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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı´sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Suma´rio
8 Conservac¸a˜o da Energia 2
8.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
8.1.1 Determinac¸a˜o da Energia Po-
tencial . . . . . . . . . . . . . . 2
8.1.2 Usando a Curva de Energia Po-
tencial . . . . . . . . . . . . . . 9
8.1.3 Conservac¸a˜o da Energia . . . . 9
8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as
de Atrito . . . . . . . . . . . . 9
8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12
9 Sistemas de Partı´culas 13
9.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 13
9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 13
9.2.2 A segunda lei de Newton para
um sistema de partı´culas . . . . 14
9.2.3 O Momento Linear . . . . . . . 17
9.2.4 Conservac¸a˜o do Momento Linear 18
9.2.5 Sistemas de Massa Varia´vel:
Um Foguete . . . . . . . . . . . 19
9.2.6 Sistemas de Partı´culas: Varia-
c¸o˜es na Energia Cine´tica . . . . 20
10 Coliso˜es 21
10.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 21
10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 21
10.2.2 Coliso˜es Ela´sticas em Uma Di-
mensa˜o . . . . . . . . . . . . . 23
10.2.3 Coliso˜es Inela´sticas em Uma
Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . 24
10.2.4 Coliso˜es em Duas Dimenso˜es . 25
10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 26
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
8 Conservac¸a˜o da Energia
8.1 Problemas e Exercı´cios
8.1.1 Determinac¸a˜o da Energia Potencial
E 8-1 ( � na 6 � edic¸a˜o)
Uma determinada mola armazena ��� J de energia po-
tencial quando sofre uma compressa˜o de ���	� cm. Qual
a constante da mola?
 Como sabemos que a energia potencial ela´stica arma-
zenada numa mola e´ �
����������������� , obtemos facilmen-
te que
�ff�
�fi�
�fl�ffi�
�
�
�
��� �!���
� "�� "fi�����
�
�$#�� %'&)(*"�+ N/m �
E 8-6 (8-3/6 � )
Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma
tac¸a hemisfe´rica sem atrito com �!� cm de raio (Fig. 8-
22). Com que velocidade o gelo esta´ se movendo ao
chegar ao fundo da tac¸a?
 A u´nica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de
gelo e´ a forc¸a da gravidade, que e´ uma forc¸a conservati-
va.
Chamando de ,.- a energia cine´tica do pedacinho de ge-
lo na borda da tac¸a, de ,0/ a sua energia cine´tica no
fundo da tac¸a, de �1- sua energia potencial da borda e de
�2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos enta˜o
,
/43
�
/
�$,
-53
�
-
�
Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co-
mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo
vale �1-6�87:9fi; , onde ; representa o raio da tac¸a e 7
representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que
,.-<�=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha-
mando de > a velocidade do pedacinho de gelo ao atin-
gir o fundo, temos enta˜o, da equac¸a˜o da conservac¸a˜o da
energia acima que 709�;?�=7@>fi����� , o que nos fornece
>'�BA �C9fi;D�
A
��� %�� #!�E� "��	���!�F�$�G�H( m/s �
E 8-8 (8-13/6
�
)
Um caminha˜o que perdeu os freios esta´ descendo uma
estrada em declive a (*I�" km/h. Felizmente a estrada
dispo˜e de uma rampa de escape, com uma inclinac¸a˜o de
(���J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa
para que a velocidade do caminha˜o chegue a zero an-
tes do final da rampa? As rampas de escape sa˜o quase
sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou
cascalho. Por queˆ?
Nota: uso o valor (KI!" km/h da sexta edic¸a˜o do livro, em
vez dos (*��" km/h da quarta, ja´ que na quarta edic¸a˜o na˜o
e´ fornecida nenhuma resposta.
 Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de
fricc¸a˜o. Neste caso a u´nica forc¸a a realizar trabalho e´
a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja ,.- a
energia cine´tica do caminha˜o no inı´cio da rampa de es-
cape e ,0/ sua energia cine´tica no topo da rampa. Seja
�2- e ��/ os respectivos valores da energia potencial no
inı´cio e no topo da rampa. Enta˜o
,0/ 3 �2/6�$,.- 3 �1-L�
Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no
inı´cio da rampa, enta˜o �2/M�N709�O , onde O e´ a altura
final do caminha˜o em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o inicial. Te-
mos que ,.-P�$7@>fi����� , onde > e´ a velocidade inicial do
caminha˜o, e ,0/0�Q" ja´ que o caminha˜o para. Portanto
7:9�O.�R7@>fi����� , donde tiramos que
O:�
>fi�
�C9
�
�S(*I�"
&T(K"
+
�CI!U�"�"fi�S�
�5��%5� #fi�
�=U!U��	��I m �
Se chamarmos de V o comprimento da rampa, enta˜o te-
remos que V sen (���J)�WO , donde tiramos finalmente
que
VX�
O
sen (*�
J
�
U!U��	��I
sen (*�
J
�����fi��� "�U m �
Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como
um “fluido”, tem mais atrito que uma pista so´lida, aju-
dando a diminuir mais a distaˆncia necessa´ria para parar
o veı´culo.
E 8-10 ( � na 6 � )
Um proje´til com uma massa de �G� Y kg e´ disparado pa-
ra cima do alto de uma colina de (���� m de altura, com
uma velocidade de (���" m/s e numa direc¸a˜o que faz um
aˆngulo de Y�(*J com a horizontal. (a) Qual a energia
cine´tica do proje´til no momento em que e´ disparado?
(b) Qual a energia potencial do proje´til no mesmo mo-
mento? Suponha que a energia potencial e´ nula na ba-
se da colina ( Z$�[" ). (c) Determine a velocidade do
proje´til no momento em que atinge o solo. Supondo que
a resisteˆncia do ar possa ser ignorada, as respostas acima
dependem da massa do proje´til?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
 (a) Se 7 for a massa do proje´til e > sua velocidade
apo´s o lanc¸amento, enta˜o sua energia cine´tica imediata-
mente apo´s o lanc¸amento e´
,.-\�
(
�
7@>
�
�
(
�
� ��� Yfi"!�]�S(*��"!�
�
�$�!�G� "'&T(K" + J �
(b) Se a energia potencial e´ tomada como zero quando
o proje´til atinge o solo e sua altura inicial acima do solo
for chamada de O , enta˜o sua energia potencial inicial e´
� - �R7:9�O.�^�_�G� Yfi�E� %�� #!�]�S(*�!���F�$��� %�Y
&)(*" + J �
(c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po-
tencial e´ zero e a energia cine´tica pode ser escrita co-
mo sendo , / �`7@>��
/
��� , onde > / e´ a velocidade do
proje´til. A energia mecaˆnica e´ conservada durante o voo
do proje´til de modo que , / �R7@>fi�
/
���D�=, -a3 � - donde
tiramos facilmente que
>�/ �
b
����,0-
3
�2- �
7
�
b
��cH� �!�G� "
3
�G� %�Y���&T(K"
+ed
�G� Y!"
�f(*��% m/s �
Os valores de ,.-Lgh,0/5ga�2- e ��/ dependem todos da mas-
sa do proje´til, pore´m a velocidade final >�/ na˜o depende
da massa se a resisteˆncia do ar puder ser considerada
desprezı´vel.
Observe que o tal aˆngulo de Y�(*J na˜o foi usado para na-
da! Talvez seja por isto que este exercı´cio ja´ na˜o mais
aparec¸a nas edic¸o˜es subsequentes do livro...
E 8-12 (8-17/6
�
)
Uma bola de gude de � g e´ disparada verticalmente pa-
ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser
comprimida de # cm para que a bola de gude apenas al-
cance um alvo situado a ��" m de distaˆncia. (a) Qual a
variac¸a˜o da energia potencial gravitacional da bola de
gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?
 (a) Neste problema a energia potencial possui dois
termos:energia potencial ela´stica da mola e energia po-
tencial gravitacional.
Considere o zero da energia potencial gravitacional co-
mo sendo a posic¸a˜o da bola de gude quando a mola esta´
comprimida. Enta˜o, a energia potencial gravitacional da
bola de gude quando ela esta´ no topo da o´rbita (i.e. no
ponto mais alto) e´ �Fij�=7:9GO , onde O e´ a altura do pon-
to mais elevado. Tal altura e´ O0����"
3
"�� "�#6����"5� "!# m.
Portanto
�1i?�B� �'&T(K"Gk
+
�E� %�� #!�]� ��"5� "!#!�1�R"5� %�Y!# J �
(b) Como a energia mecaˆnica e´ conservada, a energia
da mola comprimida deve ser a mesma que a ener-
gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,
�G���*���l�m709�O��[�Fi , onde � e´ a constante da mola.
Portanto,
�
�
�fi� i
�
�
�
��� "�� %�Yfi#!�
� "�� "�#fi�
�
�RI�"����	� N/m �
Observe que
I!"fi���	� N/m n=I��H(D&)(*" � N/m �=I5�o( N/cm g
que e´ a resposta oferecida pelo livro-texto.
E 8-13 (8-5/6
�
)
Uma bola de massa 7 esta´ presa a` extremidade de uma
barra de comprimento V e massa desprezı´vel. A outra
extremidade da barra e´ articulada, de modo que a bo-
la pode descrever um cı´rculo plano vertical. A barra e´
mantida na posic¸a˜o horizontal, como na Fig. 8-26, ate´
receber um impulso para baixo suficiente para chegar
ao ponto mais alto do cı´rculo com velocidade zero. (a)
Qual a variac¸a˜o da energia potencial da bola? (b) Qual
a velocidade inicial da bola?
 (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o
ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola esta´
inicialmente a uma distaˆncia vertical V acima do pon-
to mais baixo, a energia potencial inicial e´ �1-p�^7:9GV ,
sendo a energia potencial final dada por �2/q�R7:9ffi�_��Vp� .
A variac¸a˜o da energia potencial e´, portanto,
r
���s�2/?tu�1-P�=�C7:9GV)tT7:9�Vu�=709GVv�
(b) A energia cine´tica final e´ zero. Chamemos de
,0-l�w7@>fi����� a energia cine´tica inicial, onde > e´ a
velocidade inicial procurada. A barra na˜o faz traba-
lho algum e a forc¸a da gravidade e´ conservativa, de
modo que a energia mecaˆnica e´ conservada. Isto sig-
nifica que
r
,x�yt
r
� ou, em outras palavras, que
tz7@>��*���D�ftz709GV de modo que temos
>
�
A
�C9�Vv�
P 8-16 (8-19/6
�
)
Um bloco de � kg e´ encostado numa mola num plano in-
clinado sem atrito e com uma inclinac¸a˜o de I�"fiJ graus. A
mola em questa˜o, cuja constante vale (*%�� U N/cm, e´ com-
primida ��" cm sendo depois liberada. A que distaˆncia
ao longo do plano inclinado e´ arremessado o bloco?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
 Quando o bloco e´ liberado, toda energia potencial
ela´stica armazenada na mola transforma-se em energia
potencial gravitacional, que e´ usada para levantar o cor-
po verticalmente de uma altura O . A conservac¸a˜o de
energia nos diz que {
�
�G�
�
�R709�O|�
Portanto,
O:�
�����
��709
�
�S(K%5� U
&T(K"!�]�E� "��	���L�
� ���]� �!�E��%5� #fi�
�
�S(K"!�K�]�flYfi�]�S(*"
k
�*�
�
�$� m �
Chamando de } a distaˆncia percorrida ao longo do pla-
no, temos que O~�s} sen I�"fiJ , donde tiramos a resposta
procurada:
}v�
O
sen I!"
