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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de Fı´sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Suma´rio 8 Conservac¸a˜o da Energia 2 8.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 8.1.1 Determinac¸a˜o da Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 2 8.1.2 Usando a Curva de Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 9 8.1.3 Conservac¸a˜o da Energia . . . . 9 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito . . . . . . . . . . . . 9 8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12 9 Sistemas de Partı´culas 13 9.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 13 9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 13 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de partı´culas . . . . 14 9.2.3 O Momento Linear . . . . . . . 17 9.2.4 Conservac¸a˜o do Momento Linear 18 9.2.5 Sistemas de Massa Varia´vel: Um Foguete . . . . . . . . . . . 19 9.2.6 Sistemas de Partı´culas: Varia- c¸o˜es na Energia Cine´tica . . . . 20 10 Coliso˜es 21 10.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 21 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 21 10.2.2 Coliso˜es Ela´sticas em Uma Di- mensa˜o . . . . . . . . . . . . . 23 10.2.3 Coliso˜es Inela´sticas em Uma Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . 24 10.2.4 Coliso˜es em Duas Dimenso˜es . 25 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 26 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 8 Conservac¸a˜o da Energia 8.1 Problemas e Exercı´cios 8.1.1 Determinac¸a˜o da Energia Potencial E 8-1 ( � na 6 � edic¸a˜o) Uma determinada mola armazena ��� J de energia po- tencial quando sofre uma compressa˜o de ��� � cm. Qual a constante da mola? Como sabemos que a energia potencial ela´stica arma- zenada numa mola e´ � ����������������� , obtemos facilmen- te que �ff� �fi� �fl�ffi� � � � ��� �!��� � "�� "fi����� � �$#�� %'&)(*"�+ N/m � E 8-6 (8-3/6 � ) Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma tac¸a hemisfe´rica sem atrito com �!� cm de raio (Fig. 8- 22). Com que velocidade o gelo esta´ se movendo ao chegar ao fundo da tac¸a? A u´nica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo e´ a forc¸a da gravidade, que e´ uma forc¸a conservati- va. Chamando de ,.- a energia cine´tica do pedacinho de ge- lo na borda da tac¸a, de ,0/ a sua energia cine´tica no fundo da tac¸a, de �1- sua energia potencial da borda e de �2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos enta˜o , /43 � / �$, -53 � - � Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co- mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale �1-6�87:9fi; , onde ; representa o raio da tac¸a e 7 representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que ,.-<�=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- mando de > a velocidade do pedacinho de gelo ao atin- gir o fundo, temos enta˜o, da equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia acima que 709�;?�=7@>fi����� , o que nos fornece >'�BA �C9fi;D� A ��� %�� #!�E� "�� ���!�F�$�G�H( m/s � E 8-8 (8-13/6 � ) Um caminha˜o que perdeu os freios esta´ descendo uma estrada em declive a (*I�" km/h. Felizmente a estrada dispo˜e de uma rampa de escape, com uma inclinac¸a˜o de (���J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminha˜o chegue a zero an- tes do final da rampa? As rampas de escape sa˜o quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por queˆ? Nota: uso o valor (KI!" km/h da sexta edic¸a˜o do livro, em vez dos (*��" km/h da quarta, ja´ que na quarta edic¸a˜o na˜o e´ fornecida nenhuma resposta. Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de fricc¸a˜o. Neste caso a u´nica forc¸a a realizar trabalho e´ a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja ,.- a energia cine´tica do caminha˜o no inı´cio da rampa de es- cape e ,0/ sua energia cine´tica no topo da rampa. Seja �2- e ��/ os respectivos valores da energia potencial no inı´cio e no topo da rampa. Enta˜o ,0/ 3 �2/6�$,.- 3 �1-L� Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no inı´cio da rampa, enta˜o �2/M�N709�O , onde O e´ a altura final do caminha˜o em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o inicial. Te- mos que ,.-P�$7@>fi����� , onde > e´ a velocidade inicial do caminha˜o, e ,0/0�Q" ja´ que o caminha˜o para. Portanto 7:9�O.�R7@>fi����� , donde tiramos que O:� >fi� �C9 � �S(*I�" &T(K" + �CI!U�"�"fi�S� �5��%5� #fi� �=U!U�� ��I m � Se chamarmos de V o comprimento da rampa, enta˜o te- remos que V sen (���J)�WO , donde tiramos finalmente que VX� O sen (*� J � U!U�� ��I sen (*� J �����fi��� "�U m � Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista so´lida, aju- dando a diminuir mais a distaˆncia necessa´ria para parar o veı´culo. E 8-10 ( � na 6 � ) Um proje´til com uma massa de �G� Y kg e´ disparado pa- ra cima do alto de uma colina de (���� m de altura, com uma velocidade de (���" m/s e numa direc¸a˜o que faz um aˆngulo de Y�(*J com a horizontal. (a) Qual a energia cine´tica do proje´til no momento em que e´ disparado? (b) Qual a energia potencial do proje´til no mesmo mo- mento? Suponha que a energia potencial e´ nula na ba- se da colina ( Z$�[" ). (c) Determine a velocidade do proje´til no momento em que atinge o solo. Supondo que a resisteˆncia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do proje´til? http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 (a) Se 7 for a massa do proje´til e > sua velocidade apo´s o lanc¸amento, enta˜o sua energia cine´tica imediata- mente apo´s o lanc¸amento e´ ,.-\� ( � 7@> � � ( � � ��� Yfi"!�]�S(*��"!� � �$�!�G� "'&T(K" + J � (b) Se a energia potencial e´ tomada como zero quando o proje´til atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de O , enta˜o sua energia potencial inicial e´ � - �R7:9�O.�^�_�G� Yfi�E� %�� #!�]�S(*�!���F�$��� %�Y &)(*" + J � (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po- tencial e´ zero e a energia cine´tica pode ser escrita co- mo sendo , / �`7@>�� / ��� , onde > / e´ a velocidade do proje´til. A energia mecaˆnica e´ conservada durante o voo do proje´til de modo que , / �R7@>fi� / ���D�=, -a3 � - donde tiramos facilmente que >�/ � b ����,0- 3 �2- � 7 � b ��cH� �!�G� " 3 �G� %�Y���&T(K" +ed �G� Y!" �f(*��% m/s � Os valores de ,.-Lgh,0/5ga�2- e ��/ dependem todos da mas- sa do proje´til, pore´m a velocidade final >�/ na˜o depende da massa se a resisteˆncia do ar puder ser considerada desprezı´vel. Observe que o tal aˆngulo de Y�(*J na˜o foi usado para na- da! Talvez seja por isto que este exercı´cio ja´ na˜o mais aparec¸a nas edic¸o˜es subsequentes do livro... E 8-12 (8-17/6 � ) Uma bola de gude de � g e´ disparada verticalmente pa- ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de # cm para que a bola de gude apenas al- cance um alvo situado a ��" m de distaˆncia. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola? (a) Neste problema a energia potencial possui dois termos:energia potencial ela´stica da mola e energia po- tencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional co- mo sendo a posic¸a˜o da bola de gude quando a mola esta´ comprimida. Enta˜o, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela esta´ no topo da o´rbita (i.e. no ponto mais alto) e´ �Fij�=7:9GO , onde O e´ a altura do pon- to mais elevado. Tal altura e´ O0����" 3 "�� "�#6����"5� "!# m. Portanto �1i?�B� �'&T(K"Gk + �E� %�� #!�]� ��"5� "!#!�1�R"5� %�Y!# J � (b) Como a energia mecaˆnica e´ conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a ener- gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja, �G���*���l�m709�O��[�Fi , onde � e´ a constante da mola. Portanto, � � �fi� i � � � ��� "�� %�Yfi#!� � "�� "�#fi� � �RI�"���� � N/m � Observe que I!"fi��� � N/m n=I��H(D&)(*" � N/m �=I5�o( N/cm g que e´ a resposta oferecida pelo livro-texto. E 8-13 (8-5/6 � ) Uma bola de massa 7 esta´ presa a` extremidade de uma barra de comprimento V e massa desprezı´vel. A outra extremidade da barra e´ articulada, de modo que a bo- la pode descrever um cı´rculo plano vertical. A barra e´ mantida na posic¸a˜o horizontal, como na Fig. 8-26, ate´ receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do cı´rculo com velocidade zero. