Complementos de Fisíca

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Unidade I 
 
 
 
COMPLEMENTOS DE FÍSICA 
 
 
 
Prof. Francisco Sevegnani 
 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
1. Oscilação 
 Oscilação significa avanço e retrocesso que se alternam. 
 O processo pode ser periódico ou não. 
 Vibração: oscilação mecânica rápida. 
 Fenômenos oscilatórios ocorrem incessantemente. 
 Estão presentes em quase todos os processos na Ciência e na 
técnica. 
 O conhecimento de oscilações está na base de estudo de 
ondas. 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
1. Oscilação 
 Exemplos de osciladores. 
 Pêndulo de mola. 
 Pêndulo simples. 
 Pêndulo composto. 
 Tensão alternada em rede elétrica. 
 Corrente alternada em rede elétrica. 
 Pistão em motor à explosão. 
 Elétrons em antenas. 
 Átomos em moléculas. 
 Cordas de violino. 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
1. Oscilação 
 Os fenômenos oscilatórios, em suas múltiplas modalidades e 
manifestações, é um campo extenso e complexo. 
Nesse texto examinaremos somente os casos típicos 
mais simples, a saber: 
 Oscilações livres sem amortecimento. 
 Movimento amortecido. 
 A oscilação só pode existir em equilíbrio estável. 
 Estando o sistema em posição genérica, fora do equilíbrio, age 
necessariamente uma “força de restituição”, como diz o nome, é 
uma força que age no sentido de reconduzir o sistema à 
configuração de equilíbrio estável. 
 No caso mais simples, a força de restituição é força elástica. 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
1. Oscilação 
 Para fixar ideias, admitamos que a oscilação seja vertical, eixo 
Oy descendente. 
As forças que intervêm em sistemas oscilantes são: 
Força peso: 
 Sendo m a massa do corpo oscilante; g, a aceleração da 
gravidade. A força peso é conservativa. 
Força elástica: 
 Sendo k a constante elástica da mola; y, a deformação da mola. 
 A força elástica é conservativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
jykFelastica

−=
jgmgmP

==
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
1. Introdução 
Força viscosa: 
 Sendo c o coeficiente de resistência viscosa e v a velocidade. 
 Essa força resulta de processo dissipador de energia 
mecânica. 
 Dispositivo construído para exercer força viscosa é chamado 
de amortecedor. 
Força resultante: 
 Equivale à soma vetorial de todas as forças exercidas na 
partícula oscilante. Em oscilação unidimensional segundo o 
eixo Oy, essa força pode ser apresentada como: 
jvcF avis

−=cos
jamFresult

=.
jÿmFouj
td
ydmF resultresult

== .2
2
.
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
2. Energia em sistemas oscilantes 
 Uma partícula de massa m, com velocidade v, possui energia 
cinética , força elástica 
que confere ao corpo uma energia potencial elástica 
 
 O incremento de energia cinética do sistema equivale ao 
trabalho resultante de todas as forças atuantes, ou seja 
 
 Ou de forma equivalente, o incremento de energia mecânica 
do sistema é igual ao trabalho resultante da força 
2
2
1 vmEcinética = jykF

−=
2
2
1 ykEp =
)(tan TECcinéticaenergiadateoremaEcinéticateresul =∆=τ
)( TEMmecânicaenergiadateoremaEmecânicaasdissipativforças =∆=τ
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 O sistema mecânico oscilatório mais simples é formado por 
um corpo de massa m e uma mola de constante elástica k. 
 A mola tem uma extremidade fixa e em sua outra extremidade 
fixa-se o corpo. 
 Um operador externo transfere energia ao sistema que passa a 
oscilar em um campo gravitacional uniforme de intensidade g. 
 Na análise do movimento do corpo, que será feita a seguir, não 
será considerada a massa da mola. 
 Será considerado que o sistema está imerso em um ambiente 
sem o ar atmosférico (vácuo). 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 
 As forças que atuam no corpo serão somente duas, a força 
peso exercida pela Terra e a força elástica exercida pela mola. 
 
