Aula 7 Técnicas de integração de funções exponenciais e logarítmicas

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Aula 7 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Integração de funções exponenciais:
∫dx = + C , pois ( )´= .
Exemplos:
∫4 dx
= 4 ∫dx = 4. + C
∫dx, pela regra de substituição: u = 2x e du= 2 dx → dx = du/2
Assim, ∫.du/2 = 
∫. du/2 =
1/2 ∫. du =
1/2. + C =
Substituindo u por 2x, temos:
1/2. + C
∫x.dx , pela regra de substituição: u = 3x² e du= 6x dx → x.dx = du/6
Assim, ∫x.dx = ∫.xdx =
∫eu du/6 = = 
1/6∫
1/6 + C
Substituindo u por 3x², temos:
1/6 + C
∫x².dx, pela regra de substituição: u = 3x³ e du= 9x²dx → x².dx = du/9
Assim, ∫x².dx = ∫dx
∫dx =
= ∫eu du/9 =
1/9∫
= eu/9 + C
Substituindo u por 3x3, temos:
e3x³/9 + C
Exercícios:
∫ 5 exdx =
∫ e3xdx =
∫ x.e5x²dx =
∫ x² e4x³dx =
∫ 2x ex²dx =
Toda integral da forma ∫ será dada por ln IxI + C
Exemplos:
∫2x/1 + x² . dx , fazemos u = 1 +x². Então, du= 2xdx. Temos
∫2x/1 + x² . dx = ∫ du/u =
= ln IuI + C
Substituindo u por 1+ x², temos
= ln I 1+x²I + C
∫cotan y dy =
 ∫1/tg y dy =
∫ 1/seny/cos y dy =
∫cosy/ sen y dy , 
u = sen y → du = cos y dy
Assim:
∫ du/u = ln IuI + C
Substituindo u por sen y, temos
= ln I sen yI + C
∫2x / x² + 5 dx = 
u = x² +5 → du = 2xdx
Assim:
∫ du/u = ln IuI + C
Substituindo u por x² + 5, temos
= ln I x² + 5I + C
∫ 4/x .dx = 4 ∫ dx/x 
4. ln IxI + C
∫ tgx dx =
∫sen x/cos x dx =
 u = cos x → du = -sen x dx , ou seja –du = senx dx
∫ - du/u =
-1 ∫du/u =
- ln IuI + C
Substituindo u por cos x, temos
= - ln I cos x I + C
Exercícios:
∫4x³dx/(2 +x4)
∫2x dx/(x2+8)
∫ 2/x dx
∫secydy
∫x2/(1+x³)dx
Método de integração por partes:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos, 
[f(x).g(x)]´ = f(x). g´(x) + g(x). f´(x)]
ou, 
f(x).g´(x) = [f(x). g(x)]´ - g(x).f´(x).
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
∫f(x).g´(x)dx = ∫[f(x). g(x)]´dx - ∫g(x).f´(x) dx
ou ainda,
∫f(x).g´(x)dx = f(x). g(x) - ∫g(x).f´(x) dx
Na prática costumamos fazer:
u = f(x) → du = f´(x) dx e
v= g(x) → dv = g´(x) dx
Substituindo em (1), vêm:
∫u dv = uv - ∫vdu,
Que é a fórmula da integração por partes.
Exemplos:
∫ln x dx
Seja u = ln x → du = 1/x dx
dv = dx → v = ∫dx = x
Integrando por partes, vêm
∫ln x dx = ∫u dv = uv - ∫vdu,
(ln x). x - ∫x. 1/x dx
= x lnx - ∫dx
= x lnx – x + c
∫y senydy
 u= y → du = dy
 dv = sen y → v = -cos y
∫y senydy = uv - ∫vdu
= y.(-cosy) - ∫ (-cos y).dy
= - y.cosy + ∫ cosy dy
= - y. cos y + seny + C
c) ∫x cosx dx 
Seja u = x , du = dx
dv= cosxdx → v = ∫cosx dx = senx
Integrando por partes, vêm
 = ∫x cosx dx = ∫u dv = uv - ∫vdu,
	 = x. sen x - ∫ senx.dx
	= x. senx – (-cosx) + C
	= x.senx + cos x + C
	
d) ∫ x². senx dx = 
u= x² → du = 2xdx
dv = senxdx → v = -cosx
Integrando por partes, vêm
= ∫x² senx dx = ∫u dv 
= uv - ∫vdu
= x².(-cosx) - ∫(-cosx). 2xdx
= -x² cosx + 2∫x cosxdx
A integral ∫x cosx dx deve também ser resolvida por partes. Fazemos:
u=x → du= dx
dv = cosxdx → v= ∫cosxdx = senx
Temos,
∫x coxdx = x senx - ∫senxdx
Logo, 
∫x² senxdx = -x² cosx + 2[ x senx - ∫ senxdx]
= -x²cosx + 2x senx + 2 cosx + C
Exercícios:
∫z senzdz =
∫y cosydy =
∫ex cosx dx = 
∫x² cosx dx =
∫x.secx tgx. dx =