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola? (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola esta´ inicialmente a uma distaˆncia vertical V acima do pon- to mais baixo, a energia potencial inicial e´ �1-p�^7:9GV , sendo a energia potencial final dada por �2/q�R7:9ffi�_��Vp� . A variac¸a˜o da energia potencial e´, portanto, r ���s�2/?tu�1-P�=�C7:9GV)tT7:9�Vu�=709GVv� (b) A energia cine´tica final e´ zero. Chamemos de ,0-l�w7@>fi����� a energia cine´tica inicial, onde > e´ a velocidade inicial procurada. A barra na˜o faz traba- lho algum e a forc¸a da gravidade e´ conservativa, de modo que a energia mecaˆnica e´ conservada. Isto sig- nifica que r ,x�yt r � ou, em outras palavras, que tz7@>��*���D�ftz709GV de modo que temos > � A �C9�Vv� P 8-16 (8-19/6 � ) Um bloco de � kg e´ encostado numa mola num plano in- clinado sem atrito e com uma inclinac¸a˜o de I�"fiJ graus. A mola em questa˜o, cuja constante vale (*%�� U N/cm, e´ com- primida ��" cm sendo depois liberada. A que distaˆncia ao longo do plano inclinado e´ arremessado o bloco? http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 Quando o bloco e´ liberado, toda energia potencial ela´stica armazenada na mola transforma-se em energia potencial gravitacional, que e´ usada para levantar o cor- po verticalmente de uma altura O . A conservac¸a˜o de energia nos diz que { � �G� � �R709�O|� Portanto, O:� ����� ��709 � �S(K%5� U &T(K"!�]�E� "�� ���L� � ���]� �!�E��%5� #fi� � �S(K"!�K�]�flYfi�]�S(*" k �*� � �$� m � Chamando de } a distaˆncia percorrida ao longo do pla- no, temos que O~�s} sen I�"fiJ , donde tiramos a resposta procurada: }v� O sen I!" J � � (C��� �Y m � P 8-17 (8-21/6 � ) Uma mola pode ser comprimida � cm por uma forc¸a de �!��" N. Um bloco de (�� kg de massa e´ liberado a par- tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸a˜o e´ I�"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola �G� � cm antes de parar. (a) Qual a distaˆncia total percorrida pelo bloco ate´ parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola? A informac¸a˜o dada na primeira frase nos permite cal- cular a constante da mola: �ff� � � �!�C" "5� "fi� �f(�� I!�q&T(K"� N/m � (a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura O acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cine´tica e´ zero e sua energia potencial gravitacional inicial e´ 7:9GO , onde 7 e´ a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tambe´m a energia poten- cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su- ponha que o bloco comprima a mola uma distaˆncia � antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener- gia cine´tica final e´ zero, a energia potencial gravitacio- nal final e´ zero, e a energia potencial final da mola e´ ��������� . O plano inclinado na˜o tem atrito e a forc¸a nor- mal que ele exerce sobre o bloco na˜o efetua trabalho (pois e´ perpendicular a` direc¸a˜o do movimento), de mo- do que a energia mecaˆnica e´ conservada. Isto significa que 7:9�O0�=��������� , donde tiramos que O0� ��� � �C7:9 � �L(�� I!�'&T(K" �E� "�� "!���!� � ���L(*�!�E��%5� #fi� �$"��H(���Y m � Se o bloco viajasse uma distaˆncia } pelo plano inclinado abaixo, enta˜o } sen I�"fiJ��O , de modo que }4� O sen I�" J � "5�o(C��Y sen I�" J �="�� I!� m � (b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis- ta "5� "fi��� m do ponto onde ira´ estar em repouso, e as- sim esta´ a uma distaˆncia vertical de � "�� "!���!� sen I!"!J6� "5� "fi�!��� m acima da sua posic¸a˜o final. A energia po- tencial e´ enta˜o 7:9GO�j� �L(*���]��%5� #fi�E��"5� "fi�!�����.�NI�� ��I J. Por outro lado, sua energia potencial inicial e´ 7:9GOR� �L(*�!�E��%5� #fi�E� "��H(���Y��v���"5� � J. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cine´tica final: ,:/�=��"�� �zt I5� ��I?�^(��G� � J. Sua velocidade final e´, portanto, >'� b ��,0/ 7 � b �5�S(��G� �!� (�� �f(!� � m/s � P 8-18 ( � na 6 � ) Um proje´til de "�� ��� e´ lanc¸ado da borda de um penhasco com uma energia cine´tica inicial de (�����" J e, no ponto mais alto da trajeto´ria, esta´ a (KY!" m acima do ponto de lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velo- cidade do proje´til? (b) Qual a componente vertical da velocidade do proje´til no momento do disparo? (c) Em um certo instante, a componente vertical da velocidade do proje´til e´ U!� m/s. Neste momento, a que altura ele se encontra acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento? (a) A energia cine´tica inicial do proje´til e´ ,0-M� 7@>�� - ��� , e a energia potencial gravitacional e´ tomada co- mo sendo zero. No topo da trajeto´ria a velocidade do proje´til apenas possui a componente horizontal da velo- cidade, que chamamos de >� . Portanto{ � 7@> � - � { � 7@> � 3 7:9�Z max g donde tiramos que > � > � - tX��9�Z max � b ��,.- 7 tX��9�Z max � b �_���]�S(*�!��"fi� "5� �!� tX��� %�� #!�]�S(]Yfi"!�1�=��Y m/s http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 (b) A componente vertical e´ dada por >�Ł� > � - tT> � � b ��,.- 7 tT> � � b � ���]�S(�����"fi� "�� ��� t��Yq�=��� m/s (c) No tal instante a energia cine´tica , do proje´til e´ ,� { � 7@> � � { � 7Nc > � t)> � Ł d � { � � "�� ���!��� ��Yfi� � 3 ��Ufi��� �e � (K%!U�Y J � Chamemos de o deslocamento vertical desde o ponto inicial ate´ o instante em questa˜o. Enta˜o, -<� { � 7@> � - �=, 3 ��R, 3 709G5g o que nos fornece � ( 7:96 { � 7:> � - t, � ( ��"5� �!���]��%�� #!�| (�����"t(K%!U�Yfi � t�CU5� # m � Portanto o ponto em questa˜o encontra-se ABAIXO da posic¸a˜o inicial de lanc¸amento. P 8-19 ( � na 6 � ) Uma bola de ��" g e´ arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de # m/s e um aˆngulo de I�"fiJ para ci- ma em relac¸a˜o a` horizontal. Determine (a) a energia cine´tica da bolano ponto mais alto da trajeto´ria e (b) a sua velocidade quando se encontra a I m abaixo da ja- nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da bola ou (d) do aˆngulo de arremesso? (a) No topo da trajeto´ria, a componente vertical da velocidade da bola e´ zero enquanto que sua componente horizontal continua sendo > �s>C\Efi�I�" J , onde >C e´ o mo´dulo da velocidade da bola. A energia cine´tica , da bola de massa 7 e´, portanto, ,� { � 7> � � { � �_��" &T(K" k +]�'fl��#fi�E� E!�I�" J � � �f(�� � J � (b) Quando a bola se move com uma velocidade > a uma distaˆncia OT�^I m abaixo da janela, sua energia poten- cial e´ menor que o seu valor inicial, a diferenc¸a sendo igual a tz7:9GO . Conservac¸a˜o da energia enta˜o fornece{ � 7:> � � { � 7@> � tT7:9GO\g donde obtemos >'�B > � 3 ��9�O.� A # � 3 � �!�E� %�� #!�E� I!�1�^(�( m/s � (c) e (d) Da expressa˜o para > acima, fica bem claro que > na˜o depende nem da massa da bola nem do aˆngulo inicial. P 8-20 ( � na 6 � ) A mola de uma espingarda de mola tem uma constan- te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um aˆngulo de I!" J para cima em relac¸a˜o `horizontal, uma bala de ��" g e´ disparada e atinge uma altura de � m acima do cano da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo? (a) Chamando-se de >C o mo´dulo da velocidade ini- cial da bala de massa 7 , temos que a componente ho- rizontal da velocidade e´ > �8>C<E!5I�" J . No topo da trajeto´ria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por- tanto, a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica nos diz que{ � 7:> � J � { � 7@> � 3 709�Z max � { � 7 > E!5I�" J � � 3 709�Z max o que nos fornece > � b ��9�Z max (ztE! � I�" J � A � �!�E� %�� #!�E�_��� sen I!" J �=Y�¡ %�� #6�f(��G� � m/s � (b) A mola estava comprimida de � tal que, pela conservac¸a˜o da energia, tenhamos{ � �G� � � { � 7@> � g donde obtemos �@�> b 7 � �f�L(*�G� ��� b "5� "fi��" (K"!" �R"5� ��# m � P 8-21 ( � na 6 � ) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 Uma bala de morteiro de � kg e´ disparada para cima com uma velocidade inicial de (*"�" m/s e um aˆngulo de I�Y�J em relac¸a˜o a` horizontal. (a) Qual a energia cine´tica da bala no momento do disparo? (b) Qual e´ a variac¸a˜o na energia potencial da bala ate´ o momento em que atinge o ponto mais alto da trajeto´ria? (c) Qual a altura atingida pela bala? (a) Seja 7 a massa da bala e > sua velocidade inicial. A energia cine´tica inicial e´ enta˜o ,.-\� ( � 7:> � � ( � � �!�E�S(*"�"fi� � �$��� �q&(K"� J � (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de ��/ a energia potencial no topo da trajeto´ria. ��/ coincide enta˜o com a variac¸a˜o da energia potencial deste o instante do tiro ate´ o instan- te em que o topo da trajeto´ria e´ alcanc¸ada. Neste ponto a velocidade da bala e´ horizontal e tem o mesmo valor que tinha no inı´cio: > �s>C\]!G¢� , onde ¢� e´ o aˆngulo de tiro. A energia cine´tica no topo e´ ,0/� ( � 7:> � � ( � 7@> � Efi � ¢ � Como a energia mecaˆnica e´ conservada ( � 7@> � ����/ 3 ( � 7:> � ]! � ¢ � Portanto �2/ � ( � 7@> � �S(ztE! � ¢ � � ( � 7@> � sen � ¢ � ( � � �!�E�L(K"�"fi� � sen � I�Y J � ��� # &)(*" + J � (c) A energia potencial no topo da trajeto´ria e´ tambe´m dada por ��/£�7:9GO , onde O e´ a altura (desnı´vel) do topo em relac¸a˜o ao ponto de tiro. Resolvendo para O , encontramos: O0� � / 7:9 � �G� # &T(K" + �_���]��%�� #!