
sar de serem relativamente antago^nicos �e poss��vel concili�a-los, utilizando conhecimentos
t�ecnicos e bom senso.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 2
A garantia de fornecimento da energia el�etrica pode ser aumentada melhorando o
projeto prevendo uma margem de capacidade de reserva e planejando circuitos alterna-
tivos para o suprimento. A subdivis~ao do sistema em zonas, cada uma controlada por
um conjunto de equipamentos de chaveamento, em associa�c~ao com sistema de prote�c~ao,
proporciona 
exibilidade operativa e garante a minimiza�c~ao das interrup�c~oes.
Um sistema de pote^ncia requer grandes investimentos de longa matura�c~ao. Al�em
disso, a sua opera�c~ao e o a sua manuten�c~ao requer um elevado custeio. Para maximizar
o retorno destes gastos necess�ario oper�a-lo dentro dos limites m�aximos admiss��veis.
Uma das ocorre^ncias com maior impacto no fornecimento da energia el�etrica �e o curto-
circuito (ou falta) nos componentes do sistema, que imp~oe mudan�cas bruscas e violentas
na opera�c~ao normal. O 
uxo de uma elevada pote^ncia com uma libera�c~ao localizada
de uma consider�avel quantidade de energia pode provocar danos de grande monta nas
instala�c~oes el�etricas, particularmente nos enrolamentos dos geradores e transformadores.
O risco da ocorre^ncia de uma falta considerando-se um componente isoladamente pequeno,
entretanto, globalmente pode ser bastante elevado, aumentando tamb�em a repercuss~ao
numa �area consider�avel do sistema, podendo causar o que comumente �e conhecido como
blackout.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 3
1.2 Dimens~ao do problema
O gerenciamento de um sistema el�etrico de pote^ncia deve cobrir eventos com intervalo
de tempo extremamente diversi�cado, desde v�arios anos para planejamentos, at�e micros-
segundos para transit�orios ultra-r�apidos . Os eventos mais r�apidos s~ao monitorados e
controlados localmente (por exemplo, rel�es de prote�c~ao) enquanto que a dina^mica mais
lenta dos sistemas (regime quase-estacion�ario) �e controlada de forma centralizada (por
exemplo, centros de controle).
As estrat�egias de expans~ao e opera�c~ao de um sistema el�etrico s~ao organizadas hierar-
quicamente conforme ilustrado a seguir:
Planejamentos de Recursos e Equipamentos:
� planejamento da gera�c~ao : 20 anos
� planejamento da transmiss~ao e distribui�c~ao : 5 a 15 anos
Planejamento de Opera�c~ao:
� programa�c~ao da gera�c~ao e manuten�c~ao : 2 a 5 anos
Opera�c~ao em Tempo Real:
� planejamento da gera�c~ao : 8 horas a 1 semana
� despacho : continuamente
� prote�c~ao autom�atica : fra�c~ao de segundos
Dados de 1994 mostram que o sistema interligado brasileiro possui os seguintes equi-
pamentos de transmiss~ao e gera�c~ao de grande porte, mostrados na Tabela 1.
A Tabela 2 mostra que estes componentes sofreraram desligamentos for�cados causados
por v�arios tipos de ocorre^ncias.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 4
Equipamentos Qtde
Terminais de linhas (138 kV a 750 kV) 2461
Grupos geradores 319
Transformadores de pote^ncia 714
Barramentos 872
Reatores 244
Banco de capacitores116
Compensadores s��ncronos 59
Compensadores est�aticos 13
Tabela 1: Equipamentos instalados no sistema interligado brasileiro at�e 1994
Equipamentos Qtde %
Linhas de transmiss~ao 4380 67,54
Grupos geradores 678 10,45
Transformadores de pote^ncia 502 7,74
Barramentos 93 1,43
Reatores 62 0,96
Banco de capacitores 612 9,43
Compensadores s��ncronos 118 1,82
Compensadores est�aticos 40 0,62
Tabela 2: Desligamentos for�cados em 1994
As linhas de transmiss~ao s~ao os componentes que mais sofrem desligamentos for�cados.
Logicamente isto era de se esperar, pois, perfazendo um total de mais de 86.600 km,
elas percorrem vastas regi~oes e est~ao sujeitos a todos os tipos de perturba�c~oes naturais,
ambientais e operacionais. Assim sendo, este tipo de componente necessita ser protegido
por um sistema de rel�es de prote�c~ao e�ciente e de atua�c~ao ultra-r�apida, os denominados
rel�es de dista^ncia. As linhas de transmiss~ao do sistema interligado brasileiro s~ao protegidas
pelos rel�es de dista^ncia, conforme os tipos construtivos mostrados na Tabela 3.
Os rel�es de prote�c~ao foram os primeiros automatismos utilizados em sistemas el�etricos
de pote^ncia. At�e a d�ecada de 70 os rel�es de concep�c~ao eletromeca^nica dominaram ampla-
mente o mercado.
Os primeiros rel�es de prote�c~ao de concep�c~ao eletro^nica foram introduzidos no �nal da
d�ecada de 50. O desenvolvimento desses rel�es utilizando componentes discretos cresceu
durante a d�ecada de 60, tendo como objetivo melhorar a exatid~ao, a velocidade e o de-
sempenho global. Entretanto, devido a excessiva quantidade de componentes, al�em da
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 5
Tipo Qtde
Eletromeca^nico 3281
Est�atico 1409
Digital 10
Tabela 3: Rel�es de dista^ncia utilizados no sistema interligado brasileiro at�e 1994
1940 1950 1960 1970 1980 1990
35
30
25
20
15
10
5
Década 
A
no
s 
pa
ra
 O
bs
ol
es
cê
nc
ia
Figura 1: Expectativa de vida dos rel�es de prote�c~ao.
sua suceptibilidade �a varia�c~ao das condi�c~oes ambientais, seu desempenho n~ao era superi-
or aos equivalentes eletromeca^nicos. A consolida�c~ao deste tipo de rel�es s�o veio a ocorrer
na d�ecada seguinte quando da utiliza�c~ao de circuitos integrados, devido a diminui�c~ao de
componentes e consequentemente das conex~oes associadas. O surgimento de componentes
altamente integrados e a sua utiliza�c~ao na constru�c~ao de rel�es de prote�c~ao permitiu au-
mentar a gama de fun�c~oes: por exemplo, a inclus~ao da capacidade de detec�c~ao de falhas
evitando a opera�c~ao incorreta do rel�e.
O desenvolvimento de microprocessadores com mem�orias de alta velocidade levaram
a um r�apido crescimento de computadores pessoais durante a d�ecada de 80. Essas novas
tecnologias foram tamb�em utilizadas para o desenvolvimento de rel�es de prote�c~ao - os
denominados rel�es digitais. A evolu�c~ao r�apida dos rel�es eletro^nicos redundou em duas
mudan�cas importantes na �area de prote�c~ao. A primeira, o tempo que vai da concep�c~ao
�a obsolesce^ncia tecnol�ogica de um rel�e reduziu-se drasticamente. A Figura 1 mostra que
a expectativa de vida de em m�edia 30 anos, com tecnologia eletromeca^nica tradicional,
para aproximadamente 5 anos, com tecnologia digital.
A segunda mudan�ca se refere �a necessidade de softwares para sistemas de prote�c~ao
digital. A Figura 2 mostra a compara�c~ao dos rel�es de prote�c~ao no que concerne �as tecno-
logias.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 6
1970 1980 1990
Analógico Híbrido A/D Digital
Software
Hardware
0
100
80
60
40
20
%
Co
nt
eú
do
Figura 2: Evolu�c~ao dos rel�es.
Apesar do n�umero de rel�es digitais instalados no sistema el�etrico brasileiro ser ainda
bastante reduzido espera-se um r�apido crescimento devido a duas raz~oes principais:
a. atualmente o mercado oferece maiores facilidades na aquisi�c~ao de rel�es do tipo digital,
sendo que muitos fabricantes j�a deixaram de produzir os rel�es convencionais;
b. os rel�es tipos eletromeca^nico e est�atico, em virtude de muitos deles j�a estarem no �m
de suas vidas �uteis, fatalmente ser~ao substituidos pelos rel�es digitais.
1 AN
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ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 7
1.3 Representa�c~ao de Sistema de Pote^ncia
Por motivos t�ecnico-econo^micos os geradores de energia el�etrica, por maiores que se-
jam, s~ao projetados para gerar tens~oes de at�e no m�aximo 25 kV.
Outro fato �e que as usinas hidroel�etricas s~ao construidas longe dos grandes centros
consumidores, o que implica em transmitir a energia el�etrica a longas dista^ncias.