J
�
�
(C���
�Y m �
P 8-17 (8-21/6
�
)
Uma mola pode ser comprimida � cm por uma forc¸a de
�!��" N. Um bloco de (�� kg de massa e´ liberado a par-
tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito
cuja inclinac¸a˜o e´ I�"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprime
a mola �G�	� cm antes de parar. (a) Qual a distaˆncia total
percorrida pelo bloco ate´ parar? (b) Qual a velocidade
do bloco no momento em que se choca com a mola?
 A informac¸a˜o dada na primeira frase nos permite cal-
cular a constante da mola:
�ff�€
�
�
�!�C"
"5� "fi�
�f(�� I!�q&T(K"�‚ N/m �
(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se
ele parte do repouso a uma altura O acima do ponto
onde ele para momentaneamente, sua energia cine´tica
e´ zero e sua energia potencial gravitacional inicial e´
7:9GO , onde 7 e´ a massa do bloco. Tomamos o zero
da energia potencial gravitacional como sendo o ponto
onde o bloco para. Tomamos tambe´m a energia poten-
cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su-
ponha que o bloco comprima a mola uma distaˆncia �
antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener-
gia cine´tica final e´ zero, a energia potencial gravitacio-
nal final e´ zero, e a energia potencial final da mola e´
��������� . O plano inclinado na˜o tem atrito e a forc¸a nor-
mal que ele exerce sobre o bloco na˜o efetua trabalho
(pois e´ perpendicular a` direc¸a˜o do movimento), de mo-
do que a energia mecaˆnica e´ conservada. Isto significa
que 7:9�O0�=��������� , donde tiramos que
O0�
��� �
�C7:9
�
�L(�� I!�'&T(K"
‚
�E� "�� "!���!� �
���L(*�!�E��%5� #fi�
�$"��H(���Y m �
Se o bloco viajasse uma distaˆncia } pelo plano inclinado
abaixo, enta˜o } sen I�"fiJƒ��O , de modo que
}4�
O
sen I�"
J
�
"5�o(C��Y
sen I�"
J
�="�� I!� m �
(b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis-
ta "5� "fi��� m do ponto onde ira´ estar em repouso, e as-
sim esta´ a uma distaˆncia vertical de � "�� "!���!� sen I!"!J6�
"5� "fi�!��� m acima da sua posic¸a˜o final. A energia po-
tencial e´ enta˜o 7:9GO�„j�…�L(*���]��%5� #fi�E��"5� "fi�!�����.�NI��	��I J.
Por outro lado, sua energia potencial inicial e´ 7:9GOR�
�L(*�!�E��%5� #fi�E� "��H(���Y��v�†��"5� � J. A diferenc¸a entre este dois
valores fornece sua energia cine´tica final: ,:/‡�=��"��	�zt
I5� ��I?�^(��G� � J. Sua velocidade final e´, portanto,
>'�
b
��,0/
7
�
b
�5�S(��G� �!�
(��
�f(!�	� m/s �
P 8-18 ( � na 6 � )
Um proje´til de "��	��� e´ lanc¸ado da borda de um penhasco
com uma energia cine´tica inicial de (�����" J e, no ponto
mais alto da trajeto´ria, esta´ a (KY!" m acima do ponto de
lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velo-
cidade do proje´til? (b) Qual a componente vertical da
velocidade do proje´til no momento do disparo? (c) Em
um certo instante, a componente vertical da velocidade
do proje´til e´ U!� m/s. Neste momento, a que altura ele se
encontra acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento?
 (a) A energia cine´tica inicial do proje´til e´ ,0-M�
7@>��
-
��� , e a energia potencial gravitacional e´ tomada co-
mo sendo zero. No topo da trajeto´ria a velocidade do
proje´til apenas possui a componente horizontal da velo-
cidade, que chamamos de >�ˆ . Portanto{
�
7@>
�
-
�
{
�
7@>
�
ˆ
3
7:9�Z max g
donde tiramos que
>
ˆ
� ‰ >
�
-
tX��9�Z max
�
b
��,.-
7
tX��9�Z max
�
b
�_���]�S(*�!��"fi�
"5� �!�
tX��� %�� #!�]�S(]Yfi"!�1�=��Y m/s
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
(b) A componente vertical e´ dada por
>�Ł‹� ‰ > �
-
tT> �
ˆ
�
b
��,.-
7
tT>
�
ˆ
�
b
� ���]�S(�����"fi�
"��	���
tŒ��Yq�=��� m/s
(c) No tal instante a energia cine´tica , do proje´til e´
,�
{
�
7@>
�
�
{
�
7Nc >
�
ˆ
t)>
�
Ł
d
�
{
�
� "��	���!��Ž� ��Yfi�
�
3 ��Ufi���
�e
� (K%!U�Y J �
Chamemos de ‘ o deslocamento vertical desde o ponto
inicial ate´ o instante em questa˜o. Enta˜o,
’
-<�
{
�
7@>
�
-
�=,
3
�“�R,
3
709G‘5g
o que nos fornece
‘ �
(
7:96”
{
�
7:>
�
-
tŒ,–•
�
(
��"5� �!���]��%�� #!�|—
(�����"˜t(K%!U�Yfi™
� t˜�CU5� # m �
Portanto o ponto ‘ em questa˜o encontra-se ABAIXO da
posic¸a˜o inicial de lanc¸amento.
P 8-19 ( � na 6
�
)
Uma bola de ��" g e´ arremessada de uma janela com uma
velocidade inicial de # m/s e um aˆngulo de I�"fiJ para ci-
ma em relac¸a˜o a` horizontal. Determine (a) a energia
cine´tica da bolano ponto mais alto da trajeto´ria e (b) a
sua velocidade quando se encontra a I m abaixo da ja-
nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da
bola ou (d) do aˆngulo de arremesso?
 (a) No topo da trajeto´ria, a componente vertical da
velocidade da bola e´ zero enquanto que sua componente
horizontal continua sendo > ˆ �s>Cš\›Eœfi�I�" J , onde >Cš e´ o
mo´dulo da velocidade da bola. A energia cine´tica , da
bola de massa 7 e´, portanto,
,�
{
�
7ž>
�
ˆ
�
{
�
�_��"
&T(K"
k
+]�'Ÿfl��#fi�E� ›Eœ!�I�"
J
� 
�
�f(��	� J �
(b) Quando a bola se move com uma velocidade > a uma
distaˆncia OT�^I m abaixo da janela, sua energia poten-
cial e´ menor que o seu valor inicial, a diferenc¸a sendo
igual a tz7:9GO . Conservac¸a˜o da energia enta˜o fornece{
�
7:>
�
š
�
{
�
7@>
�
tT7:9GO\g
donde obtemos
>'�B‰ > �
š
3 ��9�O.�
A
#
�
3 � �!�E� %�� #!�E� I!�1�^(�(
m/s �
(c) e (d) Da expressa˜o para > acima, fica bem claro que
> na˜o depende nem da massa da bola nem do aˆngulo
inicial.
P 8-20 ( � na 6 � )
A mola de uma espingarda de mola tem uma constan-
te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um aˆngulo de
I!"
J para cima em relac¸a˜o `horizontal, uma bala de ��" g
e´ disparada e atinge uma altura de � m acima do cano
da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar
o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no
momento do disparo?
 (a) Chamando-se de >Cš o mo´dulo da velocidade ini-
cial da bala de massa 7 , temos que a componente ho-
rizontal da velocidade e´ > ˆ �8>Cš<›Eœ!5I�" J . No topo da
trajeto´ria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por-
tanto, a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica nos diz que{
�
7:>
�
J
�
{
�
7@>
�
ˆ
3
709�Z max
�
{
�
7
—
>
š
›Eœ!5I�"
J
�
�
3
709�Z max
o que nos fornece
>
š
�
b
��9�Z max
(ztŒ›Eœ!
�
I�"
J
�
A
� �!�E� %�� #!�E�_���
sen I!"
J
�=Y�¡ %�� #6�f(��G�	� m/s �
(b) A mola estava comprimida de � tal que, pela
conservac¸a˜o da energia, tenhamos{
�
�G�
�
�
{
�
7@>
�
š
g
donde obtemos
�@�>
š
b
7
�
�f�L(*�G�	���
b
"5� "fi��"
(K"!"
�R"5� ��# m �
P 8-21 ( � na 6 � )
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
Uma bala de morteiro de � kg e´ disparada para cima com
uma velocidade inicial de (*"�" m/s e um aˆngulo de I�Y�J
em relac¸a˜o a` horizontal. (a) Qual a energia cine´tica da
bala no momento do disparo? (b) Qual e´ a variac¸a˜o na
energia potencial da bala ate´ o momento em que atinge
o ponto mais alto da trajeto´ria? (c) Qual a altura atingida
pela bala?
 (a) Seja 7 a massa da bala e > š sua velocidade inicial.
A energia cine´tica inicial e´ enta˜o
,.-\�
(
�
7:>
�
š
�
(
�
� �!�E�S(*"�"fi�
�
�$��� �q&Œ(K"�‚ J �
(b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como
sendo o ponto de tiro e chame de ��/ a energia potencial
no topo da trajeto´ria. ��/ coincide enta˜o com a variac¸a˜o
da energia potencial deste o instante do tiro ate´ o instan-
te em que o topo da trajeto´ria e´ alcanc¸ada. Neste ponto
a velocidade da bala e´ horizontal e tem o mesmo valor
que tinha no inı´cio: > ˆ �s>Cš\›]œ!G¢�š , onde ¢�š e´ o aˆngulo
de tiro. A energia cine´tica no topo e´
,0/‡�
(
�
7:>
�
ˆ
�
(
�
7@>
�
š
›Eœfi
�
¢
š
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Como a energia mecaˆnica e´ conservada
(
�
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����/
3
(
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7:>
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¢
š
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Portanto
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�S(ztŒ›Eœ!
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sen � ¢ š
�
(
�
� �!�E�L(K"�"fi�
� sen � I�Y J
� ��� #
&)(*"
+ J �
(c) A energia potencial no topo da trajeto´ria e´ tambe´m
dada por ��/£�7:9GO , onde O e´ a altura (desnı´vel) do
topo em relac¸a˜o ao ponto de tiro. Resolvendo para O ,
encontramos:
O0�
�
/
7:9
�
�G� #
&T(K"
+
�_���]��%�� #!�
�^(KU!" m �
P 8-23 (8-23/6 � )
A corda da Fig. 8-31 tem VM�Q(*��" cm de comprimento
e a distaˆncia ‘ ate´ o pino fixo ¤ e´ de ��� cm. Quando
a bola e´ liberada em repouso na posic¸a˜o indicada na fi-
gura, descreve a trajeto´ria indicada pela linha tracejada.
Qual e´ a velocidade da bola (a) quando esta´ passando
pelo ponto mais baixo da trajeto´ria e (b) quando chega
ao ponto mais alto da trajeto´ria depois que a corda toca
o pino?
 Chame de ¥ o ponto mais baixo que a bola atinge
e de ¦ o ponto mais alto da trajeto´ria apo´s a bola to-
car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com
o eixo Z originando-se no ponto ¥ e apontando para ci-
ma. A energia inicial da bola de massa 7 no campo
gravitacional da Terra antes de ser solta vale
’
�7:9GV .