� �^(KU!" m � P 8-23 (8-23/6 � ) A corda da Fig. 8-31 tem VM�Q(*��" cm de comprimento e a distaˆncia ate´ o pino fixo ¤ e´ de ��� cm. Quando a bola e´ liberada em repouso na posic¸a˜o indicada na fi- gura, descreve a trajeto´ria indicada pela linha tracejada. Qual e´ a velocidade da bola (a) quando esta´ passando pelo ponto mais baixo da trajeto´ria e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajeto´ria depois que a corda toca o pino? Chame de ¥ o ponto mais baixo que a bola atinge e de ¦ o ponto mais alto da trajeto´ria apo´s a bola to- car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixo Z originando-se no ponto ¥ e apontando para ci- ma. A energia inicial da bola de massa 7 no campo gravitacional da Terra antes de ser solta vale �7:9GV . Conservac¸a˜o da energia fornece-nos enta˜o uma equac¸a˜o para a velocidade > da bola em qualquer lugar especifi- cado pela coordenada Z : �=709GVu� ( � 7:> � 3 7:9�Z�� (a) Com Z�§l�s" em 709GVM� { � 7:>�� § 3 7:9fiZ�§ , obtemos facilmente que > § � A ��9GV� A � ���]��%5� #fi�E�S(!� �!�1�RY�� # m/s � (b) Importante aqui e´ perceber que o tal ponto mais alto da trajeto´ria depois que a corda toca o pino na˜o e´ o pon- to V t' (como a figura parece querer indicar) mas sim o ponto Z�¨l�$����V@t@fi� , pois a bola tem energia suficiente para chegar ate´ ele! ´E neste detalhezito que mora o pe- rigo... :-) Substituindo Z�¨ em 7:9�Vl� { � 7:>�� ¨ 3 7:9fiZ!¨ , obtemos enta˜o facilmente que > ¨ � A ��9©� ��DtTVp�ª� A ��� %�� #!�Ec ��� "��«���!�|tM(�� � d � ��� Y m/s � Qual a raza˜o deste u´ltimo valor ser a metade do ante- rior?... P 8-25 (8-25/6 � ) Deixa-se cair um bloco de � kg de uma altura de Y!" cm sobre uma mola cuja constante e´ �ff�f(*%�U�" N/m (Fig. 8- 32). Determine a compressa˜o ma´xima da mola. Seja 7 a massa do bloco, O a altura da queda e � a compressa˜o da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posic¸a˜o inicial do bloco. O bloco cai uma distaˆncia O 3 � e sua energia potencial gravitacional final e´ tz709©� O 3 �ffi� . Valores positivos de � indicam ter ha- vido compressa˜o da mola. A energia potencial da mola e´ inicialmente zero e �����C��� no final. A energia cine´tica e´ zero tanto no inı´cio quanto no fim. Como a energia e´ conservada, temos "6�^tz709©��¬ 3 ��� 3 ( � ��� � � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o quadra´tica sa˜o � � 7:9? A ��709�� � 3 �C7:9GO�� � � (*%�� Uz A �S(K%5� Ufi� � 3 ���L(K%�� U!�]�_��#�Yfi� (K%!U�" que fornece dois valores para � : "5�o(*" m ou tv"�� "�#!" m. Como procuramos uma compressa˜o, o valor desejado e´ "��H(K" m. P 8-27 (8-27/6 � ) Duas crianc¸as esta˜o competindo para ver quem conse- gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu- le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distaˆncia horizontal entre a borda da mesa e a caixa e´ de ��� � m (Fig. 8-34). Joa˜o comprime a mola (��H( cm e a bola cai �!� cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa? A distaˆncia que a bola de gude viaja e´ determina- da pela sua velocidade inicial, que e´ determinada pela compressa˜o da mola. Seja O a altura da mesa e � a distaˆncia horizontal ate´ o ponto onde a bola de gude aterrisa. Enta˜o ��m> *® e O��m9 ® �K��� , onde >C e´ a velocidade inicial da bola de gude e ® e´ o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸a˜o fornece ® � A �!O���9 de modo que �@��� A ��Offi�*9�� A distaˆnciaate´ o ponto de aterrisagem e´ diretamente proporcional a` velocidade inicial pois �Q�[>C ® . Seja >C { a velocidade inicial do primeiro tiro e � { a distaˆncia horizontal ate´ seu ponto de aterrisagem; seja >C � a velo- cidade inicial do segundo tiro e � � a distaˆncia horizontal ate´ seu ponto de aterrisagem. Enta˜o > � � � � � { > { � Quando a mola e´ comprimida a energia potencial e´ �fi}]���C¯ , onde } e´ a compressa˜o. Quando a bola de gude perde contato da mola a energia potencial e´ zero e sua energia cine´tica e´ 7@>fi� ��� . Como a energia mecaˆnica e´ conservada, temos ( � 7@> � � ( � �fi} � g de modo que a velocidade inicial da bola de gude e´ dire- tamente proporcional a` compressa˜o original da mola. Se } { for a compressa˜o do primeiro tiro e } � a do segundo, enta˜o > � �°�±} � �*} { �S> { . Combinando isto com o resul- tado anterior encontramos } � �[��� � ��� { �} { . Tomando agora � { �²��� ��" tM"5� �fi�)�[(�� %�I m, } { �[(��H(K" cm, e � � �$��� � m, encontramos a compressa˜o } � desejada: } � � ��� ��" m (!� %!I m �S(!�o(*" cm ���f(�� ��� cm � P 8-31 (8-26/6 � ) Tarzan, que pesa U!#�# N, decide usar um cipo´ de (K# m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida ate´ o ponto mais baixo da trajeto´ria, desce I5� � m. O cipo´ e´ capaz de resitir a uma forc¸a ma´xima de %!��" N. Tarzan consegue chegar ao outro la- do? Chamando de 7 a massa do Tarzan e de > a sua ve- locidade no ponto mais baixo temos que ( � 7@> � �7:9GO\g onde O e´ a altura que Tarzan desce. Desta expressa˜o tiramos que > � �=�C9GO.����9©��I5� �!�F�$U�� Y�9ffi� Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a forc¸a centrı´peta esta´ relacionada com a tensa˜o no cipo´ atrave´s da equac¸a˜o ³ tT7:9 �7 > � ´�g onde ´ e´ o raio da trajeto´ria. Portanto, temos que ³ �R709 3 7 >fi� ´ � 7:9 3 U5� Y!709 ´ � U�#!# ( 3 U5� Y (K# � %�Ifi�G� U N � Como ³`µ %fi��" N, vemos que Tarzan consegue atra- vessar, pore´m estirando o cipo´ muito perto do limite ma´ximo que ele agu¨enta! P 8-32 (8-29/6 � ) Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com- pleta em torno do pino, enta˜o $¶mI!Vp��� . (Sugesta˜o: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajeto´ria. Voceˆ saberia explicar por queˆ?) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 Antes de mais nada, este problema e´ uma continuac¸a˜o do problema 8-23. Releia-o antes de continuar. Use conservac¸a˜o da energia. A energia mecaˆnica deve ser a mesma no topo da oscilac¸a˜o quanto o era no inı´cio do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve- locidade (energia cine´tica) no topo. No topo a tensa˜o ³ na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸a˜o ao centro do cı´rculo. Note que o raio do cı´rculo e´ ;D�$VTtT , de modo que temos ³ 3 7:9 �R7 > � VtT g onde > e´ a velocidade e 7 e´ a massa da bola. Quan- do a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade possı´vel) a tensa˜o e´ zero. Portanto, 7:9M� 7@> � �G� V)t�� e temos que >'� A 9©��Vtfi� . Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸a˜o. Enta˜o a ener- gia potencial inicial e´ 7:9�V . A energia cine´tica inicial e´ " pois a bola parte do repouso. A energia potencial final, no topo da oscilac¸a˜o, e´ 7:9G�5��Vtfi� e a energia cine´tica final e´ 7@>��*���6�=7:9ffi� Vt��h��� . O princı´pio da conservac¸a˜o da energia fornece-nos 709GVu�R7:9G�5��VTtfi� 3 ( � 7:9ffi� VtT��e� Desta expressa˜o obtemos sem problemas que q� +· Vv� Se for maior do que I!Vp��� , de modo que o ponto mais alto da trajeto´ria fica mais abaixo, enta˜o a velocidade da bola e´ maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo. Se for menor a bola na˜o pode dar a volta. Portanto o valor I�V��� e´ um limite mais baixo. P 8-35 ¸ (8-33 ¸ /6 � ) Uma corrente e´ mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com- primento V e uma massa 7 , qual o trabalho necessa´rio para puxa´-la totalmente para cima da mesa? O trabalho necessa´rio e´ igual a` variac¸a˜o da energia potencial gravitacional a medida que a corrente e´ pu- xada para cima da mesa. Considere a energia poten- cial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente num nu´mero grande de segmentos infinitesimais, ca- da um com comprimento �Z . A massa de um tal seg- mento e´ �_¹=�CVº�L�Z e a energia potencial do segmen- to a uma distaˆncia Z abaixo do topo da mesa e´ G�[� t6��7»��Vº�¼9fiZ6!Z . A energia potencial total e´ �s�ft 7 V 9v½u¾5¿ ZG!Z � t ( � 7 V 9 V Y � � t ( I!� 709GVv� O trabalho necessa´rio para puxar a corrente para cima da mesa e´, portanto, t���=7:9�V�CI!� . P 8-37 ¸ (8-35 ¸ /6 � ) Um menino esta´ sentado no alto de um monte he- misfe´rico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um pequenı´ssimo empurra˜o e comec¸a a escorregar para bai- xo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des- prezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja altura e´ � ´ ��I . (Sugesta˜o: A forc¸a normal desaparece no momento em que o menino perde o contato como o gelo.) Chame de À a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no menino. Chamando de ¢ o aˆngulo entre a vertical e o raio que passa pela posic¸a˜o do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro e´ 7:9p]!G¢2tffÀ que, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a forc¸a centrı´peta 7@>��*� ´ , onde > e´ a velocidade do me- nino. No ponto em que o menino se desprende do gelo temos Àm�R" , de modo que 9EfiG¢� >�� ´=� Precisamos agora determinar a velocidade > . Tomando a energia potencial como zero quando o menino esta´ no topo do iglu, teremos para �ff�fl¢!� a expressa˜o � �fl¢fi���ftz7:9 ´ �L(tT]!G¢!