Cola para prova 2

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Princípios fundamentais: Um bom experimento é aquele que de forma eficiente traz a tona informações precisas que permitem verificar as hipóteses formuladas. Há quatro princípios fundamentais a serem observados: 1. Aleatorização (assegura que as respostas estarão livres de qualquer viés. Quando não empregada, corre-se o risco de coletar dados viciados, que podem falsear a análise de algum fator). 2. Repetições (fornecem uma base para o cálculo do erro experimental, o qual, por sua vez, fornece uma base para o julgamento da significância do efeito dos diversos fatores). 3. Controle local (se refere a execução de experimentos divididos em blocos equilibrados de ensaio. O objetivo dos blocos é tornar o experimento mais eficiente e mais prático). 4. Trabalho em equipe (Conhecimentos mercadológicos, técnicos e estatísticos).
Análise de Variância: metodologia estatística que avalia a significância dos diversos fatores e interações. Suposições básicas para validar a análise de variância: 1 Distribuição normal dos dados. 2Homogeneidade das variâncias (em cada tratamento ou grupo) - aleatoriedade dos erros. 3 Aditividade dos efeitos.4 Independência estatística dos valores observados (sem correlação). Obs: Se as suposições de normalidade e homogeneidade não forem satisfeitas, o resultado da análise de variância deixa de ser exato, e passa a ser aproximado. Em raras situações a suposição de aditividade dos efeitos não é satisfeita. Nesse caso, uma transformação dos dados (log, √, etc.) pode recuperar a aditividade e permitir uma análise mais precisa. A independência estatística dos valores observados é obtida com o uso da aleatorização.
One-WayANOVA: Experimentos que envolvem: 1 Variável de Resposta, 1 Fator Controlável a vários níveis e Os ensaios feitos em cada nível do fator controlável configuram um grupo. Objetivo é identificar se os valores da variável de resposta medidos nos diversos níveis diferem entre si. 2 TIPOS DE EXPERIMENTOS: 1Fatores Controláveis a níveis fixos (É possível repetir o ensaio tempos depois, basta utilizar os níveis dos FC escolhidos) 2Fatores Controláveis a níveis aleatórios (Nunca mais será possível ter os mesmos fatores controláveis). Formulação matemática da One-WayANOVA: yij=µ+τj+εij - µ é a média geral; τj é o efeito do grupo j; εij é um erro aleatório. Hipóteses: H0: τ=0 / H1: τj≠0 ∀j Objetivo: Rejeitar H0 a um nível de significância α Ou seja, se p observado for menor que α, o erro incorrido de rejeitar H0 (sendo este verdadeiro) em favor de H1, é muito pequeno.
Se todas as combinações de níveis dos fatores são investigadas, então se tem um projeto fatorial. Projetos fatoriais (Se todas as combinações de níveis dos fatores são investigadas, então tem-se um projeto fatorial.): É aquele no qual para cada réplica completa do experimento, todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores são pesquisadas. Cada uma das possíveis combinações de níveis é chamada de “Tratamento”. 
O efeito de um fator é definido como a mudança que aparece na resposta quando muda-se o nível deste fator. Assim, Efeito de A = (40+52)/2 – (20+30)/2 = 21 Isto é, passando do nível A1 para o nível A2 há uma mudança média na resposta de 21 unidades. Similarmente, Efeito de B = (30+52)/2 – (40+20)/2 = 11 Em alguns experimentos a diferença na resposta observada quando se modifica os níveis de um dos fatores irá depender do nível do outro fator, nesse caso, diz-se que há uma interação entre A e B. Por exemplo, como forma de ilustrar do caso de antes:
Os gráficos de dois fatores são úteis para esclarecer a natureza da interação.Quando a interação é forte, os efeitos principais têm pouco interesse prático, por exemplo, para esses dados:Efeito A = (50+12)/2 – (20+40)/2 = 1 O fator A tem um efeito pequeno? Errado!O fator A tem um efeito pronunciado, mas esse efeito depende do nível do fator B: Em B1 Efeito de A = 50 - 20 = 30 Em B2 Efeito de A = 12 - 40 = -28, Fatoriais cruzados são mais econômicos; Fatoriais cruzados permitem que se avaliem interações. Two-wayAnova: Os experimentos fatoriais mais simples envolvem dois fatores;Fator om "a" níveis e Fator B com "b" níveis.Cada repetição completa do experimento envolve "ab" ensaios. 
Comparação múltipla de médias (CMM): Se há efeitos significativos, em geral procede-se uma CMM.
