exp logs rec 2017 1 ano csa(1)

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QUESTÕES - GABARITO 
 
1. (UFRJ) Dados a e b números reais positivos, b1 ≠0, define-se logaritmo de a na base b como o 
número real x tal que bx = a, ou seja, alogx b= . Para α ≠ 1, um número 
real positivo, a tabela ao lado fornece valores aproximados para αx e α -x. 
Com base nesta tabela, determine uma boa aproximação para: 
a) O valor de α; b) o valor de 
10
1logα . 
Solução. Observando a tabela e seus valores, temos: 
 
a) Para x = 2, vem: 5,225,625,62 =α⇒=α⇒=α . 
 
b) O valor da 7ª linha e 3ª coluna é 0,101. Isto é 101,05,2 =α− . 
 
Como 1,0
10
1
= a aproximação seria: 5,2
10
1log1,05,2 −=⇒=α α
− . 
 
2. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após 
a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função: 
( )455 xlog)x(f 3= . 
 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no 
ambiente será igual a: 
 
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400 
 
Solução. O valor pedido é encontrado calculando f(5). 
 
( ) ( )
( ) ( ) 3
4
3.45log.45log)5(fxlog)x(f)ii
4
3y1
3
y455555.55555y5log)i
333
3
55
4
55
4
55
3
y4
y
3
4y
3
1
y3
55
====⇒=
=⇒=⇒=⇒⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒=⇒=
 
 
O número será 3 centenas = 300 indivíduos. 
 
3. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num 
ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: 
ct
0 e.kTT
−+= . Nesta relação, T é 
medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi 
colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara 
contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos 
depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. 
 
Solução. Utilizando as condições iniciais com T0 = 20°C, encontramos as constantes k e c: 
 
( )
t
c3
1c3
c
3
c
3
c
ct
)0(c
ct
64
1.8020T
64
1e
4
1e
80
20ee.8020e.802040
C40T
h
3
1min20t
e.8020T
)ii
80kk20100e.k20100
C100T
0t
e.k20T
)i
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+°=⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
°=
==
+°=
=⇒+=⇒+=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
°=
=
+°=
−−
−−−
−
−
−
 
 
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. 
Utilizando a expressão encontrada e sabendo que 50 minutos valem 5/6 da hora, temos: 
 
 
5,º225,220
2
520
32
8020
2
18020
2
18020
64
1.8020T 5
6
5
6
6
5
=+=+=+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= . 
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara 
ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 
 
Se inicialmente a temperatura estava em 100°C, o tempo aproximado será calculado para que 
a temperatura atinja 50°C. 
 
( )
utosmin15
7
100
21
min)60(5)h(
21
5
42
10
2,4
0,1
2,4
1,21,1
)7,0(60
)7,0(31,1
2ln61ln
2ln33ln
64ln1ln
8ln3lnt
64
1ln
8
3ln
8
3log
64
1
64
1e
8
3e
8
3e30e80e.802050
50T
e.8020T
64
1
t
c
tc
ctctct
ct
≅====
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇒==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⇒=⇒=⇒+=⇒
⎩
⎨
⎧
=
+=
−
−
−−−
−
. 
 
4. Utilize a definição e o gráfico abaixo para responder à questão: 
 
Meia-vida ou período de semidesintegração de um isótopo radioativo é o tempo necessário 
para que sua massa se reduza à metade. 
 
A meia-vida de um isótopo radioativo pode ser calculada utilizando-se 
equações do tipo A = C.ekt, em que: 
C é a massa inicial; 
A é a massa existente em t anos; 
k é uma constante associada ao isótopo radioativo. 
 
Em um laboratório, existem 60mg de 226Ra, cujo período de 
semidesintegração é de 1600 anos. Daqui a 100 anos restará, da quantidade 
original desse isótopo, o correspondente, em mg, a: 
 
a) 40,2 b) 42,6 c) 50,2 d) 57,6 
 
 
Solução. Observando o gráfico, temos: 
96,0e043,096,0log)ii
2e693,02log)i
043,0
e
693,0
e
=⇒−=
=⇒=
−
 
 
O tempo para que o 226Ra tenha sua massa inicial de 60mg reduzida a metade, 30mg, é 1600 
anos. Substituindo na equação indicada, temos: 
 