�E� O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia cine´tica na hora que se desprende vale 7:>��*��� . Portan- to, a conservac¸a˜o da energia nos fornece " ��7:>��C���jt 7:9 ´ �L(tT]!G¢!� , ou seja, > � ����9 ´ �S(tT]!G¢fi�e� Substituindo este resultado na expressa˜o acima, obtida da forc¸a centrı´peta, temos 9ºEfiG¢�$�C9ffi�L(tT]!G¢!�Eg ou, em outras palavras, que EfiG¢� � I � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 A altura do menino acima do plano horizontal quando se desprende e´ ´ ]!G¢� � I ´ � 8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial P 8-39 (8-37/6 � ) A energia potencial de uma mole´cula diatoˆmica (H � ou O � , por exemplo) e´ dada por �� ¥ ; { � t ¦ ;CÁ onde ; e´ a distaˆncia entre os a´tomos que formam a mole´cula e ¥ e ¦ sa˜o constantes positivas. Esta energia potencial se deve a` forc¸a que mante´m os a´tomos unidos. (a) Calcule a distaˆncia de equilı´brio, isto e´, a distaˆncia entre os a´tomos para a qual a forc¸a a que esta˜o subme- tidos e´ zero. Verifique se a forc¸a e´ repulsiva (os a´tomos tendem a se separar) ou atrativa (os a´tomos tendem a se aproximar) se a distaˆncia entre eles e´ (b) menor e (c) maior do que a distaˆncia de equilı´brio. (a) A forc¸a e´ radial (ao longo a line que uneos a´tomos) e e´ dada pela derivada de � em relac¸a˜o a ; : �ft G� �; � (*��¥ ; { + t U!¦ ;� � A separac¸a˜o ; de equilı´brio e´ a separac¸a˜o para a qual temos �fl; ���=" , ou seja, para a qual (���¥MtTU!¦6; Á �$"�� Portanto a separac¸a˜o de equilı´brio e´ dada por ; � ��¥ ¦ { ¿ Á �f(!�o(�� ¥ ¦ { ¿ Á � (b) A derivada da forc¸a em relac¸a˜o a ; , computada na separac¸a˜o de equilı´brio vale !; � t (��Ã�(KI!¥ ; { 3 Y���¦ ;CÄ � t �L(*��U�¥Mt)Y���¦; Á J � ; { � t ����¥ ; { g onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que ; Á � ��¥?�C¦ . A derivada e´ negativa, de modo que a forc¸a e´ positiva se ; for um pouco menor que ; , indi- cando uma forc¸a de repulsa˜o. (c) Se ; for um pouco maior que ; a forc¸a e´ negativa, indicando que a forc¸a e´ de atrac¸a˜o. 8.1.3 Conservac¸a˜o da Energia 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito E 8-45 (8-48/6 � ) Aproximadamente ��� �:&M(K" Á kg de a´gua caem por se- gundo nas cataratas de Nia´gara a partir de uma altura de ��" m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun- do pela a´gua que cai? (b) Qual seria a poteˆncia gerada por uma usina hidrele´trica se toda a energia potencial da a´gua fosse convertida em energia ele´trica? (c) Se a companhia de energia ele´trica vendesse essa energia pe- lo prec¸o industrial de ( centavo de do´lar por quilowatt- hora, qual seria a sua receita anual? (a) O decre´scimo na energia potencial gravitacional por segundo e´ � �G� �'&T(K" Á �E��%5� #fi�E�_��"!�2�$�G�«�q&)(*"�Å J � (b) A poteˆncia seria ¤f�^�_�G�«�q&)(*" Å J �E�L( s ���=��� �q&T(K" Å W � (c) Como a energia total gerada em um ano e´ �$¤ ® � � ��� �q&T(K" Á kW �E�L( ano �]��#��CU�" h/ano � � �G� Yff&)(*" { kW à h g o custo anual seria �_�G� Yff&)(*" { �E� "�� "�(*�2�$�G� Yff&)(*" Ä do´lares g ou seja, ��Y!" milho˜es de do´lares. E 8-50 ( � na 6 � ) Um menino de ��( kg sobe, com velocidade constante, por uma corda de U m em (*" s. (a) Qual o aumento da energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a poteˆncia desenvolvida pelo menino durante a subida? (a) r ��R7:9�O.�^�_�G(*�]��%5� #fi�E��Ufi�1�=I5� " &T(K"!+ J � (b) ¤s� r � ® � I�"!"�" (*" �RI!"�" W � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 E 8-51 ( � na 6 � ) Uma mulher de ��� kg sobe correndo um lance de escada de Y5� � m de altura em I5� � s. Qual a poteˆncia desenvol- vida pela mulher? ¤s� � �!���E� %�� #!�]�flY5� ��� I�� � �$U�%!I W � E 8-55 ( � na 6 � ) Um nadador se desloca na a´gua com uma velocidade me´dia de "�� ��� m/s. A forc¸a me´dia de arrasto que se opo˜e a esse movimento e´ de (�(K" N. Qual a poteˆncia me´dia de- senvolvida pelo nadador? Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a a´gua com uma forc¸a de (!(K" N. Em relac¸a˜o a ele, a a´gua passa a "5� �!� m/s no sentido dos seus pe´s, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua poteˆncia e´ ¤f�RÆMÃEÇ)� 6È �^�L(�(K"fi�E� "�� �����F���CY W � E 8-64 (8-43/6 � ) Um urso de ��� kg escorrega para baixo num troco de a´rvore a partir do repouso. O tronco tem (�� m de al- tura e a velocidade do urso ao chegar ao cha˜o e´ de �G� U m/s. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial do urso? (b) Qual a energia cine´tica do urso no momento em que chega ao cha˜o? (c) Qual a forc¸a me´dia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida? (a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo �1-��^" . Enta˜o a energia potencial gravita- cional final e´ � / �ftz7:9GV , onde V e´ o comprimento da a´rvore. A variac¸a˜o e´, portanto, �2/?tu�1-\�^tz709GV � t6�_�����]��%5� #fi�E�S(���� � t4��� %�Y'&T(K" + J � (b) A energia cine´tica e´ ,� ( � 7:> � � ( � � ���!�E�_�G� U!� � �=I�%fi� J � (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual a t4ÉffiV , onde É e´ a forc¸a de atrito me´dia. Portanto É@�ft r , 3 r � V �t I�%fi�t��%�Y!" (*� ���G(K" N � P 8-66 (8-51/6 � ) Um bloco de I�� � kg e´ empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola e´ U�Yfi" N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra total- mente relaxada, o bloco viaja por uma superfı´cie hori- zontal com um coeficiente de atrito dinaˆmico de "5� �!� , percorrendo uma distaˆncia de ��� # m antes de parar. (a) Qual a energia mecaˆnica dissipada pela forc¸a de atrito? (b) Qual a energia cine´tica ma´xima possuı´da pelo blo- co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o bloco fosse liberado? (a) A magnitude da forc¸a de fricc¸a˜o e´ É@�RÊ\ËCÀ , onde Ê\Ë e´ o coeficiente de atrito dinaˆmico e À e´ a forc¸a nor- mal da superfı´cie sobre o bloco. As u´nicas forc¸as verti- cais atuantes no bloco sa˜o a forc¸a normal, para cima, e a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente vertical da acelerac¸a˜o do bloco e´ zero, a segunda lei de Newton nos diz que Àm�R709 , onde 7 e´ a massa do blo- co. Portanto É~��Ê Ë 7:9 . A energia mecaˆnica dissipada e´ dada por r �ÌÉ�}Í�ÎÊ Ë 709fi} , onde } e´ a distaˆncia que o bloco anda antes de parar. Seu valor e´ r �B��"5� �!���E� I�� ���]��%�� #!�]�_�G� #fi�P�$U�U5� #!# J � (b) O bloco tem sua energia cine´tica ma´xima quando perde contato com a mola e entra na parte da superfı´cie onde a fricc¸a˜o atua. A energia cine´tica ma´xima e´ igual a` energia mecaˆnica dissipada pela fricc¸a˜o: U�U5� #!# J. (c) A energia que aparece como energia cine´tica esta- va ariginalmente armazenada como energia potencial ela´stica, da mola comprimida. Portanto r ������*��� , onde � e´ a constante da mola e � e´ a compressa˜o. Logo, �@� b � r � � b �5��U!U�� #�#!� U�Y!" �$"�� Yfi�!� m n=Y!U cm � P 8-69 (8-55/6 � ) Dois montes nevados teˆm altitudes de #fi��" m e ����" m em relac¸a˜o ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis- ta de esqui vai do alto do monte maior ate´ o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento to- tal da pista e´ I�� � km e a inclinac¸a˜o me´dia e´ I�"!J . (a) Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. Com que velovidade chegara´ ao alto do monte menor sem se impulsionar com os basto˜es? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 10 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 dinaˆmico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor? (a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co- mo estando no vale entre os dois picos. Enta˜o a energia potencial e´ � - �7:9�O - , onde 7 e´ a massa do esquiador e O - e´ a altura do pico mais alto. A energia potencial final e´ � / �^7:9�O / , onde O / e´ a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cine´tica , - �" . Escrevamos a energia cine´tica final como , / �7@> � ��� , onde > e´ a velocidade do esquiador no topo do pico me- nor. A forc¸a normal da superfı´cie dos montes sobre o esquiador na˜o faz trabalho (pois e´ perpendicular ao mo- vimento) e o atrito e´ desprezı´vel, de modo que a energia mecaˆnica e´ conservada: �2- 3 ,0-1�°�2/ 3 ,0/ , ou seja, 7:9GO�-\�R7:9�O�/ 3 7@>fi����� , donde tiramos >'� �C9ffi�_O5-ffitXO�/!��� A �5��%5� #fi�E��#fi��"jtu����"fi�1�Y�Y m s � (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superfı´cie in- clinada dos montes no esquiador e´ dada por À � 7:9lE!�¢, onde ¢ e´ o aˆngulo da superfı´cie inclinada em relac¸a˜o a` horizontal, I�"fiJ para cada uma das superfı´cies em questa˜o. A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por É~��Ê\ËCÀN��Ê\Ë*7:9M]!G¢ . A energia mecaˆnica dissipa- da pela forc¸a de atrito e´ É�}j�sÊ\Ë�7:9!}~]!G¢ , onde } e´ o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cine´tica, a ener- gia mecaˆnica dissipada pelo atrito e´ igual a` diferenc¸a de energia potencial entre os pontos inicial e final da tra- jeto´ria. Ou seja, Ê\Ë*7:9fi}:EfiG¢q�7:9ffi�_O - tO / �Eg donde tiramos Ê Ë : Ê Ë � O�-©tO�/ }@]!G¢ � #!