 A força da mola segue a Lei de Hooke expressa por: 
 
 
 Sendo que representa sua deformação. 
molamola ykF =
molay
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 – mola de constante elástica k, sujeita a uma 
deformação que é definida pelo peso. 
0LLymola −=
0LLymola −=
Fonte: livro-texto 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 – na posição I, a mola está no seu comprimento 
natural. Na posição II, o corpo está na sua posição de 
equilíbrio. Na posição III, o corpo está em movimento 
fora da sua posição de equilíbrio. 
Fonte: livro-texto 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 A posição do corpo y tem como origem a posição onde 
as forças da mola e força peso se anulam. 
 Aplicando a Segunda Lei de Newton: 
)( yykyk
gmyk
td
ydv
td
vdmykmg
emola
e
mola
+=
=⇒=
=−
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
0
)(:0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
=+
=+
=−
=−−
y
m
k
td
yd
myk
td
ydm
td
ydmyk
td
ydmykykgm e
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 A equação anterior é conhecida como equação diferencial do 
 movimento harmônico simples (MHS). 
 Faz-se 
 
 A solução dessa equação diferencial segue a lei: 
 
 
 A equação da velocidade é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(cos θω += tyy m
0, 22
2
2 =+=⇒= y
td
yd
m
k
m
k
ωωω
)( θωω +−== tseny
td
ydv m
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 
 A equação da aceleração é: 
 
 
 
 
 Supondo conhecidas as condições iniciais do movimento 
y(0) e v(0), ficam definidas a amplitude ym e a fase inicial θ. 
yty
td
vda m
22 )(cos ωθωω −=+−==
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 Na figura a seguir apresentamos os gráficos da posição, 
velocidade e aceleração em função do tempo no MHS. 
Fonte: livro-texto 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
Uma partícula executa movimento harmônico simples segundo 
a equação horária: . Calcular: 
 
a) A amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a 
frequência. 
b) A posição, a velocidade e a aceleração para t = 8s. 
c) A aceleração para y = 3 m. 
 Solução 
a) 
 
)()
34
(cos4 SIty ππ +=
HzfsT
radsradmym
8
1,8
4
22
,
3
,/
4
,4
====
===
π
π
ω
π
π
θ
π
ω
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
Solução 
b) 
 
2
2
/23,1)
3
8
4
(cos46,2
/72,2
)
3
8.
4
()
34
(8
)
34
(cos46,2
)
34
(cos
4
)
34
(cos
4
.
)
34
()
34
(
4
.4
sma
smv
sentsenvstPara
ta
tt
td
vda
tsentsen
td
ydv
−=+−=
−=
+−=+−=⇒=
+−=
+−=+−==
+−=+−==
ππ
ππ
π
ππ
π
ππ
ππππππ
π
ππ
π
πππ
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Oscilação livre sem amortecimento 
 
 Solução 
c) 
 
 
 
222 /85,13.)
4
( smya −=−=−= πω
 
 Interatividade 
 
Um corpo executa movimento oscilatório periódico segundoa 
equação horária: y = 2 cos (2 π t + π/3) (m). A posição do móvel 
no instante t = 2 s vale: 
 
a) y = 2 m. 
b) y = 1 m. 
c) y = 3 m. 
d) y = 5 m. 
e) y = 10 m. 
 
 
 
 
 
 Resposta 
 
Um corpo executa movimento oscilatório periódico segundo a 
equação horária: y = 2 cos (2 π t + π/3) (m). A posição do móvel 
no instante t = 2 s vale: 
 
a) y = 2 m. 
b) y = 1 m. 
c) y = 3 m. 
d) y = 5 m. 
e) y = 10 m. 
 
 
 
 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
sT
s
radrad
3
2
3
22,3,
3
=====
π
π
ω
π
πω
π
θ
1. Uma partícula executa movimento harmônico simples 
segundo a equação: 
 
 
Pedem-se: 
a) A fase inicial, a pulsação e o período. 
b) A elongação, a velocidade e a aceleração no instante t = 2 s. 
Solução 
a) 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
b) Para t = 2s , y = ? v = ? a = ? 
Posição y 
y = 0,06 cos (3 π .2 + π/3) = 0,06 cos (π/3) = 0,06. 0,5 = 0,03 m 
y = 0,03 m 
Velocidade 
smv
v
sentsen
dt
dyv
/4897,0
866,0.5655,0
)
3
2.3(5655,0)
3
3(3.06,0
−=
−=
+−=+−==
π
π
π
ππ
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
b) Para t = 2s , y = ? v = ? a = ? 
 