Observações para CMM two-way ANOVA: 1 Se apenas os fatores puros são significativos: CMM para cada fator individualmente, Usar gráfico de barras. 2 Se a interação é significativa (independentemente se os fatores puros são ou não significativos): CMM somente para a interação, As comparações devem ser feitas fixando-se um nível de um dos fatores e comparando as médias dos níveis do outro fator. Usar gráfico de linhas
Pode-se investigar se há DS entre as médias obtidas com os três tipos de materiais para a Temperatura de 65
°C Fator fixo: Temperatura Nível fixo do fator: 65°C Análise nos níveis do fator Material
Projetos em Blocos Aleatorizados: Nesse tipo de projeto, impõe-se que cada marca apareça um mesmo número de vezes em cada “carro”. (fazer one two anova) SQT = SQC + SQM + SQR. Quadrados Latinos: Nesse exemplo, poderia se suspeitar também de um possível efeito da posição sobre o desgaste dos pneus. • Pneus dianteiros e traseiros, e mesmo neus localizados em lados distintos de um mesmo carro, podem apresentar desgastes diferentes.• No projeto em blocos aleatorizados as 4 marcas de pneus são distribuídas em um carro sem considerar a posição. • Um projeto onde cada tratamento (posição) aparece uma e somente uma vez em cada linha (carro) e em cada coluna (marca) é chamado de Quadrado. 
SQT = SQC + SQM + SQP + SQR, (N - 1) = (a - 1) + (a - 1) + (a - 1) + (N - 3a + 2)
Teste de hipóteses: A hipótese principal que queremos testar continua sendo em relação às marcas de pneu.
Assim, a SQT, a SQM e a SQC continuam as mesmas. Mas é preciso calcular:
• SQP = (442 + 492 + 512 + 492)/4 - 2328,06 = 6,69
• SQR = SQT - SQM - SQC - SQP = 4,87
• SQR = 80,94 – 30,69 – 38,69 - 6,69 = 4,87Mas neste projeto também podemos testar se há diferenças entre os carros ou entre as posições.
Pode ser observado que a SQR diminuiu porque foi extraído o efeito das posições. Assim, o projeto com Quadrado Latino reduz ainda mais a variância residual.
Sobre o quadrado latino:
Observamos que o Quadrado Latino não considera interações entre os fatores. • Ele não deve ser usado quando se suspeita de interações significativas. Ele aproveita a interação para estudar um terceiro fator. • Quando deseja-se estudar a interação o indicado seria um projeto fatorial cruzado com repetição. • A vantagem do Quadrado Latino é que se trata de um experimento que exige poucos ensaios, e isso representa economia de tempo e dinheiro.
Quadrados Greco-latinos: Os Quadrados Greco-Latinos são projetos a x a que permitem analisar quatro fatores cada um deles com “a ” níveis. Para obter um quadrado Greco-Latino é preciso superpor dois Quadrados Latinos que sejam ortogonais entre si. EX. Um engenheiro está medindo o ganho em um processo químico. Os fatores principais são: - concentração de ácido (1, 2, 3, 4, 5), - concentração de catalisador (, , , , ) e - tempo de espera (A, B, C, D, E). Para efetuar todos os ensaios, é necessário usar 5 lotes de matéria prima (I, II, III, IV, V). Como pode ser visto, há dois Quadrados Latinos superpostos. Um deles escrito nas letras A,...,E e o outro escrito nas letras ,...,. O resultado é um quadrado Greco-Latino, e será possível avaliar o efeito de todos os fatores listados.
TC = 4302/25 = 7396 
•SQTot = (yij2)-TC = 7832 - 7396 = 436,0
•SQA = [(892 + ...) / 5] - TC = 24,4
•SQC = [(832 + ...) / 5] - TC = 12,0
•SQTemp = [(1182 + ...) / 5] - TC = 342,8
•SQL = [(902 + ...) / 5] - TC = 10,0
•SQR = SQTot - SQA - SQC - SQTemp- SQL= 46,8
GDL (resíduo) = (N-4.a+3) ou (a-3).(a-1)
A um nível de significância de 5% apenas o Tempo de Espera aparece como efeito significativo.
Projetos fatoriais do tipo 2k: K Fatores, cada um deles a apenas doisníveis: alto ou baixo. O níveis podem ser:
•Quantitativos: dois valores de resistência, dois tempos de cozimento, duas concentrações de reagentes, etc.
•Qualitativos: dois “layouts”, duas máquinas de corte, a presença ou ausência de um componente, etc.