��"tu����" ��I5� �'&T(K" + �'Efi'I!" J �$"�� "�I�U5� P 8-74 ( � na 6 � ) Uma determinada mola na˜o obedece a` lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distaˆncia � (em metros) e´ de ���G� #�� 3 I!#�� Y�� � , no sentido oposto ao da distensa˜o. (a) Calcule o traba- lho necessa´rio para distender a mola de �u�"5� � m ate´ �^�`(!� " m. (b) Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma partı´cula de �G�H(�� kg e´ presa a` ou- tra extremidade e a mola e´ distendida de uma distaˆncia �l�²(�� " . Em seguida, a partı´cula e´ liberada sem velo- cidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distensa˜o da mola diminuiu para ��w"5� � m. (c) A forc¸a exercida pela mola e´ conservativa ou na˜o- conservativa? Explique sua resposta. (a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual em magnitude a` forc¸a da mola pore´m no sentido oposto. Como a uma distensa˜o no sentido positivo de � exerce uma forc¸a no sentido negativo de � , a forc¸a aplicada tem que ser �B���G� #�� 3 I�#�� Y���� , no sentido positivo de � . O trabalho que ela realiza e´ Ï � ½ {eÐ Ð · � �!�G� #�� 3 I�#5� Y!� � �L�� � �!�G� # � � � 3 I�#5� Y I ��+ {eÐ Ð · �=I5(�� " J � (b) A mola faz I�( J de trabalho e este deve ser o au- mento da energia cine´tica da partı´cula. Sua velocidade e´ enta˜o >'� b ��, 7 � b �5��I5(�� "!� �G�H(�� �=��� Ifi� m/s � (c) A forc¸a e´ conservativa pois o trabalho que ela faz quando a partı´cula vai de um ponto � { para outro pon- to � � depende apenas de � { e � � , na˜o dos detalhes do movimento entre � { e � � . P 8-79 (8-61/6 � ) Uma pedra de peso Ñ e´ jogada verticalmente para cima com velocidade inicial >C . Se uma forc¸a constante É de- vido a` resisteˆncia do ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura ma´xima atingida pela pedra e´ dada por O0� >fi� �C9ffi�L( 3 É|�CÑ� � (b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo e´ dada por > �R>C Ñ=tXÉ Ñ 3 É { ¿ � � (a) Seja O a altura ma´xima alcanc¸ada. A energia mecaˆnica dissipada no ar quando a pedra sobe ate´ a altu- ra O e´, de acordo com a Eq. 8-26, r �^t4É©O . Sabemos que r �B��,0/ 3 �2/fi�Pt��,.- 3 �1-�eg http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 11 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 onde ,.- e ,0/ sa˜o as energias cine´ticas inicial e final, e �1- e �2/ sa˜o as energias poetenciais inicial e final. Esco- lha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento da pedra. A energia cine´tica inicial e´ ,.-�Ò7@>fi� ��� , a energia potencial inicial e´ � - �" , a energia cine´tica fi- nal e´ , / �8" e a energia potencial final e´ � / �ÎÑO . Portanto t4É©O:�ÑO.t)7@> � J ��� , donde tiramos O0� 7@>�� ����Ñ 3 É©� � Ñv>fi� ��9©�flÑ 3 É©� � >fi� �C9ffi�L( 3 É|��Ñj� g onde substituimos 7 por Ñ?�*9 e dividimos numerador e denominador por Ñ . (b) Note que a forc¸a do ar e´ para baixo quando a pe- dra sobe e para cima quando ela desce. Ela e´ sempre oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada durante o trajeto no ar todo e´ r �Ót4�!É©O . A ener- gia cine´tica final e´ , / �B7@>fi�C��� , onde > e´ a velocida- de da pedra no instante que antecede sua colisa˜o com o solo. A energia potencial final e´ � / �²" . Portanto t4��É©O.�=7@>fi�����5tv7:>�� ��� . Substituindo nesta expressa˜o a expressa˜o encontrada acima para O temos t ��É�>�� �C9ffi�L( 3 É|�CÑ� � ( � 7:> � t ( � 7@> � � Deste resultado obtemos > � �=> � t ��É�> � 7:9ffi�L( 3 É|�CÑ� � > � t ��É�> � Ñ�S( 3 É|�CÑ� � > � (zt �!É Ñ 3 É � > � ÑRtXÉ Ñ 3 É Fg de onde obtemos o resultado final procurado: >'�=> ÑRtXÉ Ñ 3 É { ¿ � � Perceba que para ÉR�Î" ambos resultados reduzem-se ao que ja´ conheciamos, como na˜o podeia deixar de ser. 8.1.5 Massa e Energia E 8-92 ( � na 6 � ) (a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa de (*"!� g? (b) Durante quantos anos esta energia aten- deria a`s necessidades de uma famı´lia que consome em me´dia ( kW? (a) Usamos a fo´rmula �R7ÍÔE� : �f� "��H(K"!�!�E�_�G� %�%�#q&T(K" Ä � � �=%��H(��&)(*" { · J � (b) Usamos agora �R¤ ® , onde ¤ e´ a taxa de consumo de energia e ® e´ o tempo. Portanto, ® � ¤ � %��H(��&T(K" { · (D&)(*" + � %��H(��&T(K" { � segundos � �G� %�(?&T(K" · anos! P 8-96 ( � na 6 � ) Os Estados Unidos produziram cerca de �G� I�(@&�(*" { � kW à h de energia ele´trica em 1983. Qual a massa equi- valente a esta energia? Para determinar tal massa, usamos a relac¸a˜o � 7ÍÔE� , onde Ô�B��� %!%�#ff&l(K" Ä m/s e´ a velocidade da luz. Primeiro precisamos converter kW à h para Joules: ��� I5(&T(K" { � kW à h � �G� I�(?&T(K" { � �S(K" + W �E� I�U�"!" s � � #�� I!�q&T(K" { Ä J � Portanto 78� Ô � � #5� Ifi�&T(K" { Ä �_�G� %�%�#q&T(K" Ä � � �$%!��� � kg � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 12 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 9 Sistemas de Partı´culas 9.1 Questo˜es Q 9-2 Qual a localizac¸a˜o do centro de massa da atmosfera da Terra? 9.2 Problemas e Exercı´cios 9.2.1 O Centro de Massa E 9-1 (9-1/6 � edic¸a˜o) (a) A que distaˆncia o centro de massa do sistema Terra- Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distaˆncia entre os dois astros que aparecem no Apeˆndice C.) (b) Expresse a resposta do item (a) como uma frac¸a˜o do raio da Terra. (a) Escolha a origem no centro da Terra. Enta˜o a distaˆncia ;KÕPÖ do centro de massa do sistema Terra-Lua e´ dada por ;*Õ<ÖÒ� 7 ¾ ;*× 7 ¾ 3 7@Ø g onde 7 ¾ e´ a massa da Lua, 7ÍØ e´ a massa da Terra, a ; × e´ a separac¸a˜o me´dia entre Terra e Lua. Tais valores encontram-se no Apeˆndice C. Em nu´meros temos, ; ÕPÖ � ���� I�U'&T(K"��Ù�]�]��I�� �'&T(K" Ä � ��� I�U'&)(*" �Ù� 3 ��� %!#'&)(*" � � Y5� U�Y &)(*" Á m � (b) O raio da Terra e´ ´ Ø�$U�� Ifi�6&~(K" Á m, de modo que temos ; Õ<Ö ´ Ø � Y�� U�Y'&T(K" Á U5� I��6&T(K" Á �="5� ��I�� Observe que a frac¸a˜o entre as massas e´ 7 Ø 7 ¾ � ��� %!#q&T(K"!� �G� I!Uq&T(K" �h� �=#�(!� �!� E 9-3 (9-3/6 � ) (a) Quais sa˜o as coordenadas do centro de massa das treˆs partı´culas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acon- tece com o centro de massa quando a massa da partı´cula de cima aumenta gradualmente? (a) Sejam �fl� { ghZ { �R�Ú��"�gÙ"!� , �fl� � ghZ � �R�x�L(�ga��� e ��� + gLZ + � �Û�_�GgK(*� as coordenadas(em metros) das treˆs partı´culas cujas respectivas massas designamos por 7 { , 7 � e 7 + . Enta˜o a coordenada � do centro de massa e´ � Õ<Ö � 7 { � { 3 7 � � � 3 7 + � + 7 { 3 7 � 3 7 + � " 3 ��#5� "fi�E�S(!� "fi� 3 ��Y5� "!�]� �G� "!� I�� " 3 #5� " 3 Y5� " �^(��H( m � enquanto que a coordenada Z e´ Z ÕPÖ � 7 { Z { 3 7 � Z � 3 7 + Z + 7 { 3 7 � 3 7 + � " 3 � #�� "!�E�_�G� "!� 3 �flY�� "fi�E�S(!� "fi� I5� " 3 #�� " 3 Y�� " �f(!� I m � (b) A medida que a massa da partı´cula de cima e´ au- mentada o centro de massa desloca-se em direc¸a˜o a`quela partı´cula. No limite, quando a partı´cula de cima for mui- to mais massiva que as outras, o centro de massa coin- cidira´ com a posic¸a˜o dela. E 9-12 ¸ (9-9/6 � ) Uma lata em forma de cilindro reto de massa ¹ , al- tura ¬ e densidade uniforme esta´ cheia de refrigerante (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´ 7 . Fazemos pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conteu´do e medimos o valor de O , a distaˆncia verti- cal entre o centro de massa e a base da lata, para va´rias situac¸o˜es. Qual e´ o valor de O para (a) a lata cheia e (b) a lata vazia? (c) O que acontece com O enquanto a lata esta´ sendo esvaziada? (d) Se � e´ a altura do lı´quido que resta em um determinado instante, determine o va- lor de � (em func¸a˜o de ¹ , ¬ e 7 ) no momento em que o centro de massa se encontra o mais pro´ximo possı´vel da base da lata. (a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa esta´ localizado no seu centro geome´trico, a uma distaˆncia ¬@��� acima da sua base. O centro de massa do refri- gerante esta´ no seu centro geome´trico, a uma distaˆncia �©��� acima da base da lata. Quando a lata esta´ cheia tal posic¸a˜o coincide com ¬:��� . Portanto o centro de massa http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 13 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 da lata e com o refrigerante que ela conte´m esta´ a uma distaˆncia O0� ¹��¬@����� 3 7��¬:����� ¹ 3 7 � ¬ � acima da base, sobre o eixo do cilindro. (b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de massa esta´ em ¬:��� acima da base, sobre o eixo do ci- lindro. (c) A medida que � decresce o centro de massa do re- frigerante na lata primeiramente diminui, depois cresce ate´ ¬:��� novamente. (d) Quando a superfı´cie superior do refrigerante esta´ a uma distaˆncia � acima da base da lata a massa restante 7ÍÜ do refrigerante na lata e´ 7ÍÜD��fl�©�C¬�S7 , onde 7 e´ a massa quando a lata esta´ cheia ( �)�¬ ). O centro de massa do refrigerante esta´ apenas a uma distaˆncia �ffi��� da base da lata. Logo O � ¹��¬@����� 3 7 Ü �fl�©���!