Aceleração 
 
2/66,2
5,0.329,5)
3
23(cos329,5
)
3
3(cos329,5)
3
3(cos3.5655,0
sma
a
tta
td
vda
−=
−=+−=
+−=+−=
=
π
π
π
π
π
ππ
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
2. Uma partícula executa movimento harmônico simples com 
período de oscilação de 16s. Quando t = 2s, a partícula passa 
pela origem e quando t = 4s, sua velocidade é de 4 m/s. 
Determinar: 
a) A fase inicial do movimento e a amplitude do movimento. 
b) As equações horárias do movimento. 
 Solução 
a) Equações horárias do movimento harmônico simples (MHS). 
 
O período é T = 16s 
)(cos)()(cos 2 θωωθωωθω +−=⇒+−=⇒+= tyatsenyvtyy mmm
sradT /
816
22162 ππω
ω
π
ω
π
==⇒=⇒=
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
2. Para t = 2s, tem-se que y = 0. 
rad
rad
ym
4
5
42
3
2
3
4
44224
.....,
2
3,
24
0)
4
(cos)2.
8
(cos0
2
1
π
θ
ππ
θ
π
θ
π
π
θ
ππ
θ
π
θ
π
ππ
θ
π
θ
π
θ
π
=⇒−=⇒=+
=⇒−=⇒=+
=+⇒=+⇒+=
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
2. Para t = 4s, tem-se que v = 4 m/s. 
m
sen
y
yradpara
sen
y
senysmvstPara
tsenyv
m
mm
m
m
41,14
)
4
5
2
(
32
0
4
50
)
2
(
32
)4.
8
(
8
4/44
)(
2
=
+
−
=
>⇒=>
+
−
=
+−=⇒=⇒=
+−=
πππ
π
θ
θππ
θ
ππ
θωω
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
2. b) Equações horárias 
 
)/()
4
5
8
(cos22,2)
4
5
8
(cos41,14)
8
(
)/()
4
5
8
(659,5)/()
4
5
8
(41,14.
8
)()
4
5
8
(cos41,14
)(cos)()(cos
22
2
smtata
smtsenvsmtsenv
mty
tyatsenyvtyy mmm
πππππ
πππππ
ππ
θωωθωωθω
+−=⇒+−=
+−=⇒+−=
+=
+−=⇒+−=⇒+=
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Energia no movimento harmônico simples 
3.1 Trabalho da força elástica 
)(
2
1
2
.
.
22
2
ABAB
y
y
AB
y
y
AB yyk
ykydyk
ydykdjydjykd
elementartrabalholdFd
elementartodeslocamenjydld
elásticaforçajykF
B
A
B
A
−−=⇒








−=⇒−=
−=⇒−=
⇒=
⇒=
⇒−=
∫ τττ
ττ
τ




 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Energia no movimento harmônico simples 
3.1 Trabalho da força elástica 
 O trabalho de A até B não depende da trajetória, mas só das 
posições final e inicial. A força elástica é conservativa e a elas 
associa-se o conceito de energia potencial. 
3.2 Energia potencial elástica 
 
 
 
2
2
22
22
22
2
1)(
0tan
2
1)(
tan
2
1)(
2
1)(
)()(
2
1
2
1
)()()(
2
1)()(
ykEP
teconsykEP
teconsykEPykEP
EPEPykyk
EPEPyykEPEP
BBAA
BAAB
BAABBAAB
=
==−
=−=−
−=+−
−=−−⇒−=τ
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Energia no movimento harmônico simples 
3.3 Energia cinética 
 
 
 
3.4 Energia mecânica 
Definição: (EM) = (EP) + (EC) 
 
 
 






= 2
2
1) mykEM
)(
2
1)(
2
1)( 222 yykECvmEC m −=⇒=
22
2
1
2
1)( vmykEM +=
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
3. Energia no movimento harmônico simples 
3.5 Diagrama da energia em função da elongação 
2/66,2
5,0.329,5)
3
23(cos329,5
)
3
3(cos329,5)
3
3(cos3.5655,0
sma
a
tta
td
vda
=
−=+−=
+−=+−=
=
ππ πππππ
Fonte: livro-texto 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
4. Exercícios 
 
 Um corpo de massa 400 g realiza um movimento harmônico 
simples obedecendo a equação: y = 0,2 cos (π t + π/3) (m). 
 