Problema n
0
1:
Como transmitir a pote^ncia de 50 MW com fator de pote^ncia de 0,85, por
meio de uma linha de transmiss~ao trif�asica com condutores de alum��nio, desde
a usina hidroel�etrica, cuja tens~ao nominal do gerador �e 13,8 kV, at�e o centro
consumidor situado a 100 km? Admitindo-se uma perda o^hmica (I
2
R) de 2,5
% na linha, determine o dia^metro do cabo, para:
a. transmiss~ao em 13,8 kV
b. transmiss~ao em 138 kV
Considerando a transmiss~ao em 13,8 kV:
A corrente de linha �e calculada pela f�ormula I =
P
p
3V cos'
.
Substituindo os valores de P, V e cos' resulta uma corrente de 2.461,0 A.
A perda de 2,5% signi�ca uma pote^ncia dissipada de 1.250 kW. Tendo-se a corrente e
a pote^ncia dissipada podemos determinar a resiste^ncia do condutor pela f�ormula R =
P
J
3I
2
,
obtendo-se o valor de 0,2064 
.
Tendo-se a resiste^ncia, a resistividade do alum��nio (0,02688 
mm
2
m
) e o comprimento,
podemos determinar a se�c~ao reta do condutor pela f�ormula S = �
l
R
, obtendo-se 39.069,8
mm
2
. Esta se�c~ao correponde a um cabo cujo dia^metro �e de 223,0 mm.
Considerando a transmiss~ao em 138 kV:
Seguindo-se os mesmos passos obt�em-se um cabo com dia^metro de 22,3 mm.
As Figuras 3 (a) e (b) mostra as dimens~oes dos cabos (apenas para comparar as
propor�c~oes), para os dois casos.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 8
 
(a) (b)
Figura 3: Propor�c~oes dos condutores: (a) 13,8 kV (b) 138 kV
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 9
Por este exemplo simples podemos notar que �e impratic�avel transmitir energia el�etrica
a longa dista^ncia com a tens~ao de gera�c~ao.
Assim sendo, ap�os a gera�c~ao �e necess�ario que a tens~ao seja elevada para a transmiss~ao
(no nosso exemplo de 13,8 kV para 138 kV).
A eleva�c~ao da tens~ao �e feita por um equipamento denominado transformador. A
Figura 4 mostra um diagrama uni�lar simpli�cado dos sistemas de gera�c~ao e transmiss~ao.
13,8 kV 138 kV 138 kV
Gerador Linha de transmissão
Transformador
elevador
Figura 4: Gera�c~ao e transmiss~ao
Problema n
0
2:
Como distribuir a energia el�etrica que chega das usinas atrav�es das linhas
de transmiss~ao, para os centros consumidores?
Como j�a vimos, a transmiss~ao da energia el�etrica �e feita em alta tens~ao. Para distribuir
esta energia �e necess�ario reduzir a tens~ao para um valor compat��vel, por exemplo: 13,8 kV
ou 11,95 kV. Esta redu�c~ao �e feita pelo transformador instalado na subesta�c~ao abaixadora,
geralmente localizada na periferia dos centros urbanos. Ap�os a redu�c~ao a energia el�etrica
�e transmitida atrav�es das linhas de distribui�c~ao, que formam a rede prim�aria, conforme
mostrado na Figura 5.
Problema n
0
3:
Como distribuir a energia el�etrica, que chega pela rede prim�aria, para
os consumidores �nais (casas, apartamentos, casas comerciais e pequenas
ind�ustrias)?
A distribui�c~ao da energia el�etrica para estes consumidores �e feita pela rede secund�aria
(por exemplo: 220 V e/ou 127 V). A redu�c~ao detens~ao da rede prim�aria para a tens~ao da
rede secund�aria �e feita pelo transformador de distribui�c~ao (instalado no poste). A Figura
6 mostra este sistema.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 10
Sistemas de 
 Geração e
 Transmissão
Transformador abaixador
Sistema de Distribuição
138 kV
11,95 kV
Rede primária
Figura 5: Sistema de distribui�c~ao prim�aria
Sistemas de 
 Geração e
 Transmissão
Rede primária
Sistema de distribuição
Rede secundária
Transformador de distribuição
11,95 kV
220/127 V
Figura 6: Sistema de distribui�c~ao secund�aria
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 11
Olhando as Figuras 3, 4 e 5 podemos notar que os transformadores desempenham uma
fun�c~ao importante na transmiss~ao e distribui�c~ao de energia el�etrica, elevando e abaixando
as tens~oes para n��veis compat��veis. Neste exemplo temos as seguintes tens~oes: 13,8 kV,
138 kV, 11,95 kV e 220/127 V, entretanto, no sistema el�etrico brasileiro existem outros
n��veis de tens~ao, tais como: 750 kV, 500 kV, 440 kV, 345 kV, 220 kV, 88 kV, 69 kV, 34,5
kV, 22 kV, 6,9 kV, 480 V, 380 V, etc. Imagine quantos transformadores s~ao necess�arios !
A Figura 3 representa um caso de sistema el�etrico operando isoladamente, isto �e, a
energia el�etrica gerada na usina �e transportada diretamente para o centro consumidor.
Apesar de este tipo de con�gura�c~ao ter uma importa^ncia hist�orica, atualmente n~ao �e
muito comum, pois, esses sistemas isolados foram sendo interligados formando uma �unica
rede el�etrica, estendendo-se por imensas regi~oes, denominado sistema interligado. A
Figura 7 mostra o diagrama do sistema interligado das regi~oes sul-sudeste do Brasil.
As interliga�c~oes dos sistemas de transmiss~ao de n��veis de tens~ao diferentes s~ao feitas
por auto-transformadores, conforme ilustra a Figura 8.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 12
FURNAS
CERJ
ELNOR
ESCSA
CELG
CEB
LIGHT
ELP
CPFL
ENSUL
CESP
ELSUL
CEEE
CEMAT
CEMIG
CELESC
COPEL
Figura 7: Sistema interligado das regi~oes sul-sudeste brasileiro
750 kV
500 kV
500 kV
138 kV
138 kV 440 kV
440 kV
220 kV
69 kV
138 kV
345 kV
500 kV
500 kV 345 kV
440 kV
138 kV
Figura 8: Interliga�c~oes dos sistemas de transmiss~ao
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 13
1.3.1 Diagrama uni�lar
Os diagramas mostrados nas Figuras 3, 4, 5 e 8 representam simbolicamente o sistema
trif�asico equilibrado, denominados diagramas uni�lares. Este tipo de diagrama deve mos-
trar claramente a topologia e, concisamente, os dados principais do sistema de pote^ncia.
Dependendo do tipo de estudo, as informa�c~oes nele contidos podem ser diferentes, co-
mo por exemplo, digramas uni�lares para 
uxo de pote^ncia, curto-circuito, estabilidade,
prote�c~ao, opera�c~ao, etc.
No sistema trif�asico em Y equivalente representa-se as tre^s fases e o neutro. No
diagrama uni�lar representa-se apenas uma fase e o neutro. Neste modelo o neutro �e
ligado �a refere^ncia.
Neste texto, os elementos que comp~oem um sistema de pote^ncia ser~ao modelados
apropriadamente para o estudo de curto-circuito, o que ser�a visto a seguir.
M�aquina s��ncrona O modelo por fase de uma m�aquina s��ncrona �e apresentado na
Figura 9.
E
d
"jX
Figura 9: Modelo por fase da m�aquina s��ncrona
O modelo de uma m�aquina s��ncrona �e, simplesmente, a reata^ncia sub-transit�oria de
eixo direto em s�erie com a fonte de tens~ao. Mais adiante ser�a analisado o comportamento
do gerador s��ncrono sob curto-circuito.
Transformador A Figura 10 mostra o modelo de um transformador.
Referindo os para^metros para um dos lados, tem-se o modelo mostrado na Figura 11.
Considerando que os para^metros shunt (R
o
e X
m
) do transformador te^m valores ele-
vados a sua in
ue^ncia nos estudos de curtos-circuitos �e insigni�cante. Assim, pode-se
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 14
1V V2
������ ������
1 2 21R jX R
o m
R jX
jX
1 2N N
Transformador
 ideal
Figura 10: Modelo por fase do transformador
1V V2
1N 2N
���
���
���
���
���
���
���
���
1N
2N
1N
2N 2
R
Transformador
 ideal
11R jX
o m
R jX
2
j X2
2
Figura 11: Para^metros referidos para um �unico lado
adotar o modelo da Figura 12, no qual s�o se considera os para^metros s�erie (R
t
e X
t
).
Nos transformadores de pote^ncia a rela�c~ao
X
t
R
t
�e elevada.
Linha de transmiss~ao A linha de transmiss~ao possui os para^metros distribu��dos,
por�em, para facilitar os estudos pode-se representar pelo modelo � (para^metros con-
centrados), conforme mostra a Figura 13.