� ¹ 3 7@Ü � ¹��¬@����� 3 �fl�©�C¬�S7T���ffi����� ¹ 3 7@�ffi�C¬ � ¹¬ � 3 7@� � ���_¹¬ 3 7@��� � (1) Encontramos a posic¸a˜o mais baixa do centro de massa da lata com refrigerante igualando a zero a derivada de O em relac¸a˜o a � e resolvendo em relac¸a˜o a � . A derivada e´ dada por �O !� � �C7@� ��� ¹¬8tT7:�ffi� t � ¹¬~� 3 7:���*�S7 �5� ¹¬ 3 7:�ffi� � � 7@�K��� 3 ��¹s7ͬ»� tX¹s7@¬~� ��� ¹¬ 3 7:�ffi� � � A soluc¸a˜o de 7Í�E��� 3 �!¹s7@¬»�fftX¹s7ͬ~�v�=" e´ �:� ¹¬ 7 tM( 3 b ( 3 7 ¹ � Usamos a soluc¸a˜o positiva pois � e´ positivo. Substituindo-se agora o valor de � na Eq. (1) acima e simplificando, encontramos finalmente que O:� ¬¹ 7 b ( 3 7 ¹ tM( � 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de partı´culas E 9-13 (9-10/6 � ) Dois patinadores, um com Ufi� kg de massa e o outro com Yfi" kg, esta˜o de pe´ em um rinque de patinac¸a˜o no gelo segurando uma vara de massa desprezı´vel com (K" m de comprimento. Partindo das extremidades da vara, os pa- tinadores se puxam ao longo da vara ate´ se encontrarem. Qual a distaˆncia percorrida pelo patinador de Yfi" kg? A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente os patinadores e a vara formem um sistema mecanica- mente isolado, i.e. sobre o qual na˜o atuam forc¸as exter- nas. Portanto, a posic¸a˜o do centro de massa na˜o pode alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinado- res puxarem a vara. Suponha que o patinador de U!� kg encontre-se a` esquer- da e que o centro de massa seja escolhido como a origem do sistema de coordenadas (i.e. � ÕPÖ �Ò" ), e que seja � a distaˆncia desde o centro de massa ate´ o patinador de Yfi" kg. Enta˜o temos ��Õ<Ö8� tvUfi���L(K"t)�ffi� 3 Yfi"�� Ufi� 3 Yfi" �$"�� Portanto, temos U!�5�S(K"tT�����=Y!"�� , donde tiramos �:� U!��" (K"fi� �RU�� � m � Note que o fato dos patinadores terminarem em contato implica que basta um deles puxar a vara para que AM- BOS se movam em relac¸a˜o ao gelo. Se ambos puxarem a vara, eles apenas chegam mais ra´pido a` posic¸a˜o fi- nal, sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar a vara, que o outro sera´ necessariamente arrastado em direc¸a˜o ao centro de massa, quer queira, quer na˜o. Voce percebe isto? E 9-14 (9-11/6 � ) Um velho Galaxy com uma massa de �CYfi"�" kg esta´ via- jando por uma estrada reta a #�" km/h. Ele e´ seguido por um Escort com uma massa de (*U�"!" kg viajando a U!" km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? Sejam 7ÍÝ e >�Ý a massa e a velocidade do Galaxy e 7ÍÞ e >�Þ a massa e velocidade do Escort. Enta˜o, con- forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´ dada por > Õ<Ö � 7ÍÝ1>�Ý 3 7ÍÞ1>�Þ 7 Ý~3 7 Þ � �_�CY!"!"!�]��#�"fi� 3 �S(*U�"!"!�E� U�"fi� �CY!"!" 3 (KU!"�" ����� km/h � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 14 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 Note que as duas velocidades esta˜o no mesmo sentido, de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo sinal. As unidades usadas na˜o sa˜o do Sistema Interna- cional. E 9-19 (9-18/6 � ) Ricardo, de massa igual a #!" kg, e Carmelita, que e´ mais leve, esta˜o passeando no Lago Titicaca em uma canoa de I�" kg. Quando a canoa esta´ em repouso na a´gua calma, eles trocam de lugares, que esta˜o distantes I m e posi- cionados simetricamente em relac¸a˜o ao centro da canoa. Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se move Y!" cm em relac¸a˜o a um tronco de a´rvore submerso e cal- cula a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita? Chamemos de ¹Xß e ¹ Õ as massas de Ricardo e Car- melita. Suponhamos que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri- cardo) esteja a uma distaˆncia � do meio da canoa de comprimento V e massa 7 . Neste caso ¹Xß V � tT� �R7@� 3 ¹ Õ V � 3 � � Como na˜o existe forc¸a externa, esta equac¸a˜o permane- ce igualmente va´lida apo´s a troca de lugares, uma vez que as posic¸o˜es de ambos sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o ao meio do barco. A diferenc¸a e´ que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no barco, ou seja, sofreu uma variac¸a˜o de ��� . Para deter- minar o valor de � , basta usar a observac¸a˜o relacionada ao tronco de a´rvore submerso, que andou uma distaˆncia �C�:�=Y!" cm �$"�� Y m � Portanto, usando �X�^"5� � na equac¸a˜o acima obtemos a massa de Carmelita: ¹XÕ � ¹Xß��Vp���t)�ffi�Ft)7@� Vp��� 3 � � #�"5� Ifi���vt"�� ���Pt��I!"!�E� "�� ��� I���� 3 "�� � ����# kg � E 9-20 (9-15/6 � ) Um proje´til e´ disparado por um canha˜o com uma velo- cidade inicial de ��" m/s. O aˆngulo do disparo e´ U�"fiJ em relac¸a˜o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais al- to da trajeto´ria, o proje´til explodeem dois fragmentos de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu- ja velocidade imediatamente apo´s a explosa˜o e´ zero, cai verticalmente. A que distaˆncia do canha˜o o outro frag- mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e a resisteˆncia do ar possa ser desprezada? Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explosa˜o e a velocidade do fragmento que na˜o cai reto para baixo. Tais dados sa˜o as condic¸o˜es iniciais para um problema de movimento de proje´teis, para determi- nar onde o segundo fragmento aterrisa. Consideremos primeiramente o movimento do proje´til original, ate´ o instante da explosa˜o. Tomemos como ori- gem o ponto de disparo, com o eixo � tomado horizontal e o eixo Z vertical, positivo para cima. A componente Z da velocidade e´ dada por >M�Ì> Ùà t£9 ® e e´ zero no instante de tempo ® �> aà �*9@���> ��9G� sen ¢ , onde > e´ a velocidade inicial e ¢ e´ o aˆngulo de disparo. As coordenadas do ponto mais alto sa˜o �:�=>Ceá ® � c >C\EfiG¢� d ® � �fl>CC�S� 9 sen ¢ EfiG¢ � � ��"!�L� %�� # sen U�" J E!5U�" J �^(��G� � m g e Z � >C à�® t { � 9 ® � � { � > � 9 sen � ¢ � { � � ��"!�S� %�� # sen � U�" J �^(*��� I m � Ja´ que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a com- ponente horizontal do momento e´ conservada. Uma vez que um dos fragmentos tem velocidade zero apo´s a ex- plosa˜o, o momento do outro fragmento tem que ser igual ao momento do proje´til originalmente disparado. A componente horizontal da velocidade do proje´til ori- ginal e´ > EfiG¢ . Chamemos de ¹ a massa do proje´til inicial e de È a velocidade do fragmento que se move horizontalmente apo´s a explosa˜o. Assim sendo, temos ¹s>C\EfiG¢�� ¹ � È fig uma vez que a massa do fragmento em questa˜o e´ ¹=��� . Isto significa que È â� ��>C\EfiG¢� � �5� ��"fi�GEfiGU�" J ����" m/s � Agora considere um proje´til lanc¸ado horizontalmente no instante ® �W" com velocidade de ��" m/s a partir do ponto com coordenadas �fl� ghZ �p�°�S(��G� �Gg](��G� I!� m. Sua http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 15 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 coordenada Z e´ dada por Zf�WZ tR9 ® �*��� , e quando ele aterrisa temos ZX�" . O tempo ate´ a aterrisagem e´ ® � A �CZ �*9 e a coordenada � do ponto de aterrisagem e´ �Í�� 3 È ]® � � 3 È b �CZ� 9 � (����«� 3 ��" b �5�S(*��� Ifi� %�� # �=��I m � A que distaˆncia o proje´til cairia se na˜o tivesse havido explosa˜o? E 9-21 (9-17/6 � ) Dois sacos ideˆnticos de ac¸u´car sa˜o ligados por uma cor- da de massa desprezı´vel que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezı´vel, com ��" mm de diaˆmetro. Os dois sacos esta˜o no mesmo nı´vel e cada um possui originalmente uma massa de ��"�" g. (a) Determine a posic¸a˜o horizontal do centro de massa do sistema. (b) Suponha que ��" g de ac¸u´car sa˜o transferidos de um saco para o outro, mas os sacos sa˜o mantidos nas posic¸o˜es originais. Determine a nova posic¸a˜o horizontal do cen- tro de massa. (c) Os dois sacos sa˜o liberados. Em que direc¸a˜o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua acelerac¸a˜o? (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co- mo sendo o centro da roldana, com o eixo � horizontal e para a direita e com o eixo Z para baixo. O centro de massa esta´ a meio caminho entre os sacos, em ��B" e ZM�Î} , onde } e´ a distaˆncia vertical desde o centro da roldana ate´ qualquer um dos sacos. (b) Suponha ��" g transferidas do saco da esquerda para o saco da direita. O saco da esquerda tem massa Yfi#�" g e esta´ em � { �^t4��� mm. O saco a` direita tem massa ����" g e esta´ em � � � 3 ��� mm. A coordenada � do centro de massa e´ enta˜o � Õ<Ö � 7 { � { 3 7 � � � 7 { 3 7 � � �flYfi#�"!�]�St4�!��� 3 �_����"!�E� 3 ���!� Y���" 3 �!