Conservac¸a˜o da energia fornece-nos enta˜o uma equac¸a˜o
para a velocidade > da bola em qualquer lugar especifi-
cado pela coordenada Z :
’
�=709GVu�
(
�
7:>
�
3 7:9�Z��
(a) Com Z�§l�s" em 709GVM�
{
�
7:>��
§
3 7:9fiZ�§ , obtemos
facilmente que
>
§
�
A
��9GVŒ�
A
� ���]��%5� #fi�E�S(!� �!�1�RY�� # m/s �
(b) Importante aqui e´ perceber que o tal ponto mais alto
da trajeto´ria depois que a corda toca o pino na˜o e´ o pon-
to V
t'‘ (como a figura parece querer indicar) mas sim o
ponto Z�¨l�$����V@t@‘fi� , pois a bola tem energia suficiente
para chegar ate´ ele! ´E neste detalhezito que mora o pe-
rigo... :-) Substituindo Z�¨ em 7:9�Vl�
{
�
7:>��
¨
3
7:9fiZ!¨ ,
obtemos enta˜o facilmente que
>
¨
�
A
��9©� ��‘DtTVp�ª�
A
��� %�� #!�Ec ��� "��«���!�|tM(��	�
d
� ��� Y m/s �
Qual a raza˜o deste u´ltimo valor ser a metade do ante-
rior?...
P 8-25 (8-25/6
�
)
Deixa-se cair um bloco de � kg de uma altura de Y!" cm
sobre uma mola cuja constante e´ �ff�f(*%�U�" N/m (Fig. 8-
32). Determine a compressa˜o ma´xima da mola.
 Seja 7 a massa do bloco, O a altura da queda e � a
compressa˜o da mola. Tome o zero da energia potencial
como sendo a posic¸a˜o inicial do bloco. O bloco cai uma
distaˆncia O
3
� e sua energia potencial gravitacional final
e´ tz709©� O
3
�ffi� . Valores positivos de � indicam ter ha-
vido compressa˜o da mola. A energia potencial da mola
e´ inicialmente zero e �����C��� no final. A energia cine´tica
e´ zero tanto no inı´cio quanto no fim. Como a energia e´
conservada, temos
"6�^tz709©��¬
3
���
3
(
�
���
�
�
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As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o quadra´tica sa˜o
� �
7:9?­
A
��709��
�
3 �C7:9GO��
�
�
(*%�� Uz­
A
�S(K%5� Ufi�
�
3 ���L(K%�� U!�]�_��#�Yfi�
(K%!U�"
que fornece dois valores para � : "5�o(*" m ou tv"�� "�#!" m.
Como procuramos uma compressa˜o, o valor desejado e´
"��H(K" m.
P 8-27 (8-27/6
�
)
Duas crianc¸as esta˜o competindo para ver quem conse-
gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu-
le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre
uma mesa. A distaˆncia horizontal entre a borda da mesa
e a caixa e´ de ��� � m (Fig. 8-34). Joa˜o comprime a mola
(��H( cm e a bola cai �!� cm antes do alvo. De quando deve
Maria comprimir a mola para acertar na caixa?
 A distaˆncia que a bola de gude viaja e´ determina-
da pela sua velocidade inicial, que e´ determinada pela
compressa˜o da mola.
Seja O a altura da mesa e � a distaˆncia horizontal ate´ o
ponto onde a bola de gude aterrisa. Enta˜o �“�m> š*® e
O��m9
®
�K��� , onde >Cš e´ a velocidade inicial da bola de
gude e ® e´ o tempo que ela permanece no ar. A segunda
equac¸a˜o fornece
®
�
A
�!O���9 de modo que �@���š A ��Offi�*9��
A distaˆnciaate´ o ponto de aterrisagem e´ diretamente
proporcional a` velocidade inicial pois �Q�[>Cš ® . Seja
>Cš
{
a velocidade inicial do primeiro tiro e �
{
a distaˆncia
horizontal ate´ seu ponto de aterrisagem; seja >Cš
�
a velo-
cidade inicial do segundo tiro e �
�
a distaˆncia horizontal
ate´ seu ponto de aterrisagem. Enta˜o
>
š
�
�
�
�
�
{
>
š
{
�
Quando a mola e´ comprimida a energia potencial e´
�fi}]���C¯ , onde } e´ a compressa˜o. Quando a bola de gude
perde contato da mola a energia potencial e´ zero e sua
energia cine´tica e´ 7@>fi�
š
��� . Como a energia mecaˆnica e´
conservada, temos
(
�
7@>
�
š
�
(
�
�fi}
�
g
de modo que a velocidade inicial da bola de gude e´ dire-
tamente proporcional a` compressa˜o original da mola. Se
}
{
for a compressa˜o do primeiro tiro e }
�
a do segundo,
enta˜o > š
�
�°�±}
�
�*}
{
�S> š
{
. Combinando isto com o resul-
tado anterior encontramos }
�
�[���
�
���
{
�}
{
. Tomando
agora �
{
�²��� ��"
tM"5� �fi�)�[(�� %�I m, }
{
�[(��H(K" cm, e
�
�
�$��� � m, encontramos a compressa˜o }
�
desejada:
}
�
�
”
��� ��" m
(!� %!I m
• �S(!�o(*" cm ���f(��	��� cm �
P 8-31 (8-26/6 � )
Tarzan, que pesa U!#�# N, decide usar um cipo´ de (K# m
de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36).
Do ponto de partida ate´ o ponto mais baixo da trajeto´ria,
desce I5� � m. O cipo´ e´ capaz de resitir a uma forc¸a
ma´xima de %!��" N. Tarzan consegue chegar ao outro la-
do?
 Chamando de 7 a massa do Tarzan e de > a sua ve-
locidade no ponto mais baixo temos que
(
�
7@>
�
�7:9GO\g
onde O e´ a altura que Tarzan desce. Desta expressa˜o
tiramos que
>
�
�=�C9GO.����9©��I5� �!�F�$U�� Y�9ffi�
Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda
lei de Newton, que a forc¸a centrı´peta esta´ relacionada
com a tensa˜o no cipo´ atrave´s da equac¸a˜o
³
tT7:9
�7
>
�
´�g
onde ´ e´ o raio da trajeto´ria. Portanto, temos que
³
�R709
3
7
>fi�
´
� 7:9
3
U5� Y!709
´
� U�#!#
”
(
3
U5� Y
(K#
•
� %�Ifi�G� U N �
Como ³`µ %fi��" N, vemos que Tarzan consegue atra-
vessar, pore´m estirando o cipo´ muito perto do limite
ma´ximo que ele agu¨enta!
P 8-32 (8-29/6 � )
Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com-
pleta em torno do pino, enta˜o ‘$¶mI!Vp��� . (Sugesta˜o:
A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao
ponto mais alto da trajeto´ria. Voceˆ saberia explicar por
queˆ?)
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 Antes de mais nada, este problema e´ uma continuac¸a˜o
do problema 8-23. Releia-o antes de continuar.
Use conservac¸a˜o da energia. A energia mecaˆnica deve
ser a mesma no topo da oscilac¸a˜o quanto o era no inı´cio
do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve-
locidade (energia cine´tica) no topo. No topo a tensa˜o
³
na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para
baixo, em direc¸a˜o ao centro do cı´rculo. Note que o raio
do cı´rculo e´ ;D�$VTtT‘ , de modo que temos
³
3 7:9
�R7
> �
VŒtT‘
g
onde > e´ a velocidade e 7 e´ a massa da bola. Quan-
do a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor
velocidade possı´vel) a tensa˜o e´ zero. Portanto, 7:9M�
7@> � �G� V)tŒ‘�� e temos que >'�
A
9©��VŒtŒ‘fi� .
Tome o zero da energia potencial gravitacional como
sendo no ponto mais baixo da oscilac¸a˜o. Enta˜o a ener-
gia potencial inicial e´ 7:9�V . A energia cine´tica inicial
e´ " pois a bola parte do repouso. A energia potencial
final, no topo da oscilac¸a˜o, e´ 7:9G�5��Vt‘fi� e a energia
cine´tica final e´ 7@>��*���6�=7:9ffi� VŒtŒ‘��h��� . O princı´pio da
conservac¸a˜o da energia fornece-nos
709GVu�R7:9G�5��VTtŒ‘fi�
3
(
�
7:9ffi� VŒtT‘��e�
Desta expressa˜o obtemos sem problemas que
‘q�
+·
Vv�
Se ‘ for maior do que I!Vp��� , de modo que o ponto mais
alto da trajeto´ria fica mais abaixo, enta˜o a velocidade da
bola e´ maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo.
Se ‘ for menor a bola na˜o pode dar a volta. Portanto o
valor I�Vƒ��� e´ um limite mais baixo.
P 8-35 ¸ (8-33 ¸ /6
�
)
Uma corrente e´ mantida sobre uma mesa sem atrito com
um quarto de seu comprimento pendurado para fora da
mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com-
primento V e uma massa 7 , qual o trabalho necessa´rio
para puxa´-la totalmente para cima da mesa?
 O trabalho necessa´rio e´ igual a` variac¸a˜o da energia
potencial gravitacional a medida que a corrente e´ pu-
xada para cima da mesa. Considere a energia poten-
cial como sendo zero quando toda a corrente estiver
sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente
num nu´mero grande de segmentos infinitesimais, ca-
da um com comprimento ‘�Z . A massa de um tal seg-
mento e´ �_¹=�CVº�L‘�Z e a energia potencial do segmen-
to a uma distaˆncia Z abaixo do topo da mesa e´ ‘G�[�
t6��7»��Vº�¼9fiZ6‘!Z . A energia potencial total e´
�s�ft
7
V
9v½u¾5¿
‚
š
ZG‘!Z � t
(
�
7
V
9
”
V
Y
•
�
� t
(
I!�
709GVv�
O trabalho necessa´rio para puxar a corrente para cima
da mesa e´, portanto, t˜���=7:9�Vƒ�CI!� .
P 8-37 ¸ (8-35 ¸ /6 � )
Um menino esta´ sentado no alto de um monte he-
misfe´rico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um
pequenı´ssimo empurra˜o e comec¸a a escorregar para bai-
xo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des-
prezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja
altura e´ �
´
��I . (Sugesta˜o: A forc¸a normal desaparece
no momento em que o menino perde o contato como o
gelo.)
 Chame de À a forc¸a normal exercida pelo gelo no
menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no
menino. Chamando de ¢ o aˆngulo entre a vertical e o
raio que passa pela posic¸a˜o do menino temos que a forc¸a
que aponta radialmente para dentro e´ 7:9p›]œ!G¢2tffÀ que,
de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual
a forc¸a centrı´peta 7@>��*�
´
, onde > e´ a velocidade do me-
nino. No ponto em que o menino se desprende do gelo
temos Àm�R" , de modo que
9ƒ›EœfiG¢‡�
>��
´=�
Precisamos agora determinar a velocidade > . Tomando
a energia potencial como zero quando o menino esta´ no
topo do iglu, teremos para �ff�fl¢!� a expressa˜o
�
�fl¢fi���ftz7:9
´
�L(ƒtT›]œ!G¢!�E�
O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia
cine´tica na hora que se desprende vale 7:>��*��� . Portan-
to, a conservac¸a˜o da energia nos fornece "
��7:>��C���jt
7:9
´
�L(ƒtT›]œ!G¢!� , ou seja,
>
�
����9
´
�S(ƒtT›]œ!G¢fi�e�
Substituindo este resultado na expressa˜o acima, obtida
da forc¸a centrı´peta, temos
9º›EœfiG¢‡�$�C9ffi�L(ƒtT›]œ!G¢!�Eg
ou, em outras palavras, que
›EœfiG¢‡�
�
I
�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
A altura do menino acima do plano horizontal quando
se desprende e´
´
›]œ!G¢‡�
�
I
´
�
8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial
P 8-39 (8-37/6 � )
A energia potencial de uma mole´cula diatoˆmica (H
�
ou
O
�
, por exemplo) e´ dada por
�“�
¥
;
{
�
t
¦
;CÁ
onde ; e´ a distaˆncia entre os a´tomos que formam a
mole´cula e ¥ e ¦ sa˜o constantes positivas. Esta energia
potencial se deve a` forc¸a que mante´m os a´tomos unidos.