Nas linhas de sub-transmiss~ao (at�e 138 kV) os para^metros shunt tem pouca in
ue^ncia
nos valores de curtos-circuitos, o que permite considerar apenas os para^metros s�erie,
entretanto, nas linhas de transmiss~ao acima de 345 kV recomenda-se considerar o modelo
completo.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 15
1V V2
1N 2N
������ ������
Transformador
 ideal
R jXt t
Figura 12: Modelo do transfomador para estudos de curtos-circuitos
Ysh Ysh
jXlRl
Figura 13: Modelo � da linha de transmiss~ao
1.3.2 Valor por unidade
Considerando como exemplo o sistema radial mostrado na Figura 14 veri�ca-se que a
rede el�etrica �e formada pela interconex~ao de v�arios equipamentos com valores distintos
de pote^ncia e tens~ao (estes valores reais das grandezas s~ao fornecidos pelo fabricante).
Mesmo para um sistema simples, como o mostrado na Figura 14, a sua an�alise seria
bastante trabalhosa se for feita utilizando os valores reais das grandezas. Tomando como
exemplo o c�alculo de curto-circuito trif�asico na barra D, as impeda^ncias (em 
) de todos
os equipamentos devem ser referidas na tens~ao de 11,95 kV. Isto implica em multiplicar
a impeda^ncia de cada componente pela rela�c~ao de trasnforma�c~ao ao quadrado. Num
sistema mais complexo, com �e o caso de um sistema de pote^ncia onde existem v�arios
n��veis de tens~ao e pote^ncias diferentes, este m�etodo �e praticamente invi�avel.
Assim, o m�etodo do valor por unidade (pu), ou valor porcentual (%), �e utilizado para
as an�alises de sistema de pote^ncia.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 16
CBA D
∆∆ YY
50 MVA
13,8 kV
60 MVA
13,8/138 kV
15 MVA
138/11,95 kV
Carga
Figura 14: Sistema radial
O valor por unidade �e simplesmente
V alor:pu =
V alor:real:da:grandeza
V alor:de:base
(1)
Algumas das vantagens deste m�etodo s~ao:
1. A impeda^ncia em valor pu de qualquer transformador �e a mesma, independente do
lado de alta ou de baixa.
2. A impeda^ncia em valor pu de um transformador trif�asico (ou banco de transforma-
dores monof�asicos) independente do seu tipo de conex~ao.
3. O m�etodo pu �e independente das mudan�cas das tens~oes e defasamentos atrav�es de
transformadores, onde as tens~oes de base nos enrolamentos s~ao proporcionais ao
n�umero de espiras nos enrolamentos.
4. Fabricantes especi�cam a impeda^ncia dos equipamentos em pu ou %, considerando
como valores base os seus dados nominais (pote^ncia em kVA ou MVA e tens~ao em
kV). Assim, a impeda^ncia nominal pode ser usada diretamente se as bases escolhidas
forem os valores nominais.
5. Os valores das impeda^ncias em pu de equipamentos de capacidades diferentes vari-
am dentro de uma faixa estreita, enquanto que os seus valores em ohms tem uma
varia�c~ao bastante ampla. Portanto, quando n~ao se conhece os valores reais de um
determinado equipamento, pode-se estimar com uma boa aproxima�c~ao. Valores
t��picos de v�arios tipos de equipamentoss~ao encontrados em muitos livros.
6.
�
E menor a possibilidade de se confundir as pote^ncias monof�asica e trif�asica, ou as
tens~oes de linha e de fase.
7. O m�etodo pu ou % �e usado para simula�c~ao dos comportamentos em regime perma-
nente e transit�orio do sistema de pote^ncia em computadores digitais.
8. Nas an�alises de curtos-circuitos a tens~ao da fonte pode ser considerada 1,0 pu.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 17
Rela�c~oes b�asicas do sistema trif�asico Algumas rela�c~oes b�asicas do sistema trif�asico
s~ao dadas a seguir.
A pote^ncia aparente para uma liga�c~ao monof�asica pode ser calculada pela f�ormula:
S
1�
= V
f
I
f
(2)
Para uma liga�c~ao trif�asica:
S
3�
= 3V
f
I
f
(3)
Liga�c~ao estrela
Na liga�c~ao estrela temos:
V
f
=
V
l
p
3
(4)
e
I
f
= I
l
(5)
Substituindo (4) e (5) na (3) teremos:
S
3�
=
3V
l
p
3
I
l
(6)
ou
S
3�
=
p
3V
l
I
l
(7)
portanto,
I
l
=
S
3�
p
3V
l
(8)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 18
A impeda^ncia por fase �e dada por:
Z
Y
=
V
f
I
l
=
V
2
l
S
3�
(9)
Liga�c~ao tria^ngulo
Na liga�c~ao tria^ngulo temos:
V
f
= V
l
(10)
e
I
f
=
I
l
p
3
(11)
Substituindo (10) e (11) na (3) teremos:
S
3�
= 3V
l
I
l
p
3
(12)
ou
S
3�
=
p
3V
l
I
l
(13)
portanto,
I
l
=
S
3�
p
3V
l
(14)
A impeda^ncia por fase �e dada por:
Z
�
=
V
l
I
f
=
3V
2
l
S
3�
(15)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 19
Estas equa�c~oes mostram que as as grandezas S, V, I e Z de um circuito est~ao t~ao
intimamente relacionadas que a escolha de quaisquer duas delas possibilita a determina�c~ao
das duas outras. Geralmente assume-se a liga�c~ao Y (estrela), portanto as equ�c~oes (3) a
(9) s~ao comumente as mais usadas nos c�alculos de sistema de pote^ncia. A liga�c~ao � pode
ser convertida em uma liga�c~ao Y equivalente para o prop�osito de c�alculos.
Valores de base Os valores de base s~ao grandezas escalares. Neste texto, convencionou-
se:
� S
B
= pote^ncia base, em MVA
� V
B
= tens~ao de base, em kV
� I
B
= corrente de base, em A
� Z
B
= impeda^ncia de base, em 
Escolhendo-se a pote^ncia e a tens~ao como valores de base, tem-se:
I
B
=
1000S
B
p
3V
B
(16)
e
Z
B
=
V
2
B
S
B
(17)
Impeda^ncia pu A impeda^ncia pu �e dada por:
z
pu
=
Z
Z
B
= (
S
B
V
2
B
)Z
(18)
No sistema de pote^ncia a pr�atica comum �e utilizar as tens~oes nominais do sistema
como as tens~oes de base e 100 MVA como a pote^ncia de base.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 20
Mudan�cas de valores pu para outros valores de base Normalmente, a impeda^ncia
pu dos equipamentos �e determinada a partir de seus valores nominais (dados de placa),
que s~ao diferentes dos valores de base do sistema. Assim, para a an�alise do sistema
de pote^ncia, todas as impeda^ncias dever~ao ser convertidas �a uma base comum. Esta
convers~ao pode ser feita expressando-se a impeda^ncia em valor real da grandeza nos dois
valores de base diferentes. Da equa�c~ao (18) para valores de base S
B
e
, V
B
e
e S
B
s
, V
B
s
tem-se:
z
pu
e
=
Z
Z
B
e
= (
S
B
e
V
2
B
e
)Z
(19)
z
pu
s
=
Z
Z
B
s
= (
S
B
s
V
2
B
s
)Z
(20)
Dividindo membro a membro a equa�c~ao (20) pela equa�c~ao (19) obtem-se a equa�c~ao
geral para mudan�ca de base.
z
pu
s
z
pu
e
=
S
B
s
V
2
B
s
V
2
B
e
S
B
e
(21)
ou
z
pu
s
= z
pu
e
S
B
s
S
B
e
(
V
B
e
V
B
s
)
2
(22)
Nos casos em que a tens~ao nominal do equipamento e a tens~ao do sistema forem iguais,
tem-se:
z
pu
s
= z
pu
e
S
B
s
S
B
e
(23)
�
E muito importante enfatizar que a rela�c~ao das tens~oes ao quadrado da equa�c~ao (22)
se aplica somente para o mesmo n��vel de tens~ao.
1.3.3 Transformadores em sistema de pote^ncia
Na se�c~ao 1.3 mostrou-se que a existe^ncia de v�arios n��veis de tens~ao s�o �e poss��vel gra�cas
aos transformadores. Esta caracter��stica, de alterar os n��veis de tens~ao, sem d�uvida, foi o
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 21
maior atrativo para o desenvolvimento de sistemas de corrente alternada.
Um sistema de pote^ncia pode ser subdividido em subsistemas de gera�c~ao, trans-
miss~ao e distribui�c~ao. Estes subsistemas s~ao compostos por diversos n��veis de tens~ao,
os quais s~ao interligados atrav�es de transformadores de for�ca. Os geradores s~ao liga-
dos ao subsistema de transmiss~ao atrav�es de transformadores elevadores. No subsistema
de transmiss~ao os n��veis de tens~ao s~ao v�arios. No Brasil, temos as seguintes tens~oes:
34,5 kV, 69 kV, 88 kV, 138 kV, 220 kV, 345 kV, 440 kV, 500 kV e 750 kV, todas elas
interligadas. Estas interliga�c~oes devem ser feitas de modo a n~ao introduzir nenhuma
defasagem angular entre as tens~oes, o que se consegue atrav�es de transformadores com
conex~ao Estrela/Estrela ou autotransformadores. Por raz~oes econo^micas s~ao utilizados
os autotransformadores nas interliga�c~oes.