Determinar: 
a) Os dois primeiros instantes em que o corpo passa pela 
posição de equilíbrio. 
b) A velocidade e a energia cinética para t = 2s. 
c) A aceleração do móvel, a energia cinética, a energia 
potencial e a energia mecânica para y = 0,1 m. 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
4. Exercícios 
 Solução 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
stt
sttt
tt
mytparaty
6
7
2
3
3
.
6
1
23
.,
2
3,
23
.
0)
3
.(cos)
3
.(cos2,00
0,?)
3
(cos2,0
2
1
=⇒=+
=⇒=+⇒=+
=+⇒+=
==⇒+=
ππ
π
ππ
π
πππ
π
π
π
π
π
π
π
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
4. Exercícios 
Solução 
b) Para t = 2s, v = ? (EC) = ? 
JECvmEC
smvsenv
vstParatsenv
td
ydvty
222 10.92,5)544,0(40,0
2
1)(
2
1)(
/544,0866,0.2,0)
3
2(2,0
?,2)
3
(2,0
)
3
(cos2,0
−=−=⇒=
−=−=⇒+−=
==⇒+−=
=⇒+=
π
π
ππ
π
ππ
π
π
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
4. Exercícios 
Solução 
c) Para y = 0,10 m, a = ? (EC) = ?, (EP) = ?, (EM) = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JyykEC
JykEM
JEP
mNkmkykEP
smaya
m
m
22222
222
22
222
222
10.922,5)1,02,0(948,3.
2
1)(
2
1)(
10.896,72,0.948,3
2
1
2
1)(
10.974,11,0.948,3
2
1)(
)/(948,34,0
2
1)(
/987,01,0.
−
−
−
=−=−=
===
==
==⇒=⇒=
−=−=⇒−=
πω
πω
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
4. Exercícios 
Um pêndulo simples de comprimento L = 2,0 m oscila em um 
campo de gravidade g = 10 m/s2. Pedem-se: 
a) A frequência de oscilação. 
b) A nova frequência de oscilação se o pêndulo fosse colocado 
em uma caixa que estivesse com aceleração a = 2 m/s2 para 
cima. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Hzf
L
gf
L
gf
T
f
g
LT
36,0
2
10
2
1
2
1
2
112
=⇒==
=⇒=⇒=
ππ
π
π
Hzf
L
agf 39,0
2
210
2
1
2
1
=⇒
+
=
+
=
ππ
Solução 
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
5. Exercícios 
Em um pêndulo simples tem-se um corpo de massa m = 2,0 kg 
preso a um fio de comprimento L. O corpo oscila com amplitude 
angular e sua equação horária é: 
 
 
Dado g = 10 m/s2. Pedem-se: 
 
a) O comprimento L do pêndulo. 
b) Sua velocidade escalar máxima. 
c) A velocidade escalar no instante: 
 
 
 
 
 
mθ
).()5,4(cos1,0 ISt=θ
sTt
8
=
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
5. Exercícios 
Solução 
a) 
 
 b) 
 
 
 
smvLv
s
rad
tsen
tsenx
t
m
m
/22,0494,0.45,0.
45,0
)5,4(45,0
)5,4(5,41,0
)5,4(cos1,0
maxmax =⇒==
=
−=
−=
=
θ
θ
θ
θ
θ




mLLgL
Lg 494,0
5,4
10
22 =⇒=⇒=⇒= ω
ω
 
 Oscilações livres sem amortecimento 
 
5. Exercícios 
Solução 
c) 
 
 
 
 
sTt
sT
175,0
8
4,1
8
4,1
5,4
22
===
===
π
ω
π
smv
senv
xsenv
tsenv
tsenv
Lv
/156,0
)7875,0(22,0
)175,05,4(22,0
)5,4(22,0
)494,0()5,4(45,0
=
−=
−=
−=
−=
=θ
Interatividade 
Uma partícula de massa m = 2,5 kg, presa à extremidade de uma 
mola de constante elástica k = 1000 N/m, executa movimento 
harmônico simples de amplitude máxima 0,2 m. A energia 
mecânica vale: 
 
a) (EM) = 40 J. 
b) (EM) = 80 J. 
c) (EM) = 20 J. 
d) (EM) = 10 J. 
e) (EM) = 200 J. 
 
Resposta 
Uma partícula de massa m = 2,5 kg, presa à extremidade de uma 
mola de constante elástica k = 1000 N/m, executa movimento 
harmônico simples de amplitude máxima 0,2 m. A energia 
mecânica vale: 
 
a) (EM) = 40 J. 
b) (EM) = 80 J. 
c) (EM) = 20 J. 
d) (EM) = 10 J. 
e) (EM) = 200 J. 
 