(a) Calcule a distaˆncia de equilı´brio, isto e´, a distaˆncia
entre os a´tomos para a qual a forc¸a a que esta˜o subme-
tidos e´ zero. Verifique se a forc¸a e´ repulsiva (os a´tomos
tendem a se separar) ou atrativa (os a´tomos tendem a se
aproximar) se a distaˆncia entre eles e´ (b) menor e (c)
maior do que a distaˆncia de equilı´brio.
 (a) A forc¸a e´ radial (ao longo a line que uneos
a´tomos) e e´ dada pela derivada de � em relac¸a˜o a ; :
€
�ft
‘G�
‘�;
�
(*��¥
;
{
+
t
U!¦
;�Â
�
A separac¸a˜o ; š de equilı´brio e´ a separac¸a˜o para a qual
temos
€
�fl;
š
���=" , ou seja, para a qual
(���¥MtTU!¦6;
Á
š
�$"��
Portanto a separac¸a˜o de equilı´brio e´ dada por
;
š
�
”
��¥
¦
•
{
¿
Á
�f(!�o(��
”
¥
¦
•
{
¿
Á
�
(b) A derivada da forc¸a em relac¸a˜o a ; , computada na
separac¸a˜o de equilı´brio vale
‘
€
‘!;
� t
(��˜Ã�(KI!¥
;
{
‚
š
3
Y���¦
;CÄ
š
� t
�L(*��U�¥Mt)Y���¦‡;
Á
J
�
;
{
‚
š
� t
����¥
;
{
‚
š
g
onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que
;
Á
š
�…��¥?�C¦ . A derivada e´ negativa, de modo que a
forc¸a e´ positiva se ; for um pouco menor que ; š , indi-
cando uma forc¸a de repulsa˜o.
(c) Se ; for um pouco maior que ; š a forc¸a e´ negativa,
indicando que a forc¸a e´ de atrac¸a˜o.
8.1.3 Conservac¸a˜o da Energia
8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito
E 8-45 (8-48/6
�
)
Aproximadamente ��� �:&M(K" Á kg de a´gua caem por se-
gundo nas cataratas de Nia´gara a partir de uma altura de
��" m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun-
do pela a´gua que cai? (b) Qual seria a poteˆncia gerada
por uma usina hidrele´trica se toda a energia potencial
da a´gua fosse convertida em energia ele´trica? (c) Se a
companhia de energia ele´trica vendesse essa energia pe-
lo prec¸o industrial de ( centavo de do´lar por quilowatt-
hora, qual seria a sua receita anual?
 (a) O decre´scimo na energia potencial gravitacional
por segundo e´
� �G�	�'&T(K"
Á
�E��%5� #fi�E�_��"!�2�$�G�«�q&)(*"�Å J �
(b) A poteˆncia seria
¤f�^�_�G�«�q&)(*"
ŠJ �E�L( s ���=���	�q&T(K" ŠW �
(c) Como a energia total gerada em um ano e´
’
�$¤
®
� � ���	�q&T(K"
Á kW �E�L( ano �]��#��CU�" h/ano �
� �G� Yff&)(*"
{
š kW à h g
o custo anual seria
�_�G� Yff&)(*"
{
š
�E� "�� "�(*�2�$�G� Yff&)(*"
Ä do´lares g
ou seja, ��Y!" milho˜es de do´lares.
E 8-50 ( � na 6 � )
Um menino de ��( kg sobe, com velocidade constante,
por uma corda de U m em (*" s. (a) Qual o aumento da
energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a
poteˆncia desenvolvida pelo menino durante a subida?
 (a)
r
�“�R7:9�O.�^�_�G(*�]��%5� #fi�E��Ufi�1�=I5� "
&T(K"!+ J �
(b)
¤s�
r
�
®
�
I�"!"�"
(*"
�RI!"�" W �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
E 8-51 ( � na 6 � )
Uma mulher de ��� kg sobe correndo um lance de escada
de Y5�	� m de altura em I5� � s. Qual a poteˆncia desenvol-
vida pela mulher?
¤s�
� �!���E� %�� #!�]�flY5�	���
I��	�
�$U�%!I W �
E 8-55 ( � na 6 � )
Um nadador se desloca na a´gua com uma velocidade
me´dia de "��	��� m/s. A forc¸a me´dia de arrasto que se opo˜e
a esse movimento e´ de (�(K" N. Qual a poteˆncia me´dia de-
senvolvida pelo nadador?
 Para nada com velocidade constante o nadador tem
que nadar contra a a´gua com uma forc¸a de (!(K" N. Em
relac¸a˜o a ele, a a´gua passa a "5� �!� m/s no sentido dos
seus pe´s, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua poteˆncia
e´
¤f�RÆMÃEÇ)�
€6È
�^�L(�(K"fi�E� "��	�����F���CY W �
E 8-64 (8-43/6 � )
Um urso de ��� kg escorrega para baixo num troco de
a´rvore a partir do repouso. O tronco tem (�� m de al-
tura e a velocidade do urso ao chegar ao cha˜o e´ de �G� U
m/s. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial do urso?
(b) Qual a energia cine´tica do urso no momento em que
chega ao cha˜o? (c) Qual a forc¸a me´dia de atrito que agiu
sobre o urso durante a descida?
 (a) Considere a energia potencial gravitacional inicial
como sendo �1-��^" . Enta˜o a energia potencial gravita-
cional final e´ � / �ftz7:9GV , onde V e´ o comprimento da
a´rvore. A variac¸a˜o e´, portanto,
�2/?tu�1-\�^tz709GV � t6�_�����]��%5� #fi�E�S(����
� t4��� %�Y'&T(K"
+ J �
(b) A energia cine´tica e´
,�
(
�
7:>
�
�
(
�
� ���!�E�_�G� U!�
�
�=I�%fi� J �
(c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸a˜o da energia
mecaˆnica e´ igual a t4ÉffiV , onde É e´ a forc¸a de atrito
me´dia. Portanto
É@�ft
r
,
3
r
�
V
�“t
I�%fi�˜tŒ��%�Y!"
(*�
���G(K" N �
P 8-66 (8-51/6
�
)
Um bloco de I��	� kg e´ empurrado a partir do repouso
por uma mola comprimida cuja constante de mola e´ U�Yfi"
N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra total-
mente relaxada, o bloco viaja por uma superfı´cie hori-
zontal com um coeficiente de atrito dinaˆmico de "5� �!� ,
percorrendo uma distaˆncia de ��� # m antes de parar. (a)
Qual a energia mecaˆnica dissipada pela forc¸a de atrito?
(b) Qual a energia cine´tica ma´xima possuı´da pelo blo-
co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o
bloco fosse liberado?
 (a) A magnitude da forc¸a de fricc¸a˜o e´ É@�RÊ\ËCÀ , onde
Ê\Ë e´ o coeficiente de atrito dinaˆmico e À e´ a forc¸a nor-
mal da superfı´cie sobre o bloco. As u´nicas forc¸as verti-
cais atuantes no bloco sa˜o a forc¸a normal, para cima, e
a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente
vertical da acelerac¸a˜o do bloco e´ zero, a segunda lei de
Newton nos diz que Àm�R709 , onde 7 e´ a massa do blo-
co. Portanto É~��Ê Ë 7:9 . A energia mecaˆnica dissipada
e´ dada por
r
’
�ÌÉ�}Í�ÎÊ
Ë
709fi} , onde } e´ a distaˆncia
que o bloco anda antes de parar. Seu valor e´
r
’
�B��"5� �!���E� I��	���]��%�� #!�]�_�G� #fi�P�$U�U5� #!# J �
(b) O bloco tem sua energia cine´tica ma´xima quando
perde contato com a mola e entra na parte da superfı´cie
onde a fricc¸a˜o atua. A energia cine´tica ma´xima e´ igual
a` energia mecaˆnica dissipada pela fricc¸a˜o: U�U5� #!# J.
(c) A energia que aparece como energia cine´tica esta-
va ariginalmente armazenada como energia potencial
ela´stica, da mola comprimida. Portanto
r
’
�†�����*��� ,
onde � e´ a constante da mola e � e´ a compressa˜o. Logo,
�@�
b
�
r
’
�
�
b
�5��U!U�� #�#!�
U�Y!"
�$"�� Yfi�!� m n=Y!U cm �
P 8-69 (8-55/6
�
)
Dois montes nevados teˆm altitudes de #fi��" m e ����" m
em relac¸a˜o ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis-
ta de esqui vai do alto do monte maior ate´ o alto do
monte menor, passando pelo vale. O comprimento to-
tal da pista e´ I��	� km e a inclinac¸a˜o me´dia e´ I�"!J . (a)
Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior.
Com que velovidade chegara´ ao alto do monte menor
sem se impulsionar com os basto˜es? Ignore o atrito. (b)
Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito
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dinaˆmico entre a neve e os esquis para que o esquiador
pare exatamente no alto do pico menor?
 (a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co-
mo estando no vale entre os dois picos. Enta˜o a energia
potencial e´ � - �7:9�O - , onde 7 e´ a massa do esquiador
e O - e´ a altura do pico mais alto. A energia potencial
final e´ � / �^7:9�O / , onde O / e´ a altura do pico menor.
Inicialmente o esquiador tem energia cine´tica , - �†" .
Escrevamos a energia cine´tica final como , / �7@> � ��� ,
onde > e´ a velocidade do esquiador no topo do pico me-
nor. A forc¸a normal da superfı´cie dos montes sobre o
esquiador na˜o faz trabalho (pois e´ perpendicular ao mo-
vimento) e o atrito e´ desprezı´vel, de modo que a energia
mecaˆnica e´ conservada: �2- 3 ,0-1�°�2/ 3 ,0/ , ou seja,
7:9GO�-\�R7:9�O�/ 3 7@>fi�����
, donde tiramos
>'�
‰
�C9ffi�_O5-ffitXO�/!���
A
�5��%5� #fi�E��#fi��"jtu����"fi�1�Y�Y
m
s
�
(b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam
em planos inclinados, a forc¸a normal da superfı´cie in-
clinada dos montes no esquiador e´ dada por À �
7:9l›Eœ!�¢, onde ¢ e´ o aˆngulo da superfı´cie inclinada em
relac¸a˜o a` horizontal, I�"fiJ para cada uma das superfı´cies
em questa˜o. A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por
É~��Ê\ËCÀN��Ê\Ë*7:9M›]œ!G¢ . A energia mecaˆnica dissipa-
da pela forc¸a de atrito e´ É�}j�sÊ\Ë�7:9!}~›]œ!G¢ , onde } e´ o
comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge
o topo do monte mais baixo sem energia cine´tica, a ener-
gia mecaˆnica dissipada pelo atrito e´ igual a` diferenc¸a de
energia potencial entre os pontos inicial e final da tra-
jeto´ria. Ou seja,
Ê\Ë*7:9fi}:›EœfiG¢q�7:9ffi�_O
-
tŒO
/
�Eg
donde tiramos Ê Ë :
Ê
Ë
�
O�-©tŒO�/
}@›]œ!G¢
�
#!��"˜tu����"
��I5� �'&T(K"
+
�'›Eœfi'I!"