Transmissão
Geração Distribuição
Figura 15: Sistema de pote^ncia
Em sistema de pote^ncia, tanto os transformadores elevadores como os abaixadores,
quase na sua totalidade, te^m a conex~ao Delta/Estrela com grupo fasorial 30
0
.
Impeda^ncia pu do transformador A representa�c~ao do transformador em valores
reais das grandezas j�a foi mostrado na Figura 12. O mesmo transformador, representado
em pu \elimina" o transformador ideal e a impeda^ncia �e a mesma independente do lado.
As dedu�c~oes s~ao mostradas a seguir:
z
pu
1
=
Z
1
Z
B
1
= (
S
B
V
2
B
1
)Z
1
(24)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 22
z
pu
2
=
Z
2
Z
B
2
= (
S
B
V
2
B
2
)Z
2
(25)
Referindo a Z
1
para o lado de baixa, usando a rela�c~ao de transforma�c~ao, tem-se:
Z
2
= (
V
B
2
V
B
1
)
2
Z
1
(26)
Sunstituindo a equa�c~ao (26) na equa�c~ao (25), tem-se:
z
pu
2
= (
S
B
V
2
B
2
)(
V
B
2
V
B
1
)
2
Z
1
= (
S
B
V
2
B
1
)Z
1
(27)
Portanto, pelas equa�c~oes (24) e (27), tem-se:
z
pu
1
= z
pu
2
(28)
Esta igualdade �e v�alida tanto para um transformador monof�asico como para um trans-
formador trif�asico.
Transformadores em sistema trif�asico
No sistema de pote^ncia os transformadores, por motivos �obvios, devem ser ligados
para operar no sistema trif�asico.
H�a duas maneiras de se obter a liga�c~ao trif�asica:
� transformador trif�asico, construido para esta �nalidade;
� banco de transformadores monof�asicos (tre^s transformadores monof�asicos conveni-
entemente ligados para permitir a transforma�c~ao trif�asica).
As liga�c~oes dos enrolamentos do prim�ario e do secund�ario de um transformador trif�asico
ou banco monof�asico de transformadores podem ser em estrela ou em tria^ngulo. Assim,
tem-se quatro tipos de liga�c~oes:
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 23
� Tria^ngulo / Estrela (�/Y)
� Estrela/ Tria^ngulo (Y/(�)
� Tria^ngulo / Tria^ngulo (�/�)
� Estrela / Estrela (Y/Y)
As liga�c~oes trif�asicas e as respectivas grandezas nos lados prim�ario e secund�ario s~ao
mostradas nas Figuras 16, 17, 18 e 19
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 24
a
V
3 
I
3 V
a
3 
aI
V
B
A
C
a
b
c
n
I
V
Figura 16: Liga�c~ao �/Y
V
3 
V
3 a
3 aIaI
A
B
C
a
b
c
N
V
I
Figura 17: Liga�c~ao Y/�
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 25
aI
3 aI
a
Va
V
I
V
3 
I
A
C
B
a
b
c
V
Figura 18: Liga�c~ao �/�
I
V
3 
aI
V
3 aV V
a
A
B
C
a
b
c
Figura 19: Liga�c~ao Y/Y
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 26
Impeda^ncia pu de banco de transformadores monof�asicos Seja qual for o tipo
de liga�c~ao do banco de transformadores monof�asicos a impeda^ncia pu do banco �e igual �a
de cada um dos monof�asicos.
A demonstra�c~ao ser�a feita apenas para a liga�c~ao �/Y, baseando-se na Figura 16.
A pote^ncia aparente do banco �e:
S
3�
= 3S
1�
(29)
Para cada transformador monof�asico do lado � tem-se:
� S
B
= S
1�
� V
B
= V
Ent~ao, a impeda^ncia pu ser�a:
z
pu
1
= (
S
1�
V
2
)Z
1
(30)
Considerando o lado � do banco tem-se:
� S
B
= S
3�
� V
B
= V
z
pu
1
= (
S
3�
V
2
)
Z
1
3
(31)
Note-se que na equa�c~ao (31) a impeda^ncia Z
1
aparece dividida por 3 em conseque^ncia
da trasnforma�c~ao � - Y.
Substituindo a equa�c~ao (29) na equa�c~ao (31) resulta:
z
pu
1
= (
S
1�
V
2
)Z
1
(32)
Para cada transformador monof�asico do lado Y tem-se:
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 27
� S
B
= S
1�
� V
B
=
V
a
, sendo a =
N
1
N
2
Ent~ao, a impeda^ncia pu ser�a:
z
pu
2
=
S
1�
(
V
a
)
2
Z
2
(33)
ou
z
pu
2
=
S
1�
V
2
a
2
Z
2
(34)
Tendo-se:
Z
1
= a
2
Z
2
(35)
Assim
z
pu
2
= (
S
1�
V
2
)Z
1
(36)
Considerando o lado Y do banco tem-se:
� S
B
= S
3�
� V
B
=
p
3V
a
, sendo a =
N
1
N
2
z
pu
2
=
S
3�
(
p
3V
a
)
2
Z
2
(37)
Substituindo a equa�c~ao (29) na equa�c~ao (36) resulta:
z
pu
2
= (
S
1�
V
2
)a
2
Z
2
(38)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 28
Substituindo a equa�c~ao (35) na equa�c~ao (38), vem:
z
pu
2
= (
S
1�
V
2
)Z
1
(39)
As equa�c~oes (30), (32), (36) e (39) mostram que a impeda^ncia pu de um banco de
trasnformadores monof�asicos �e a mesma do transformador monof�asico. Al�em disso, mostra
que quando se trata de impeda^ncia pu independe do lado do transformador.
Defasagens introduzidas pelos transformadores O diagrama uni�lar de impeda^ncias
em pu do sistema da Figura 14 �e dado na Figura 20.
jx"d jxte rl jxl jxtaC D
z
carga
A B
Figura 20: Diagrama uni�lar de impeda^ncias em pu
Neste diagrama os transformadores s~ao representados simplesmente por impeda^ncias
s�erie, sem considerar as defasagens nas tens~oes e correntes introduzidas pelos transforma-
dores.
Estas defasagens s~ao analisadas a seguir. A Figura 21 mostra as liga�c~oes de um
transformador �/Y e as correntes de fase e de linha nos seus dois lados
A
B
C
n
b
a
c
IA Ia
IB
IC
Ib
Ic
I
I
I
α
β
γ
Carga
Figura 21: Defasagens no transformador �/Y
A Figura 22 ilustra os diagramas fasoriais das tens~oes e correntes nos dois lados do
transformador.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 29
VCB
Va
Ia
VbIb
Vc
Ic
I
I
I
α
β
γ
I
I
IC
A
B
VAC
VBA
V
VV
A
BC
(b)(a)
φ
Figura 22: Diagramas fasoriais
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 30
Autotransformador O transformador �/Y, conforme visto, introduz defasagem de
30
o
entre as grandezas de entrada e sa��da, portanto, al�em da sua fun�c~ao principal que �e
de alterar a magnitude das tens~oes, ele funciona tamb�em como defasador. Nos casos de
sistemas radiais, as defasagens introduzidas pelos transformadores n~ao afetam os 
uxos
de pote^ncia na rede. O mesmo n~ao se pode dizer para o sistema em anel (sistema em
malha fechada), como �e o caso do sistema interligado. Assim sendo, as interliga�c~oes de
subsistemas de transmiss~ao, envolvendo v�arios n��veis de tens~ao, s~ao feitas pelos autotrans-
formadores.
Nos �ultimos 30 anos, em conseque^ncia da expans~ao do sistema el�etrico brasileiro en-
volvendo diferentes n��veis de tens~ao, foi instalado um grande n�umero de autotransfoma-
dores de pote^ncia. Os autotransformadores apresentam algumas vantagens em rela�c~ao aos
transformadores convencionais, tais como: alta e�cie^ncia, baixa impeda^ncia, tamanho re-
duzido e menor custo. Entretanto, a falta de crit�erios na de�ni�c~ao do dimensionamento
da capacidade do enrolamento terci�ario e na instala�c~ao podem reduzir estas vantagens,
tornando-os equipamentos vulner�aveis no sistema el�etrico.
���
���
���
���
���
���
��
��
��
��
5
10
15
20
25
145 kV
245 kV
345-440 kV
550 kV
27
7 7
2
Tensão
Quant.
Figura 23: Falhas no terci�ario dos autotransformadores
�
E pr�atica comum dimensionar a capacidade do terci�ario com 33,33 % da capacidade
do enrolamento principal, para que ele possa suportar t�ermica e mecanicamente a corren-
te de seque^ncia zero quando da ocorre^ncia de curto-circuito monof�asico nos terminais do
autotransformador, tanto no lado de alta como no de baixa. Entretanto, se este crit�erio
for utilizado para autotransformadores com baixa co-rela�c~ao implicar�a no aumento consi-
der�avel de seu custo. Um levantamento dos �ultimos 20 anos, mostra um n�umero elevado de
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 31
falhas no terci�ario de autotransformadores no sistema interligado brasileiro, como mostra
a Figura 23, ocasionado pelo dimensionamento incorreto.