 
 Movimento amortecido 
 
1. Definição de movimento amortecido 
 Quando o movimento de um oscilador fica sujeito a uma força 
que atua sempre em sentido contrário à velocidade do 
oscilador, então o movimento é chamado de amortecido. 
 
 Exemplo: o amortecedor de um automóvel. 
 
 Supor que a força exercida pelo amortecedor seja diretamente 
proporcional à velocidade do oscilador. 
 
 
 Movimento amortecido 
 
 Amortecedor de carro. 
Fonte: livro-texto 
 
 Movimento amortecido 
 
2. Equação diferencial 
Uma partícula de massa m move-se sobre o eixo Oy sob a ação 
de força elástica F el = – k y e resistência viscosa 
F vis = – b v 
Aplicando a segunda lei de Newton ao corpo 
de massa m, tem-se: 
 
2
02
2
2
2
2
2
0
)(:
ω=⇒=++
=−−⇒=−−
=
m
ky
m
k
td
yd
m
b
td
yd
m
td
ydm
td
ydbyk
td
ydmvbyk
amFres
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
2. Equação diferencial 
 
amortecidomovimentodo
ordemsegundadeldiferenciaEquação
y
td
yd
td
yd
ntoamortecimedeparâmetro
m
b
m
b
livresoscilaçõesdaspulsação
⇒=++
→
=⇒=
→
02
2
2
2
02
2
0
ωγ
γ
γγ
ω
 
 Movimento amortecido 
 
3. Tipos de amortecimento 
Define-se grau de amortecimento a grandeza: 
 
 
a) Se β < 1, o amortecimento é fraco ou subcrítico, sendo 
 representado pela equação: 
 
 
 
 
 
0ω
γ
β =
22
0)(cos γωωθω
γ −=⇒+= − teyy tm
 
 Movimento amortecido 
 
3. Tipos de amortecimento 
b) Se β = 1, o amortecimento é crítico, sendo representado 
pela equação: 
 
 
 
c) Se β > 1 , o amortecimento é forte ou supercrítico, sendo 
representado pela equação: 
 
 
 
 
 
tetAAy γ−+= )( 21
2
0
2)(
2
)(
1 ωγ
γγ −=Ω⇒+= Ω−−Ω+− tt eAeAy
 
 Movimento amortecido 
 
3. Tipos de amortecimento 
 No gráfico abaixo estão representadas as curvas para cada 
tipo de amortecimento. No amortecimento fraco, o corpo 
oscila em torno da posição de equilíbrio até parar. No 
amortecimento crítico e forte, o corpo não oscila. 
Fonte: livro-texto 
 
 Movimento amortecido 
 
4. Atenuação exponencial 
 Ocorre em oscilações amortecidas e outros fenômenos 
transitórios. 
 Exemplos: decaimento radioativo, circuito RC, circuito RL, 
circuito RLC com amortecimento crítico ou supercrítico. 
A amplitude decai com o tempo segundo a lei: tm eyy
γ−=
Fonte: livro-texto 
 
 Movimento amortecido 
 
4. Atenuação exponencial 
 
A amplitude decai com o tempo segundo a lei: 
γ
τ
γγ
γγγ
γγ
γ
1
'
'
''
)(''
'
'
=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
∆+=⇒=
∆∆−
∆−∆−−
∆+−−
−
tt
ttt
m
tt
m
t
m
t
m
e
y
ye
y
y
eyyeeyy
eyyeyy
tttposteriordataemeyy
 
 Movimento amortecido 
 
4. Atenuação exponencial 
 A relação y/y’ não depende do instante t, mas somente da 
duração Δ t a partir de qualquer data t. 
 Em datas sucedendo-se em progressão aritmética, a 
amplitude decresce em progressão geométrica. 
 Constante de tempo exponencial é o recíproco do parâmetro 
de amortecimento γ 
 
 
 