J
�$"�� "�I�U5�
P 8-74 ( � na 6 � )
Uma determinada mola na˜o obedece a` lei de Hooke. A
forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida
de uma distaˆncia � (em metros) e´ de ���G� #��
3
I!#�� Y��
� ,
no sentido oposto ao da distensa˜o. (a) Calcule o traba-
lho necessa´rio para distender a mola de �u�†"5� � m ate´
�^�`(!� " m. (b) Com uma das extremidades da mola
mantida fixa, uma partı´cula de �G�H(�� kg e´ presa a` ou-
tra extremidade e a mola e´ distendida de uma distaˆncia
�l�²(�� " . Em seguida, a partı´cula e´ liberada sem velo-
cidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em
que a distensa˜o da mola diminuiu para ��w"5� � m.
(c) A forc¸a exercida pela mola e´ conservativa ou na˜o-
conservativa? Explique sua resposta.
 (a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual
em magnitude a` forc¸a da mola pore´m no sentido oposto.
Como a uma distensa˜o no sentido positivo de � exerce
uma forc¸a no sentido negativo de � , a forc¸a aplicada tem
que ser
€
�B���G� #�� 3 I�#�� Y���� , no sentido positivo de � .
O trabalho que ela realiza e´
Ï
� ½
{eÐ
š
š
Ð
·
� �!�G� #�� 3 I�#5� Y!�
�
�L‘��
� Ž
�!�G� #
�
�
�
3
I�#5� Y
I
��+

{eÐ
š
š
Ð
·
�=I5(�� " J �
(b) A mola faz I�( J de trabalho e este deve ser o au-
mento da energia cine´tica da partı´cula. Sua velocidade
e´ enta˜o
>'�
b
��,
7
�
b
�5��I5(�� "!�
�G�H(��
�=��� Ifi� m/s �
(c) A forc¸a e´ conservativa pois o trabalho que ela faz
quando a partı´cula vai de um ponto �
{
para outro pon-
to �
�
depende apenas de �
{
e �
�
, na˜o dos detalhes do
movimento entre �
{
e �
�
.
P 8-79 (8-61/6 � )
Uma pedra de peso Ñ e´ jogada verticalmente para cima
com velocidade inicial >Cš . Se uma forc¸a constante É de-
vido a` resisteˆncia do ar age sobre a pedra durante todo o
percurso, (a) mostre que a altura ma´xima atingida pela
pedra e´ dada por
O0�
>fi�
š
�C9ffi�L(
3
É|�Cј�
�
(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo
e´ dada por
>
�R>Cš
”
Ñ=tXÉ
Ñ
3
É
•
{
¿
�
�
 (a) Seja O a altura ma´xima alcanc¸ada. A energia
mecaˆnica dissipada no ar quando a pedra sobe ate´ a altu-
ra O e´, de acordo com a Eq. 8-26,
r
’
�^t4É©O . Sabemos
que
r
’
�B��,0/
3
�2/fi�Pt��,.-
3
�1-�eg
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onde ,.- e ,0/ sa˜o as energias cine´ticas inicial e final, e
�1- e �2/ sa˜o as energias poetenciais inicial e final. Esco-
lha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento
da pedra. A energia cine´tica inicial e´ ,.-˜�Ò7@>fi�
š
��� , a
energia potencial inicial e´ � - �“" , a energia cine´tica fi-
nal e´ , / �8" e a energia potencial final e´ � / �ÎјO .
Portanto t4É©O:�јO.t)7@> �
J
��� , donde tiramos
O0�
7@>��
š
����Ñ 3 É©�
�
Ñv>fi�
š
��9©�flÑ 3 É©�
�
>fi�
š
�C9ffi�L( 3 É|��Ñj�
g
onde substituimos 7 por Ñ?�*9 e dividimos numerador e
denominador por Ñ .
(b) Note que a forc¸a do ar e´ para baixo quando a pe-
dra sobe e para cima quando ela desce. Ela e´ sempre
oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada
durante o trajeto no ar todo e´ r ’ �Ót4�!É©O . A ener-
gia cine´tica final e´ , / �B7@>fi�C��� , onde > e´ a velocida-
de da pedra no instante que antecede sua colisa˜o com
o solo. A energia potencial final e´ � / �²" . Portanto
t4��ɩO.�=7@>fi�����5tv7:>��
š
��� . Substituindo nesta expressa˜o
a expressa˜o encontrada acima para O temos
t
���>��
š
�C9ffi�L(
3
É|�Cј�
�
(
�
7:>
�
t
(
�
7@>
�
š
�
Deste resultado obtemos
>
�
�=>
�
š
t
���>
�
š
7:9ffi�L(
3
É|�Cј�
� >
�
š
t
���>
�
š
ч�S(
3
É|�Cј�
� >
�
š
”
(zt
�!É
Ñ
3
É
•
� >
�
š
”
ÑRtXÉ
Ñ
3
É
•Fg
de onde obtemos o resultado final procurado:
>'�=>
š
”
ÑRtXÉ
Ñ
3
É
•
{
¿
�
�
Perceba que para ÉR�Î" ambos resultados reduzem-se
ao que ja´ conheciamos, como na˜o podeia deixar de ser.
8.1.5 Massa e Energia
E 8-92 ( � na 6 � )
(a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa
de (*"!� g? (b) Durante quantos anos esta energia aten-
deria a`s necessidades de uma famı´lia que consome em
me´dia ( kW?
 (a) Usamos a fo´rmula ’ �R7ÍÔE� :
’
�f� "��H(K"!�!�E�_�G� %�%�#q&T(K"
Ä
�
�
�=%��H(��‡&)(*"
{
·
J �
(b) Usamos agora ’ �R¤ ® , onde ¤ e´ a taxa de consumo
de energia e ® e´ o tempo. Portanto,
® �
’
¤
�
%��H(��‡&T(K"
{
·
(D&)(*"
+
� %��H(��‡&T(K"
{
� segundos
� �G� %�(?&T(K"
·
anos!
P 8-96 ( � na 6
�
)
Os Estados Unidos produziram cerca de �G� I�(@&�(*"
{
�
kW Ã h de energia ele´trica em 1983. Qual a massa equi-
valente a esta energia?
 Para determinar tal massa, usamos a relac¸a˜o ’ �
7ÍÔE� , onde ԇ�B��� %!%�#ff&l(K" Ä m/s e´ a velocidade da luz.
Primeiro precisamos converter kW Ã h para Joules:
��� I5(˜&T(K"
{
� kW Ã h � �G� I�(?&T(K"
{
�
�S(K"
+ W �E� I�U�"!" s �
� #�� I!�q&T(K"
{
Ä J �
Portanto
78�
’
Ô
�
�
#5� Ifi�‡&T(K"
{
Ä
�_�G� %�%�#q&T(K"
Ä
�
�
�$%!��� � kg �
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9 Sistemas de Partı´culas
9.1 Questo˜es
Q 9-2
Qual a localizac¸a˜o do centro de massa da atmosfera da
Terra?
9.2 Problemas e Exercı´cios
9.2.1 O Centro de Massa
E 9-1 (9-1/6 � edic¸a˜o)
(a) A que distaˆncia o centro de massa do sistema Terra-
Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores
das massas da Terra e da Lua e da distaˆncia entre os
dois astros que aparecem no Apeˆndice C.) (b) Expresse
a resposta do item (a) como uma frac¸a˜o do raio da Terra.
 (a) Escolha a origem no centro da Terra. Enta˜o a
distaˆncia ;KÕPÖ do centro de massa do sistema Terra-Lua
e´ dada por
;*Õ<ÖÒ�
7
¾
;*×
7
¾
3
7@Ø
g
onde 7
¾
e´ a massa da Lua, 7ÍØ e´ a massa da Terra, a
;
× e´ a separac¸a˜o me´dia entre Terra e Lua. Tais valores
encontram-se no Apeˆndice C. Em nu´meros temos,
;
ÕPÖ
�
���� I�U'&T(K"��Ù�]�]��I��	�'&T(K"
Ä
�
��� I�U'&)(*"
�Ù�
3
��� %!#'&)(*"
�
‚
� Y5� U�Y
&)(*"
Á m �
(b) O raio da Terra e´ ´ ؖ�$U�� Ifi�6&~(K" Á m, de modo que
temos
;
Õ<Ö
´
Ø
�
Y�� U�Y'&T(K"
Á
U5� I��6&T(K"
Á
�="5�	��I��
Observe que a frac¸a˜o entre as massas e´
7
Ø
7
¾
�
��� %!#q&T(K"!�
‚
�G� I!Uq&T(K"
�h�
�=#�(!� �!�
E 9-3 (9-3/6 � )
(a) Quais sa˜o as coordenadas do centro de massa das treˆs
partı´culas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acon-
tece com o centro de massa quando a massa da partı´cula
de cima aumenta gradualmente?
 (a) Sejam �fl�
{
ghZ
{
�R�Ú��"�gÙ"!� , �fl�
�
ghZ
�
�R�x�L(�ga��� e
���
+
gLZ
+
�
�Û�_�GgK(*� as coordenadas(em metros) das treˆs
partı´culas cujas respectivas massas designamos por 7
{
,
7
�
e 7
+
. Enta˜o a coordenada � do centro de massa e´
� Õ<Ö �
7
{
�
{
3 7
�
�
�
3 7
+
�
+
7
{
3 7
�
3 7
+
�
" 3 ��#5� "fi�E�S(!� "fi� 3 ��Y5� "!�]� �G� "!�
I�� " 3 #5� " 3 Y5� "
�^(��H( m �
enquanto que a coordenada Z e´
Z
ÕPÖ
�
7
{
Z
{
3
7
�
Z
�
3
7
+
Z
+
7
{
3
7
�
3
7
+
�
"
3
� #�� "!�E�_�G� "!�
3
�flY�� "fi�E�S(!� "fi�
I5� "
3
#�� "
3
Y�� "
�f(!� I m �
(b) A medida que a massa da partı´cula de cima e´ au-
mentada o centro de massa desloca-se em direc¸a˜o a`quela
partı´cula. No limite, quando a partı´cula de cima for mui-
to mais massiva que as outras, o centro de massa coin-
cidira´ com a posic¸a˜o dela.
E 9-12 ¸ (9-9/6
�
)
Uma lata em forma de cilindro reto de massa ¹ , al-
tura ¬ e densidade uniforme esta´ cheia de refrigerante
(Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´ 7 . Fazemos
pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar
o conteu´do e medimos o valor de O , a distaˆncia verti-
cal entre o centro de massa e a base da lata, para va´rias
situac¸o˜es. Qual e´ o valor de O para (a) a lata cheia e
(b) a lata vazia? (c) O que acontece com O enquanto a
lata esta´ sendo esvaziada? (d) Se � e´ a altura do lı´quido
que resta em um determinado instante, determine o va-
lor de � (em func¸a˜o de ¹ , ¬ e 7 ) no momento em que
o centro de massa se encontra o mais pro´ximo possı´vel
da base da lata.
 (a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa esta´
localizado no seu centro geome´trico, a uma distaˆncia
¬@��� acima da sua base. O centro de massa do refri-
gerante esta´ no seu centro geome´trico, a uma distaˆncia
�©��� acima da base da lata. Quando a lata esta´ cheia tal
posic¸a˜o coincide com ¬:��� . Portanto o centro de massa
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da lata e com o refrigerante que ela conte´m esta´ a uma
distaˆncia
O0�
¹†��¬@����� 3 7Œ��¬:�����
¹ 3 7
�
¬
�
acima da base, sobre o eixo do cilindro.
(b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de
massa esta´ em ¬:��� acima da base, sobre o eixo do ci-
lindro.