 
( )
6,57)96,0.(60e.60e.60A:)anos100()ii
00043,0
1600
693,0k693,0k1600
ee2e
2
1ee.6030
1600t
30A
60C
)i
)043,0(100).00043,0(
1693,0k.16001k.1600k.1600k.1600
====
−≅−=⇒−=⇒
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−−
−−
 
 
5. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos, quando se aperta a tecla LOG, aparece no 
visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no 
visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla 
LOG para que no visor apareça ERRO pela primeira vez é: 
 
a) duas vezes b) três vezes c) quatro vezes d) cinco vezes e) oito 
vezes 
 
 
Solução. O número 42 bilhões pode ser escrito como 42x109. Apertando a tecla LOG uma vez 
será feita a operação: ( ) 942log)1.(942log10log.942log1042log 9 +=+=+=× . 
 
Como Log(100) = 2, temos que Log(42) < 2. Logo, Log(42) + 9 < 11. Como Log(10) = 1, 
apertando a tecla pela 2ª vez, temos Log(11) = 1 < N < 2. É possível apertar a tecla pela 3ª vez. 
Como Log(1) = 0, o Log(N) mostrará resultado será N’ tal que 0 < N’ < 1. O Logaritmo de 
número entre 0 e 1 é negativo. Logo, apertando a tecla pela 4ª vez aparecerá um número 
negativo. Na 5ª vez aparecerá ERRO. 
 
 
6. (CN) Qual o número de algarismos de 22000? E de 321000? 
 
Solução. Considerando x = 22000 e calculando o logaritmo, temos: 
log x = 2000.log 2 = 2000.(0,301) = 602,0000 e, como a parte inteira do logaritmo decimal de x = 
22000 é igual a 602, o número x possui 602 + 1 = 603 algarismos. 
 
No caso de 321000, escrevemos 32 = 25. Temos: log(25)1000 = 5000.log2 = 500.(0,301) = 1505. 
Logo o número terá 1505 + 1 = 1506 algarismos. 
7. (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. 
A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas 
taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. 
 
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, 
calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. 
Solução. Considere 10N e N as populações que vivem nos subúrbios e nas favelas, 
respectivamente. 
 
Temos: 
( ) .pessoas12650001065,12)15,1(,1011:ano1aDaqui
1011:População
15,0taxa
:Favelas
10110:Subúrbios
1011:Favelas
11
10121N10121N11101,12NN10
55
5
5
55
56
=×=×⇒
⎩
⎨
⎧
×
=
⎩
⎨
⎧
×
×
⇒
×
=⇒×=⇒×=+
. 
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se 
xlog
1t = , determine o valor de x. 
Solução. Igualando as quantidades após t anos, temos: 
 
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) 02,1
15,1x
xlog
1t
02,1
15,1log
1t
02,1
15,1log
10log10logt10
02,1
15,110
02,1
15,115,102,1.10
15,1.101102,1.10110
02,1.10110:Subúrbios
15,1.1011:Favelas
anostApós
02,1
15,1
t
t
t
tt
t5t5
t5
t5
=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒==⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒=⇒=⇒
⇒×=×⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
×
×
. 
 
8. (UERJ)Um pesquisador, interessado em estudar uma determinada espécie de cobras, verificou 
que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de 
seus comprimentos L, em metros, ou seja, M = a x L3, em que a é uma constante positiva. Observe 
os gráficos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aquele que melhor representa Mlog em função de Llog é o indicado pelo número: 
 
a) I b) II c) III d) IV 
 
Solução. Aplicando o logaritmo em ambos os membros, vem: 
 
( )
AfimFunçãobx3y
xLlog
btetanconsalog
yMlog
Llog3alogMlog
LlogalogMlogLalogMlog 33
→+=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
==
=
→+=⇒
⇒+=⇒×=
. 
 
O gráfico da função afim crescente (3 > 0) representado é o III. 
 
9. (UFRJ) Seja f: ]0, ∞[ → IR dada por xlog)x(f 3= .Sabendo que os pontos (a, - β), (b, 0), (c, 2) e 
(d, β) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. 
 
Solução. Observando as ordenadas e as abscissas indicadas, temos: 
 
11191391adcb
3.391adcb
3ddlog)iv
93c2clog)iii
1b0blog)ii
3aalog)i
0
3
2
3
3
3
=++=++=++
⇒++=++⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇒β=
==⇒=
=⇒=
=⇒β−=
ββ−
β
β−
. 
 