Esse projeto é chamado 2k porque para rodá-lo (uma repetição completa) são necessárias: N= 2 x 2 x 2x.....= 2k= 8
Suposições: •Os fatores são a níveis fixos,
•Os projetos são completamente aleatorizados e
•As hipóteses de normalidade são satisfeitas.
Vantagens dos projetos 2k: •Simples de serem analisados•Especialmente úteis nos estágios iniciais de pesquisa•Quando há muitos fatores a serem investigados•Onde outros projetos seriam inviáveis
Projetos 2² :
Cálculo dos efeitos
O efeito de um fator é definido como a mudança que se verifica na resposta quando o nível desse 
fator é alterado. Assim:
A = [(ab + a) - (b + (1))] / (2k-1x n)
B = [(ab + b) - (a + (1))] / (2k-1x n)
AB = [(ab + (1)) - (a + b)] / (2k-1x n)
As letras minúsculas (1), a, b, ab representam o total de todas as “n” repetições obtido para o correspondente tratamento.
Para esse exemplo de resistência da argamassa, os 
efeitos médios resultam:
A = [59 + 54 - 48 – 36] / (2 x 3) = 4,83
B = [59 +48 - 54 – 36] / (2 x 3) = 2,83
AB = [59 + 36 - 54 – 48] / (2 x 3) = -1,16
Nas fórmulas dos efeitos, as expressões entre colchetes são chamadas de “Contrastes”, •ContrasteA= CA= ab + a - b - (1) •ContrasteB= CB= ab + b - a - (1) •ContrasteAB= CAB= ab + (1) - a – b
Os contrastes são ortogonais:
•As somas dos sinais coef. de ab, a, b e (1) é igual a zero.
•A soma dos produtos dos sinais dos coeficientes (CA. CB, etc.) é igual a zero.
•SQA = [ab + a - b - (1)]2/ (2kx n)= (59 + 54 - 48 - 36)2/ 12 = 70,08
 •SQB = [ab + 1)]2/ (2kx n)= (59 + 48 - 54 – 36)2/ 12 = 4,08 •SQAB = [ab + (1) - a )2/ (2kx n)= (59 + 36 - 54 - 48)2/ 12 = 4,08
2³:
Propriedades da Tabela de Sinais: 1. Exceto para a coluna I, cada coluna tem o mesmo número de sinais positivos e negativos. 2. A soma dos produtos de sinais de quaisquer duas colunas é zero. 3. A multiplicação da coluna I por qualquer outra coluna mantém esta inalterada. (I é o elemento identidade). 4. O produto de quaisquer duas colunas resulta uma outra coluna da tabela. Por exemplo:A x B = AB
O projeto 2k sem repetições Quando há vários fatores a serem estudados, o número total de tratamentos (2k) cresce rapidamente. Um projeto 25 envolve 32 tratamentos,um 26 envolve 64, e assim por diante. Com freqüência: •Recursos limitados •Tempo limitado→Rodar apenas uma repetição. Se não há repetições de experimento, isto é, se n = 1, não podemos estimar o SQR de modo independente. Alternativa: Contudo, se há motivos para acreditar que 
um efeito de interação não seja significativo, o teste F resulta aproximadamente 1. F= MQG/MQR≅1. Assim, o MQG dessa interação será aproximadamente igual a variância do erro experimental MQR, logo usa-se o valor do MQG 
do efeito de interação como estimativa do MQR. Para escolher as interações para formar o termo de erro: Usar bom-senso Interações de três ou mais fatores raramente são significativas Usar conhecimentos técnicos. Exemplo de Aditivo x Operadores
Seis Sigma: Empresas procuram oferecer produtos de altaqualidade.A excelênciaem qualidade é o motivo do sucesso de inúmeras empresas.Uma empresa operando livre de errose dentro do cronograma.Uma carta que leva apenas um diapara chegar de um ponto a outro.Uma companhia de seguros que paga o sinistro em apenas alguns dias.Um aeroporto que nunca perde uma bagagem. Para atingir a excelência exigida pelo mercado atual, é necessário que as empresas definam os padrões de qualidadea serem alcançados e sustentados. Esta é uma necessidade imediata pois reduz:Defeitos.Retrabalho.Reclamações.Tempo de operação. Custos. A competitividade faz com que as empresas Reduzam custose,Mantenham ou ampliem os níveisde qualidade. Uma empresa altamente competitiva:Garante sua permanênciano mercado.Mantém seus clientes satisfeitos.Conquistanovos clientes.Aumenta os lucrosempresariais.