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PROVA 3 Simulado ABI em Computação (Bacharelado e Licenciatura) Prof. Eryc de Oliveira Leão 1º Semestre Algebra Linear CH 72 ha / 60h INSTRUÇÕES: As respostas das questões deverão estar a caneta! Não é permitido o uso de smartphones, tablets ou computadores pessoais. Todas as informações necessárias para fazer esta prova estão neste caderno de provas. Caso algum erro seja descoberto em alguma questão, ela será posteriormente anulada. Apenas a resposta será considerada na correção desta avaliação. Portanto, use o rascunho, faça os cálculos passo a passo e tome bastante cuidado para não errá-los. TEXTO BASE PARA QUESTÃO 1: O processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortogonal {v1, v2 e v3} e em seguida uma base ortonormal T = {w1, w2, w3} de um subespaço não- nulo W de R n com base S = {u1, u2 e u3} é o seguinte: Calcule os vetores 1, 2 e 3 da base ortogonal, sucessivamente, um de cada vez, pela fórmula: 1 1 ; 2 2 – 1 ; 3 3 – 1 – 2 Em seguida, construa uma base ortonormal a partir da base ortogonal encontrada anteriormente: 1 1 ; 2 2 ; 3 3 1 Use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 3 com base {(1,-1,0), (2,0,1)}. Respostas: Rascunho: TEXTO BASE PARA AS QUESTÕES 2, 3 e 4: Seja um vetor qualquer, dado qualquer vetor de um espaço vetorial, o vetor Proju , chama-se projeção ortogonal de sobre o eixo que contém . Seja W o subespaço bidimensional com base {w1 e w2}. A projeção de sobre o subespaço W é dada por: ProjW 1 2 2 Calcule a projeção ortogonal do vetor v = (3, 4, -1) sobre o vetor u = (1, 0 , 2) Respostas: 3 Seja W o subespaço bidimensional formado pela base S = { (1, 0, 2) e (2, -1, 0)}. Calcule a projeção ortogonal do vetor v = (3, 4, -1) sobre o subespaço W. Respostas: 4 Encontre a distância entre o vetor v = (3, 4, -1) e o subespaço W formado pela base S = { (1, 0, 2) e (2, - 1, 0)} Respostas Rascunho 5 Encontre o polinômio característico da matriz A seguinte: A = Resposta: 6 Encontre o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz. A = Resposta: Rascunho 7 Informe qual dentre as seguintes matrizes, se houver alguma, são diagonalizáveis (a) (b) (c) Resposta: TEXTO BASE PARA AS QUESTÕES 8 e 9: Definição: Uma matriz B é dita semelhante a uma matriz A se existe uma matriz invertível P tal que B = P -1 AP. Definição: Uma matriz quadrada A é chamada diagonalizável se A for semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se A = PDP -1 para alguma matriz inversível P e alguma matriz diagonal D. 8 Encontre, se possível, uma matriz invertível P tal que P -1 AP = D seja diagonal. A = Resposta: 9 Diagonalize, usando uma matriz ortogonal, a matriz A dada, encontrando a matriz diagonal D e a matriz ortogonal P. A = Resposta: 10 Encontre a matriz canônica que representa a transformação linear L seguinte: L: R 2→R2 definida por L(x,y) = (x - y , x + y). Resposta: Rascunho
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