Decremento logarítmico da lei de atenuação é o número D = γ T 
γ
τ
1
=
 
 Movimento amortecido 
 
5. Exercícios 
5.1 Uma partícula de massa m = 5,0 kg pende de uma mola de 
constante elástica k = 20,0 N/m e ao mover-se fica sujeita a uma 
resistência viscosa de coeficiente b = 10,0 N.s/m. Ela é 
distendida e abandonada em repouso à distância de 10 cm de 
sua posição de equilíbrio. Determinar: 
a) A equação diferencial do movimento. 
b) Qual o tipo de amortecimento? 
c) Escrever as equações horárias 
do movimento. 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5. Exercícios 
5.1 Solução 
a) Partindo da Segunda Lei de Newton F = m a 
042
/244
5
20
/1
5.2
10
2
20
)(:0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
=++
==⇒=⇒=⇒=
===⇒=⇒=++
=++⇒=−−
=
y
td
yd
td
yd
srad
m
k
srad
m
b
m
by
m
k
td
yd
m
b
td
yd
myk
td
ydb
td
ydm
td
ydm
td
ydbyk
amF
ωωωω
γγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5. Exercícios 
5.1 b) e c) Tipo de amortecimento e equações horárias 
radtg
srad
ey
smvstteyv
yyey
mcmystteyy
fracontoamortecime
a
a
m
t
m
mmm
t
m
09,2º12060180º60732,1
1
732,1
/732,1312
º90)(cos0)0.2(cos20
/00)(cos
cos
10,0cos10,0)0.2(cos10,0
10,0100)(cos
,15,0
2
1
2222
0
0.1
0
0.1
0
==−=⇒−=⇒−=−=−=
==−=−=
±=+⇒+=⇒++=
=⇒=⇒++=
=⇒=⇒+=
==⇒=⇒+=
<⇒===
−
−
−
−
δδ
γ
ω
δ
γωω
δθδθδθ
δθωω
θ
θθ
θω
β
ω
γ
β
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5. Exercícios 
5.1 Solução 
)/()66,3732,1(cos4620,0
)09,2.252,0732,1(cos1155,0.2)2(cos
)/()57,1732,1(cos231,0
)09,252,0732,1(cos1155,0.2)(cos
)()52,0732,1(cos1155,0)(cos
1155,0
)º30(cos
10,0
cos
10,0
º150º21090120
52,0º3090120º90
21
122
0
0
22
1
smtea
teateya
smtev
tevteyv
mteyteyy
my
negativaamplitudeatornaou
positivaamplitudeatornarad
t
tt
m
t
tt
m
tt
m
m
+=
+−=⇒++=
+=
+−=⇒++=
−=⇒+=
=
−
==
=−=⇒−=+
−=−=⇒=+⇒±=+
−
−−
−
−−
−−
δθωω
δθωω
θω
θ
θθθ
θθδθ
γ
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5. Exercícios 
5.2 Um movimento amortecido segue a lei: 
 
Deduzir as equações horárias da velocidade e da 
aceleração. 
Solução 
Equações horárias do movimento amortecido subcrítico 
ou fraco para β < 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)2(cos
)(cos)(cos
2
0
0
δθωω
δθωωθω
γ
γγ
++=
++=⇒+=
−
−−
teya
teyvteyy
t
m
t
m
t
m
)()2,1(cos2 2/ cmtey t−=
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5.2 Exercícios – Solução 
 
 
Por comparação, pode-se escrever: 
)()2,1(cos2 2/ cmtey t−=
radtg
sradsradradcmy
teyy
m
t
m
96,1º6,11238,67180,º38,674,2
5,0
2,1
/3,15,02,1/2,1,/
2
1,2
)(cos
22
0
==−=−=⇒−=−=−=
=+====
+= −
δδ
γ
ω
δ
ωρωγ
θωγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Movimento amortecido 
 
5.2 Exercícios – solução 
)/()93,32,1(cos38,3
)96,1.202,1(cos2.3,1
)2(cos
)/()96,12,1(cos6,2
)96,102,1(cos2.3,1
)(cos
22/
2/22
0
2/
2/
0
scmtea
tea
teya
scmtev
tev
teyv
t
t
t
m
t
t
t
m
+=
++=
++=
+=
++=
++=
−
−
−
−
−
−
δθωω
δθωω
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
 
 Interatividade 
 
No sistema esquematizado, são dados: m = 4,0 kg, k = 400 N/m, 
c = 64 N.s/m e g = 10 m/s2. Inicialmente, a mola tem seu 
comprimento natural. Liberado o sistema, pode-se dizer que o 
grau de amortecimento β e o tipo de amortecimento são, 
respectivamente: 
 
a) β = 0,8 e movimento amortecido fraco. 
b) β = 10,0 e movimento amortecido forte. 
c) β = 1,0 e movimento amortecido crítico. 
d) β = 0,8 e movimento amortecido forte. 
e) β = 64 e movimento amortecido forte. 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Resposta 
No sistema esquematizado, são dados: m = 4,0 kg, k = 400 N/m, 
c = 64 N.s/m e g = 10 m/s2. Inicialmente, a mola tem seu 
comprimento natural. Liberado o sistema, pode-se dizer que o 
grau de amortecimento β e o tipo de amortecimento são, 
respectivamente: 
 