Os princ��pios b�asicos do autotransformador s~ao dados a seguir.
A Figura 24 (a) mostra um transfomador ideal e os seus respectivos valores prim�ario
e secund�ario. Do ponto de vista do suprimento da carga o mesmo efeito pode ser obtido
pela liga�c~ao mostrada na Figura 24 (b).
Ω2,5
����
����
10 A
20 A
100 V 50 V
����
10 A
Ω2,5
100 V
20 A
10 A
50 V
(a) (b)
Figura 24: Transformador e autotransformador
A Figura 25 mostra um autotransformador, com identi�ca�c~ao literal dos valores prim�ario
e secund�ario.
A pote^ncia aparente do lado secund�ario �e dada por:
S
s
= V
s
I
s
= V
s
(I
p
+ I
0
s
) = V
s
I
p
+ V
s
I
0
s
(40)
Note-se que S
s
consiste de duas parcelas: V
s
I
p
e V
s
I
0
s
.
V
s
I
p
�e a pote^ncia diretamente transferida ao secund�ario pela corrente prim�aria sem
qualquer transforma�c~ao. Ela �e chamada pote^ncia condutiva.
S
cond
= V
s
I
p
(41)
V
s
I
0
s
�e a pote^ncia transferida ao secund�ario pela corrente I
0
s
e desde que esta parcela �e
efeito da a�c~ao transformadora �ela �e chamada pote^ncia transformada (ou eletromagn�etica).
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 32
����
Vs
Is
Ip
Zcarga
Is’
Np
Ns
Vp
Figura 25: AutotransformadorS
tranf
= V
s
I
0
s
(42)
O tamanho, e consequentemente o peso, de qualquer transformador �e fun�c~ao determi-
nante da pote^ncia que ele transforma por a�c~ao eletromagn�etica.
A rela�c~ao entre a pote^ncia transformada e a pote^ncia a ser transferida do prim�ario
para o secund�ario de um autotransformador �e chamada de co-rela�c~ao (�).
� =
S
traf
S
T
=
V
s
I
0
s
V
s
I
p
= (1�
V
s
V
p
) (43)
S
traf
= (1�
V
s
V
p
)S
T
(44)
Conclui-se que quanto mais a tens~ao secund�aria se aproxima da tens~ao prim�aria, menor
a pote^ncia transformada e consequentemente o tamanho.
A Tabela 4 mostra dados comparativos entre um transformador e um autotransfor-
mador, considerando a mesma pote^ncia transferida.
A Figura 26 ilustra a liga�c~ao de um autotransformador trif�asico (ou um banco de
autotransformadores monof�asicos).
Os autotransformadores utilizados em sistema de pote^ncia s~ao ligados em Y com neutro
solidamente aterrado e a rela�c~ao de transforma�c~ao n~ao deve exceder de 3. Possui um
terceiro enrolamento denominado terci�ario, ligado em �.
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 33
Descri�c~ao Transf. Autotransf.
V
p
500 kV 500 kV
V
s
275 kV 275 kV
S
T
600 MVA 600 MVA
S
transf
600 MVA 270 MVA
� 1,0 0,45
Peso da parte ativa 1,0 0,67
Quantidade de �oleo 1,0 0,89
Peso total 1,0 0,72
Perda no ferro 1,0 0,71
Perda no cobre 1,0 0,68
Perda total 1,0 0,69
Tabela 4: Compara�c~ao entre um transformador e um autotransformador
���
���
���
���
������
������
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
���
���
���
���
L
H TA
B
C
b
c
a
Figura 26: Autotransformador trif�asico
Ensaio para a determina�c~ao da impeda^ncia do transformador trif�asico A im-
peda^ncia s�erie do transformador �e um dos para^metros que o fabricante deve fornecer
obrigatoriamente junto com o transformador e �e obtida atrav�es do ensaio de rotina. O
valor obtido atrav�es deste ensaio �e conhecido tamb�em como tens~ao de curto-circuito
e perdas em curto-circuito.
A Figura 27 mostra o esquema de liga�c~ao para ensaio de transformadores de dois
enrolamentos.
Ligam-se em curto-circuito os tre^s terminais de tens~ao inferior e ligam-se uma fonte
trif�asica de tens~oes sim�etricas, na freque^ncia nominal do transformador. Ajusta-se o valor
destas tens~oes at�e que circule a corrente nominal. A partir das leituras dos instrumentos
e dos dados nominais do transformador determinam-se a impeda^ncia e a resiste^ncia (em
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 34
��
��
��
��
��
��
��
��
����
������
���
���
���
���
��
��
��
��
W2
W1
��
��
��
��
����
��
��
��
��
����
��
��
��
��
A 
A
V
V
Hz
Transformador sob ensaio
VP
P
cc
ccI
1
2
Figura 27: Ensaio de curto-circuito de um transformador de dois enrolamentos
pu), conforme se segue:
v
pu
=
V
cc
V
n
(45)
e
p
pu
=
P
1
+ P
2
S
n
(46)
Temos que:
i
pu
=
I
cc
I
n
= 1; 0 (47)
Assim,
z
pu
= v
pu
i
pu
= v
pu
(48)
e
r
pu
=
p
pu
i
2
pu
= p
pu
(49)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 35
As equa�c~oes 48 e 49 justi�cam as denomina�c~oes tens~ao de curto-circuito e perdas
em curto-circuito.
A reata^ncia �e calculada por:
x
pu
=
q
z
2
pu
� r
2
pu
(50)
Nos transformadores de for�ca r
pu
n~ao chega a 5 % de x
pu
, portanto, no seu modelo
normalmente considera-se apenas a reata^ncia s�erie.
Assim, no transformador de dois enrolamentos, pode-se considerar:
z
pu
= v
pu
(51)
Ensaio para a determina�c~ao da impeda^ncia do autotransformador trif�asico
Conforme j�a visto nas se�c~oes anteriores o autotransformador utilizado em sistema de
pote^ncia �e solidamente aterrado e possui um terceito enrolamento denominado terci�ario.
Neste caso, para a determina�c~ao dos para^metros s�erie s~ao necess�arios tre^s ensaios de
curto-circuito, cujos procedimentos s~ao dados na Tabela 5.
Ensaio Tens~ao Curto-circuito Aberto Impeda^ncia pu
1 prim�ario secund�ario terci�ario z
ps
2 prim�ario terci�ario secund�ario z
pt
3 secund�ario terci�ario prim�ario z
st
Tabela 5: Ensaios de curto-circuito em autotransformadores
A Figura 28 mostra o esquema de liga�c~ao para ensaio de autotransformadores de tre^s
enrolamentos, dando como exemplo a determina�c~ao da impeda^ncia z
ps
.
As impeda^ncias z
ps
, z
pt
e z
st
, em pu, s~ao baseadas nos valores nominais dos enro-
lamentos e n~ao s~ao adequadas para compor um circuito equivalente por fase. A partir
dos valores obtidos pelos ensaios e providenciando-se devidamente as mudan�cas de base
tem-se:
z
ps
= z
p
+ z
s
(52)
z
pt
= z
p
+ z
t
(53)
1 AN
�
ALISE DE SISTEMA DE POT
^
ENCIA 36
����
���
���
���
���
������
����
���
���
���
���
������
������
W2
W1
��
��
��
��
����
��
��
��
��
A 
A
V
V
Hz P
P
ccI
1
2
Vcc
Autotransformador sob ensaio
Figura 28: Ensaio de curto-circuito de um autotransformador de tre^s enrolamentos
z
st
= z
s
+ z
t
(54)
Resolvendo o sistemas de equa�c~oes acima:
z
p
=
1
2
(z
ps
+ z
pt
� z
st
) (55)
z
s
=
1
2
(z
ps
� z
pt
� z
st
) (56)
z
p
=
1
2
(�z
ps
+ z
pt
+ z
st
) (57)
Com as impeda^ncias z
p
, z
s
e z
t
forma-se o circuito equivalente por fase, conforme
mostrado na Figura 29:
Por imposi�c~ao do modelo, em alguns casos z
s
pode assumir um valor negativo.
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 37
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
p s
t
p s
t
z z
z
Figura 29: Circuito equivalente de um autotransformador de tre^s enrolamentos
2 An�alise de Curto-circuito
A an�alise de curto-circuito �e imprescind��vel tanto no planejamento como na opera�c~ao de
um Sistema El�etrico de Pote^ncia. Os resultados dessa an�alise possibilita a tomada de
s�erie de decis~oes.