(c) A medida que � decresce o centro de massa do re-
frigerante na lata primeiramente diminui, depois cresce
ate´ ¬:��� novamente.
(d) Quando a superfı´cie superior do refrigerante esta´ a
uma distaˆncia � acima da base da lata a massa restante
7ÍÜ do refrigerante na lata e´ 7ÍÜD�ž�fl�©�C¬–�S7 , onde 7 e´
a massa quando a lata esta´ cheia ( �)�“¬ ). O centro de
massa do refrigerante esta´ apenas a uma distaˆncia �ffi���
da base da lata. Logo
O �
¹†��¬@�����
3
7
Ü
�fl�©���!�
¹
3
7@Ü
�
¹†��¬@�����
3
�fl�©�C¬–�S7T���ffi�����
¹
3
7@�ffi�C¬
�
¹“¬
�
3
7@�
�
���_¹“¬
3
7@���
� (1)
Encontramos a posic¸a˜o mais baixa do centro de massa
da lata com refrigerante igualando a zero a derivada de O
em relac¸a˜o a � e resolvendo em relac¸a˜o a � . A derivada
e´ dada por
‘�O
‘!�
�
�C7@�
��� ¹“¬8tT7:�ffi�
t
� ¹“¬~�
3
7:���*�S7
�5� ¹“¬
3
7:�ffi�
�
�
7@�K���
3
��¹s7ͬ»�
tX¹s7@¬~�
��� ¹“¬
3
7:�ffi�
�
�
A soluc¸a˜o de 7Í�E���
3
�!¹s7@¬»�fftX¹s7ͬ~�v�=" e´
�:�
¹“¬
7
Ž
tM(
3
b
(
3
7
¹

�
Usamos a soluc¸a˜o positiva pois � e´ positivo.
Substituindo-se agora o valor de � na Eq. (1) acima e
simplificando, encontramos finalmente que
O:�
¬–¹
7
”
b
(
3
7
¹
tM(
•
�
9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de
partı´culas
E 9-13 (9-10/6 � )
Dois patinadores, um com Ufi� kg de massa e o outro com
Yfi" kg, esta˜o de pe´ em um rinque de patinac¸a˜o no gelo
segurando uma vara de massa desprezı´vel com (K" m de
comprimento. Partindo das extremidades da vara, os pa-
tinadores se puxam ao longo da vara ate´ se encontrarem.
Qual a distaˆncia percorrida pelo patinador de Yfi" kg?
 A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente
os patinadores e a vara formem um sistema mecanica-
mente isolado, i.e. sobre o qual na˜o atuam forc¸as exter-
nas. Portanto, a posic¸a˜o do centro de massa na˜o pode
alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinado-
res puxarem a vara.
Suponha que o patinador de U!� kg encontre-se a` esquer-
da e que o centro de massa seja escolhido como a origem
do sistema de coordenadas (i.e. � ÕPÖ �Ò" ), e que seja
� a distaˆncia desde o centro de massa ate´ o patinador de
Yfi" kg. Enta˜o temos
��Õ<Ö8�
tvUfi���L(K"˜t)�ffi�
3
Yfi"��
Ufi�
3
Yfi"
�$"��
Portanto, temos U!�5�S(K"˜tT�����=Y!"�� , donde tiramos
�:�
U!��"
(K"fi�
�RU��	� m �
Note que o fato dos patinadores terminarem em contato
implica que basta um deles puxar a vara para que AM-
BOS se movam em relac¸a˜o ao gelo. Se ambos puxarem
a vara, eles apenas chegam mais ra´pido a` posic¸a˜o fi-
nal, sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar
a vara, que o outro sera´ necessariamente arrastado em
direc¸a˜o ao centro de massa, quer queira, quer na˜o. Voce
percebe isto?
E 9-14 (9-11/6
�
)
Um velho Galaxy com uma massa de �CYfi"�" kg esta´ via-
jando por uma estrada reta a #�" km/h. Ele e´ seguido por
um Escort com uma massa de (*U�"!" kg viajando a U!"
km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois
carros?
 Sejam 7ÍÝ e >�Ý a massa e a velocidade do Galaxy e
7ÍÞ e >�Þ a massa e velocidade do Escort. Enta˜o, con-
forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´
dada por
>
Õ<Ö
�
7ÍÝ1>�Ý
3
7ÍÞ1>�Þ
7
Ý~3
7
Þ
�
�_�CY!"!"!�]��#�"fi�
3
�S(*U�"!"!�E� U�"fi�
�CY!"!"
3
(KU!"�"
����� km/h �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 14 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
Note que as duas velocidades esta˜o no mesmo sentido,
de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo
sinal. As unidades usadas na˜o sa˜o do Sistema Interna-
cional.
E 9-19 (9-18/6 � )
Ricardo, de massa igual a #!" kg, e Carmelita, que e´ mais
leve, esta˜o passeando no Lago Titicaca em uma canoa de
I�" kg. Quando a canoa esta´ em repouso na a´gua calma,
eles trocam de lugares, que esta˜o distantes I m e posi-
cionados simetricamente em relac¸a˜o ao centro da canoa.
Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se move
Y!" cm em relac¸a˜o a um tronco de a´rvore submerso e cal-
cula a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita?
 Chamemos de ¹Xß e ¹ Õ as massas de Ricardo e Car-
melita. Suponhamos que o centro de massa do sistema
formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri-
cardo) esteja a uma distaˆncia � do meio da canoa de
comprimento V e massa 7 . Neste caso
¹Xß
”
V
�
tT�
•
�R7@�
3
¹
Õ
”
V
�
3
�
•
�
Como na˜o existe forc¸a externa, esta equac¸a˜o permane-
ce igualmente va´lida apo´s a troca de lugares, uma vez
que as posic¸o˜es de ambos sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o ao
meio do barco. A diferenc¸a e´ que o centro de massa do
sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no
barco, ou seja, sofreu uma variac¸a˜o de ��� . Para deter-
minar o valor de � , basta usar a observac¸a˜o relacionada
ao tronco de a´rvore submerso, que andou uma distaˆncia
�C�:�=Y!" cm �$"�� Y m �
Portanto, usando �X�^"5� � na equac¸a˜o acima obtemos a
massa de Carmelita:
¹XÕ �
¹X߃��Vp���˜t)�ffi�Ft)7@�
Vp���
3
�
�
#�"5� Ifi���vtŒ"��	���Pt��I!"!�E� "��	���
I����
3
"��	�
����# kg �
E 9-20 (9-15/6
�
)
Um proje´til e´ disparado por um canha˜o com uma velo-
cidade inicial de ��" m/s. O aˆngulo do disparo e´ U�"fiJ em
relac¸a˜o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais al-
to da trajeto´ria, o proje´til explodeem dois fragmentos
de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu-
ja velocidade imediatamente apo´s a explosa˜o e´ zero, cai
verticalmente. A que distaˆncia do canha˜o o outro frag-
mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e
a resisteˆncia do ar possa ser desprezada?
 Precisamos determinar as coordenadas do ponto de
explosa˜o e a velocidade do fragmento que na˜o cai reto
para baixo. Tais dados sa˜o as condic¸o˜es iniciais para
um problema de movimento de proje´teis, para determi-
nar onde o segundo fragmento aterrisa.
Consideremos primeiramente o movimento do proje´til
original, ate´ o instante da explosa˜o. Tomemos como ori-
gem o ponto de disparo, com o eixo � tomado horizontal
e o eixo Z vertical, positivo para cima. A componente
Z da velocidade e´ dada por >M�Ì> šÙà t£9 ® e e´ zero no
instante de tempo ® �“> šaà �*9@���> š ��9G� sen ¢ š , onde > š
e´ a velocidade inicial e ¢ š e´ o aˆngulo de disparo. As
coordenadas do ponto mais alto sa˜o
�:�=>Cšeá ® � c >Cš\›EœfiG¢�š
d
®
�
�fl>CšC�S�
9
sen ¢ š ›EœfiG¢ š
�
� ��"!�L�
%�� #
sen U�" J ›Eœ!5U�" J �^(��G�	� m g
e
Z � >Cš
�
t
{
�
9
®
�
�
{
�
>
�
š
9
sen � ¢ š
�
{
�
� ��"!�S�
%�� #
sen � U�" J �^(*��� I m �
Ja´ que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a com-
ponente horizontal do momento e´ conservada. Uma vez
que um dos fragmentos tem velocidade zero apo´s a ex-
plosa˜o, o momento do outro fragmento tem que ser igual
ao momento do proje´til originalmente disparado.
A componente horizontal da velocidade do proje´til ori-
ginal e´ > š ›EœfiG¢ š . Chamemos de ¹ a massa do proje´til
inicial e de
È
š a velocidade do fragmento que se move
horizontalmente apo´s a explosa˜o. Assim sendo, temos
¹s>Cš\›EœfiG¢�š˜�
¹
�
È
šfig
uma vez que a massa do fragmento em questa˜o e´ ¹=��� .
Isto significa que
È
šâ� ��>Cš\›EœfiG¢�š
� �5� ��"fi�G›EœfiGU�"
J
����" m/s �
Agora considere um proje´til lanc¸ado horizontalmente no
instante ® �W" com velocidade de ��" m/s a partir do
ponto com coordenadas �fl� š ghZ š �p�°�S(��G�	�Gg](��G� I!� m. Sua
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coordenada Z e´ dada por Zf�WZ š tR9 ® �*��� , e quando
ele aterrisa temos ZX�" . O tempo ate´ a aterrisagem e´
® � A �CZ
š �*9 e a coordenada � do ponto de aterrisagem
e´
�Í�� š
3
È
š]® � � š
3
È
š
b
�CZ�š
9
� (����«� 3 ��"
b
�5�S(*��� Ifi�
%�� #
�=��I m �
A que distaˆncia o proje´til cairia se na˜o tivesse havido
explosa˜o?
E 9-21 (9-17/6 � )
Dois sacos ideˆnticos de ac¸u´car sa˜o ligados por uma cor-
da de massa desprezı´vel que passa por uma roldana sem
atrito, de massa desprezı´vel, com ��" mm de diaˆmetro.
Os dois sacos esta˜o no mesmo nı´vel e cada um possui
originalmente uma massa de ��"�" g. (a) Determine a
posic¸a˜o horizontal do centro de massa do sistema. (b)
Suponha que ��" g de ac¸u´car sa˜o transferidos de um saco
para o outro, mas os sacos sa˜o mantidos nas posic¸o˜es
originais. Determine a nova posic¸a˜o horizontal do cen-
tro de massa. (c) Os dois sacos sa˜o liberados. Em que
direc¸a˜o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua
acelerac¸a˜o?
 (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co-
mo sendo o centro da roldana, com o eixo � horizontal
e para a direita e com o eixo Z para baixo. O centro de
massa esta´ a meio caminho entre os sacos, em �Œ�B" e
ZM�Î} , onde } e´ a distaˆncia vertical desde o centro da
roldana ate´ qualquer um dos sacos.
(b) Suponha ��" g transferidas do saco da esquerda para
o saco da direita. O saco da esquerda tem massa Yfi#�" g e
esta´ em �
{
�^t4��� mm. O saco a` direita tem massa ����"
g e esta´ em �
�
�
3
��� mm. A coordenada � do centro
de massa e´ enta˜o
�
Õ<Ö
�
7
{
�
{
3
7
�
�
�
7
{
3
7
�
�
�flYfi#�"!�]�St4�!���
3
�_����"!�E�
3
���!�
Y���"
3
�!��"
�^(�� " mm �
A coordenada Z ainda e´ } . O centro de massa esta´ a ��U
mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois
corpos.
