Calculo de integrais indefinidos. integracao por partes

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EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 1 
Cálculo de integrais indefinidos. Integração por partes. 
 
 Seja )(xu e )(xv funções diferenciáveis em I 
 
 Se a função )()( xvxu ⋅′ tem primitiva em I então e a função )()( xvxu ′⋅ 
tem primitiva em I e tem-se 
 
∫∫ ⋅′⋅−⋅=⋅′⋅ xdxuxvxvxuxdxvxu )()()()()()( 
ou 
∫∫ ⋅−⋅=⋅ )()()()()()( xudxvxvxuxvdxu ; ∫∫ ⋅−⋅=⋅ udvvuvdu . 
 
 
►1) ∫ ⋅ xdxnl . 
 
Consideramos xnlu = e xdvd = . 
Então ( ) ( ) xd
x
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1 
e 
xvxdvd =⇒= . 
 
Portanto temos: 
 
Cxxnlxxdxnlxxd
x
xxnlxxdxnl +−⋅=−⋅=⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫
1
. ■ 
 
 
►2) ∫ ⋅⋅ xdxnlx 2 . 
 
Consideramos xnlu = e xdxvd ⋅= 2 . 
Então ( ) ( ) xd
x
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1 
e 
3
3
22 xxdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
 
Portanto temos: 
 
=⋅−⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xd
x
xnlxxd
x
x
xnlxxdxnlx
33
1
33
2333
2
 
 
Cxxnlxxdxxnlx +−⋅=⋅⋅−⋅= ∫ 933
1
3
33
2
3
. ■ 
 
 
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 2 
►3) ∫ ⋅⋅ xdxarctgx . 
 
Consideramos xarctgu = e xdxvd ⋅= . 
Então ( ) ( ) xd
x
xdxarctgxarctgdudxarctgu ⋅
+
=⋅
′
==⇒= 21
1
 
e 
2
2
x
xdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
 
Portanto temos: 
 
=⋅
+
⋅−⋅=⋅
+
⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdx
x
xarctgxxd
x
x
xarctgxxdxarctgx 2
22
2
22
12
1
21
1
22
 
 
=⋅





+
−
+
+
⋅−⋅=⋅
+
−+
⋅−⋅= ∫∫ xdxx
x
xarctgxxd
x
x
xarctgx 22
22
2
22
1
1
1
1
2
1
21
11
2
1
2
 
 
=⋅
+
⋅+⋅−⋅=⋅





+
−⋅−⋅= ∫∫∫ xdx
xdxarctgxxd
x
xarctgx 2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
21
11
2
1
2
 
 
CxxarctgxarctgxCxarctgxxarctgx +⋅−⋅+⋅=+⋅+⋅−⋅=
2
1
2
1
22
1
2
1
2
22
. ■ 
 
 
 
►4) ∫ ⋅⋅ xdarcsenxx . 
 
Consideramos xarcsenu = e xdxvd ⋅= . 
Então ( ) ( ) xd
x
xdxarcsenxarcsendudxarcsenu ⋅
−
=⋅
′
==⇒=
21
1
 
e 
2
2x
xdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
 
Portanto temos: 
 
=
−
⋅
⋅−⋅=⋅
−
⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ 2
22
2
22
12
1
21
1
22 x
xdx
arcsenx
x
xd
x
x
arcsenx
x
xdarcsenxx 
 
=⋅
−
−−
⋅+⋅=⋅
−
−
⋅+⋅= ∫∫ xd
x
x
arcsenx
x
xd
x
x
arcsenx
x
2
22
2
22
1
11
2
1
212
1
2
 
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 3 
=+⋅
−
⋅−⋅
−
−
⋅+⋅= ∫∫ Cxd
x
xd
x
x
arcsenx
x
22
22
1
1
2
1
1
1
2
1
2
 
 
)*(1
2
1
2
1
2
2
2
=+⋅−⋅+⋅−⋅= ∫ Cxdxarcsenxarcsenx
x
 
 
No último integral fazemos 
 
xddvxu =−= ,1 2 e então 
 
( ) ( ) xd
x
x
xdxxdduxu ⋅
−
−=⋅
′
−=−=⇒−=
2
222
1
111 , 
xvxddv =⇒= . 
 
 Então 
=⋅
−
−
−−⋅=⋅








−
−⋅−−⋅=⋅− ∫∫∫ dx
x
x
xxdx
x
x
xxxxdx
2
2
2
2
22
1
1
1
11 
 
=⋅








−
−
−
−
−−⋅=⋅
−
−−
−−⋅= ∫∫ dx
xx
x
xxdx
x
x
xx
22
2
2
2
2
2
1
1
1
11
1
111 
 
=⋅
−
+⋅−−−⋅= ∫∫ dx
x
dxxxx
2
22
1
111 
 
arcsenxdxxxx +⋅−−−⋅= ∫
22 11 . 
 