��" �^(�� " mm � A coordenada Z ainda e´ } . O centro de massa esta´ a ��U mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos. (c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para bai- xo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. (d) Como os sacos esta˜o conectados pela corda, que pas- sa pela roldana, suas acelerac¸o˜es tem a mesma magni- tude mas sentidos opostos. Se ¯ e´ a acelerac¸a˜o de 7 � , enta˜o tv¯ e´ a acelerac¸a˜o de 7 { . A acelerac¸a˜o do centro de massa e´ ¯�Õ<Ö8� 7 { �Stv¯G� 3 7 � ¯ 7 { 3 7 � �$¯ 7 � tT7 { 7 { 3 7 � � Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco te- mos saco leve ã 7 { 9t ³ �ftz7 { ¯�g saco pesado ã 7 � 9t ³ � 7 � ¯�� Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos ¯'� 7 � tT7 { 7 { 3 7 � 9�� Portanto, substituindo na equac¸a˜o para ¯�Õ<Ö , vemos que ¯ ÕPÖ � ��7 � t)7 { �L� ��7 { 3 7 � � � 9 � �_����"?t)Yfi#�"!�L� ��Y!#!" 3 �!��"!� � ��%�� #!�1�$"�� "�(*U m/s ��� A acelerac¸a˜o e´ para baixo. E 9-22 (9-19/6 � ) Um cachorro de � kg esta´ em um bote de ��" kg que se encontra a U m da margem (que fica a` esquerda na Fig. 9- 34a). Ele anda �G� Y m no barco, em direc¸a˜o a` margem, e depois pa´ra. O atrito entre o bote e a a´gua e´ desprezı´vel. A que distaˆncia da margem esta´ o cachorro depois da caminhada? (Sugesta˜o: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a di- reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco? Sera´ que ele se move?) Escolha o eixo � como sendo horizontal, com a ori- gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9- 34a. Seja 7»ä a massa do bote e �ffiä_- sua coordenada ini- cial. Seja 7»å a massa do cachorro e �ffiå- sua coordenada inicial. A coordenada inicial do centro de massa e´ enta˜o �\æ -oç Õ<Ö � 7ÍäL��ä_- 3 7»åh��å- 7Íä 3 7»å � Agora o cachorro caminha uma distaˆncia para a es- querda do bote. Como a diferenc¸a entre a coordenada final do bote � ä/ e a coordenada final do cachorro � å¼/ e´ , ou seja � ä/ tT� å¼/ �f , a coordenada final do centro de massa pode tambe´m ser escrita como � æ /Kç ÕPÖ � 7ÍäL��ä/ 3 7»åS�ffiå¼/ 7 äP3 7 å http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 16 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 � 7»äL��å¼/ 3 7»äL 3 7»åS�ffiå¼/ 7»ä 3 7»å � Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no siste- ma bote-cachorro, a velocidade do centro de massa na˜o pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial- mente em repouso, a velocidade do centro de massa e´ zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a˜o e, portanto, as duas expresso˜es acima para � ÕPÖ devem ser iguais. Isto significa que � æ -Hç ÕPÖ � � æ /*ç Õ<Ö 7ÍäL��ä_- 3 7»åL�ffiå-è� 7»äL��å¼/ 3 7»äL 3 7»åh��å¼/5� Isolando-se ��å¼/ obtemos � å¼/ � 7ÍäL��ä_- 3 7»åL�ffiå-©tT7Íäh 7Íä 3 7»å � � ��"fi�E� U!� 3 � ���]��Ufi�FtM�_��"fi�E� ��� Y�� ��" 3 � �RY�� "!# m � Observe que usamos � ä - �è� å- . ´E estritamente ne- cessa´rio fazer-se isto? Se na˜o for, qual a vantagem de se faze-lo?... Ale´m de uma escolha conveniente dos pontos de re- fereˆncia, perceba que um passo crucial neste exercı´cio foi estabelecer o fato que ��ä/6t)�ffiå¼/�= . 9.2.3 O Momento Linear E 9-23 ( � na 6 � ) Qual o momento linear de um automo´vel que pesa (KU5� "!"�" N e esta´ viajando a #�# km/h? A “moral” deste problema e´ cuidar com as unidades empregadas: é �R7@>'� (KU!"�"�"%�� # #!#'&)(*" + I!U�"�" �RI!U!��#�( kg m/s g na direc¸a˜o do movimento. E 9-24 (9-21/6 � ) Suponha que sua massa e´ de #�" kg. Com que veloci- dade teria que correr para ter o mesmo momento linear que um automo´vel de (*U�"!" kg viajando a (!� � km/h? Chamando de 7 å e > å a massa e a velocidade do car- ro, e de 7 e > a “sua” massa e velocidade temos, grac¸as a` conservac¸a˜o do momento linear, > � 7Íåh>�å 7 � �S(*U�"!"!�E�L(�� �6&T(K" + � � #�"fi�E��I!U�"!"!� �=U�� Ufi� m/s � Poderı´amos tambe´m deixar a resposta em km/h: > � 7 å > å 7 � �S(*U�"�"fi�E�L(�� ��� #�" �$��Y km/h � Perceba a importaˆncia de fornecer as unidades ao dar sua resposta. Este u´ltimo valor na˜o esta´ no SI, claro. E 9-25 (9-20/6 � ) Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de #�(*U kg (a) para ter o mesmo momento linear que um Ca- dillac de ��Ufi��" kg viajando a (KU km/h e (b) para ter a mesma energia cine´tica? (a) O momento sera´ o mesmo se 7~ê1>!ê°�Î7 Õ > Õ , donde tiramos que >!êu� 7 Õ 7 ê > Õ � ��Ufi��" #�(*U �S(*U!�1�$��(�� %�U km/h � (b) Desconsiderando o fator (���� , igualdade de energia cina´tica implica termos 7~ê2>fi� ê �7 Õ >�� Õ , ou seja, > ê � b 7 Õ 7»ê >�ÕX� b ��U!��" #�(KU �L(KUfi�F����#5� #!I km/h � E 9-26 ( � na 6 � ) Qual o momento linear de um ele´tron viajando a uma velocidade de "�� %�%!Ô ( �$�G� %fi�q&T(K" Ä m/s)? Como a velocidade do ele´tron na˜o e´ de modo algum pequena comparada com a velocidade Ô da luz, faz-se necessa´rio aqui usar a equac¸a˜o relativistica para o mo- mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24: é � 7:> (zt Łeë åë � � %��H(�(?&)(*" k + { �]� ��� %��q&)(*" Ä � A (zt��"5� %!%!� � � (!� %5(��6&)(*" k � { kg à m/s � Sem o fator relativı´stico terı´amos achado é � � %��H(�(D&T(K" k + { �E�_�G� %fi�&)(*" Ä � � ��� ��"!�q&T(K" k �h� kg à m/s g ou seja, um valor �6�_�^(�� A (zt��"�� %�%fi� � � vezes menor: é ��� é � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 17 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 9.2.4 Conservac¸a˜o do Momento Linear E 9-33 (9-27/6 � ) Um homem de (K"�" kg, de pe´ em uma superfı´cie de atrito desprezı´vel, da´ um chute em uma pedra de "��«�C" kg, fa- zendo com que ela adquira uma velocidade de I5� %!" m/s. Qual a velocidade do homem depois do chute? Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua no sistema homem-pedra, o momento total e´ conserva- do. Como tanto o homem como a pedra esta˜o em repou- so no inı´cio, o momento total e´ zero antes bem como depois do chute, ou seja 70ìC>*ì 3 7 > �$"�g onde o subı´ndice é refere-se a` pedra e o subı´ndice O refere-se ao homem. Desta expressa˜o vemos que >��^t 70ì*>*ì 7» � t ��"5� ��"!�]��I�� %�"fi� (K"!" � tv"�� "!�fi� m/s g onde o sinal negativo indica que o homem move-se no sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda que a raza˜o das massas coincide com a raza˜o dos pesos. E 9-36 (9-29/6 � ) Um homem de ��� kg esta´ viajando em um carrinho, cuja massa e´ I�% kg, a ��� I m/s. Ele salta para fora do carrinho de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a variac¸a˜o resultante na velocidade do carrinho? NOTA: na 4 � edic¸a˜o do livro (bem como em algumas edic¸o˜es anteriores) esqueceram-se de fornecer a massa do carrinho, no enunciado deste exercı´cio. Ale´m dis- to, traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que tambe´m aparece nas edic¸o˜es mais antigas do livro. O enunciado na 6 � edic¸a˜o esta´ correto. Dificilmente uma carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro, na˜o e´ mesmo? O momento linear total do sistema homem-carrinho e´ conservado pois na˜o atuam forc¸as externas com com- ponentes horizontais no sistema. Chamemos de 7 å a massa do carrinho, > a sua velocidade inicial, e > å sua velocidade final (apo´s o homem haver pulado fora). Seja 7» a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mes- ma do carrinho e sua velocidade final e´ zero. Portanto a conservac¸a˜o do momento nos fornece ��7Í 3 7»åa�¼>'�=7Íåh>�åKg de onde tiramos a velocidade final do carrinho: > å � >ffi�fl7» 3 7Íåa� 7Íå � �_�G� I!�E���� 3 I�%fi� I!% �$U��«� m/s � A velocidade da carrinho aumenta por U5� �Dtl�G� Iff�fY5� Y m/s. Para reduzir sua velocidade o homem faz com que o carrinho puxe-o para tra´s, de modo que o carrinho seja impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade. E 9-38 (9-33/6 � ) O u´ltimo esta´gio de um foguete esta´ viajando com uma velocidade de �CU!"�" m/s. Este u´ltimo esta´gio e´ feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de com- bustı´vel com uma massa de ��%�" kg e uma ca´psula de instrumentos com uma massa de (*��" kg. Quando a tra- va e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as duas partes se separem com uma velocidade relativa de %5(K" m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois que elas se separam? Suponha que todas as velocida- des teˆm a mesma direc¸a˜o. (b) Calcule a energia cine´tica total das duas partes antes e depois de se separarem e explique a diferenc¸a (se houver). (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site- ma composto pelas duas partes no u´ltimo esta´gio. O mo- mento total do sistema e´ conservado. Seja 7@í a massa do tanque e 7Íå a massa da ca´psula. Inicialmente ambas esta˜o viajando com a mesma velocidade > . Apo´s a trava ser acionada, 7:í tem uma velocidade >Cí enquanto que 7»å tem uma velocidade >�å . Conservac¸a˜o do momento fornece-nos �fl7@í 3 7ÍåÙ�¼>ff�R7@í>Cí 3 7»åS>�å*� Apo´s a trava ser solta, a ca´psula (que tem menos massa) viaja com maior velocidade e podemos escrever >�å�>Cí 3 >�ÜaîïSg onde >�Üaîï e´ a velocidade relativa. Substituindo esta ex- pressa˜o na equac¸a˜o da conservac¸a˜o do momento obte- mos �fl7 í©3 7 å �¼>ff�R7 í > í©3 7 å > åF3 7ÍÔe> Üaîï g de modo que >�åð� �fl7@í 3 7»åÙ�S>tT7Íåh>�Üaîï 7 í|3 7 å http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 18 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 � >t 7 í 7:í 3 7»å >�Üaîï � �CU�"!"jt (*��" ��%!" 