(c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para bai-
xo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que
o centro de massa, que deve permanecer mais perto do
saco mais pesado, move-se para baixo.
(d) Como os sacos esta˜o conectados pela corda, que pas-
sa pela roldana, suas acelerac¸o˜es tem a mesma magni-
tude mas sentidos opostos. Se ¯ e´ a acelerac¸a˜o de 7
�
,
enta˜o tv¯ e´ a acelerac¸a˜o de 7
{
. A acelerac¸a˜o do centro
de massa e´
¯�Õ<Ö8�
7
{
�Stv¯G� 3 7
�
¯
7
{
3 7
�
�$¯
7
�
tT7
{
7
{
3 7
�
�
Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco te-
mos
saco leve ã 7
{
9‡t
³
�ftz7
{
¯�g
saco pesado ã 7
�
9‡t
³
� 7
�
¯��
Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos
¯'�
7
�
tT7
{
7
{
3 7
�
9��
Portanto, substituindo na equac¸a˜o para ¯�Õ<Ö , vemos que
¯
ÕPÖ
�
��7
�
t)7
{
�L�
��7
{
3
7
�
�
�
9
�
�_����"?t)Yfi#�"!�L�
��Y!#!"
3
�!��"!�
�
��%�� #!�1�$"�� "�(*U m/s ���
A acelerac¸a˜o e´ para baixo.
E 9-22 (9-19/6
�
)
Um cachorro de � kg esta´ em um bote de ��" kg que se
encontra a U m da margem (que fica a` esquerda na Fig. 9-
34a). Ele anda �G� Y m no barco, em direc¸a˜o a` margem, e
depois pa´ra. O atrito entre o bote e a a´gua e´ desprezı´vel.
A que distaˆncia da margem esta´ o cachorro depois da
caminhada? (Sugesta˜o: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro
se move para a esquerda; o bote se desloca para a di-
reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco?
Sera´ que ele se move?)
 Escolha o eixo � como sendo horizontal, com a ori-
gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9-
34a. Seja 7»ä a massa do bote e �ffiä_- sua coordenada ini-
cial. Seja 7»å a massa do cachorro e �ffiå- sua coordenada
inicial. A coordenada inicial do centro de massa e´ enta˜o
�\æ
-oç
Õ<Ö
�
7ÍäL��ä_-
3
7»åh��å-
7Íä
3
7Ȍ
�
Agora o cachorro caminha uma distaˆncia ‘ para a es-
querda do bote. Como a diferenc¸a entre a coordenada
final do bote � ä/ e a coordenada final do cachorro � å¼/ e´
‘ , ou seja � ä/ tT� å¼/ �f‘ , a coordenada final do centro
de massa pode tambe´m ser escrita como
�
æ
/Kç
ÕPÖ
�
7ÍäL��ä/
3
7»åS�ffiå¼/
7
äP3
7
å
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�
7»äL��å¼/ 3 7»äL‘ 3 7»åS�ffiå¼/
7Ȋ 3 7Ȍ
�
Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no siste-
ma bote-cachorro, a velocidade do centro de massa na˜o
pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial-
mente em repouso, a velocidade do centro de massa e´
zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a˜o
e, portanto, as duas expresso˜es acima para � ÕPÖ devem
ser iguais. Isto significa que
� æ
-Hç
ÕPÖ
� � æ
/*ç
Õ<Ö
7ÍäL��ä_- 3 7»åL�ffiå-è� 7»äL��å¼/ 3 7»äL‘ 3 7»åh��å¼/5�
Isolando-se ��å¼/ obtemos
� å¼/ �
7ÍäL��ä_- 3 7»åL�ffiå-©tT7Íäh‘
7Íä 3 7»å
�
� ��"fi�E� U!�
3
� ���]��Ufi�FtM�_��"fi�E� ��� Y��
��"
3
�
�RY�� "!# m �
Observe que usamos � ä - �è� å- . ´E estritamente ne-
cessa´rio fazer-se isto? Se na˜o for, qual a vantagem de
se faze-lo?...
Ale´m de uma escolha conveniente dos pontos de re-
fereˆncia, perceba que um passo crucial neste exercı´cio
foi estabelecer o fato que ��ä/6t)�ffiå¼/‡�=‘ .
9.2.3 O Momento Linear
E 9-23 ( � na 6 � )
Qual o momento linear de um automo´vel que pesa
(KU5� "!"�" N e esta´ viajando a #�# km/h?
 A “moral” deste problema e´ cuidar com as unidades
empregadas:
é
�R7@>'�
(KU!"�"�"%�� #
#!#'&)(*"
+
I!U�"�"
�RI!U!��#�( kg m/s g
na direc¸a˜o do movimento.
E 9-24 (9-21/6 � )
Suponha que sua massa e´ de #�" kg. Com que veloci-
dade teria que correr para ter o mesmo momento linear
que um automo´vel de (*U�"!" kg viajando a (!� � km/h?
 Chamando de 7 å e > å a massa e a velocidade do car-
ro, e de 7 e > a “sua” massa e velocidade temos, grac¸as
a` conservac¸a˜o do momento linear,
>
�
7Íåh>�å
7
�
�S(*U�"!"!�E�L(��	�6&T(K"
+
�
� #�"fi�E��I!U�"!"!�
�=U�� Ufi� m/s �
Poderı´amos tambe´m deixar a resposta em km/h:
>
�
7 å > å
7
�
�S(*U�"�"fi�E�L(��	���
#�"
�$��Y km/h �
Perceba a importaˆncia de fornecer as unidades ao dar
sua resposta. Este u´ltimo valor na˜o esta´ no SI, claro.
E 9-25 (9-20/6
�
)
Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de #�(*U
kg (a) para ter o mesmo momento linear que um Ca-
dillac de ��Ufi��" kg viajando a (KU km/h e (b) para ter a
mesma energia cine´tica?
 (a) O momento sera´ o mesmo se 7~ê1>!ê°�Î7 Õ > Õ ,
donde tiramos que
>!êu�
7 Õ
7 ê
> Õ �
��Ufi��"
#�(*U
�S(*U!�1�$��(�� %�U km/h �
(b) Desconsiderando o fator (���� , igualdade de energia
cina´tica implica termos 7~ê2>fi�
ê
�7
Õ
>��
Õ
, ou seja,
>
ê
�
b
7
Õ
7Ȑ
>�ÕX�
b
��U!��"
#�(KU
�L(KUfi�F����#5� #!I km/h �
E 9-26 ( � na 6 � )
Qual o momento linear de um ele´tron viajando a uma
velocidade de "�� %�%!Ô ( �$�G� %fi�q&T(K" Ä m/s)?
 Como a velocidade do ele´tron na˜o e´ de modo algum
pequena comparada com a velocidade Ô da luz, faz-se
necessa´rio aqui usar a equac¸a˜o relativistica para o mo-
mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24:
é
�
7:>
‰
(zt
Łeë
åë
�
� %��H(�(?&)(*"
k
+
{
�]� ��� %��q&)(*"
Ä
�
A
(zt��"5� %!%!�
�
� (!� %5(��6&)(*"
k
�
{
kg à m/s �
Sem o fator relativı´stico terı´amos achado
é
„
� � %��H(�(D&T(K"
k
+
{
�E�_�G� %fi�‡&)(*"
Ä
�
� ���	��"!�q&T(K"
k
�h� kg à m/s g
ou seja, um valor �6�_�^(��
A
(zt��"�� %�%fi�
�
� vezes menor:
é
���
é
„
�
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9.2.4 Conservac¸a˜o do Momento Linear
E 9-33 (9-27/6 � )
Um homem de (K"�" kg, de pe´ em uma superfı´cie de atrito
desprezı´vel, da´ um chute em uma pedra de "��«�C" kg, fa-
zendo com que ela adquira uma velocidade de I5� %!" m/s.
Qual a velocidade do homem depois do chute?
Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua
no sistema homem-pedra, o momento total e´ conserva-
do. Como tanto o homem como a pedra esta˜o em repou-
so no inı´cio, o momento total e´ zero antes bem como
depois do chute, ou seja
70ìC>*ì 3 7 ˆ > ˆ �$"�g
onde o subı´ndice é refere-se a` pedra e o subı´ndice O
refere-se ao homem. Desta expressa˜o vemos que
>�ˆ‡�^t
70ì*>*ì
7»ˆ
� t
��"5�	��"!�]��I�� %�"fi�
(K"!"
� tv"�� "!�fi� m/s g
onde o sinal negativo indica que o homem move-se no
sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra
foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda
que a raza˜o das massas coincide com a raza˜o dos pesos.
E 9-36 (9-29/6 � )
Um homem de ��� kg esta´ viajando em um carrinho, cuja
massa e´ I�% kg, a ��� I m/s. Ele salta para fora do carrinho
de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a
variac¸a˜o resultante na velocidade do carrinho?
NOTA: na 4
�
edic¸a˜o do livro (bem como em algumas
edic¸o˜es anteriores) esqueceram-se de fornecer a massa
do carrinho, no enunciado deste exercı´cio. Ale´m dis-
to, traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que
tambe´m aparece nas edic¸o˜es mais antigas do livro. O
enunciado na 6
�
edic¸a˜o esta´ correto. Dificilmente uma
carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro,
na˜o e´ mesmo?
 O momento linear total do sistema homem-carrinho
e´ conservado pois na˜o atuam forc¸as externas com com-
ponentes horizontais no sistema. Chamemos de 7 å a
massa do carrinho, > a sua velocidade inicial, e > å sua
velocidade final (apo´s o homem haver pulado fora). Seja
7»ˆ a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mes-
ma do carrinho e sua velocidade final e´ zero. Portanto a
conservac¸a˜o do momento nos fornece
��7͈
3
7»åa�¼>'�=7Íåh>�åKg
de onde tiramos a velocidade final do carrinho:
> å �
>ffi�fl7»ˆ 3 7Íåa�
7Íå
�
�_�G� I!�E���� 3 I�%fi�
I!%
�$U��«� m/s �
A velocidade da carrinho aumenta por U5�	�Dtl�G� Iff�fY5� Y
m/s. Para reduzir sua velocidade o homem faz com que
o carrinho puxe-o para tra´s, de modo que o carrinho seja
impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade.
E 9-38 (9-33/6
�
)
O u´ltimo esta´gio de um foguete esta´ viajando com uma
velocidade de �CU!"�" m/s. Este u´ltimo esta´gio e´ feito de
duas partes presas por uma trava: um tanque de com-
bustı´vel com uma massa de ��%�" kg e uma ca´psula de
instrumentos com uma massa de (*��" kg. Quando a tra-
va e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as
duas partes se separem com uma velocidade relativa de
%5(K" m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois
que elas se separam? Suponha que todas as velocida-
des teˆm a mesma direc¸a˜o. (b) Calcule a energia cine´tica
total das duas partes antes e depois de se separarem e
explique a diferenc¸a (se houver).