2.1 Curtos-circuitos em Sistema El�etrico de Pote^ncia
Um sistema el�etrico de pote^ncia est�a constantemente sujeito a ocorre^ncias que causam
dist�urbios no seu estado normal. Estas perturba�c~oes alteram as grandezas el�etricas (cor-
rente, tens~ao, freque^ncia), muitas vezes provocando viola�c~oes nas restri�c~oes operativas.
Nestes casos s~ao necess�arios a�c~oes preventivas e/ou corretivas para sanar ou limitar as
conseque^ncias desses dist�urbios.
As perturba�c~oes mais comum e tamb�em as mais severas s~ao os curtos-circuitos, que
ocorrem em decorre^ncia da ruptura da isola�c~ao entre as fases ou entre a fase e terra.
A magnitude da corrente de curto-circuito depende de v�arios fatores, tais como: tipo
de curto-circuito, capacidade do sistema de gera�c~ao, topologia da rede el�etrica, tipo de
aterramento do neutro dos equipamentos, etc.
Na ocorre^ncia de curto-circuito a parte atingida deve ser desligada do restante do
sistema, t~ao rapidamente quanto poss��vel, para evitar danos materiais e o envovimento
das partes s~as da rede el�etrica.
� Tipos de curtos-circuitos
Para assegurar uma prote�c~ao adequada, o comportamento das tens~oes e correntes
durante o curto-circuito deve ser claramente conhecido. Os diagramas fasoriaisdos
tipos de curto-circuito s~ao mostrados na Figura 30.
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 38
Va
Vc
Ia
Vb
Va
VbVc
Ic
Ib
Vc
Ia
Ib
Va
Ic
f
Va
Ia
Ic
Ic
Vb
VbVc
Ib
Condição normal Curto-circuito trifásico
f
Curto-circuito bifásico Curto-circuito monofásico
Figura 30: Tens~oes e correntes durante os curtos-circuitos
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 39
� Caracter��sticas dos curtos-circuitos
O a^ngulo de fator de pote^ncia de curto-circuito n~ao depende mais da carga, mas da
impeda^ncia equivalente \vista" a partir do ponto em que ocorreu o curto-circuito.
� Sistemas de aterramento
O sistema de aterramento afeta signi�cativamente tanto a magnitude como o a^ngulo
de da corrente de curto-circuito �a terra. Existem tre^s tipos de aterramento:
{ sistema n~ao aterrado (neutro isolado)
{ sistema aterrado por impeda^ncias
{ sistema e�cazmente aterrado
No sistema n~ao aterrado existe um acoplamento �a terra atrav�es da capacita^ncia
shunt natural. Num sistema sim�etrico, onde as tre^s capacita^ncias �a terra s~ao iguais,
o neutro (n) �ca no plano terra (g), e se a fase a, por exemplo, for aterrada, o
tria^ngulo se deslocar�a conforme mostrado na Figura 31.
plano terra
Va
VbVc
g=n Vag = 0
VbgVcg
n
g=a
Figura 31: Sistema n~ao aterrado
A Figura 32 mostra um curto-circuito s�olido entre a fase a e terra num sistema n~ao
aterrado e o diagrama fasorial correspondente.
Num sistema e�cazmente aterrado um curto-circuito s�olido entre a fase a e terra se
comporta como mostra a Figura 33.
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 40
VbgVcg
Ia
Ic
Ib
(b)
Va
VbVc
Ic Ib Ia
g
(a)
Figura 32: Curto-circuito monof�asico num sistema n~ao aterrado
VbgVcg
plano terra
Va
VbVc
g=n Vag = 0g=a
Figura 33: Curto-circuito monof�asico num sistema e�cazmente aterrado
Observando-se os dois casos conclui-se que as magnitudes das fases s~as, quando da
ocorre^ncia de um curto-circuito monof�asico, dependem do sistema de aterramento,
variando de 1,0 pu a 1,73 pu.
. Vantagens e desvantagens do sistema n~ao aterrado
{ a corrente de curto-circuito para a terra �e despres��vel e se auto-extingue
na maioria dos casos, sem causar interrup�c~ao no fornecimento de energia
el�etrica;
{ �e extremamente dif��cil detectar o local do defeito;
{ as sobretens~oes sustentadas s~ao elevadas, o que imp~oe o uso de para-raios
com tens~ao de reseal da ordem da tens~ao de linha;
{ o ajuste dos rel�es de terra e a obten�c~ao de uma boa seletividade s~ao tarefas
bastante dif��ceis.
. Vantagens e desvantagens do sistema e�cazmente aterrado
{ a corrente de curto-circuito para terra �e elevada e o desligamento do cir-
cuito afetado �e sempre necess�ario;
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 41
TC
DISJUNTOR
TP
EQUIPAMENTO PROTEGIDO
+
-
RELÉ
Figura 34: Sistema de prote�c~ao
{ consegue-se obter excelente sensibilidade e seletividade nos rel�es de terra;
{ as sobretens~oes sustentadas s~ao reduzidas, o que permite o uso de para-
raios com tens~ao de reseal menor.
2.2 Equipamentos de prote�c~ao
Na ocorre^ncia de curtos-circuitos �e necess�ario que a parte atingida seja isolada rapidamen-
te do restante da rede el�etrica para evitar danos materiais e restringir ao m�aximo poss��vel
a sua repercu�c~ao no sistema. Esta fun�c~ao �e desempenhada pelo sistema de prote�c~ao, cujo
diagrama uni�lar simpli�cado �e mostrado na Figura 34.
Esquematicamente, a atua�c~ao de um sistema de prote�c~ao pode ser representada como
mostra a Figura 35, onde um sistema de decis~oes l�ogicas, que tanto pode ser um rel�e eletro-
meca^nico ou um rel�e digital (microprocessado), se utiliza das medidas anal�ogicas, obtidas
pelos TCs e/ou TPs, e atua no sistema el�etrico de pote^ncia atrav�es de um controlador.
� Disjuntor
A abertura da parte sob curto-circuito de um sistema de pote^ncia, interrompendo
corrente v�arias vezes superior �a da carga �e executada pelo disjuntor, na faixa de 1
a 2 ciclos (na base de 60 Hz).
� Redutores de medidas
Os redutores de medidas s~ao transformadores especiais, de corrente e de tens~ao, que
te^m a fun�c~ao de isolar os circuitos secund�arios da alta tens~ao.
� Rel�e de prote�c~ao
A fun�c~ao do rel�e de prote�c~ao �e, baseando-se nos valores das medidas el�etricas do
sistema fornecidos pelos redutores de medida, comandar a abertura dos disjuntores.
Os rel�es de alta velocidade operam na faixa de 1 a 3 ciclos (na base de 60 Hz).
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 42
SISTEMA DE
DECISÕES LÓGICAS
SISTEMA DE MEDIDAS
 ANALÓGICAS
SISTEMA
 DE
POTÊNCIA
CONTROLADOR
Figura 35: Atua�c~ao de um sistema de prote�c~ao
2.3 Simula�c~ao de curtos-circuitos
O conhecimento pr�evio dos valores de curtos-circuitos numa rede el�etrica �e necess�ario para
estudos e an�alises de alguns assuntos:
- determina�c~ao da capacidade de interrup�c~ao dos equipamentos de chaveamento
- c�alculos de ajustes dos rel�es de prote�c~ao
- sele�c~ao de reatores limitadores de corrente
- c�alculo de esfor�co meca^nico nos elementos estruturais dos equipamentos
- c�alculos da malha de aterramento
� Hip�oteses simpli�cadoras
Nas simula�c~oes de curtos-circuitos s~ao adotadas algumas simpli�ca�c~oes que facilitam
bastante os c�alculos, que no entanto, n~ao introduzem erros consider�aveis nos valores
obtidos. Estas considera�c~oes s~ao permitidas em virtude de as correntes de curtos-
circuitos serem muito superiores �as correntes de carga.
As simpli�ca�c~oes adotadas s~ao:
1. todas as m�aquinas s��ncronas do sistema s~ao consideradas operando com a
tens~ao de 1,0 pu e angulo de 0
0
2. os para^metros shunt das linhas s~ao ignorados
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 43
3. as cargas s~ao ignoradas
4. todos os transformadores do sistema s~ao considerados operando no tap nominal
5. a rede de seque^ncia negativa �e condiderada ide^ntica �a rede de seque^ncia positiva
Al�em dessas simpli�ca�c~oes deve-se considerar certos fatores cujas indetermina�c~oes
decorrem do pr�oprio tipo de problema, tais como:
{ s~ao simulados curtos-circuitos s�olidos
{ simula-se somente a condi�c~ao de gera�c~ao m�axima
{ as impeda^ncias de seque^ncia zero (pr�oprias e m�utuas) das linhas de transmiss~ao
s~ao para^metros aproximados pelo fato de serem fun�c~ao da resistividade do solo
pelo fato
� Modelagem da rede
As simpli�ca�c~oes adotadas (hip�oteses 1, 2, 3 e 4) permitem considerar o sistema
el�etrico operando em vazio.