a) β = 0,8 e movimento amortecido fraco. 
b) β = 10,0 e movimento amortecido forte. 
c) β = 1,0 e movimento amortecido crítico. 
d) β = 0,8 e movimento amortecido forte. 
e) β = 64 e movimento amortecido forte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício 
No esquema anexo, um corpo de massa m, constante 
elástica k, coeficiente de viscosidade c, está em 
equilíbrio. Alonga-se a mola de y e abandona-se a em 
repouso. 
Dados: m = 5,0 kg, k = 125 N/m, g = 10 m/s2, y = 40 cm 
a) Para coeficiente de viscosidade do fluido 
c = 50 N.s/m, calcular o tipo de amortecimento e 
escrever as equações horárias do movimento y, v e a. 
 
b) Para coeficiente de viscosidade do fluido 
c = 80 N.s/m, calcular o tipo de amortecimento e 
escrever as equações horárias do movimento y, v e a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – a) 
02510
11
5
5
/52525
5
125
/5
5.2
50
2
20
)(:0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
=++
⇒=⇒===
==⇒=⇒=⇒=
===⇒=⇒=++
=++⇒=−−
=
y
td
yd
td
yd
críticontoamortecime
srad
m
k
srad
m
c
m
cy
m
k
td
yd
m
c
td
yd
myk
td
ydc
td
ydm
td
ydm
td
ydcyk
amF
β
ω
γ
β
ωωωω
γγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – a) 
)()240,0()(
220)0.40,0(50
/00)(
)()(
)()()0(
40,040,0)0.(40,0
40,00)(
5
21
22
0.5
2
0.5
2
212
212
212
11
0.5
21
21
metyetAAy
posiçãodahoráriaEquação
mAAeAeA
smvstparaetAAeAv
etAAeAv
etAAeAv
td
ydv
mAAeAA
mystparaetAAy
críticontoamortecimeparaldiferenciaequaçãodaSolução
tt
tt
tt
tt
t
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
+=⇒+=
=⇒−=⇒+−=
=⇒=⇒+−=
−++=
−+++=⇒=
=⇒=⇒+=
=⇒=⇒+=
γ
γγ
γγ
γγ
γ
γ
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – a) 
)/(0510
05101010
)5()240,0(51010
)/()240,0(52)(
255
5555
555
55
212
smetea
eteeea
eteea
td
vda
aceleraçãodahoráriaEquação
smetevetAAeAv
td
ydv
velocidadedahoráriaEquação
tt
tttt
ttt
tttt
−−
−−−−
−−−
−−−−
+−=
++−−=
−+−−−=⇒=
+−=⇒+−=⇒= γγ γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – b) c = 80 N.s/m 
02516
16,1
5
8
/52525
5
125
/8
5.2
80
2
20
)(:0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
=++
⇒>⇒===
==⇒=⇒=⇒=
===⇒=⇒=++
=++⇒=−−
=
y
td
yd
td
yd
fortentoamortecime
srad
m
k
srad
m
c
m
cy
m
k
td
yd
m
c
td
yd
myk
td
ydc
td
ydm
td
ydm
td
ydcyk
amF
β
ω
γ
β
ωωωω
γγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – b) 
mAmA
AAA
AAA
AAAA
eAeA
smvstpara
eAeAv
td
ydv
AAeAeA
srad
mystparaeAeAy
fortentoamortecimeparaldiferenciaequaçãodaSolução
tt
tt
0565,0456,0.124,0456,0
876,040,0124,040,0)1()2(
)2(124,0
24,14
76,1
76,124,1424,1476,10
)24,68()24,68(0
/00
)()(
)1(40,040,0
/24,658
40,00
21
111
112
1221
0.)24,68(
2
0.)24,68(
1
)(
2
)(
1
21
0.)24,68(
2
0)24,68(
1
222
0
2
)(
2
)(
1
−=−=⇒=
=⇒−=⇒⇒
−=−=
−=⇒−−=
−−++−=
=⇒=
Ω−−+Ω+−=⇒=
+=⇒+=
=−=−=Ω
=⇒=⇒+=
−−+−
Ω−−Ω+−
−−+−
Ω−−Ω+−
γγ
γγ
γγ
ωγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
1. Exercício – Solução – b) 
)/(463,11413,1
)24,14.(805,0)76,1.(803,0
)/(805,0803,0
)24,14.(0565,0)76,1.(456,0
)(0565,0456,0
0565,0456,0
224,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
)24,68()24,68(
)(
2
)(
1
smeea
eea
td
vda
aceleraçãodaEquação
smeev
eev
td
ydv
velocidadedaEquação
meey
eey
eAeAy
posiçãodaEquação
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
−−
−−
−−
−−
−−
−−+−
Ω−−Ω+−
−=
−+−−=
=
+−=
−−−=
=
−=
−=
+= γγ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
2. Exercício 
Em um canhão com freio recuperador, o tubo tem massa 
M = 800 kg e a mola frenadora tem constante elástica 
k = 80 000 N/m. Feito um disparo, o cano sofre recuo máximo 
de 1 m. A partir desse instante (t = 0), tem início a recuperação 
(retorno à posição normal). No freio, o coeficiente de resistência 
viscosa c é ajustado de modo que a recuperação seja a mais 
rápida possível, sem oscilação. 
Determinar: 
a) A constante de viscosidade do fluido c. 
b) Estabelecer as equações horárias do movimento na 
recuperação. 
 