 (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site-
ma composto pelas duas partes no u´ltimo esta´gio. O mo-
mento total do sistema e´ conservado. Seja 7@í a massa
do tanque e 7Íå a massa da ca´psula. Inicialmente ambas
esta˜o viajando com a mesma velocidade > . Apo´s a trava
ser acionada, 7:í tem uma velocidade >Cí enquanto que
7»å tem uma velocidade >�å . Conservac¸a˜o do momento
fornece-nos
�fl7@í
3
7ÍåÙ�¼>ff�R7@í>Cí
3
7»åS>�å*�
Apo´s a trava ser solta, a ca´psula (que tem menos massa)
viaja com maior velocidade e podemos escrever
>�åƒ�>Cí
3
>�ÜaîïSg
onde >�Üaîï e´ a velocidade relativa. Substituindo esta ex-
pressa˜o na equac¸a˜o da conservac¸a˜o do momento obte-
mos
�fl7
í©3
7
å
�¼>ff�R7
í
>
í©3
7
å
>
åF3
7ÍÔe>
Üaîï
g
de modo que
>�åð�
�fl7@í
3
7»åÙ�S>‡tT7Íåh>�Üaîï
7
í|3
7
å
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 18 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:42
� >‡t
7 í
7:í 3 7»å
>�Üaîï
� �CU�"!"jt
(*��"
��%!" 3 (���"
� %�(K"fi�1������%�" m/s �
A velocidade final da ca´psula e´
>�åº�=>Cí 3 >�Üaîï\�$����%�" 3 %�(*"?�$#!��"�"
m/s �
(b) A energia cine´tica total antes da soltura da trava e´
, - �
{
�
�fl7 íffi3 7 å �S>
�
�
{
�
� ��%�" 3 (���"fi�E�_��U�"!"!�
�
�“(!� �fi��(?&T(K"
{
š J �
A energia cine´tica total apo´s a soltura da trava e´
,:/ �
{
�
7:í>
�
í
3
{
�
7Ȍh>
�
å
�
{
�
� ��%�"!�]�_����%�"fi�
�
3
{
�
�S(���"fi�E��#fi��"!"!�
�
� (!� �fi���‡&)(*"
{
š J �
A energia cine´tica total aumentou levemente. Isto deve-
se a` conversa˜o da energia potencial ela´stica armazenada
na trava (mola comprimida) em energia cine´tica das par-
tes do foguete.
E 9-39 (9-39/6 � )
Uma caldeira explode, partindo-se em treˆs pedac¸os.
Dois pedac¸os, de massas iguais, sa˜o arremessados em
trajeto´rias perpendiculares entre si, com a mesma velo-
cidade de I�" m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa
treˆs vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o mo´dulo,
direc¸a˜o e sentido de sua velocidade logo apo´s a ex-
plosa˜o?
 Suponha que na˜o haja forc¸a externa atuando, de modo
que o momento linear do sistema de treˆs pec¸as seja con-
servado. Como o momentum antes da explosa˜o era zero,
ele tambe´m o e´ apo´s a explosa˜o. Isto significa que o ve-
tor velocidade dos treˆs pedac¸os esta˜o todos num mesmo
plano.Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo ver-
tical sendo o eixo Z , positivo para cima. A partir da
origem deste diagrama, desenhe na direc¸a˜o negativa do
eixo X o vetor I�7:ñ , correspondente ao momento da
partı´cula mais pesada. Os dois outros momentos sa˜o re-
presentados por vetores 7@Ç apontando num aˆngulo ¢
{
no primeiro quadrante e ¢
�
no quarto quadrante, de mo-
do que ¢
{
3
¢
�
�=%�"fiJ (condic¸a˜o do problema).
Como a componente vertical do momento deve conser-
var-se, temos com as convenc¸o˜es acima, que
7@> sen ¢
{
tT7:> sen ¢
�
�R"5g
onde > e´ a velocidade dos pedac¸os menores. Portan-
to devemos necessariamente ter que ¢
{
�²¢
�
e, como
¢
{
3 ¢
�
�R%!"!J , temos que ¢
{
�R¢
�
�Y���J .
Conservac¸a˜o da componente � do momento produz
I�7
È
���C7@>�›EœfiG¢
{
�
Consequentemente, a velocidade
È
do pedac¸o maior e´
È
�
�
+
>º›EœfiG¢
{
�
�
+
��I!"!�G›]œ!GY��
J
�“(KY m/s g
no sentido negativo do eixo � . O aˆngulo entre o vetor
velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os
menores e´
(*#�"
J
tTYfi�
J
�“(KIfi�
J
�
9.2.5 Sistemas de Massa Varia´vel: Um Foguete
E 9-48 (9-41/6
�
)
Uma sonda espacial de U�"�%!" kg, viajando para Ju´piter
com uma velocidade de (K"fi� m/s em relac¸a˜o ao Sol, acio-
na o motor, ejetando #�" kg de gases com uma velocidade
de ����I m/s em relac¸a˜o a` sonda. Supondo que os gases
sa˜o ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial
da sonda, qual a sua velocidade final?
 Ignore a forc¸a gravitacional de Ju´piter e use a Eq. (9-
47) do livro texto. Se >�- e´ a velocidade inicial, ¹u- e´ a
massa inicial, >�/ e´ velocidade final, ¹u/ e´ a massa final,
e ò e´ a velocidade do ga´s de exausta˜o, enta˜o
>�/‡�=>�-
3
ò˜óoô
¹
-
¹u/
�
Neste problema temos ¹u-��fU�"!%�" kg e ¹u/.�^U�"!%�"?t
#!"6�RU�"5(K" kg. Portanto
>�/‡�f(*"!�
3
����I2óoô
”
U�"!%�"
U�"5(K"
•
�“(K"!# m/s �
E 9-49 (9-43/6 � )
Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regia˜o em
que a forc¸a gravitacional e´ desprezı´vel, tem uma massa
de ��� �!�2&‡(K" · kg, da qual (!� #5(<&6(*" · kg sa˜o combustı´vel.
O consumo de combustı´vel do motor e´ de Y!#!" kg/s e a
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velocidade de escapamento dos gases e´ de I��	�!� km/s. O
motor e´ acionado durante ����" s. (a) Determine o em-
puxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois
que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade final
do foguete?
 (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o
empuxo do foguete e´ dado por ’ � ´ ò , onde ´ e´ a taxa
de consumo de combustı´vel e ò e´ a velocidade do gas
exaustado. No presente problema temos ´ �fYfi#�" kg e
ò@�$I��	�!�‡&T(K"
+
m/s, de modo que
’
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ò:�f�flYfi#�"fi�E��I5� �fi�‡&)(*"�+]�2�^(��	�!�‡&T(K"
Á N �
(b) A massa do combustı´vel ejetado e´ dada por
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× ä��
´
r
® , onde
r
® e´ o intervalo de tempo da quei-
ma de combustı´vel. Portanto
¹uå
J
× ä2�B�flYfi#�"fi�E� �!��"fi�P�^(��	��"'&T(K"
·
kg �
A massa do foguete apo´s a queima e´
¹u/‡�=¹u-©tŒ¹lå
J
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äõ� � �G�	���˜tM(��	��"fi�p&)(*"
·
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(c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade final
e´ dada por
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+ m/s �
E 9-56 (9-47/6
�
)
Duas longas barcac¸as esta˜o viajando na mesma direc¸a˜o
e no mesmo sentido em a´guas tranqu¨ilas; uma com
uma velocidade de (K" km/h, a outro com velocidade
de ��" km/h. Quando esta˜o passando uma pela outra,
opera´rios jogam carva˜o da mais lenta para a mais ra´pida,
a` raza˜o de (K"�"!" kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual
a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores
das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as
mesmas velocidades? Suponha que a transfereˆncia de
carva˜o se da´ perpendicularmente a` direc¸a˜o de movimen-
to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as
embarcac¸o˜es e a a´gua na˜o depende do seu peso.
9.2.6 Sistemas de Partı´culas: Variac¸o˜es na Energia
Cine´tica
E 9-60 (9-55/6 � )
Uma mulher de �!� kg se agacha e depois salta para cima
na vertical. Na posic¸a˜o agachada, seu centro de massa
esta´ Yfi" cm acima do piso; quando seus pe´s deixam o
cha˜o, o centro de massa esta´ %!" cm acima do piso; no
ponto mais alto do salto, esta´ (���" cm acima do piso. (a)
Qual a forc¸a me´dia exercida sobre a mulher pelo piso,
enquanto ha´ contato entre ambos? (b) Qual a velocida-
de ma´xima atingida pela mulher?
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10 Coliso˜es
10.1 Questo˜es
Q 10-1
Explique como a conservac¸a˜o de energia se aplica a uma
bola quicando numa parede.
10.2 Problemas e Exercı´cios
10.2.1 Impulso e Momento Linear
E 10-3 (10-1/6 � edic¸a˜o)
Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma
forc¸a me´dia de ��" N em um intervalo de (K" ms. Se a
bola tivesse massa de "��	��" kg, que velocidade ela teria
apo´s o impacto?
 Se
€
for a magnitude da forc¸a me´dia enta˜o a magni-
tude do impulso e´ öl�
€
r
® , onde
r
® e´ o intervalo de
tempo durante o qual a forc¸a e´ exercida (veja Eq. 10-8).
Este impulso iguala a magnitude da troca de momen-
tum da bola e como a bola esta´ inicialmente em repouso,
iguala a magnitude 7@> do momento final. Resolvendo
a euqac¸a˜o
€
r
®
�7@> para > encontramos
>'�ž€
r
®
7
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� ��"!�E�L(K"'&T(K"
k
+
�
"��	��"
���G�	� m/s �
E 10-9 (10-5/6 � )
Uma forc¸a com valor me´dio de (*��"�" N e´ aplicada a uma
bola de ac¸o de "�� Y!" kg, que se desloca a (]Y m/s, em uma
colisa˜o que dura �fi� ms. Se a forc¸a estivesse no senti-
do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a
velocidade final da bola.
 Considere a direc¸a˜o inicial do movimento como po-
sitiva e chame de
€
a magnitude da forc¸a me´dia,
r
® a
durac¸a˜o da forc¸a, 7 a massa da bola, > - a velocidade
inicial da bola, > / a velocidade final da bola. Enta˜o a
forc¸a atua na direc¸a˜o negativa e o teorema do impulso-
momento fornece
t
€
r
®
�R7:>�/6t)7@>�-L�
Resolvendo para >�/ obtemos
>�/ � >�-©t“€
r
®
7
� (]Y?t
�S(*��"�"fi�E� �fi�D&T(K"
k +
�
"�� Y!"
�“tvUfi� m/s �
A velocidade final da bola e´ Ufi� m/s.
P 10-12 (10-9/6 � )
Um carro de (KY!"!" kg, deslocando-se a ��� I m/s, esta´ ini-
cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do
eixo Z . Apo´s completar uma curva a` direita de %!" J para
o sentido positivo do eixo � em Y5� U s, o distraido moto-
rista investe para cima de uma a´rvore, que pa´ra o carro
em I!��" ms. Em notac¸a˜o de vetores unita´rios, qual e´ o
impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a
colisa˜o? Qual a intensidade da forc¸a me´dia que age so-
bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisa˜o?
(e) Qual e´ o aˆngulo entre a forc¸a me´dia em (c) e o senti-
do positivo do eixo � ?
 (a) O momento inicial do carro e´
÷
-
�=7@Ç)�f�S(KY!"!"!�E�_�G� I!�oø4�f���Yfi��" kg à m/s �oø
e o momento final e´ �_�CYfi��" kg à m/s �Sù . O impulso que nele
atua e´ igual a` variac¸a˜o de momento:
ú
�
÷
/Dt
÷
-\�B�_�CYfi��" kg à m/s �E� ù©t
ø��E�
(b) O momento inicial do carro e´ ÷ -º�Î���Yfi��" kg à m/s �Lù
e o momento final e´ ÷ /»�†" , uma vez que ele para. O
impulso atuando sobre o carro e´
ú
�
÷
/Dt
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-\�ft6���Yfi��" kg à m/s �Lù
(c) A forc¸a me´dia que atua no carro e´
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