Temos 
 
arcsenxdxxxxdxx +⋅−−−⋅=⋅− ∫∫
222 111 
 
e resolvendo em relação à ∫ ⋅− dxx
21 obtemos 
 
arcsenxxxdxx ⋅+−⋅⋅=⋅−∫ 2
11
2
11 22 . 
Portanto 
 
=+





⋅+−⋅⋅⋅+⋅−⋅= Carcsenxxxarcsenxarcsenxx
2
11
2
1
2
1
2
1
2
)*( 2
2
 
 
Cxxarcsenxarcsenxx +−⋅⋅+⋅−⋅= 2
2
1
4
1
4
1
2
)*( . ■ 
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 4 
 
►5) ∫ ⋅⋅ xdxsenx 2
1
. 
Consideramos xu = e xd
xsen
vd ⋅= 2
1
. 
Então xdudxu =⇒= e xctgxd
xsen
vxd
xsen
vd −=⋅=⇒⋅= ∫ 22
11
. 
 
Portanto temos: 
 
( ) =⋅





−−⋅−=⋅−−⋅−=⋅⋅ ∫∫∫ xdxsen
xosc
xctgxxdctgxxctgxxd
xsen
x 2
1
 
 
( ) Cxsennlxctgx
xsen
xsend
xctgxxdxoscxctgx ++⋅−=+⋅−=⋅+⋅−= ∫∫ . ■ 
 
 
►6) ∫ ⋅ xdx
xnl
3 . 
Consideramos xnlu = e xd
x
vd ⋅= 3
1
. 
Então ( ) ( ) xd
x
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1 
e 2
13
33 2
1
13
11
x
x
xd
x
vxd
x
vd
⋅
−=
+−
=⋅=⇒⋅=
+−
∫ . 
 
Portanto temos: 
 
=⋅⋅+
⋅
−=⋅⋅





⋅
−−⋅
⋅
−=⋅ ∫∫∫ xdxx
xnl
xd
xx
xnl
x
xd
x
xnl
32223
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 
C
xx
xnlCx
x
xnl
+
⋅
−
⋅
−=+
+−
⋅+
⋅
−=
+−
22
13
2 4
1
2132
1
2
. ■ 
 
 
 
►7) ∫ ⋅⋅⋅ xdxosce x2 . 
Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxoscvd ⋅= . 
Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2 
e xsenxdxoscvxdxoscvd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
Portanto temos: 
 
( )*22 22222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅ xdsenxesenxexdsenxesenxexdxosce xxxxx 
 
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 5 
Integramos por partes no integral obtido. 
 
Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxsenvd ⋅= . 
Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2 
e xoscxdxsenvxdxsenvd −=⋅=⇒⋅= ∫ . 
Portanto na continuação temos: 
 
( ) [ ]=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅= ∫ ⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx )(22* 222 
 
∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=
⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx 222 42 . 
Obtemos 
 
∫∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxexdxosce xxxx 2222 42 
 
e resolvendo em relação ao integral ∫ ⋅⋅
⋅ xdxosce x2 vem 
 
Cxoscesenxexdxosce xxx +⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅∫
222
5
2
5
1
. ■ 
 
 
 
►8) ( )∫ ⋅ xdxnlsen . 
 
Consideramos ( )xnlsenu = e xdvd = . 
Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xd
x
xnloscxdxnlsenxnlsendudxnlsenu ⋅⋅=⋅′==⇒= 1 
e xvxdvd =⇒= . 
Portanto temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*1 =⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫ xdxnloscxnlsenxxdxxnloscxxnlsenxxdxnlsen 
 
Integramos por partes no integral obtido. 
 
Consideramos ( )xnloscu = e xdvd = . 
Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xd
x
xnlsenxdxnloscxnloscdudxnloscu ⋅⋅−=⋅′==⇒= 1 
e xvxdvd =⇒= . 
Portanto na continuação temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) =











⋅⋅−⋅−⋅−⋅= ∫ xdx
xnlsenxxnloscxxnlsenx 1* 
 
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 6 
( ) ( ) ( )∫ ⋅−⋅−⋅= xdxnlsenxnloscxxnlsenx . 
 
Obtemos 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−⋅−⋅=⋅ xdxnlsenxnloscxxnlsenxxdxnlsen . 
 
e resolvendo em relação ao integral ( )∫ ⋅ xdxnlsen vem 
 
( ) ( ) ( ) Cxnloscxxnlsenxxdxnlsen +⋅−⋅=⋅∫ 22 . ■ 
 
 
►9) ∫ ⋅⋅+ xdex x)1( . 
 
Consideramos 1+= xu e xdevd x ⋅= . 
Então xdudxu =⇒+= 1 e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
Portanto temos: 
 
CexCeexxdeexxdex xxxxxx +⋅=+−⋅+=⋅−⋅+=⋅⋅+ ∫∫ )1()1()1( . ■ 
 
 
 
►10) ∫ ⋅⋅ xdex x2 . 
 
Consideramos 2xu = e xdevd x ⋅= . 
Então ( ) ( ) xdxxdxxdudxu ⋅⋅=⋅′==⇒= 2222 
e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
Portanto temos: 
 
( )*22 222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdexexxdexexxdex xxxxx 
 
Integramos por partes no integral obtido. 
Consideramos xu = e xdevd x ⋅= . 
Então xdudxu =⇒= e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ . 
Portanto na continuação temos: 
 
( ) [ ] =+⋅−⋅⋅−⋅=⋅−⋅⋅−⋅= ∫ Ceexexxdeexex xxxxxx 222* 22 
 
( ) Cxxe x +−⋅−⋅= 222 . ■