3 (���" � %�(K"fi�1������%�" m/s � A velocidade final da ca´psula e´ >�åº�=>Cí 3 >�Üaîï\�$����%�" 3 %�(*"?�$#!��"�" m/s � (b) A energia cine´tica total antes da soltura da trava e´ , - � { � �fl7 íffi3 7 å �S> � � { � � ��%�" 3 (���"fi�E�_��U�"!"!� � �(!� �fi��(?&T(K" { J � A energia cine´tica total apo´s a soltura da trava e´ ,:/ � { � 7:í> � í 3 { � 7»åh> � å � { � � ��%�"!�]�_����%�"fi� � 3 { � �S(���"fi�E��#fi��"!"!� � � (!� �fi���&)(*" { J � A energia cine´tica total aumentou levemente. Isto deve- se a` conversa˜o da energia potencial ela´stica armazenada na trava (mola comprimida) em energia cine´tica das par- tes do foguete. E 9-39 (9-39/6 � ) Uma caldeira explode, partindo-se em treˆs pedac¸os. Dois pedac¸os, de massas iguais, sa˜o arremessados em trajeto´rias perpendiculares entre si, com a mesma velo- cidade de I�" m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa treˆs vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido de sua velocidade logo apo´s a ex- plosa˜o? Suponha que na˜o haja forc¸a externa atuando, de modo que o momento linear do sistema de treˆs pec¸as seja con- servado. Como o momentum antes da explosa˜o era zero, ele tambe´m o e´ apo´s a explosa˜o. Isto significa que o ve- tor velocidade dos treˆs pedac¸os esta˜o todos num mesmo plano.Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo ver- tical sendo o eixo Z , positivo para cima. A partir da origem deste diagrama, desenhe na direc¸a˜o negativa do eixo X o vetor I�7:ñ , correspondente ao momento da partı´cula mais pesada. Os dois outros momentos sa˜o re- presentados por vetores 7@Ç apontando num aˆngulo ¢ { no primeiro quadrante e ¢ � no quarto quadrante, de mo- do que ¢ { 3 ¢ � �=%�"fiJ (condic¸a˜o do problema). Como a componente vertical do momento deve conser- var-se, temos com as convenc¸o˜es acima, que 7@> sen ¢ { tT7:> sen ¢ � �R"5g onde > e´ a velocidade dos pedac¸os menores. Portan- to devemos necessariamente ter que ¢ { �²¢ � e, como ¢ { 3 ¢ � �R%!"!J , temos que ¢ { �R¢ � �Y���J . Conservac¸a˜o da componente � do momento produz I�7 È ���C7@>�EfiG¢ { � Consequentemente, a velocidade È do pedac¸o maior e´ È � � + >ºEfiG¢ { � � + ��I!"!�G]!GY�� J �(KY m/s g no sentido negativo do eixo � . O aˆngulo entre o vetor velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os menores e´ (*#�" J tTYfi� J �(KIfi� J � 9.2.5 Sistemas de Massa Varia´vel: Um Foguete E 9-48 (9-41/6 � ) Uma sonda espacial de U�"�%!" kg, viajando para Ju´piter com uma velocidade de (K"fi� m/s em relac¸a˜o ao Sol, acio- na o motor, ejetando #�" kg de gases com uma velocidade de ����I m/s em relac¸a˜o a` sonda. Supondo que os gases sa˜o ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial da sonda, qual a sua velocidade final? Ignore a forc¸a gravitacional de Ju´piter e use a Eq. (9- 47) do livro texto. Se >�- e´ a velocidade inicial, ¹u- e´ a massa inicial, >�/ e´ velocidade final, ¹u/ e´ a massa final, e ò e´ a velocidade do ga´s de exausta˜o, enta˜o >�/�=>�- 3 òóoô ¹ - ¹u/ � Neste problema temos ¹u-��fU�"!%�" kg e ¹u/.�^U�"!%�"?t #!"6�RU�"5(K" kg. Portanto >�/�f(*"!� 3 ����I2óoô U�"!%�" U�"5(K" �(K"!# m/s � E 9-49 (9-43/6 � ) Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regia˜o em que a forc¸a gravitacional e´ desprezı´vel, tem uma massa de ��� �!�2&(K" · kg, da qual (!� #5(<&6(*" · kg sa˜o combustı´vel. O consumo de combustı´vel do motor e´ de Y!#!" kg/s e a http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 19 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 velocidade de escapamento dos gases e´ de I�� �!� km/s. O motor e´ acionado durante ����" s. (a) Determine o em- puxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade final do foguete? (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o empuxo do foguete e´ dado por � ´ ò , onde ´ e´ a taxa de consumo de combustı´vel e ò e´ a velocidade do gas exaustado. No presente problema temos ´ �fYfi#�" kg e ò@�$I�� �!�&T(K" + m/s, de modo que � ´ ò:�f�flYfi#�"fi�E��I5� �fi�&)(*"�+]�2�^(�� �!�&T(K" Á N � (b) A massa do combustı´vel ejetado e´ dada por ¹uå J × ä�� ´ r ® , onde r ® e´ o intervalo de tempo da quei- ma de combustı´vel. Portanto ¹uå J × ä2�B�flYfi#�"fi�E� �!��"fi�P�^(�� ��"'&T(K" · kg � A massa do foguete apo´s a queima e´ ¹u/�=¹u-©t¹lå J × äõ� � �G� ���tM(�� ��"fi�p&)(*" · � (�� I!�q&)(*" · kg � (c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade final e´ dada por > / � òóoô ¹X- ¹u/ � � I�� �!�&T(K"�+K��óoô ��� �!�q&)(*" · (!� Ifi�q&)(*" · � ��� "!#'&)(*" + m/s � E 9-56 (9-47/6 � ) Duas longas barcac¸as esta˜o viajando na mesma direc¸a˜o e no mesmo sentido em a´guas tranqu¨ilas; uma com uma velocidade de (K" km/h, a outro com velocidade de ��" km/h. Quando esta˜o passando uma pela outra, opera´rios jogam carva˜o da mais lenta para a mais ra´pida, a` raza˜o de (K"�"!" kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as mesmas velocidades? Suponha que a transfereˆncia de carva˜o se da´ perpendicularmente a` direc¸a˜o de movimen- to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as embarcac¸o˜es e a a´gua na˜o depende do seu peso. 9.2.6 Sistemas de Partı´culas: Variac¸o˜es na Energia Cine´tica E 9-60 (9-55/6 � ) Uma mulher de �!� kg se agacha e depois salta para cima na vertical. Na posic¸a˜o agachada, seu centro de massa esta´ Yfi" cm acima do piso; quando seus pe´s deixam o cha˜o, o centro de massa esta´ %!" cm acima do piso; no ponto mais alto do salto, esta´ (���" cm acima do piso. (a) Qual a forc¸a me´dia exercida sobre a mulher pelo piso, enquanto ha´ contato entre ambos? (b) Qual a velocida- de ma´xima atingida pela mulher? http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 20 de 26 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42 10 Coliso˜es 10.1 Questo˜es Q 10-1 Explique como a conservac¸a˜o de energia se aplica a uma bola quicando numa parede. 10.2 Problemas e Exercı´cios 10.2.1 Impulso e Momento Linear E 10-3 (10-1/6 � edic¸a˜o) Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma forc¸a me´dia de ��" N em um intervalo de (K" ms. Se a bola tivesse massa de "�� ��" kg, que velocidade ela teria apo´s o impacto? Se for a magnitude da forc¸a me´dia enta˜o a magni- tude do impulso e´ öl� r ® , onde r ® e´ o intervalo de tempo durante o qual a forc¸a e´ exercida (veja Eq. 10-8). Este impulso iguala a magnitude da troca de momen- tum da bola e como a bola esta´ inicialmente em repouso, iguala a magnitude 7@> do momento final. Resolvendo a euqac¸a˜o r ® �7@> para > encontramos >'� r ® 7 � � ��"!�E�L(K"'&T(K" k + � "�� ��" ���G� � m/s � E 10-9 (10-5/6 � ) Uma forc¸a com valor me´dio de (*��"�" N e´ aplicada a uma bola de ac¸o de "�� Y!" kg, que se desloca a (]Y m/s, em uma colisa˜o que dura �fi� ms. Se a forc¸a estivesse no senti- do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade final da bola. Considere a direc¸a˜o inicial do movimento como po- sitiva e chame de a magnitude da forc¸a me´dia, r ® a durac¸a˜o da forc¸a, 7 a massa da bola, > - a velocidade inicial da bola, > / a velocidade final da bola. Enta˜o a forc¸a atua na direc¸a˜o negativa e o teorema do impulso- momento fornece t r ® �R7:>�/6t)7@>�-L� Resolvendo para >�/ obtemos >�/ � >�-©t r ® 7 � (]Y?t �S(*��"�"fi�E� �fi�D&T(K" k + � "�� Y!" �tvUfi� m/s � A velocidade final da bola e´ Ufi� m/s. P 10-12 (10-9/6 � ) Um carro de (KY!"!" kg, deslocando-se a ��� I m/s, esta´ ini- cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixo Z . Apo´s completar uma curva a` direita de %!" J para o sentido positivo do eixo � em Y5� U s, o distraido moto- rista investe para cima de uma a´rvore, que pa´ra o carro em I!��" ms. Em notac¸a˜o de vetores unita´rios, qual e´ o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a colisa˜o? Qual a intensidade da forc¸a me´dia que age so- bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisa˜o? (e) Qual e´ o aˆngulo entre a forc¸a me´dia em (c) e o senti- do positivo do eixo � ? (a) O momento inicial do carro e´ ÷ - �=7@Ç)�f�S(KY!"!"!�E�_�G� I!�oø4�f���Yfi��" kg à m/s �oø e o momento final e´ �_�CYfi��" kg à m/s �Sù . O impulso que nele atua e´ igual a` variac¸a˜o de momento: ú � ÷ /Dt ÷ -\�B�_�CYfi��" kg à m/s �E� ù©t ø��E� (b) O momento inicial do carro e´ ÷ -º�Î���Yfi��" kg à m/s �Lù e o momento final e´ ÷ /»�" , uma vez que ele para. O impulso atuando sobre o carro e´ ú � ÷ /Dt ÷ -\�ft6���Yfi��" kg à m/s �Lù (c) A forc¸a me´dia que atua no carro e´ Æ � Ł � r ÷ r ® � ú r ® � ���Yfi��"
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