10. (UERJ) Durante um período de 8 horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se 
reduz a cada hora, do seguinte modo: 
- Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior. 
- Nas (8 - t) horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas da hora anterior. 
 
Calcule: 
 
Solução. Nas t horas iniciais, temos: 
( )t8t,8,0.Q)t(f
8,0.Q)2,01.(Q8,0)Q8,0.(2,0Q8,02t
Q.8,0Q.2,0Q1t
.Q0t
t
2
−≤=
=−=−⇒=
=−⇒=
⇒=
. 
 
Nas (8 – t) horas restantes, temos: ( ) )t8(t,8,0.Q.)9,0()t(f tt8 −>= − . 
 
a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t 
= 2. 
 
Utilizando a 1ª expressão de f(t), temos: ( ) )64,0.(Q8,0.Q)2(f 2 == . Logo, resta 64%. 
 
b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de 8 horas, há na barraca, 32% das frutas que 
havia inicialmente. (Considere log2=0,30 e log3=0,48). 
 
Solução. Ao final do período, utilizamos a 2ª expressão para f(t): 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )
3
06,0
18,0
06,0
68,75,7
96,09,0
)48,0.(16825,1
)48,0.(2)3,0.(3
3log).2.(8)1.(8)1(2)3,0(5t
3log22log.3
3log10log810log.22log5
3log2log
9
10log
100
2log
9
8log
9
10.32,0log
9
10.32,0logt
9
10.32,0
9
8
9
10
32,0
9,0
8,0
)9,0(
32,08,0)9,0(32,08,0.)9,0.()9,0(
32,08,0.)9,0(Q32,08,0.Q.)9,0(
Q.32,0)t(f
8,0.Q.)9,0()t(f
2
23
858
8
9
8
8t
81
t
8
t1tt8
tt8tt8
tt8
=
−
−
=
−
−
=
−
−+−
=
−
−+−
=⇒
⇒
−
−+−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒=⇒=⇒
⇒=⇒=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
−
−−
−−
−
 
 
11. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende 
do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da 
contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi 
estimado em 2%. 
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco 
de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para 
que o risco de infecção se torne igual a 
0,2%, é de: 
 
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 
 
 
 
Solução. Substituindo os valores indicados, temos: t.1,00 e.02,0R
1,0%10k
02,0%2R −=⇒
⎩
⎨
⎧
==
==
. 
 
Calculando o tempo para R = 0,2% = 0,002, temos: 
 
( ) 23
1,0
3,2t3,2t1,0eeee10e:Tabela
10e
10.2
10.2ee.10.210.2e.02,0002,0
3,2t.1,013,2t.1,03,2
1t.1,0
2
3
t.1,0t.1,023t.1,0
=
−
−
=⇒−=−⇒=⇒=⇒=
⇒=⇒=⇒=⇒=
−−−−
−−
−
−
−−−−−
. 
 
12. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de 
luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação 40
h
0 8,0.II = na qual I é a intensidade da luz em 
uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao 
mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na 
superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: 
 
a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 
 
 
Solução. A intensidade da luz será I = 0,32.I0 no ponto P. Substituindo esse valor na 
expressão, temos: 
 
( ) m0,2cm200)5)(40(h5
1,0
5,0
19,0
25,1
1)3,0(3
23,05
10log2log
10log2log
10log8log
100log32log
40
h
10
8log
100
32log
8,0log
32,0log32,0log
40
h32,08,08,0.II.32,0
I.32,0I
8,0.II:PPonto
3
25
8,0
40
h
40
h
00
0
40
h
0
===⇒=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇒===⇒=⇒=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
 
 
 
13. (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados log3 = 
0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
 
a) 37 b) 47 c) 57 d) 67 
 
Solução. Se a população P cresce 3% ao ano, então em t anos ela será de PFinal =P.(1 + 0,03)t. 
 
3769,36
13
477
013,0
477,0
2013,2
477,0t
100log103log
477,0
100
103log
3log3logt)03,1(3)03,1(PP3
)03,01(PP
P3P
03,1
tt
t
Final
Final
→===
−
=⇒
⇒
−
===⇒=⇒=⇒
⎩
⎨
⎧
+=
=
. 
 
