curvas de nivel

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Prof. Manoel de Campos Almeida 
CURVAS DE NÍVEL 
 
O gráfico de uma função está contido em um espaço de uma dimensão superior a do 
espaço ao qual os pontos do domínio da função pertencem. Por exemplo, para uma função 
real a uma única variável real, y=f(x), os pontos do seu domínio D estão contidos em um 
espaço unidimensional R1, enquanto os pontos do gráfico da função, que são do tipo (x, 
f(x)), estão contidos em um espaço bidimensional R2. 
 Se considerarmos agora uma função real a duas variáveis reais, z=f(x,y), o gráfico 
desta função está contido em um espaço tridimensional R3, pois seus pontos são da forma 
((x,y),f(x,y)). Já uma função a três variáveis reais, w=f(x,y,z), exigiria um espaço 
quadridimensional para o traçado de seu gráfico, cujos pontos seriam da forma 
((x,y,z,f(x,y,z)). 
Os seres humanos pertencem a um espaço geométrico tridimensional, como já 
estudamos, e só podem perceber inteiramente entes com três, duas ou uma dimensões, ou 
seja, com um número de dimensões igual ou inferior às do espaço em que vivemos. Dessa 
forma, só podemos perceber gráficos de funções que estejam contidos em um espaço de no 
máximo três dimensões, pois essa é uma limitação intrínseca da nossa realidade; sendo que 
acima de três dimensões geométricas a intuição espacial humana falha. 
Portanto, para funções a três ou mais variáveis reais necessitaremos recorrer a 
técnicas especiais para a representação de seus gráficos, que estudaremos na seqüência. 
Curva (ou linha) de nível de uma função z=f(x,y) é uma curva f(x,y)=c (no plano 
xy), nos pontos da qual a função assume um único valor z=c, geralmente indicado nos 
desenhos. As curvas de nível também são conhecidas como curvas de contorno, e 
diagramas de curvas de nível são também conhecidos como diagramas de contorno. 
Duas curvas de nível nunca podem se interceptar, pois o ponto de intersecção teria 
duas cotas diferentes, o que é impossível. Quanto mais próximas estiverem as curvas de 
nível, maior ou menor é a razão de crescimento da função por elas representada. 
A superfície de nível de uma função de três variáveis u=f(x,y,z) é uma superfície 
f(x,y,z)=c, nos pontos da qual a função assume um valor constante u=c. 
Ex 1. Construir as curvas de nível da função z=x2y. 
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A função é z=f(x,y)=x2y, então a equação da família das curvas de nível respectiva 
tem a forma f(x,y)=z, ou seja, x2y=c ou 2
x
cy = . 
Podemos empregar um programa de plotagem gráfica para obtermos o gráfico da 
função z=x2y. Empregando o WINPLOT, opção: 3 dim explícita geramos o seguinte 
gráfico desta superfície: 
 
 Fazendo z= 3;....2;1;0;c ±±±= obtemos uma família de curvas de nível. Logo, as 
curvas de nível de uma superfície são obtidas cortando-a por planos horizontais nas cotas 
z= 3;....2;1;0;c ±±±= 
 Uma das maneiras de obtermos o esboço esta família de curvas consiste em 
empregarmos o WINPLOT com as opções: 2 dim explícita . Iremos plotar cada curva da 
família 2
x
cy = uma a uma, atribuindo a c os valores 3;....2;1;0;c ±±±= e gerando o 
gráfico da cada curva de nível. 
 
 
Costuma-se escrever junto a cada curva de nível o valor correspondente a cada c: 
3;....2;1;0;c ±±±= Quando não se dispor de um programa de plotagem, pode-se traçar cada 
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curva de nível da família 2
x
cy = da maneira habitual que se emprega para traçar gráficos 
de uma função qualquer. 
Outra opção de emprego do WINPLOT consiste em empregarmos a janela 3-dim e 
escolha de equações implícitas. As funções implícitas só podem serem plotadas pelo 
WINPLOT mediante curvas de nível. A seqüência de teclas a serem acionadas e a digitação 
correspondente é a seguinte: Janela 3-dim Equação Implícita (x^2)*y=z OK Dimensões 
do Box OK Níveis Auto Ver Todas Ver Eixos, o que deve produzir o seguinte gráfico: 
 
 
 
Outras opções, que não as padrões, podem ser acionadas, permitindo obter curvas de 
nível em relação a x, y ou z, bem como aumentar ou diminuir o número de curvas a serem 
plotadas. 
Ex. 2 Determine as superfícies de nível da função u=f(x,y,z)=x2+y2 . 
Neste caso, a superfície de nível corresponde à superfície formada pelos pontos que 
satisfazem à u=x2+y2=c, fazendo 3;....2;1;0;c ±±±= Como falta z na função f, z pode 
assumir qualquer valor; então ela é um cilindro circular de raio c . 
Se c=1 temos 122 =+ yx que é um cilindro circular; como z não aparece, a 
intersecção da superfície com qualquer plano horizontal, paralelo a z = 0, será sempre um 
círculo paralelo à 122 =+ yx . O cilindro será formado por retas paralelas ao eixo z que 
passam pelo círculo 122 =+ yx . 
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A família das superfícies de nível desta função será, portanto, uma família de 
cilindros de raio c , com eixos coincidentes com o eixo z. 
Ex. 3 Determine as superfícies de nível da função u=f(x,y,z)= z-y. 
A superfície de nível corresponde à superfície formada pelos pontos que satisfazem 
à u=z-y =c, fazendo 3;....2;1;0;c ±±±= 
Para c=1, temos z-y=1, ou z=y+1, que é um plano. Empregando o WINPLOT (3dim 
explícita z=y+1 z=y+2 z=y+3 .....) obteríamos o seguinte gráfico para essa família de 
planos, ou seja, para essa família de superfícies de nível da função u=f(x,y,z)= z-y. 
 