 
 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
2. Exercício – Solução 
a) Amortecimento crítico β = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
msN
msNmc
m
c
sradsrad
m
k
/.00016
/.0001610.800.22
2
/10,/10100
800
80000
00
=
===⇒=
======
γ
γγ
ωγω
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
2. Exercício – Solução 
b) Equação horária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mAAeAeA
smvstparaetAAeAv
etAAeAv
td
xdv
Velocidade
mAAeAA
mxstparaetAAx
posiçãodaEquação
tt
tt
t
10100)0.1(100
/00)(
)()()0(
11)0.(1
10)(
22
0.10
2
0.10
2
212
212
11
0.10
21
21
=⇒−=⇒+−=
=⇒=⇒+−=
−+++=
=
=⇒=⇒+=
=⇒=⇒+=
−−
−−
−−
−
−
γγ
γγ
γ
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Movimento amortecido 
(crítico e forte) 
2. Exercício – Solução – b 
)/(0100100
)10(100100
)/(100
1001010)101(1010
)(
)()101()(
21010
1010
10
1010101010
212
10
21
smetea
etea
td
vda
aceleraçãodaEquação
smetv
eteevetev
etAAeAv
velocidadedaEquação
metxetAAx
posiçãodafinalEquação
tt
tt
t
ttttt
tt
tt
−−
−−
−
−−−−−
−−−−
+−=
−−−=
=
−=
−−=⇒+−=
+−=
+=⇒+=
γγ
γ
γ
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física 
Interatividade 
O recuo de um canhão faz-se sob o efeito de um amortecedor a 
óleo e de um sistema de molas (freio-recuperador). A constante 
elástica do sistema de molas é k = 7,0.10 4 N/m. A massa do 
cano é m = 700 kg. O coeficiente c da resistência viscosa, para 
que o cano volte à posição de equilíbrio o mais depressa 
possível, sem entrar em oscilação, vale: 
 
a) c = 2.000 N s/m. 
b) c = 10.000 N s/m. 
c) c = 700.000 N s/m. 
d) c = 14.000 N s/m. 
e) c = 7.000 N s/m. 
 
 
 
 
Resposta 
O recuo de um canhão faz-se sob o efeito de um amortecedor a 
óleo e de um sistema de molas (freio-recuperador). A constante 
elástica do sistema de molas é k = 7,0.10 4 N/m. A massa do 
cano é m = 700 kg. O coeficiente c da resistência viscosa, para 
que o cano volte à posição de equilíbrio o mais depressa 
possível, sem entrar em oscilação, vale: 
 
a) c = 2.000 N s/m. 
b) c = 10.000 N s/m. 
c) c = 700.000 N s/m. 
d) c = 14.000 N s/m. 
e) c = 7.000 N s/m. 
 
 
 
 
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	� Oscilações livres sem amortecimento�
	� Oscilações livres sem amortecimento�
	� Oscilações livres sem amortecimento�
	� Oscilações livres sem amortecimento�
	� Oscilações livres sem amortecimento�
	Interatividade
	Resposta
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Movimento amortecido�
	� Interatividade�
	Resposta
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Movimento amortecido�(crítico e forte)
	Interatividade
	Resposta
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