Seja um sistema-exemplo de 5 barras representado na Figura 36.
1 2 3
4 5
+ +
--
Figura 36: Representa�c~ao completa de um sistema-exemplo de 5 barras
Levando-se em conta as hip�otese simpli�cadoras 2, 3 e 4, este sistema passa a ter a
representa�c~ao dada na Figura 37.
Considerando-se, em seguida, a hip�otese simpli�cadora 1, o sistema pode ser repre-
sentado pela Figura 38.
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 44
1 2 3
4 5
+ +
--
Figura 37: Representa�c~ao do sistema-exemplo, considerando-se as hip�oteses simpli�cado-
ras 2, 3 e 4
+
-
1 2 3
4 5
1,0 pu /0o
0
Figura 38: Representa�c~ao do sistema-exemplo, considerando-se a hip�otese simpli�cadora
1
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 45
� M�etodos de simula�c~ao
{ M�etodo manual
A an�alise de curto-circuito de um sistema de pote^ncia requer numerosos c�alculos,
praticamente imposs��veis de serem obtidos manualmente. Para ilustrar esta di-
�culdade vamos mostrar os procedimentos que se devem seguir para calcular
um curto-circuito trif�asico na barra 5 do sistema-exemplo. Esta situa�c~ao �e
representada na Figura 39.
1 2 3
4 5
1,0 pu /0o
+
-
0
Figura 39: Curto-circuitotrif�asico no sistema de 5 barras
Para se calcular a corrente de curto-circuito na barra 5 �e necess�ario que, por
meio de t�ecnicas de redu�c~ao de circuitos, se obtenha a impeda^ncia equivalente
na barra 5, conforme mostra a Figura 40. Podemos notar que, mesmo num
sistema de pequenas dimens~oes, a tarefa �e das mais �arduas.
Assim, o curto-circuito trif�asico pode ser calculado pela Equa�c~ao (58).
i
cc
5
=
1; 0
Z
eq
(58)
A determina�c~ao do valor de curto-circuito total numa barra �e apenas um das
necessidades. Considerando-se que, por exemplo, para c�alculos dos ajustes dos
rel�es de prote�c~ao s~ao necess�arios 
uxos de correntes nas linhas e tens~oes nas
barras, o m�etodo manual �e incompleto.
Pensando em termos matriciais, podemos interpretar a impeda^ncia equivalente
Z
eq
assim obtida, como uma matriz de dimens~ao unit�aria, conforme a Equa�c~ao
(59).
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 46
1,0 pu /0o
+
-
5
0
Zeq
Figura 40: Circuito equivalente
Z
eq
= [Z
5;5
] (59)
{ M�etodo anal�ogico
A di�culdade de se obter os valores de curto-circuito pelo m�etodo manual fez
com que se recorresse ao m�etodo anal�ogico. A evolu�c~ao deste m�etodo originou o
Analisador de Rede, cuja caracter��stica principal era a modelagem monof�asica
do sistema. A Figura 41 e as seque^ncias de procedimentos mostram a simula�c~ao
de curto-circuito trif�asico na barra 5 do sistema-exemplo.
a) inje�c~ao de corrente unit�aria na barra 0 e fechando o circuito pela barra 5
b) medi�c~ao da diferen�ca de potencial entre as barras 0 e 5, obtendo-se a im-
peda^ncia equivalente, isto �e:
Z
5;5
=
v
5
i
5
(60)
como i
5
= 1,0 pu, ent~ao:
Z
5;5
= v
5
(61)
c) medi�c~oes das diferen�cas de potencial entre a barra 0 e as demais barras,
obtendo-se as impeda^ncias de transfere^ncia, isto �e:
Z
i;5
=
v
i
i
5
i = 1; 2; ::::; 4 (62)
ou
Z
i;5
= v
i
(63)
Portanto, no �nal tem-se:
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 47
1,0 pu /0o
1 2 3
4
+
-
V
A
5
0
(5)
(5)
i
v
Figura 41: Simula�c~ao de curto-circuito pelo m�etodo anal�ogico
Z =
2
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;5
Z
2;5
Z
3;5
Z
4;5
Z
5;5
3
7
7
7
7
7
7
5
(64)
{ M�etodo digital
O primeiro m�etodo digital aplicado em sistema de pote^ncia foi em 1946 na
solu�c~ao de 
uxo de carga formulado por equa�c~oes de malhas, cujo processo
automatizava simplesmente os m�etodos manuais j�a existentes. Em certos estu-
dos eram necess�arios c�alculos pr�evios no analisador de rede e cujos resultados
serviam de dados do problema. A evolu�c~ao da cie^ncia da computa�c~ao tornou
bastante atrativo o desenvolvimento de m�etodos computacionais aplicados �a
an�alise de sistemas de pote^ncia.
Num sistema de pote^ncia, as caracter��sticas individuais de cada elemento po-
dem ser representadas pela matriz primitiva que, no entanto, n~ao fornece ne-
nhuma informa�c~ao a respeito de suas interliga�c~oes. Portanto, para descrever
matematicamente o sistema interligado �e necess�ario obter a matriz da rede pela
transforma�c~ao da matriz de incide^ncia. Para alguns tipos de matrizes existem
algoritmos especiais que possibilitam a sua obten�c~ao diretamente a partir dos
dados individuais de cada elemento da rede, que �e o caso da an�alise de curto-
circuito que consiste na forma�c~ao da matriz de impeda^ncia nodal Z
BARRA
.
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 48
A utiliza�c~ao do modelo mostrado na Figura 39 no m�etodo digital causa um
grave inconvenie^nte, isto �e, a barra de refere^ncia acompanha a barra sob curto-
circuito, implicando na necessidade da forma�c~ao da matriz Z
BARRA
para cada
barra. Este problema �e contornado mudando-se a barra de refere^ncia para
a barra 0, ou seja, a barra comum criada atr�as das reata^ncias das unidades
geradoras, como mostra a Figura 42.
o1,0 pu /0
1 2 3
4 5
-
+
0
Figura 42: Simula�c~ao de curto-circuito pelo m�etodo digital
O sentido 
uxos de corrente nos sistemas representados nas Figuras 39 e Figura
42 n~ao se altera, entretanto, os pontos de potencial zero s~ao diferentes, e se
relacionam pela Equa�c~ao (65).
v
r
i
= 1; 0 + v
i
(65)
Ap�os a modelagem conveniente da rede de um sistema el�etrico de pote^ncia, a si-
mula�c~ao de curto-circuito consiste em resolver o sistema de equa�c~oes alg�ebricas
lineares:
Y
BARRA
v = i (66)
sendo Y
BARRA
- matriz de admita^ncia nodal
v - vetor tens~ao nodal
i - vetor corrente nodal
A solu�c~ao do sistema de Equa�c~oes (66) �e dada por:
Z
BARRA
i = v (67)
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 49
sendo Z
BARRA
a matriz de impeda^ncia nodal.
O vetor corrente i tem todas as posi�c~oes ocupadas por zero, com exce�c~ao da
posi�c~ao referente �a barra curto-circuitada. Isso se deve �as hipoteses simpli�ca-
doras 1, 2, 3 e 4.
Seja qual for o m�etodo, a matriz de impeda^ncia nodal tem a forma �nal mos-
trada na Equa�c~ao (68).
Z
BARRA
=
2
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;1
Z
1;2
Z
1;3
Z
1;4
Z
1;5
Z
2;1
Z
2;2
Z
2;3
Z
2;4
Z
2;5
Z
3;1
Z
3;2
Z
3;3
Z
3;4
Z
3;5
Z
4;1
Z
4;2
Z
4;3
Z
4;4
Z
4;5
Z
5;1
Z
5;2
Z
5;3
Z
5;4
Z
5;5
3
7
7
7
7
7
7
5
(68)
�
E interessante notar que comparando-se, em termos matriciais, os tre^s m�etodos:
manual, anal�ogico e digital, considerando-se o curto-circuito na barra 5 do
sistema-exemplo, o primeiro m�etodo possibilita calcular apenas um elemento
da matriz, o segundo uma coluna da matriz e �nalmente o terceiro, a matriz
completa.
O m�etodo de forma�c~ao da matriz Z
BARRA
mais difundido consiste em construir
a matriz passo a passo, simulando a pr�opria cosntru�c~ao da rede a partir da
barra de refere^ncia, acrescentando-se um ramo por vez. Parte-se da matriz de
dimens~ao unit�aria e, atrav�es de modi�ca�c~oes sequenciais, obt�em-se a matriz do
sistema completo. Este procedimento exige a ordena�c~ao pr�evia das impeda^ncia
dos ramos, o que garante a conexidade da rede em qualquer fase da forma�c~ao
da matriz, evitando-se desta forma problemas de singualaridade das matrizes
parciais, durante o processo de constru�c~ao.