Ex.4 Determine as superfícies de nível da função u=g(x,y,z)=x2+y2+3-z . 
Como se pode notar, usamos superfícies para representar funções de duas maneiras 
diferentes. Primeiro, usamos uma só superfície para representar uma função de duas 
variáveis z=f(x,y). Segundo, usamos uma família de superfícies de nível para representar 
uma função de três variáveis u=f(x,y,z). A família destas superfícies de nível têm por 
equação f(x,y,z)=c. Qual seria, portanto, a relação entre esses dois usos de superfícies? 
Por exemplo, seja a função z=x2+y2+3. Consideremos, agora, a função g(x,y,z)= 
x
2+y2+3-z. Os pontos que satisfazem à z=x2+y2+3 também satisfazem à (x,y,z)= x2+y2+3-z. 
Desse modo, a superfície z=x2+y2+3 é a superfície de nível g(x,y,z)= x2+y2+3-z=0, com 
c=0 em g(x,y,z)=c. 
Logo, uma única superfície representando uma função de duas variáveis 
z=f(x,y).pode sempre ser pensada como um membro da família de superfícies de nível 
representando uma função de três variáveis g(x,y,z)=f(x,y)-z. O gráfico de z=f(x,y).é a 
superfície de nível g(x,y,z)=0. 
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Desse modo, o gráfico de z=x2+y2+3 é 
z = xx+yy+3
 
A família de superfícies de nível seria g(x,y,z)= x2+y2+3-z.=c. Fazendo z= x2+y2+3-
c , e atribuindo valores a c, como c=0, z=x2+y2+3; c=10, z= x2+y-2-7; c=20, z= x2+y2-17;... 
originando o seguinte gráfico para esta família de superfícies de nível: 
 
Ex. 5 Determine as superfícies de nível da função w=f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2. 
O gráfico de uma função com quatro variáveis pertence a um espaço 
pentadimensional, o impossibilita sua representação no nosso mundo tridimensional. Se 
fizermos w=f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2=c teríamos a família de superfícies de nível dessa 
função, que seria uma família de hiperesferas quadrimensionais de raio c centradas na 
origem. 
Pode-se reduzir o número de dimensões da seguinte forma: se fizermos t=k; com k 
assumindo valores 3;....2;1;0;k ±±±= , geraríamos outra família de superfícies de nível, 
dessa vez com três variáveis independentes u=g(z,y,z)= x2+y2+z2+k2. 
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Para k=0, essa função corresponderia a uma família de esferas tridimensionais 
u=g(z,y,z)=x2+y2+z2=m, sendo m um parâmetro que pode assumir valores 
3;....2;1;0;m ±±±= O raio dessas esferas tridimensionais centradas na origem seria, 
portanto, m . 
 Para 3;....2;1;k ±±±= teríamos outras famílias de esferas tridimensionais. Por 
exemplo, para k=2 vem u=g(z,y,z)= x2+y2+z2+4=m, que corresponde a um famíliade 
esferas com centro na origem x2+y2+z2=m-4. Os raios dessas esferas seriam dados por 
r2=m-4, 4-mr = . 
 
Exercícios Propostos 
 
Construir as curvas de nível (ou: esboçar um diagrama de contorno), com pelo 
menos quatro curvas, das seguintes funções: 
1. f(x,y)=x+y 
2. f(x,y)=xy 
3. f(x,y)= xy 
4. f(x,y)= x2+y2 
5. f(x,y)= x2-y2 
6. f(x,y)=-x2-y2+1 
7. f(x,y)=+ 22 y2x + 
8. f(x,y)=y-x2 
9. f(x,y)=cos 22 yx + 
10. f(x,y)=(1+x+y)2 
11. f(x,y)= 2
x
y
 
12. f(x,y)= y−− x1 
13. f(x,y)= 2
x
y
 
14. f(x,y)=
x
y
 
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15. f(x,y)= 22
x
x2
y+
 
16. A temperatura T (em oC) em qualquer ponto da região 
1010;10x10 ≤≤−≤≤− y é dada pela função 22 yx-100y)T(x, −= . 
a) Esboce curvas isotérmicas (curvas de temperatura constante) para T=100 oC; 
T=50 oC; T=25 oC; T=0 oC. 
b) Suponha que um inseto que procura calor é colocado em qualquer ponto do 
plano xy. Em qual direção ele deveria mover-se para aumentar sua temperatura 
mais depressa? Como se relaciona a direção da curva com a curva de nível por 
esse ponto? 
Encontrar as superfícies de nível das seguintes funções: 
1. w=x+y+z 
2. w= 222x zy ++ 
3. w= 222x zy −+ 
4. w= 222 yx z+− Sugestão: use secções com y constante em vez de secções 
com z constante. 
5. A altura (em metros) da água acima do fundo de uma lagoa no instante t é dada 
pela função t)-ysen(x20t)y,h(x, ++= , onde x e y são medidos 
horizontalmente com o eixo y positivo apontando para o norte e o eixo x positiv
 o leste, e t está em segundos. Considerando diagramas de contorno ( de 
superfícies de nível) para diferentes valores de t, descreva o movimento as 
superfície da água na lagoa.