14. (UERJ) A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma 
amostra de polpa de laranja apresenta 3,2pH = . Considerando 3,02log = , a concentração de íons 
hidrogênio nessa amostra, em mol.L-1, equivale a: 
 
a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005 d) 0,007 
Solução. Utilizando a definição do pH, temos: 
 
( )
005,0)5,0).(01,0(10.1010H3,2Hlog3,2Hlog
3,2pH
Hlogph
5,0
2
1101021023,02log)i
3,023,2
3,013,013,0
====⇒−=⇒=−⇒
⎩
⎨
⎧
=
−=
==⇒=⇒=⇒=
−−−
−−−
. 
 
15. (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40cm de 
comprimento, 25cm de largura e 20cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, 
cada uma com volume igual a 0,5cm³. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, 
duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. 
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. 
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas 
seja maior do que o volume do recipiente é: 
 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 
 
Solução. O volume do paralelepípedo é V = (40).(25).(20) = 20000cm3. O total das esferas será a 
soma (1 + 2 + 4 + ...) de uma progressão geométrica de razão 2. Seja S essa soma. 
 
Temos: 
161510610565
nnn
n
nn
1
24000122.2400012.21000.2400011000.2640004000032000)i
4000124000124000012
40000S
5,0
20000S200005,0.S
12
12
)12(1
1q
)1q(a
S
<<⇒<<⇒<<⇒<<
>⇒>⇒>−⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>⇒>⇒>−=
−
−
=
−
−
=
 
 
Logo, o menor de valor de n é 16. 
 
16. (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, 
atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a 
seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: 	
 
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que 
a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 
 
Solução. Considerando Ti o nível inicial de toxidez, conclui-se que T0 = 10Ti. Substituindo os 
valores na equação, temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
3,33
3
100x
3
10
10
x
3,0
1
10
x
3,00
10
10
x
2log1log
10log1logx1,0
2
1log
10
1log
x1,0
10
1logx1,05,0
10
15,0.T
10
T
5,0.TT
T)x(T
5,0.T)x(T
10
T
TT.10T
5,0
x1,0x1,0
0
0x1,0
0i
i
x1,0
0
0
ii0
≅=⇒=⇒=⇒
−
−
=⇒
−
−
=⇒=⇒
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=⇒= .	
	
OBS: O valor mínimo será 34, pois 33 dias não serão suficientes para retornar ao nível inicial. 
 
17. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode 
ser representado por uma função exponencial do tipo xb.a)x(f = , conforme o gráfico abaixo. 
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 
Solução. Há dois pontos marcados no gráfico. Identificando-os com os valores assumidos na 
função, temos: 
( )
( )
2
1b2b
2
1
960.10
75b
b.960
10
75b.9605,75,7)7(f)ii
960a9601.ab.a960960)0(f)i
717
7
7
77
0
=⇒=⇒==
⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
−
. 
 
 
Calculando f(4), temos: 60
16
1.960
2
1.960)4(
4
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=f . 
 
18. (UFSCAR) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, calcule o valor 
de f(n). 
 
Solução. De acordo com o gráfico os pontos marcados possuem as seguintes coordenadas: 
 
A(0, 22n); B(0, 2n) e C(n, 2n). Calculando a área e igualando ao valor informado, temos: 
 
3)n(f
2)n(f
32
impossível02
2
51y
3
2
51y
2
251y
)1(2
)6)(1(4)²1()1(
y06y²y
²y2
y2
622
n3
2
)22).(n(
n3Área
2
)22).(n(
2
)BA).(BC(Área
n
n
n2
n
nn2
nn2
nn2
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
→<−=
−
=
=
+
=
⇒
±
=⇒
⇒
−−−±−−
=⇒=−−⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
→=−
⇒=
−
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−−
=
. 
 
19. A seguir temos uma pequena tabela de logaritmos na base m: 
 
a) Calcule 200logm ; 
Solução. Utilizando a propriedade do logaritmo, temos: 
 
292,3861,1431,120log10log)20x10(log200log mmmm =+=+== . 
 
b) Calcule o valor de m. 
 
Solução. Observando os valores de x = 10 e x = 50, temos: 
 
5m5m15log1
10
50log431,1431,210log50log 1mmmm =⇒=⇒=⇒=⇒−=− .