A forma�c~ao da matriz por este m�etodo tem rotinas distintas, conforme os tipos
de ramos a serem inclu��das na rede:
1. ramo que liga a barra de refere^ncia a uma nova barra;
2. ramo que liga uma barra j�a inclu��da na rede a uma nova barra;
3. ramo que liga duas barras j�a inclu��das na rede.
�
E interessante notar que os algoritmos para a forma�c~ao da matriz se baseiam
nos procedimentos citados no m�etodo anal�ogico.
� Inclus~ao da linha do tipo 1:
A Figura 43 mostra a inclus~ao da linha do tipo 1 e as Equa�c~oes (69) e (70)
s~ao os algoritmos.
Z
k;k
= z
0;k
(69)
Z
i;k
= Z
k;i
= 0 i 6= k (70)
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 50
0
1,0 pu
Rede parcial
1,0 pu
k
z0,k
Figura 43: Inclus~ao da linha do tipo 1
Rede parcial
0
p
q
zp,q
1,0 pu
1,0 pu
Figura 44: Inclus~ao da linha do tipo 2
� Inclus~ao da linha do tipo 2:
A Figura 44 mostra a inclus~ao da linha do tipo 2 e as Equa�c~oes (71), (72)
e (73) s~ao os algoritmos.
Z
q;q
= Z
p;p
+ z
p;q
(71)
Z
q;i
= Z
p;i
i 6= q (72)
Z
i;q
= Z
i;p
i 6= q (73)
� Inclus~ao da linha do tipo 3:
A Figura 45 mostra um sistema no qual se deseja incluir um ramo interli-
gando as barras p e q que j�a fazem parte da rede.2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 51
A inclus~ao do ramo do tipo 3 �e iniciada a partir do seguinte procedimento:
simula-se a inje�c~ao da corrente de 1,0 pu na barra p, a qual �e drenada pela
barra q. A Figura 46 ilustra esta etapa.
A representa�c~ao matricial �e dada na Equa�c~ao (74):
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;1
Z
1;2
::: Z
1;p
::: Z
1;q
::: Z
1;n
Z
2;1
Z
2;2
::: Z
2;p
::: Z
2;q
::: Z
2;n
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
p;p
::: Z
p;q
::: :::
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
q;p
::: Z
q;q
::: :::
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
n;p
::: Z
n;q
::: Z
n;n
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
:
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0
0
:
1; 0
:
�1; 0
:
0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;p
� Z
1;q
Z
2;p
� Z
2;q
:
Z
p;p
� Z
p;q
:
Z
q;p
� Z
q;q
:
Z
n;p
� Z
n;p
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(74)
ou
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;p
� Z
1;q
Z
2;p
� Z
2;q
:
Z
p;p
� Z
p;q
:
Z
q;p
� Z
q;q
:
Z
n;p
� Z
n;p
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
e
1
e
2
:
e
p
:
e
q
:
e
n
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(75)
A impeda^ncia equivalente entre as barras p e q pode ser obtida pela
Equa�c~ao (76).
Z
eq
=
(e
p
� e
q
)
1; 0
(76)
ou
Rede parcial
0
p q
Figura 45: Inclus~ao da linha do tipo 3
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 52
Rede parcial
0
p q
1,0 pu -1,0 pu
Figura 46: Inje�c~ao da corrente de 1,0 pu atrav�es das barras p e q
Z
eq
= Z
p;p
+ Z
q;q
� 2Z
p;q
(77)
Finalmente, a inclus~ao de um ramo entre as barras p e q, de impeda^ncia
z
p;q
�e simulada conforme ilustrada na Figura 47.
zp,q
eloop
Rede parcial
0
p q
loopi
Figura 47: Simula�c~ao da inclus~ao de um ramo fechando a malha atrav�es das barras p e q
A Figura 47 possibilita obter a Equa�c~ao (78).
e
loop
= (Z
eq
+ z
p;q
)i
loop
(78)
ou
e
loop
= (Z
p;p
+ Z
q;q
� 2Z
p;q
+ z
p;q
)i
loop
(79)
Finalmente,
Z
loop;loop
= Z
p;p
+ Z
q;q
� 2Z
p;q
+ z
p;q
(80)
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 53
Assim, apesar de n~ao ter havido acr�escimo de uma nova barra, a inclus~ao
do ramo do tipo 3 gera uma linha e uma coluna na matriz de impeda^ncia
parcial, conforme mostra a Equa�c~ao (81).
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;1
Z
1;2
::: Z
1;p
::: Z
1;q
::: Z
1;n
Z
1;loop
Z
2;1
Z
2;2
::: Z
2;p
::: Z
2;q
::: Z
2;n
Z
2;loop
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
p;p
::: Z
p;q
::: ::: Z
p;loop
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
q;p
::: Z
q;q
::: ::: :::
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
::: ::: ::: Z
n;p
::: Z
n;q
::: Z
n;n
Z
n;loop
Z
loop;1
Z
loop;2
::: Z
loop;p
::: Z
loop;q
::: Z
loop;n
Z
loop;loop
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(81)
A coluna e a linha n + 1 que surgem no processo de inclus~ao do ramo do
tipo 3 s~ao dadas pelas Equa�c~oes (82) e (83).
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;loop
Z
2;loop
:
Z
p;loop
:
Z
q;loop
:
Z
n;loop
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
1;p
� Z
1;q
Z
2;p
� Z
2;q
:
Z
p;p
� Z
p;q
:
Z
q;p
� Z
q;q
:
Z
n;p
� Z
n;q
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(82)
e
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
loop;1
Z
loop;2
:
Z
loop;p
:
Z
loop;q
:
Z
loop;n
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
T
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Z
p;1
� Z
q;1
Z
p;2
� Z
q;2
:
Z
p;p
� Z
q;p
:
Z
p;q
� Z
q;q
:
Z
p;n
� Z
q;n
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
T
(83)
Assim sendo, as Equa�c~oes (80), (82) e (83) s~ao os algoritmos utilizados
para a inclus~ao de um ramo do tipo 3.
Em seguida, a linha e a coluna s~ao descartadas pela redu�c~ao de Kron. Isso
implica que o efeito da inclus~ao do ramo do tipo 3 repercutir�a em todos
os elementos da matriz de impeda^ncias at�e ent~ao formados, conforme a
Equa�c~ao (84).
Z
0
i;j
= Z
i;j
�
(Z
i;p
� Z
i;q
)(Z
p;j
� Z
q;j
)
Z
p;p
+ Z
q;q
� 2Z
p;q
+ z
p;q
(84)
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 54
� An�alise de curto-circuito trif�asico pelo m�etodo digital
Na an�alise de curto-circuito s~ao calculadas as seguintes grandezas:
a. corrente de curto-circuito total na barra
b. tens~ao nas barras vizinhas
c. 
uxo de corrente nas linhas vizinhas
{ Corrente de curto-circuito total na barra
A corrente de curto-circuito na barra 5 �e calculada utilizando-se a Equa�c~ao
(85).
i
cc
5
=
�1; 0
Z
5;5
(85)
{ Tens~ao nas barras
O vetor corrente i �e dada pela Equa�c~ao 86:
i =
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
i
cc
5
3
7
7
7
7
7
7
5
(86)
Substituindo-se a Equa�c~ao 85 na Equa�c~ao 86 tem-se:
i =
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
�1;0
Z
5;5
3
7
7
7
7
7
7
5
(87)
Multiplicando-se a matriz Z
BARRA
pelo vetor corrente i (Equa�c~ao 67) tem-se
a Equa�c~ao 88:
v =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
�Z
1;5
Z
5;5
�Z
2;5
Z
5;5
�Z
3;5
Z
5;5
�Z
4;5
Z
5;5
�Z
5;5
Z
5;5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(88)
que pode se escrita na forma:
2 AN
�
ALISE DE CURTO-CIRCUITO 55
v
i
=
�Z
i;5
Z
5;5
i = 1; 2; ::::; 5 (89)
Segundo a Equa�c~ao 65, o per�l real da tens~ao nas barras ser�a:
v
r
i
= 1; 0�
Z
i;5
Z
5;5
i = 1; 2; ::::; 5 (90)
{ Fluxo de corrente nas linhas
Seja uma linha p-q, do sistema-exemplo. O 
uxo de corrente nesta linha �e
calculada pela Equa�c~ao 91:
i
p;q
=
v
r
p
� v
r
q
z
p;q
(91)
Substituindo-se as tens~oes nas barras p e q na Equa�c~ao 91, pelos valores dis-
pon��veis na Equa�c~ao 90 tem-se:
i
p;q
= (
Z
q;5
� Z
p;5
Z
5;5
)(
1; 0
z
p;q
) (92)
Observando as Equa�c~oes 85, 90 e 92 pode-se concluir que todos os c�alculos
podem ser obtidos diretamente dos elementos da matriz Z
BARRA
.
2.4 An�alise de Sistema Trif�asico Desequilibrado
Um sistema trif�asico equilibrado se caracteriza pelas tens~oes e correntes em completa
simetria, isto �e, cada conjunto de grandezas �e composto por tre^s